Sistem Pengelolaan Lingkungan Dengan Adanya Ketidakpastian

(1)

SISTEM PENGELOLAAN LINGKUNGAN DENGAN

ADANYA KETIDAKPASTIAN

TESIS

Oleh

ARDIANTA

087021012/MT

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

(2)

SISTEM PENGELOLAAN LINGKUNGAN DENGAN

ADANYA KETIDAKPASTIAN

T E S I S

Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat

untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada FMIPA

Universitas Sumatera Utara

Oleh ARDIANTA

087021012/MT

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

(3)

Judul Tesis : SISTEM PENGELOLAAN LINGKUNGAN DENGAN ADANYA KETIDAKPASTIAN

Nama Mahasiswa : ARDIANTA Nomor Pokok : 087021012 Program Studi : Matematika

Menyetujui, Komisi Pembimbing

(Dr. Saib Suwilo, M.Sc. ) (Prof. Dr. Herman Mawengkang )

Ketua Anggota

Ketua Program Studi Dekan

(Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Dr. Sutarman, M.Sc.)

(4)

Telah diuji pada

Tanggal 17 Februari 2011

PANITIA PENGUJI TESIS

Ketua : Dr. Saib Suwilo, M.Sc.

(5)

ABSTRAK

Interval parameter pemrograman stokastik integer campuran dua tahap dikem-bangkan untuk pengelolaan limbah dengan adanya ketidakpastian, Ini adalah pemrograman stokastik eksak dua-tahap dan dicampur metode integer linear pro-gramming. Metode ITMILP langsung dapat menangani ketidakpastian dinyata-kan tidak hanya sebagai fungsi probabilitas tetapi juga sebagai interval diskrit. Hal ini dapat digunakan untuk menganalisis skenario berbagai kebijakan yang berkaitan dengan berbagai tingkat hukuman ekonomi bila target kebijakan yang dijanjikan dilanggar. Lebih penting lagi, dapat memfasilitasi analisis dinamik ke-putusan mengenai perencanaan kapasitas perluasan dalam multi fasilitas, multi periode, dan multi pilihan. Hasilnya akan membantu untuk menghasilkan berba-gai alternatif keputusan dalam kondisi berbaberba-gai sistem, dan dengan demikian menawarkan wawasan ke dalam tujuan lingkungan dan ekonomi. Metode IT-MILP diterapkan untuk perencanaan perluasan fasilitas dan alokasi aliran limbah dalam suatu sistem pengelolaan limbah. Hasil penelitian menunjukkan bahwa solusi yang masuk akal telah dibuat untuk kedua variabel biner dan berkesinam-bungan. Solusi biner-variabel merupakan keputusan ekspansi fasilitas, sedangkan solusi variabel kontinu terkait dengan keputusan tentang alokasi aliran limbah.

(6)

ABSTRACT

An interval-parameter two-stage stochastic mixed integer programming (ITMILP) technique is developed for waste management under uncertainty. It is a hybrid of inexact two-stage stochastic programming and mixed integer linear program-ming methods. The ITMILP method can directly handle uncertainties expressed not only as probability density functions but also as discrete intervals. It can be used to analyse various policy scenarios that are associated with different levels of economic penalties when the promised policy targets are violated. More important-ly, it can facilitate dynamic analysis of decisions on capacity expansion planning within a multi-region, multi-facility, multi-period, and multi-option context. The results will help to generate a range of decision alternatives under various system conditions, and thus offer insight into the trade-offs between environmental and economic objectives. The ITMILP method is applied to planning facility expansion and waste flow allocation within a waste management system. The results indi-cate that reasonable solutions have been generated for both binary and continous variables. The binary-variable solutions represent the decisions of facility expan-sion, while the continuous-variable solutions are related to decisions on waste flow allocation.

(7)

KATA PENGANTAR

Syukur Alhamdulillah kehadirat Allah SWT, penulis panjatkan atas limpa-han Rahmat dan KaruniaNya. Karena terselesaikannya penulisan tesis ini yanga berjudul: Sistem Pengelolaan Lingkungan dengan adanya Ketidakpastian

Pada kesempatan ini penulis menyampaikan ucapan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada :

Bapak Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H. M.Sc. (CTM), Sp.A(K) selaku Rektor Universitas Sumatera Utara yang memberi kesempatan kepada penulis untuk menempuh pendidikan di Universitas Sumatera Utara. Bapak Dr. Sutarman, M.Sc. selaku Dekan FMIPA Universitas Sumatera Utara yang sudah memberi kesempatan kepada penulis untuk menempuh pen-didikan di Universitas Sumatera Utara.

Bapak Prof. Dr. Ir. A. Rahim Matondang,MSIE selaku Direktur Pas-casarjana Universitas Sumatera Utara.

Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Ketua Program Studi Mag-ister Matematika FMIPA USU, yang juga menjadi pembimbing yang telah mem-berikan bimbingan kepada penulis sehingga tesis ini dapat diselesaikan.

Bapak Dr. Saib Suwilo, M.Sc. selaku Sekretaris Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara dan selaku anggota komisi pem-bimbing yang telah memberikan saran dan pem-bimbingan kepada penulis.

Bapak Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc. sebagai penguji tesis ini. Bapak Drs. Open Darnius, M.Sc. selaku anggota penguji tesis ini

Serta seluru staf pengajar pada program studi Magister Matematika Universi-tas Sumatera Utara yang sudah membimbing dan membantu penulis mengenyan pendidikan.

Ibu Misiani, S.Si. selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Ma-tematika FMIPA USU yang telah memberikan pelayanan administrasi selama mengikuti pendidikan.

(8)

Juru-san Matematika FMIPA USU antara lainIbu Rusmini Dewi, Bapak Makmur Tarigan, Bapak Satriawan Taruna, Bapak Benar, Bapak Bai Hotma Si-tompul, Bapak Gim Tarigan, Bapak Djakaria Sebayang, dan Ibu Sinek Malem Br. Pinem, semoga persahabatan kita tak lekang oleh waktu.

Ucapan terima kasih yang tak terhingga penulis ucapkan kepada Istri tercinta dan tersayang Nurhasni Muluk dan teristimewa untuk anak-anakku tercinta dan tersayang Juli Rizkia, Ridha Aprianidan Fajriani. Semoga Allah SWT merahmati kita semua.

Kepada teman-teman serta semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu, penulis ucapkan banyak terima kasih atas bantuan dan dorongan yang telah diberikan sehingga penulis dapat menyelesaikan pendidikan tepat wak-tu

Akhir kata penulis ucapkan, kiranya kekurangan yang ada pada penulisan tesis ini dapat disempurnakan bagi pihak yang memerlukan karena penulis sebagai manusia yang tidak sempurna memiliki keterbatasan dalam menyelesaikan tesis ini seperti kata pepatah tak ada gading yang tak retak.

Medan, 17 Februari 2011 Penulis,

(9)

RIWAYAT HIDUP

(10)

DAFTAR ISI

Halaman

ABSTRAK i

ABSTRACT ii

KATA PENGANTAR iii

RIWAYAT HIDUP v

DAFTAR ISI vi

BAB 1 PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Perumusan Masalah 2

1.3 Tujuan Penelitian 2

1.4 Manfaat Penelitian 2

1.5 Metodologi Penelitian 3

BAB 2 BEBERAPA MODEL PENGELOLAAN LINGKUNGAN 4

BAB 3 PROGRAM STOKASTIK 6

3.1 Model Dasar Program Stokastik (Birge, 1988) 6 3.2 Program Stokastik Cacah-Campuran 9 3.3 Formulasi Deterministik Ekivalen 10

(11)

3.5 Model Tahap-Ganda 13

BAB 4 PEMODELAN PENGELOLAAN LINGKUNGAN DENGAN ADANYA

KETIDAKPASTIAN 15

4.1 Pemodelan Interval-Parameter Stokastik Integer Programming

Campuran Dua Tahap 15

BAB 5 KESIMPULAN 26

(12)

ABSTRAK

Interval parameter pemrograman stokastik integer campuran dua tahap dikem-bangkan untuk pengelolaan limbah dengan adanya ketidakpastian, Ini adalah pemrograman stokastik eksak dua-tahap dan dicampur metode integer linear pro-gramming. Metode ITMILP langsung dapat menangani ketidakpastian dinyata-kan tidak hanya sebagai fungsi probabilitas tetapi juga sebagai interval diskrit. Hal ini dapat digunakan untuk menganalisis skenario berbagai kebijakan yang berkaitan dengan berbagai tingkat hukuman ekonomi bila target kebijakan yang dijanjikan dilanggar. Lebih penting lagi, dapat memfasilitasi analisis dinamik ke-putusan mengenai perencanaan kapasitas perluasan dalam multi fasilitas, multi periode, dan multi pilihan. Hasilnya akan membantu untuk menghasilkan berba-gai alternatif keputusan dalam kondisi berbaberba-gai sistem, dan dengan demikian menawarkan wawasan ke dalam tujuan lingkungan dan ekonomi. Metode IT-MILP diterapkan untuk perencanaan perluasan fasilitas dan alokasi aliran limbah dalam suatu sistem pengelolaan limbah. Hasil penelitian menunjukkan bahwa solusi yang masuk akal telah dibuat untuk kedua variabel biner dan berkesinam-bungan. Solusi biner-variabel merupakan keputusan ekspansi fasilitas, sedangkan solusi variabel kontinu terkait dengan keputusan tentang alokasi aliran limbah.

(13)

ABSTRACT

An interval-parameter two-stage stochastic mixed integer programming (ITMILP) technique is developed for waste management under uncertainty. It is a hybrid of inexact two-stage stochastic programming and mixed integer linear program-ming methods. The ITMILP method can directly handle uncertainties expressed not only as probability density functions but also as discrete intervals. It can be used to analyse various policy scenarios that are associated with different levels of economic penalties when the promised policy targets are violated. More important-ly, it can facilitate dynamic analysis of decisions on capacity expansion planning within a multi-region, multi-facility, multi-period, and multi-option context. The results will help to generate a range of decision alternatives under various system conditions, and thus offer insight into the trade-offs between environmental and economic objectives. The ITMILP method is applied to planning facility expansion and waste flow allocation within a waste management system. The results indi-cate that reasonable solutions have been generated for both binary and continous variables. The binary-variable solutions represent the decisions of facility expan-sion, while the continuous-variable solutions are related to decisions on waste flow allocation.

(14)

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Dalam sistem manajemen limbah padat perkotaan, proses yang masih harus dipertimbangkan oleh para pengambil keputusan seperti, transportasi, pengoba-tan, dan pembuangan (Wilson 1985). Selain itu faktor lain yang juga harus diper-hitungkan, termasuk teknik yang digunakan, tingkat jasa yang akan ditawarkan, dan fasilitas yang akan diadopsi.

(15)

2

adalah dua-tahap pemrograman stokastik, efektif untuk masalah-masalah analisis kebijakan, skenario yang diinginkan dan data yang terkait sebagian besar pasti. Dalam aplikasi praktis beberapa ketidakpastian disajikan sebagai fungsi densitas probabilitas dan lain-lain nilai deterministik diikuti oleh analisis pasca optimal. Metode dua-tahap pemrograman stokastik telah luas dieksplorasi selama dekade terakhir (Mobasheri dan Harboe 1970, Pereira dan Pinto 1991, Ruszczynski 1993, Schultz et al. 1996, Ruszczynski dan Swietanowski 1997, Seifi dan Hipel 2001, Luo et al. 2003). Misalnya, Huang dan Loucks (2000) mengusulkan dua tahap eksak pemrograman model pengelolaan sumber daya air di bawah ketidakpastian, dan Maqsood dan Huang (2003) dieksplorasi model untuk perencanaan pengelolaan sampah. Namun metode ini tidak mampu mencerminkan kompleksitas dinamis dalam sistem pengelolaan limbah, seperti waktu, ukuran, dan penempatan dalam perencanaan skema ekspansi kapasitas untuk fasilitas manajemen limbah.

1.2 Perumusan Masalah

Adapun perumusan masalah yang dihadapi dalam penelitian ini adalah dengan melakukan pendekatan dengan menggunakan interval parameter integer stokastik dua tahap dengan menjabarkan faktor-faktor yang mempengaruhi dalam sistem pengelolaan lingkungan dengan adanya ketidakpastian menjadi sebuah mo-del pemrograman yang nantinya dapat dikembangkan.

1.3 Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah untuk menerapkan model pemograman linier interval parameter integer stokastik dua tahap untuk sistem pengelolaan lingkungan dengan adanya ketidakpastian yang akan menghasilkan keputusan dalam berbagai sistem.

1.4 Manfaat Penelitian

(16)

de-3

ngan adanya ketidakpastian.

1.5 Metodologi Penelitian

(17)

BAB 2

BEBERAPA MODEL PENGELOLAAN LINGKUNGAN

Suatu sistem manajemen limbah padat perkotaan mungkin melibatkan be-berapa fasilitas untuk memenuhi keseluruhan permintaan untuk pengolahan sam-pah, dan pembuangan. Oleh karena itu ekspansi kapasitas fasilitas pengelolaan limbah merupakan masalah penting dalam manajemen perencanaan limbah padat perkotaan , dimana terkait analisis optimasi umumnya membutuhkan penggunaan variabel integer untuk menunjukkan apakah fasilitas pengembangan atau perlu-asan pilihan tertentu harus dilakukan. Mixed integer linear programming (MILP) adalah alat yang berguna untuk tujuan ini (Huang et al 1995a, 1997). Interval-parameter MILP memungkinkan ketidakpastian akan langsung dikomunikasikan ke proses optimasi dan solusi yang dihasilkan sehingga beberapa keputusan alter-natif dapat dihasilkan oleh interpretasi dari solusi.

Oleh karena itu pendekatan yang potensial yang akan memungkinkan kom-pleksitas dan ketidakpastian kapasitas ekspansi dan denda ekonomi menjadi lebih baik dicatat dengan interval-parameter MILP. Ini mengarah ke sebuah MILP dua-tahap interval-parameter (ITMILP) model. Dalam model ini, variabel ke-putusan yang meliputi dua kategori: yang berkelanjutan dan biner. Variabel kontinu merupakan arus kota-ke-fasilitas limbah, dan variabel biner digunakan untuk keputusan ekspansi kapasitas.

(18)

wilayah-5

(19)

BAB 3

PROGRAM STOKASTIK

Program stokastik adalah sebuah nama yang menyatakan program matema-tika yang dapat berupa linear, cacah, cacah campuran, non linear tetapi dengan menampilkan elemen stokastik pada data. Oleh karena itu dapat dinyatakan bah-wa :

a. Pada program matematik deterministik, data (koefisien) adalah bilangan-bilangan yang diketahui (tertentu).

b. Pada program stokastik, data (koefisien) merupakan bilangan yang tidak diketahui (tidak pasti) yang disajikan sebagai distribusi peluang.

Program stokastik merupakan program matematik dengan situasi (yang mengan-dung) ketidakpastian. Program stokastik adalah merupakan program matematik, dimana beberapa data yang termuat pada tujuan atau kendala mengandung keti-dakpastian, ketidakpastian biasanya dicirikan oleh distribusi peluang pada para-meter. Walaupun ketidakpastian didefinisikan dengan tepat tetapi pada prak-teknya diberikan beberapa skenario (hasil yang mungkin dari data) yang spesifik dan distribusi peluang gabungan yang cepat. Hasil-hasil secara umum digam-barkan pada elemen w∈W. Ketika beberapa data acak, maka penyelesaian dan nilai tujuan optimal untuk masalah optimisasi juga acak.

3.1 Model Dasar Program Stokastik (Birge, 1988)

Model antisipatif dan adaptif merupakan kasus khusus dari program stokastik. Kombinasi keduanya menghasilkan model rekursif yang menjadi fokus dalam penelitian ini.

a. Model Antisipatif

(20)

ter-7

gantung pada pengamatan masa datang. Perencanaan yang baik harus mem-perhitungkan semua realisasi masa datang yang mungkin karena tidak akan ada kesempatan untuk memperbaharui keputusan nantinya.

Dalam model antisipatif kelayakan dinyatakan dalam kendala probabilistik. Mi-salnya, tingkat keandalan α dengan 0 < α ≤ 1, dinyatakan dan kendala ditulis dalam bentuk

P {w|fj(x, w) = 0, j = 1,2, . . . , n} ≥α

Disini x adalah vektor peubah keputusan dan fj : RmxΩ → R, j = 1, . . . , n. Fungsi objektif juga dapat bertipe keandalan sepertiP {w|f0(x, w)≤ γ}, dimana

f0 :Rm_x_Ω_→_R_{∪ {+∞}}_dan _γ _konstanta.

Model antisipatif memilih kebijakan yang memenuhi karakteristik kendala yang diinginkan dan fungsi objektif.

b. Model Adaptif

Dalam model ini, informasi yang dikaitkan dengan ketidakpastian muncul secara parsial sebelum pengambilan keputusan, jadi optimisasi terjadi dalam lingkungan pembelajaran. Andaikan A koleksi dari semua informasi relevan yang tersedia melalui pengamatan yang merupakan subgelanggang dari semua kejadian yang mungkin. Keputusan x tergantung pada kejadian yang dapat diamati, dan x

disebutA teradaptasi atau A terukur. Program stokastik adaptif dapat diformu-lasikan sebagai

min E[f0(x(w), w)|A]

kendala E[fj(x(w), w)|A], j = 1,2, . . . , n x(x)∈X, hampir pasti

(3.1)

Pemetaan x : Ω → X adalah sedemikian hingga x(w) merupakan A terukur. Persoalan ini dapat disajikan dengan menyelesaikan untuk setiap w program de-terministik berikut :

min E[f0(x, .)|A] (w)

kendala E[fj(x, .)|A] (w) = 0, j = 1,2, . . . , n x(x)∈X

(21)

8

Ada dua kasus ekstrim yaitu informasi lengkap dan tidak ada informasi sama sekali. Kasus pertama mengakibatkan model menjadi bentuk model antisipatif sedangkan untuk kasus kedua dikenal sebagai model distribusi. Yang paling menarik adalah jika hanya sebagian informasi yang tersedia.

Model Recourse

Model ini menggabungkan dua model yang diutarakan terdahulu, yang ingin menentukan kebijakan yang tidak hanya mengantisipasi pengamatan masa datang tapi juga memperhitungkan informasi yang ada untuk membuat keputusan rekur-sif. Misalnya, manajer portofolio memperhatikan gerak masa datang agar saham (antisipasi) tetapi juga menyeimbangkan posisi portofolio ketika harga berubah (adaptasi). Persoalan program stokastik dua tahap dengan rekursif dapat ditulis sebagai

min f(x) +E[Q(x, w)] kendala Ax=b

x∈RM0

+

(3.3)

xadalah keputusan antisipatif tahap pertama yang diambil sebelum peubah acak teramati dan Q(x, w) merupakan nilai optimalnya, untuk sembarang Ω, dari pro-gram tak linier:

min ξ(y, w)

kendala W(w)y=h(w)−T(w)x y∈RM1

+

(3.4)

Dengan y keputusan adaptif tahap kedua yang tergantung pada realisasi vektor acak tahap pertama, ξ(y, w) merupakan fungsi biaya tahap kedua, dan

(22)

9

Secara umum model recourse dua tahap dapat di formulasikan sebagai

min f(x) +E

" min y∈RM1

+

{ξ(y, w)|T(w)x+W(w)y=h(w)} #

kendala Ax =b x∈RM0

+

(3.5)

Dari bentuk program stokastik perlu dibentuk model deterministik yang ekivalen sehingga mudah terselesaikan.

3.2 Program Stokastik Cacah-Campuran

Model Program Stokastik Cacah Campuran (PSCC) dua-tahap merupakan model dalam mana himpunan bagian dari peubah tahap pertama dan kedua dipersyaratkan bernilai cacah. Untuk penyajian problemanya, andaikan ¯w suatu peubah acak yang dipakai untuk memodelkan data dalam model dua-tahap. Kare-na model program stokastik ditujukan untuk pengambilan keputusan, suatu vek-tor keputusanxharus dipilih sedemikian hingga konsekuensi dari keputusan (yang dievaluasi terhadap beberapa hasil alternatif dari ¯w) diakomodasi dalam model pilihan optimal. Konsekuensi dari keputusan tahap pertama diukur melalui pro-blema optimisasi yang disebut propro-blema recourse yang memperbolehkan penga-matan (peubah acak). Andaikan bahwa suatu pengapenga-matan dari ¯w dinyatakan dengan w. Maka konsekuensi memilih x terhadap hasil w dapat dimodelkan se-bagai

h(x, w) =ming(w)Ty

W(w)y≥ r(w)−T(w)x y≥0, yi cacah =;j ∈J2

Dengan J2 _{himpunan indeks yang dapat mencakup beberapa atau semua peubah}

dalam y ∈ Rn2. Disini diandaikan bahwa semua realisasi W(w) merupakan

(23)

10

3.3 Formulasi Deterministik Ekivalen

Pandang model program stokastik linier berikut

min g0x,ξ˜

kendala gi

x,ξ˜, i= 1, . . . , m, x ∈XcRn_,

(3.6)

Dengan ˜ξ vektor acak yang bervariasi pada himpunan Ξ⊂Rk_{. Lebih tepat} lagi, diandaikan bahwa keluarga (family) F dari ”kejadian”, yaitu himpunan bagian dari Ξ, dan sebaran peluang P pada F diketahui. Jadi untuk setiap himpunan bagian A ⊂ Ξ yang merupakan kejadian-kejadian, yaituA ∈ F, pelu-ang P(A) diketahui. Selanjutnya, diandaikan bahwa fungsi gi(x, ξ) : Ξ →R∀x, i

merupakan peubah acak dan sebaran peluang P adalah bebas.

Namun, problema (3.6) tidak ”well defined” karena pengertian ”min” dan ju-ga kendala tidak jelas, jika yang diperhitungkan adalah nilai keputusanxsebelum mengetahui realisasi dari ˜ξ. Karena itu revisi terhadap proses pemodelan perlu dilakukan, yang akan menghasilkan modeldeterministik ekivalen untuk (3.6). Pembentukan model analogi terhadap program stokastik linier dengan recourse, untuk problema (3.6) dilakukan dengan cara berikut.

g+_i (x, ξ) =

0 jika gi(x, ξ)6 0, gi(x, ξ) selainnya,

(24)

11

Q(x, ξ) = min y

( _m

X

i=1

qiyi(ξ)|yi(ξ)>gi+(x, ξ), i= 1,· · · , m )

(3.7) Yang menghasilkan biaya total -tahap pertama dan biayarecourse

f0(x, ξ) =g0(x, ξ) +Q(x, ξ) (3.8) Selain (3.7), dapat dipikirkan suatu program linier recourse yang lebih umum dengan suatu recourse vektor y(ξ) ∈ Y ⊂ Rn¯_{, (}_Y _{himpunan polyhedral, seperti}

{y|y≥0}), suatu sembarang fixedm×n¯matrixW ( matriksrecourse) dan vektor unit biayaq ∈Rn¯_{, menghasilkan untuk (3.8) fungsi recourse}

Q(x, ξ) = min y

qT_y_|_{W y}_>_g+₍_{x, ξ}₎_{, y} _∈_Y _(3.9)

Dengan g+₍_{x, ξ}_{) =} _g+

1 (x, ξ),· · · , gm+(x, ξ) T

.

Perhatikan suatu pabrik menghasilkan m produk, gi(x, ξ) dapat dipahami sebagai perbedaan {permintaan}-{output} produk i. Maka g_i+(x, ξ) > 0 berarti bahwa terdapat kekurangan dalam produk i, relatif terhadap permintaan. De-ngan meDe-ngandaikan bahwa pabrik komit untuk memenuhi permintaan, problema (3.7) misalnya dapat diinterpretasikan sebagai membeli kekurangan produk i di pasar. Problema (3.9) dapat dihasilkan dari program produksi tahap-kedua atau emergency, yang dilaksanakan dengan faktor inputy dan teknologi disajikan oleh matriks W. Jika dipilih W = I, m×m identitas matriks, (3.7) menjadi kasus khusus dari (3.9).

Akhirnya juga dapat dipikirkan program recourse nonlinier untuk mendefi-nisikan fungsi recourse terhadap (3.8); misalnya, Q(x, ξ) dapat dipilih sebagai

Q(x, ξ) = min

q(y) +Hi(y)≥g_i+(x, ξ), i= 1, . . . , m;y(ξ)∈Y ⊂R¯n (3.10) dengan q : R¯n _→ _R _dan _H

i : Rn¯ → R diandaikan diketahui. Dalam kasus terapan, pengambil keputusan yang ingin meminimumkan nilai ekspektasi biaya total (yaitu, tahap pertama dan biaya recourse), cukup memandang formulasi deterministik ekivalen, program stokastik dua-tahap dengan recourse

min

x∈XE˜ξf0(x, ˜

ξ) = min x∈XEξ˜

n

(25)

12

Problema dua-tahap di atas dapat diperluas terhadap program recourse tahap-ganda sebagai berikut: di samping dua keputusan x dan y, harus diambil dita-hap 1 dan 2, sekarang problema dihadapkan dengan K+ 1 keputusan sequensial

x0, x1, . . . , xk(xτ ∈Rnττ), yang harus diambil pada tahap τ = 0,1, . . . , K. Kata ”tahap” dapat, tapi tidak perlu, diartikan sebagai ”periode waktu”.

Andaikan untuk penyederhanaan bahwa objectif dari (3.6) deterministik, yaitu, g0(x, ξ) = g0(x). Pada tahap τ(τ ≥ 1) diketahui realisasi ξ1, . . . , ξτ dari vektor acak ˜ξ1, . . . ,ξ˜τ dan keputusan sebelumnya x0, . . . , xτ−1, harus diputuskan

terhadap xτ sehingga kendala (dengan fungsi kendalagτ)

gτ(x0,· · · , xτ, ξ1,· · · , ξτ 60)

Dipenuhi, yang pada tahap ini hanya dapat dicapai oleh pemilihan tepatxτ, yang didasarkan pada pengetahuan keputusan dan realisasi sebelumnya. Jadi, dengan mengandaikan fungsi biayaqτ(xτ), pada tahap τ ≥1 diperolah fungsi recourse

Qτ = (x0, x1, . . . , xτ−1, ξ1, . . . , ξτ) = min

xτ {qτ(xτ)|gτ(x0, x1, . . . , xτ−1, ξ1, . . . , ξτ)60} Yang mengidentifikasikan tindakan optimal recourse ˆxτ pada waktu τ tergantung pada keputusan sebelumnya dan realisasi yang diamati hingga tahap τ, yaitu,

ˆ

xτ = ˆxτ(x0,· · ·, xτ−1, ξ1,· · · , ξτ), τ >1

Jadi, untuk tahap ganda, diperoleh sebagai total biaya untuk problema tahap-ganda

f0(x0, ξ1,· · · , ξK) =g0(x0) + K X

τ=1

E˜_ξ₁_,···,ξτ˜Qτ(x0,x1,ˆ · · · ,xˆτ−1, ξ1,· · · , ξτ) (3.12)

menghasilkan deterministik ekivalen for problema program stokastik tahap ganda dengan recourse

min x0∈X

"

g0(x0) + K X

τ=1

E˜_ξ₁_,···,ξτ˜ Qτ(x0,ˆx1,· · · ,xˆτ−1,ξ1,˜ · · · ,ξ˜τ) #

(3.13)

(26)

13

3.4 Klasifikasi

Ada beberapa klasifikasi dari program recourse. Suatu program recourse dikatakan mempunyai

1. Recourse tetap (fix) jika untuk recoursew tetap untuk semua hasil wi. 2. Recourse lengkap jika untuk semuav∈ Rm_{, terdapat}_y_≥_{0 sehingga}_w

y =v. 3. Recourse relatif lengkap jika untuk semuax≥0 sehinggaAx=bdan untuk

semuaw∈Ω ada y≥0 sehingga W(w)y=h(w)−V(w)x

4. Recourse sederhana jika W dapat dinyatakan sebagai W = [I−I]

Recourse sederhana merupakan kasus khusus dari recourse lengkap yang selan-jutnya merupakan kasus khusus dari recourse relatif lengkap. Recourse relatif lengkap mengakibatkan bahwa untuk semua x yang layak terhadap kendala ta-hap I problema recourse mempunyai daerah layak tak kosong. Secara ilustrasi keadaan ini dapat terlihat dari contoh yang dikemukakan sebelumnya.

3.5 Model Tahap-Ganda

Persoalan rekursif tidak dibatasi pada formulasi dua-tahap. Mungkin saja pengamatan dibuat pada T tahap berbeda dan terungkap dalam kumpulan in-formasi

At|T

t=1 denganA1 ⊂A2 ⊂ · · ·AT . Tahap berhubungan dengan waktu ketika beberapa informasi terungkap dan suatu keputusan dapat diambil (Per-hatikan bahwa T adalah indeks waktu, sedangkan T(w) matriks)

Program stokastik tahap-ganda dengan recourse akan mempunyai persoalan recourse pada tahap τ yang dikondisikan pada informasi yang diberikan oleh Aτ, yang mencakup semua informasi berasal dari himpunan informasi dalamAt, untuk

t = 1,2, . . . , τ. Program ini juga mengantisipasi informasi dalam At, untuk t =

τ + 1, . . . , T.

Andaikan Vektor acak w memiliki support Ω = Ω1 ×Ω2 ×. . . ,×Ωτ, yang

(27)

14

1,2, . . . , T. w ditulis secara komponen-komponen w = (w1, . . . , wτ). Nyatakan vektor peubah tahap-pertama dengan y0. Untuk setiap tahap t = 1,2, . . . , T

definisikan vektor peubah recourse yt ∈ RMn, fungsi biaya acak q(yt, wt) dan parameter acak {Tt(wt), Wt(wt), ht(wt)|wt∈Ωt}.

Program tahap ganda yang memperluas model dua-tahap , diformulasikan sebagai persoalan optimasi terkelompok berikut

min f(y0)∗E

" min y1∈R

M₁

+

ξ(y1, w1) +· · ·+E

" min yT∈RMT+

ξ(yT, wT) #

· · · #

kendala T1(w1)y0 +W1(w1)y1 =h1(w1) ..

.

TT(wT)yT−1+WT(wT)yT =hk(wT)

y0 ∈RM0

+

(28)

BAB 4

PEMODELAN PENGELOLAAN LINGKUNGAN DENGAN ADANYA KETIDAKPASTIAN

Pertimbangkan sebuah sistem pengelolaan limbah, dimana manajer bertang-gung jawab untuk mengalokasikan limbah mengalir dari beberapa kabupaten ke beberapa fasilitas dalam beberapa periode. Pilihan pembuangan limbah termasuk penimbunan, insinerasi, pengomposan, dan daur ulang.

4.1 Pemodelan Interval-Parameter Stokastik Integer Programming Campuran Dua Tahap

Berdasarkan pada kebijakan pengelolaan sampah lokal, aliran limbah dari masing-masing tingkat kabupaten standar. Jika tidak melebihi dikenakan biaya biasa (normal) ke sistem. Namun, jika limbah melebihi harus dibuang dan dike-nakan biaya tambahan (denda) ke system. Ini berarti biaya operasi dan trans-portasi meningkat. Dalam situasi seperti itu, jumlah total aliran limbah akan tetap diperbolehkan. Jadi manajer dapat merumuskan masalah sebagai memini-malkan biaya dalam sistem.

Untuk mengakomodasi perencanaan sistem seperti itu, MILP dapat dima-sukkan dalam kerangka TSP, yang mengarah ke model mixed integer linear pro-gramming dua tahap (TMILP). Tujuannya adalah untuk mencapai perencanaan yang optimal ekspansi fasilitas dan alokasi aliran limbah yang relevan dengan diharapkan biaya minimal dalam sistem. Dimana komponen biaya terdiri dari:

a. Biaya transportasi limbah

b. Biaya operasional limbah yang diizinkan

(29)

16

e. Biaya transportasi kelebihan limbah

f. Biaya operasional kelebihan limbah

g. Biaya pembuangan residu ke tempat pembuangan akhir h. Biaya untuk memperluas fasilitas pembuangan.

i. Biaya expansi tempat pembuangan akhir.

Pemodelan interval parameterstokastikinteger programming campuran dua tahap dapat dituliskan :

Minimum :

(30)

17

Kendala fasilitas pengolahan limbah u

X

i=1

h

Xijk+M( w)

ijk i

>W Gjk,∀j, k (4.3)

Kendala permintaan pembuangan limbah

Xijkmax >Xijk >M

(w)

ijk >0 (4.4) Non-negatif dan kendala teknis

Ymk (

≤1 ≥0

integer, ∀m,k (4.5)

zimk (

≤1 ≥0

integer, i= 1,2,3, . . . , u, ∀m,k (4.6) Non-negatif dan kendala biner

q X

m=1

p X

k=1

Ymk 61 (4.7)

Perluasan TPA hanya dapat terjadi sekali dalam perencanaan q

X

m=1

Zimk 61 , i = 1,2, ..., u ;∀k (4.8)

Fasilitas pengolahan limbah hanya dapat diperluas dalam setiap periode k. Un-tuk mengatasi masalah ini dengan menggunakan metode pemograman linier, dis-tribusi W Gjk harus dikonversi menjadi nilai diskrit (Huang dan Loucks 2000). Andaikan setiap W Gjk mengambil nilai Wjkh dengan probabilitas Pjh (untuk

h = 1,2, . . . , s), di mana h didefinisikan sebagai tingkat limbah di kabupaten

j. Kemudian masalah di atas dapat dituliskan: Minimum :

f =Pu_i₌₁Pv_j₌₁Pp_k₌₁LkXijk(T Rijk+OPik)

(31)

18

zimk

(32)

19

operasi, pendapatan dari pengelolaan limbah , dan kapasitas pembuangan lim-bah.

Namun dalam masalah-masalah praktis, informasi yang dapat diperoleh untuk ketidakpastian tersebut umumnya tidak cocok untuk presentasi sebagai distribusi probabilistik (Yeomans dan Huang 2003). Selain itu, jika distribusi yang terse-dia, representasi dalam model TSP skala besar bisa sangat menantang (Birge dan Louveaux 1988). Akibatnya, parameter interval dapat diperkenalkan ke dalam kerangka TSP untuk memfasilitasi penggabungan ketidakpastian dalam proses optimasi. Ini mengarah ke model ITMILP berikut:

(33)

20

Z± Yang mana tanda ± menunjukkan sebuah tolok ukur interval, superscript− me-nunjukkan sebuah batas bawah kuantitas, dan superscript + meme-nunjukkan batas atas kuantitas.

Model ITMILP dapat ditransformasikan menjadi dua submodels deterministik yang sesuai ke atas dan bawah batas-batas tujuan yang diinginkan. Menurut Huang et al. (1992), yang submodel sesuai dengan batas bawah dari nilai fungsi objektif (f−

(34)

21

Batasan kendala : v

Z−

dan Z_imkopi− menjadi penyelesaian submodel . Menurut Huang et al. (1992), submodel yang sesuai dengan dengan batas atas nilai fungsi objektif (f+_{) Dapat}

(35)

22 Batasan kendala :

v

Z_mk+

(36)

23

Alokasi optimum dari arus limbah

A±ijkhopt =X

±

ijk+M

±

ijkhopt ∀i, j, k, h

Penyelesaian di atas disajikan sebagai interval untuk fungsi objektif dan varia-bel keputusan. Setiap nilai interval menyiratkan beberapa tingkat resiko dalam sistem, melanggar kendala dan dapat ditafsirkan untuk menghasilkan berbagai alternatif keputusan. . Proses rinci penyelesaian untuk model ITMILP dengan tujuan yang diminimalkan dapat diringkas sebagai berikut (Huang et al 1992,. Chang dan Wang 1995, Chang et al. 1997, Maqsood dan Huang 2003).

Langkah 1 Merumuskan model ITMILP.

Langkah 2 Transformasi model ITMILP primal menjadi dua submodels, dimana batas bawah f−

diperlukan pertama karena tujuannya adalah untuk meminimal-kan f±

.

Langkah 3 Merumuskan fungsi tujuan dan kendala yang relevan darif−

Langkah 4 Mengatasif−

Submodel, dan mendapatkan solusi untukM−

ijkhopt, Y

−

mkopi,

Z−

imkopi dan f

−

opt.

Langkah 5 Hitung total limbah arus A−

ijkhopt =X

−

ijk+M

−

ijkhopt

Langkah 6 Merumuskan fungsi tujuan dan kendala yang relevan darif+

Langkah 7 Selesaikan M_ijkhopt+ , Y_mkopt+ , Z_imkopt+ dan fopt+ .

Langkah 8 Hitung total limbah arus A+_ijkhopt =X_ijk+ +M_ijkhopt+

Langkah 9 Mengintegrasikan solusi dari model ITMILP sebagai berikut:

fopt± =

Langkah 10 Alokasi aliran limbah yang optimalA±ijkhopt =X

±

ijk+M

±

(37)

24

Dimana perameter model adalah :

f = sistem biaya bersih yang diharapkan ($)

i = jenis fasilitas pengelolaan sampah, dimana i= 1 untuk TPA dan i= 2, ..., uuntuk fasilitas pengolahan limbah, seperti daur ulang dan pengomposan insinerasi

j = nama kabupaten j = 1,2, ...v

k = perencanaan dari jangka waktu k= 1,2, ...p Lk = panjang jangka waktu k(hari)

m = nama pilihan ekspansi untuk fasilitas pengelolaan lim-bah m= 1,2,.

DPik = biaya operasional dari fasilitas i untuk aliran kelebihan limbah selama periode k($/t) (tahap kedua parameter biaya), dimana DPik ≥OPik dan i= 1,2, ..., u

DRijk = Biaya transportasi untuk aliran kelebihan limbah dari kabupaten j ke fasilitas i selama periode k($/t) (tahap kedua parameter biaya), dimana DRijk ≥ T Rijk dan

i = 1,2, ..., u

DTik = Biaya transportasi limbah residu kelebihan dari i fasili-tas pembuangan sampah ke TPA selama periodek($/t) (tahap kedua parameter biaya), dimana DTik ≥ F Tik dan i= 1,2, ..., u

E0 = Diharapkan nilai dari variabel acak

F Ei = Residu laju aliran dari Fasilitas untuk TPA (persentase massa yang masuk ke fasilitas i) i= 2,3, ...u

F LCk = Biaya modal ekspansi untuk TPA dalam periode k($/t)

F Tik = Biaya transportasi untuk aliran residu diperbolehkan dari fasilitas i untuk TPA selama periode k($/t), i = 2,3, ...u

F T Cimk = Biaya modal memperluas fasilitas pembuangan limbah

i oleh pilihan m dalam periode k($/t), i= 2,3, ...u H = Tingkat suku generasi limbah di kabupaten j, h =

1,2, ..., s

LC = Kapasitas TPA yang ada (t)

△LCmk = Tingkat ekspansi kapasitas untuk TPA dengan pilihan

m dalam periode k(t)

Mijkh = Jumlah yang memungkinkan aliran limbah tingkat Xijk adalah melebihi ketika tingkat generasi limbah wjkh de-ngan probabilitas pjh

(38)

25

OPik = Biaya operasional dari fasilitas i untuk aliran limbah diizinkan selama periodek($/t)

Pjh = Probabilitas bahwaW Gjk mengambilwjkhnilai di kabu-patenj dengan tingkat limbah generasih.

REik = Pendapatan dari fasilitas i selama periode k($/t), i = 2,3, ...u

RMik = Pendapatan dari fasilitas ikarena limbah kelebihan ali-ran selama periode k($/t) (tahap kedua parameter bi-aya),i= 2,3, ...u

T Ci = Kapasitas yang ada fasilitasi(t/d), i= 2,3, ...u

△T Cimk = Tingkat pilihan ekspansi kapasitas fasilitasi pada awal periodek(t/d), iu= 2,3, ...

T Rijk = Biaya transportasi untuk aliran limbah diizinkan dari kabupaten j ke fasilitas i selama periode k($/t) (tahap pertama parameter biaya)

wjkh = Jumlah sampah yang dihasilkan di kabupatenj dengan probabilitas tingkath di periode k

W Gjk = Variabel acak tingkat generasi limbah di kabupaten j selama periode k(t/d)

Xijk = Diperbolehkan limbah mengalir dari kabupaten j ke fasilitas selama periodek(t/d) (tahap pertama variabel)

Xijkmax = Maksimum Diperbolehkan limbah mengalir dari kabu-patenj ke fasilitasi selama periode k(t/d)

Ymk = Variabel keputusan biner untuk perluasan TPA dengan pilihanm pada awal periode k.

(39)

BAB 5

KESIMPULAN

Model interval-parameter stokastik integer programming campuran dua ta-hap (ITMILP) telah dikembangkan untuk pengelolaan limbah dengan adanya ketidakpastian. ITMILP merupakan gabungan dari dua tahap yaitu pemrogra-man stokastik (ITSP) dan mixed integer linear programming (MILP). Metode ini langsung dapat mencerminkan ketidakpastian, tetapi dapat juga digunakan untuk menguji berbagai skenario kebijakan. Selain itu, metode ini dapat memfasilitasi penyediaan lahan dan keputusan perencanaan fasilitas.

(40)

DAFTAR PUSTAKA

Anderson, L.E.(1968), A mathematical model for the optimization of a waste man-agement system. SERL Report No.68-1, Sanitary Engineering Research Lab-oratory, University of California, Berkeley, CA.

Baetz, B.W.(1990), Capacity planning for waste management systems.Civil Eng. Syst., 7, 229-235.

Birge, J.R.(1988) and Louveaux, F.V., A multicut algorithm for two-stage stochas-tic linear programs. Eur. J. Oper. Res.,34, 384-392.

Chanas, S. and Zielinski, P.(2000), On the equivalence of two optimization methods for fuzzy linear programming problems. Eur. J. Oper. Res.,121, 56-63. Chang, N-B. and Lu, H.Y.(1997), A new approach for long-term planning of

sol-id waste management system using fuzzy global criterion. J. Environ. Sci. Health A, 32, 1025-1047.

Chang, N-B. andWang, S.F.(1994),A location model for the site selection of solid waste management facilities with traffic congestion constraints. Civil Eng. Syst.,11, 287-306.

Chang, N-B. andWang, S.F.(1995), Solidwaste management system analysis by multi-objective mixed integer programming model.J. Environ. Manage.,48, 17-43.

Chang, N-B. and Wang, S.F.(1997), A fuzzy goal programming approach for the optimal planning of metropolitan solid waste management systems. J. Oper. Res., 32, 303-321.

Chang, N.B., Chen, Y.L. and Wang, S.F.(1997), A fuzzy interval multiobjective mixed integer programming approach for the optimal planning of solid waste management systems. Fuzzy Sets Syst., 89, 35-59.

Dantzig, G. B. (1956). Recent Advances in Linear Programming, Management Sci. 2, 131-144

Efimov, V. M. (1970). Optimal Estimations under Uncertainty, Econ. Math. Me-thods, 6, No. 3.

Eisner, M. J., Kaplan, R. S., dan Soden, J. V. 1971. Admissible Rules for the E-Model of Chance-Constrained Programming, Management Sci., No. 17. Ermolyev, J. M. (1970). Stochastic Quasi-Gradient Methods And Applications,

Ph.D. in the Institute of Cybernetics Ukrainian S.S.R. Academy of Science, Kiec.

(41)

28

Huang, G.H. and Loucks, D.P.(2000),An inexact two-stage stochastic programming model for water resources management under uncertainty.Civil Eng. Environ. Syst., 17, 95-118.

Huang, G.H., Baetz, B.W. and Patry, G.G.(1992), An interval linear programming approach for municipal solid waste management planning under uncertainty. Civil Eng. Syst.,9, 319-335.

Huang, G.H., Baetz, B.W. and Patry, G.G.(1993), A grey fuzzy linear program-ming approach for municipal solid waste management planning under uncer-tainty. Civil Eng. Syst., 10, 123-146.

Huang, G.H., Baetz, B.W. and Patry, G.G.(1995), Grey integer programming: an application to waste management planning under uncertainty.Eur. J. Oper. Res.,83, 594-620.

Huang, G.H., Baetz, B.W. and Patry, G.G.(1995), Grey fuzzy integer program-ming: an application to regional waste management planning under uncer-tainty. Socio-Econ. Plan. Sci., 29, 17-38.

Huang, G.H., Baetz, B.W., Patry, G.G. and Terluk,V.(1997), Capacity planning for an integrated waste management system under uncertainty: a north Ameri-can case study. Waste Manage. Res., 15, 523-546.

Huang, G.H., Sae-Lim, N., Liu, L. and Chen, Z.(2001), An interval-parameter fuzzy-stochastic programming approach for municipal solid waste manage-ment and planning. Environ. Model. Assess., 6, 271-283.

Jamshidian, F, and Y. Zhu. (1997). Scenario Simulation: Theory and Methodology, Finance and Stochastics, pp. 43-67.

Judin, D. B. (1974). Duality is Stochastic Programming Dynamic Problems, Tech-nologi. Cybernetics. No. 6.Kirca, J. and Erkip, N., Selecting transfer station locations for large solid waste systems. Eur. J. Oper. Res.,38, 339-349. Kall, P. (1966). Qualitative Aussagen Zu einigen Problemen der stochastischen

Programmierung, Z. Wahrscheinlichkeitstheorie und verw. Gebiete. 6, 246-272.

Li, Y.P., Huang, G.H.(2006), An Interval-Parameter Two-Stage Stochastic Integer Programming Model For Environmental Systems Planning Under Uncertain-ty. Engineering Optimization, Vol. 38, No. 4. 461-483.

Luo, B., Maqsood, I.,Yin,Y.Y., Huang, G.H. and Cohen, S.J.(2003), Adaption to climate change through water trading under uncertainty - an inexact two-stage nonlinear programming approach. J. Environ. Inform., 2(2), 58-68. Maqsood, I. and Huang, G.H.(2003), A two-stage interval-stochastic programming

(42)

29

Mawengkang, H., Suwilo, S., Sitompul, O.S. (2006), Metode Pencarian Langsung Berbasis Kendala untuk Menyelesaikan Problema Program Stokastik Cacah Campuran Tahap Ganda. Universitas Sumatera Utara, 8-11.

Mobasheri, F. and Harboe, R.C.(1970), A two-stage optimization model for design of a multipurpose reservoir.Water Resources Res., 6(1), 22-31.

Pereira, M.V.F. and Pinto, L.M.V.G.(1991), Multi-stage stochastic optimization applied to energy planning. Math. Program.,52, 359-375.

Ruszczynski, A.(1993), Parallel decomposition of multistage stochastic program-ming problems. Math. Program.,58, 201-228.

Ruszczynski, A. and Swietanowski, A.(1997), Accelerating the regularized decom-position method for two-stage stochastic linear problems. Eur. J. Operat. Res.,101, 328-342.

Schultz, R., Stougie, L. andVander Vlerk, M.H.(1996), Two-stage stochastic integer programming: a survey. Stat. Neerland., 50(3), 404-416.

Seifi, A. and Hipel, K.W.(2001), Interior-point method for reservoir operation with stochastic inflows. J. Water Resources Plan. Manage., 127(1), 48-57.

Thomas, B., Tamblyn, D. and Baetz, B.W.(1990), Expert systems in municipal solid waste management planning. J. Urban Plan. Dev., 116, 150-155. Wilson, D.C.(1985), Long term planning for solid waste planning.Waste Manage.

Res.,3, 203-216.

Yeomans, J.S. and Huang, G.H.(2003), An evolutionary grey, hop, skip, and jump approach: Generating alternative policies for the expansion of waste man-agement. J. Environ. Inform., 1, 37-51.

Yeomans, J.S., Huang, G.H. and Yoogalingam, R.(2003), Combining simulation with evolutionary algorithms for optimal planning under uncertainty: an application to municipal solid waste management planning in the Regional Municipality of Hamilton-Wentworth. J. Environ. Inform.,2(1), 11-30. Zhu, Z. and Revelle, C.(1993), A cost allocation method for facilities siting with