BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Matematika dasar II merupakan matakuliah lanjutan dari matematika dasar I yang telah dipelajari pada semester sebelumnya. Matematika dasar II juga merupakan matakuliah pengantar bagi beberapa jurusan yang akan mempelajari mengenai matematika terapan misalnya Fakultas Teknik. Jika awalnya dari matematika dasar mahasiswa sulit untuk memahaminya maka pada matematika terapan mahasiswa juga akan mengalami kesulitan.
Proses perkuliahan di kampus sangatlah minim, karena waktu yang tidak cukup dan banyak mahasiswa yang malas masuk kuliah. Sehingga mahasiswa sangat di tuntut untuk memiliki keterampilan didalam mempelajari sendiri semua materi yang dipelajari. Dengan didukungnya sistem perkuliahan SCL maka mahasiswa sangat dituntut aktif dalam perkuliahan maupun aktif mencari bahan materi yang akan di pelajari.
Makalah ini merupakan salah satu syarat didalam mengikuti atau melakuakan diskusi dalam perkuliahan. Sehingga pemahaman terhadap bahan kuliah menjadi maksimal.
B. Tujuan
1. Menjelaskan pengunaan aturan rantai;
2. Menjelaskan penyelesaian turunan parsial fungsi implisit; 3. Menjelaskan penyelesaian diferensial total.
C. Manfaat
1. Mahasiswa dapat memahami penyelesaian turunan dengan aturan rantai baik itu dua variabel maupun banyak variabel;
2. Mahasiswa dapat memahami penyelesaian turunan parsial fungsi implisit dua variabel atau lebih;
3. Mahasiswa dapat memahami penyelesaian diferensian total dua variabel atau lebih.
BAB II
PEMBAHASAN
A. Aturan Rantai
Aturan rantai merupakan suatu aturan yang digunakan untuk mencari Turunan fungsi komposisi .
1. Aturan rantai dua variabel
Misalkan u adalah fungsi dua peubah dari x dan y yang terdiferensial, didefinisikan melalui persamaan u= f(x,y) , x= F(r,s) dan y= G(r,s) serta turunan – turunan parsial dx/dr, dx/ds, dy/dr, dy/dr semuanya ada, maka u adalah fungsi dari r dan s maka diperoleh rumus aturan rantai yaitu:
𝑑𝑢 𝑑𝑟
=
𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑟+
𝑑𝑢 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑟𝑑𝑢 𝑑𝑠
=
𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑠+
𝑑𝑢 𝑑𝑦𝑑𝑦 𝑑𝑠
Contoh:
Diketahui u= x2+ y2 ; x= re s ; dan y= re –s Maka tentukanlah: 𝑑𝑢 𝑑𝑥,
𝑑𝑢 𝑑𝑦,
𝑑𝑥 𝑑𝑟,
𝑑𝑥 𝑑𝑠,
𝑑𝑦 𝑑𝑟,
𝑑𝑦 𝑑𝑠,
𝑑𝑢 𝑑𝑟, dan
𝑑𝑢 𝑑𝑠Jawab:
𝑑𝑢 𝑑𝑥= 2x
𝑑𝑢 𝑑𝑦= 2y
𝑑𝑥 𝑑𝑟= e
s 𝑑𝑦 𝑑𝑟= e
-s 𝑑𝑥 𝑑𝑠= re
s 𝑑𝑦 𝑑𝑠= - re
-s 𝑑𝑢 𝑑𝑟=
𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑟+
𝑑𝑢 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑟 =( 2x)(es) + (2y)( e-s) = 2xes + 2ye-s
𝑑𝑢 𝑑𝑠
=
𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑠+
𝑑𝑢 𝑑𝑦𝑑𝑦 𝑑𝑠 =(2x)( re s
2. Aturan rantai tiga variabel
Jika x=x(t) , y=y(t), dan z=z(t) fungsi yang differensiabel di t, dan w=f(x,y,z) diferensiabel di titik (x(t), y(t), z(t)), maka w=f(x(t),y(t),z(t)) differensiabel di t, dan
Contoh:
Jika diketahui U= 3x2 + 5y2 + 2z2 dengan x= 3s2 + 2t , y= 4s- 2t3, z= 2s2 – 3s2 Maka tentukanlah 𝑑𝑢 𝑑𝑠 dan 𝑑𝑢 𝑑𝑡 Jawab: 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 6𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑦 = 10𝑦 𝑑𝑢 𝑑𝑧 = 4𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑠 = 6𝑠 𝑑𝑦 𝑑𝑠 = 4 𝑑𝑧 𝑑𝑠 = 4𝑠 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 2 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = −6𝑡 2 𝑑𝑧𝑑𝑡 = −6𝑡 𝑑𝑢 𝑑𝑠 = 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑠+ 𝑑𝑢 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑠+ 𝑑𝑢 𝑑𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑠= 6𝑥 6𝑠 + 10𝑦 4 + 4𝑧 4𝑠 = 36𝑥𝑠 + 40𝑦 + 16𝑧𝑠 = 𝑠4 9𝑥 + 4𝑧 + 40𝑦 𝑑𝑢 𝑑𝑡 = 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑡 + 𝑑𝑢 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑡 + 𝑑𝑢 𝑑𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑡 = 6𝑥 2 + 10𝑦 (−6𝑡 2 ) + (4Z)(-6t) = 8𝑥 − 60𝑦𝑡2−24𝑧𝑡 = 8𝑥 − 10𝑦𝑡 + 4𝑧 6𝑡
3. Aturan rantai n variabel
Misalkan u adalah fungsi terdiferensian dari n peubah x1 , x2 , …… xn; sedangkan masing – masing peubah x1 adalah fungsi dari m peubah y1 , y2 , ….. ym . Jika semua turunan parsial 𝑑𝑦𝑗𝑑𝑥𝑖 (𝑖 = 1,2, 𝐾, 𝑛; 𝑗 = 1,2, 𝐾, 𝑚) ada, maka u adalah fungsi dari y1 , y2 , ….. ym . jadi dapat kita peroleh rumus berikut:
𝑑𝑦 1𝑑𝑢 =𝑑𝑥1𝑑𝑢 𝑑𝑥1𝑑𝑦 1+𝑑𝑥2𝑑𝑢 𝑑𝑦 1𝑑𝑥2+ ⋯ +𝑑𝑥𝑛𝑑𝑢 𝑑𝑥𝑛𝑑𝑦 1 𝑑𝑢 𝑑𝑦2= 𝑑𝑢 𝑑𝑥1 𝑑𝑥1 𝑑𝑦2+ 𝑑𝑢 𝑑𝑥2 𝑑𝑥2 𝑑𝑦2+ ⋯ + 𝑑𝑢 𝑑𝑥𝑛 𝑑𝑥𝑛 𝑑𝑦2 ………. dt dz z w dt dy y w dt dx x w dt dw
𝑑𝑢 𝑑𝑦𝑚= 𝑑𝑢 𝑑𝑥1 𝑑𝑥1 𝑑𝑦𝑚+ 𝑑𝑢 𝑑𝑥2 𝑑𝑥2 𝑑𝑦𝑚+ ⋯ + 𝑑𝑢 𝑑𝑥𝑛 𝑑𝑥𝑛 𝑑𝑦𝑚
B. Turunan Parsial Fungsi Implisit
1. Turunan fungsi implisit dua variabel
Hasil ini digunakan untuk mencari turunan fungsi implisit. Andaikan F(x,y)=0, dimana y fungsi implisit dari x, sehingga bisa dicari 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝐹𝑑𝑥 +𝑑𝐹𝑑𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥 = 0 atau
asalkan 𝑑𝐹𝑑𝑦 ≠ 0 Contoh: Diketahui x3 + y2 x- 3= 0 tentukan 𝑑𝑦𝑑𝑥 ..! Jawab: 𝑑 𝑑𝑥(x 3 + y2 x- 3)= 𝑑0𝑑𝑥 3x2 + 2xy𝑑𝑦𝑑𝑥 + y2 = 0 2xy𝑑𝑦𝑑𝑥 = - 3x2 - y2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =(- 3x 2 - y2) / 2xy 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = - (3x 2 + y2)/2xy
2. Turunan fungsi implisit tiga variabel
Jika F(x,y,z)=0 fungsi implisit, fungsi dua variabel x dan y differensiabel sedemikian hingga z=f(x,y), untuk setiap x,y dalam domain fungsi, maka
Contoh:
Tentukan 𝑑𝑥𝑑𝑧 𝑑𝑎𝑛𝑑𝑦𝑑𝑧 dari fungsi implisit xy – z2 + 2xyz = 0 Jawab: y F x F dx dy ) , , ( ) , , ( z y x F z y x F x z z x ) , , ( ) , , ( z y x F z y x F y z z y
a. 𝑑𝑥𝑑 (xy – z2 + 2xyz) =𝑑0𝑑𝑥 c. 𝑑𝑧𝑑 (xy – z2 + 2xyz) = 𝑑𝑜𝑑𝑧 = 2xy – 2z Y+ 2yz
b. 𝑑𝑦𝑑 (xy – z2 + 2xyz) = 𝑑𝑦𝑑0 = x + 2xz
Jadi 𝑑𝑧𝑑𝑥 = −2𝑥𝑦 −2𝑧𝑦+2𝑦𝑧 𝑑𝑎𝑛𝑑𝑧𝑑𝑦 = −2𝑥𝑦 −2𝑧𝑥+2𝑥𝑧
Contoh:
Misalkan f(x,y,z) = x3 ey+z – ysin (x-z)=0 maka tentukan 𝑑𝑧𝑑𝑥 Jawab: 𝑑 𝑑𝑥(x 3 ey+z – ysin (x-z))=𝑑0 𝑑𝑥 = 3x2 ey+z – ycos (x-z) 𝑑 𝑑𝑧(x 3 ey+z – ysin (x-z))=𝑑0𝑑𝑧 = x3 ey+z + ycos (x-z)
Jadi 𝑑𝑧𝑑𝑥 = −(3x2 ey+z – ycos (x-z))/ x3 ey+z + ycos (x-z)
3. Turunan fungsi implisit empat variabel
Jika F(x,y,z,w)=0 fungsi implisit, fungsi tiga variabel x, y dan z diferensiabel sedemikian hingga w=f(x,y,z), untuk setiap x,y dan z dalam domain fungsi, maka
Contoh: Tentukan 𝑑𝑤 𝑑𝑥 , 𝑑𝑤 𝑑𝑦 , 𝑑𝑎𝑛 𝑑𝑤
𝑑𝑧 dari fungsi implisit 2x 2 w + 3y2z + zwyx + w2 = 0 Jawab: ) , , , ( ) , , , ( w z y x F w z y x F x w w x ) , , , ( ) , , , ( w z y x F w z y x F y w w y ) , , , ( ) , , , ( w z y x F w z y x F z w w z
𝑑 𝑑𝑥 (2x 2 w + 3y2z + zwyx + w2)= 𝑑𝑜𝑑𝑥 = 4𝑥𝑤 + 𝑧𝑤𝑦 𝑑 𝑑𝑦(2x 2 w + 3y2z + zwyx + w2) = 𝑑𝑜𝑑𝑥 = 6𝑦𝑧 + 𝑧𝑤𝑥 𝑑 𝑑𝑧(2x 2 w + 3y2z + zwyx + w2)= 𝑑0𝑑𝑧 = 3y2 + wyx 𝑑 𝑑𝑤(2x 2 w + 3y2z + zwyx + w2)= 𝑑𝑤𝑑0 = 2x2 + zyx +2w Jadi: 𝑑𝑤 𝑑𝑥= − (4𝑥𝑤 + 𝑧𝑤𝑦) / 2x 2 + zyx +2w 𝑑𝑤 𝑑𝑦= − (6𝑦𝑧 + 𝑧𝑤𝑥)/ 2x 2 + zyx +2w 𝑑𝑤 𝑑𝑧= - ( 3y 2 + wyx)/2x2 + zyx +2w
C. Diferensial Total
1. Diferensial total dua variabel
Misalkan z= f(x,y), dengan f suatu fungsi yang terdeferensial, dan andaikan dx dan dy disebut diferensial dari x dan y. diferensial dari peubah tak bebas dz disebut juga diferensial total dari f dan ditulis df(x,y), maka dapat didefenisikan sebagai berikut:
𝑑𝑧 = 𝑑𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 Contoh:
1). Misalkan z = x2y2 + x3 +y3x maka tentukanlah diferensial totalnya. Jawab
𝑑𝑧 = 𝑑𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = (2xy2 + 3x2 + y3 ) dx + (2x2y +3y2x)dy
2). Tentukan diferensial total untuk z= e- ½ (x + Y) Jawab:
𝑑𝑧 = 𝑑𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = ( - ½ e – ½ (x + y ))dx + (-1/2 e-1/2( x + y ))dy
2. Diferensia total tiga variabel
Misalkan fungsi w = f(x,y,z) adalah fungsi tiga peubah, maka diferensia total dari f dinyatakan dalam bentuk
𝑑𝑤 =𝜕𝑤 𝜕𝑥𝑑𝑥 + 𝜕𝑤 𝜕𝑦𝑑𝑦 + 𝜕𝑤 𝜕𝑧 𝑑𝑧 Contoh:
1). Carilah diferensial total dari w= 2x2 y + y2 x z +xz2 Jawab: 𝑑𝑤 =𝜕𝑤 𝜕𝑥𝑑𝑥 + 𝜕𝑤 𝜕𝑦𝑑𝑦 + 𝜕𝑤 𝜕𝑧 𝑑𝑧 = (4xy +y2z +z2)dx + (2x2 + 2yxz) dy + (y2x + 2 xz) dz 2). Suatu balok mempunyai panjang 20 cm dengan kesalahan pengukuran 0,01 cm , lebar 15 cm dengan kesalahan pengukuran 0,02 cm dan tinggi 10 cm dengan kesalahan pengukuran 0,01 cm. tentukanlah nilai pendekatan kesalahan pengukuran terbesar dari volume balok serta tentukan kesalahan relatifnya dalam persentase!
Jawab:
Misalkan panjang balok = x, lebar = y, dan tinggi = z, maka volume balok = x y z. nilai kesalahan sesungguhnya adalah ∆𝑉 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑑𝑉 sebagai nilai pendekatan untuk ∆𝑉. Jadi 𝑑𝑉 =𝜕𝑉 𝜕𝑥𝑑𝑥 + 𝜕𝑉 𝜕𝑦𝑑𝑦 + 𝜕𝑉 𝜕𝑧𝑑𝑧 = 𝑦𝑧 𝑑𝑥 + 𝑥𝑧 𝑑𝑦 + 𝑥𝑦 𝑑𝑧
Diketahui ∆𝑥 = 0,01 , ∆𝑦 = 0,02 𝑑𝑎𝑛 ∆𝑧 = 0,01 jadi kesalahan pengukuran pada panjang balok dx = 0,01 lebar dy= 0,02 dan tinggi =0,01. Jadi
𝑑𝑉 = 𝑦𝑧 𝑑𝑥 + 𝑥𝑧 𝑑𝑦 + 𝑥𝑦 𝑑𝑧
= 15 10 0,01 + 20 10 0,02 + 20 15 0,01 = 1,5 + 4 + 3
= 8,5 𝑐𝑚
Jadi ∆𝑉 ≅ 8,5 𝑐𝑚3 artinya kesalahan terbesar yang mungkin terjadi pada pengukuran volume balok adalah 8,5 cm3. Kemudian diketahui:
𝑉 = 𝑥𝑦𝑧 = 20 15 10 = 3000 𝑐𝑚3
∆𝑉
𝑉 100% = 8,5
3000100% = 0,0028 x 100% = 0,28%
3. Diferensial total n variable
Jika z = f( x1 , x2,…. xn ) maka 𝑑𝑧 = 𝜕𝑓 𝜕𝑥1 𝑑𝑥1+ 𝜕𝑓 𝜕𝑥2 𝑑𝑥2+ … . + 𝜕𝑓 𝜕𝑥𝑛 𝑑𝑥𝑛 Jika f(x1 , x2,…. xn ) = c maka df = 0,
BAB III
PENUTUP
A. Kesimpulan
1. Aturan rantai
Aturan rantai dua variabel 𝑑𝑢 𝑑𝑟 = 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑟 + 𝑑𝑢 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑟 𝑑𝑢 𝑑𝑠 = 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑠 + 𝑑𝑢 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑠
Aturan rantai tiga variabel
Aturan rantai n variabel
𝑑𝑦 1𝑑𝑢 =𝑑𝑥1𝑑𝑢 𝑑𝑥1𝑑𝑦 1+𝑑𝑥2𝑑𝑢 𝑑𝑥2𝑑𝑦 1+ ⋯ +𝑑𝑥𝑛𝑑𝑢 𝑑𝑥𝑛𝑑𝑦 1 𝑑𝑢 𝑑𝑦2= 𝑑𝑢 𝑑𝑥1 𝑑𝑥1 𝑑𝑦2+ 𝑑𝑢 𝑑𝑥2 𝑑𝑥2 𝑑𝑦2+ ⋯ + 𝑑𝑢 𝑑𝑥𝑛 𝑑𝑥𝑛 𝑑𝑦2 ………. 𝑑𝑢 𝑑𝑦𝑚= 𝑑𝑢 𝑑𝑥1 𝑑𝑥1 𝑑𝑦𝑚+ 𝑑𝑢 𝑑𝑥2 𝑑𝑥2 𝑑𝑦𝑚+ ⋯ + 𝑑𝑢 𝑑𝑥𝑛 𝑑𝑥𝑛 𝑑𝑦𝑚
2. Turunan Parsial Fungsi Implisit
D. Turunan fungsi implisit dua variable
E. Turunan fungsi implisit tiga variable
F. Turunan fungsi implisit empat variable
3.Diferensial total
Diferensial total dua variabel
𝑑𝑧 = 𝑑𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦
Diferensia total tiga variabel 𝑑𝑤 =𝜕𝑤 𝜕𝑥𝑑𝑥 + 𝜕𝑤 𝜕𝑦𝑑𝑦 + 𝜕𝑤 𝜕𝑧 𝑑𝑧 dt dz z w dt dy y w dt dx x w dt dw y F x F dx dy ) , , ( ) , , ( z y x F z y x F x z z x ) , , ( ) , , ( z y x F z y x F y z z y ) , , , ( ) , , , ( w z y x F w z y x F x w w x ) , , , ( ) , , , ( w z y x F w z y x F y w w y ) , , , ( ) , , , ( w z y x F w z y x F z w w z
Diferensial total n variable 𝑑𝑧 = 𝜕𝑓 𝜕𝑥1 𝑑𝑥1+ 𝜕𝑓 𝜕𝑥2 𝑑𝑥2+ … . + 𝜕𝑓 𝜕𝑥𝑛𝑑𝑥𝑛 B. Saran
Saran dari kelompok kami buat Dosen, agar kiranya mengajarkan kembali dasar – dasar materi yang ada dalam makalah ini, karena masih banyak mahasiswa yang belum memahami dasar – dasar yang mestinya diketahui sebelum mempelajari makalah ini. Sehingga sulit buat mahasiswa yang lain menguasai materi yang ada dalam makalah ini.
Saran buat teman – teman mahasiswa, supaya kiranya lebih banyak belajar sendiri mengenai isi makalah ini karena waktu yang kita gunakan tidak akan cukup untuk kita menguasai seluruh isi makalah ini. Dan juga di saat proses perkuliahan berlangsung kiranya teman – teman memperhatikan dengan sungguh –sungguh agar apa yang kita pelajari saat itu bisa kita pahami secara maksimal.
DAFTAR PUSTAKA
Team dosen matematika. 2010. Matematika dasar II. Makassar: Unhas.
http://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulus_diferensial.html http://www.mascipul.com/2009/11/free-download-materi-kalkulus-materi-matematika.html http://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulus.html http://www.mediafire.com/?2y5izytydnq http://www.mediafire.com/?zzk1qmdwx1y
