Suplemen Responsi Pertemuan
ANALISIS DATA KATEGORIK (STK351)
7
Departemen Statistika – FMIPA IPB
Pokok Bahasan Sub Pokok Bahasan Referensi Waktu
Korelasi Peringkat (Rank
Correlation)
Bag. 1
Koefisien Korelasi Peringkat Spearman dan Ujinya Koefisien Korelasi Peringkat
Tau-Kendall dan Ujinya Koefisien Konkordansi Kendall
Applied Nonparametric Statistic Daniel (1990) Jumat 26 Nov 2010 15.30 – 16.30
Salah satu pertanyaan yang umum diajukan dalam sebuah studi atau penelitian adalah apakah dua atau lebih peubah saling berhubungan atau saling bebas. Pada Bab 5, telah dibahas asosiasi antarpeubah kategori (nominal dan ordinal) yang diuji dengan menggunakan uji khi-kuadrat. Pada kesempatan tersebut, pertanyaan apakah dua peubah saling berhubungan atau saling bebas dapat terjawab, namun ukuran keeratan hubungannya belum dapat dijelaskan. Bab ini membahas dua aspek analisis asosiasi, yaitu apakah peubah saling berhubungan (berasosiasi) dan berapa erat hubungan itu.
Ukuran keeratan hubungan antar dua peubah yang sering digunakan adalah koefisien korelasi Pearson, r. Koefisien korelasi Pearson antara X dan Y, rxy adalah :
1 2 2 1 1 ( )( ) ( ) ( ) n i i i xy n n i i i i X X Y Y r X X Y Y
rxy merupakan koefisien korelasi contoh yang dipat digunakan untuk menduga koefisien
korelasi populasi, xy.
Beberapa karakteristik koefisien korelasi Pearson antara lain adalah sebagai berikut : (1) Jika nilai X besar berpasangan dengan nilai Y besar (dan sebaliknya nilai X kecil berpasangan dengan nilai Y kecil), koefisien korelasi pearson akan positif dan mendekati 1. Hubungan seperti ini disebut sebagai hubungan searah (direct relationship); (2) Jika nilai X kecil berpasangan dengan nilai Y besar (dan sebaliknya nilai X besar berpasangan dengan nilai Y kecil), koefisien korelasi pearson akan negatif dan mendekati –1. Hubungan seperti ini disebut sebagai hubungan berkebalikan (inverse relationship); (3) Jika nilai X besar berpasangan dengan nilai Y besar dan juga nilai Y kecil, koefisien korelasi pearson akan mendekati nol. Pada kondisi ini dapat dikatakan bahwa X dan Y tidak berhubungan atau saling bebas; (4) Nilai korelasi berkisar antara –1 dan +1.
Pengujian ataupun inferensia statistik tentang r dapat digunakan apabila contoh berasal dari populasi yang menyebar bivariat normal. Jika tidak, diperlukan prosedur korelasi atau asosiasi nonparameterik – seperti yang akan kita pelajari pada kesempatan ini. Beberapa yang akan dipelajari adalah koefisien korelasi peringkat Spearman, Tau-Kendall, koefisien konkordansi Kendall, korelasi peringkat parsial dan lain-lain.
2 / 9
Koefisien Korelasi Peringkat Spearman, r
sUkuran asosiasi yang sering digunakan adalah koefisien korelasi peringkat Spearman (Spearman rank correlation coefficient) yang diperkenalkan oleh Spearman (1904).
Asumsi
a. Data terdiri dari contoh acak sebanyak n pasang pengamatan, dapat berupa numeric maupun non-numerik.
b. Setiap pengamatan berpasangan menggambarkan dua pengukuran yang diambil dari objek yang sama, disebut unit asosiasi.
Hipotesis
a. H0 : X dan Ysaling bebas (s = 0)
H1 : X dan Y memiliki hubungan searah atau berkebalikan (s ≠ 0)
b. H0 : X dan Ysaling bebas (s = 0)
H1 : X dan Y memiliki hubungan searah (s > 0)
c. H0 : X dan Ysaling bebas (s = 0)
H1 : X dan Y memiliki hubungan berkebalikan (s < 0)
Statistik Uji
Prosedur untuk menghitung statistik uji korelasi peringkat Spearman antara peubah X dan Y, rs, adalah sebagai berikut :
1. Urutkan nilai-nilai pengamatan peubah X dari yang paling kecil hingga paling besar. Peringkat untuk nilai ke-i ditulis sebagai R(Xi). Jika Xi adalah nilai terkecil pada
peubah X, maka R(Xi)=1.
2. Lakukan langkah 1) untuk peubah Y.
3. Jika ada beberapa nilai yang sama (ties)berikan peringkat tengah (mid-rank). 4. Statistik uji korelasi peringkat Spearman adalah :
2 2
6
1
(
1)
i sd
r
n n
dalam hal ini
2 2 1
(
)
( )
n i i i id
R X
R Y
Statistik uji rs merupakan koefisien korelasi peringkat Spearman yang mengukur
keeratan hubungan antara peringkat-peringkat pengamatan contoh.
Ties. Jika ada nilai yang sama (ties) baik pada peubah X maupun Y maka diberikan
peringkat tengah (mid-rank). Ties sangat kecil pengaruhnya terhadap nilai hitung rs,
kecuali dalam jumlah yang banyak. Ketika data mengandung ties, rs dapat dikoreksi jika
diinginkan. Jika tx dan ty adalah banyaknya pengamatan X dan Y yang ties dan misalkan
3 12 x x x t t T 3 2 12 x n n x T 3
12
y y yt
t
T
3 2 12 y n n y T 3 / 9
Jika koreksi terhadap ties diterapkan, maka statistik uji menjadi :
2 2 2 2 2
*
2
i sx
y
d
r
x
y
Kaidah KeputusanNilai kritis koefisien korelasi peringkat Spearman rs ditunjukkan pada Tabel A.21. Kaidah
keputusan untuk masing-masing hipotesis yang dituliskan di atas adalah :
a. Tolak H0 jika nilai mutlak statistik uji |rs| lebih besar dari nilai tabel untuk ukuran
contoh n dan taraf nyata α(2)
b. Tolak H0 jika nilai statistik uji rs lebih besar dari nilai tabel untuk ukuran contoh n
dan taraf nyata α(1)
c. Tolak H0 jika nilai statistik uji rs lebih kecil dari nilai tabel untuk ukuran contoh n dan
taraf nyata α(1).
Contoh besar. Jika contoh berukuran lebih dari 100, kita tidak dapat menggunakan
Tabel A.21 untuk menguji rs. Karenanya kita dapat menghitung :
1 s
zr n
yang menyebar normal baku.
Contoh :
Berikut ini adalah data jumlah kehadiran dalam kuliah, nilai tugas dan nilai ujian akhir. Hitung korelasi peringkat Spearman antara jumlah kehadiran dalam kuliah dan nilai ujian akhir. Uji apakah kedua peubah tersebut saling bebas!
Mahasiswa Kehadiran Nilai Ujian
A 13 53 B 12 42 C 15 70 D 15 69 E 10 32 F 13 76 G 15 73 H 13 45 I 16 58 J 16 45
Hipotesis : H0 : Kehadiran dalam kuliah dan nilai ujian akhir saling bebas
H1 : Kehadiran dalam kuliah dan nilai ujian akhir memiliki hubungan searah
atau berkebalikan
Statistik Uji : Untuk mendapatkan statistik uji atau koefisien korelasi peringkat Spearman, rs
4 / 9 Kehadiran (Xi) Nilai Ujian (Yi) R(Xi) R(Yi) di = R(Xi) - R(Yi) di2 A 13 53 4 5 –1 1 B 12 42 2 2 0 0 C 15 70 7 8 –1 1 D 15 69 7 7 0 0 E 10 32 1 1 0 0 F 13 76 4 10 –6 36 G 15 73 7 9 –2 4 H 13 45 4 3.5 0.5 0.25 I 16 58 9 6 3 9 J 16 45 10 3.5 6.5 42.25 2 93.5 i d
Dengan menggunakan rumus
2 2
6
1
(
1)
i sd
r
n n
diperoleh : 26(93.5)
1
1 0.567
0.433
10(10
1)
sr
Menurut tabel di atas, data kita mempunyai ties. Sehingga akan lebih baik jika rs dihitung ulang dengan mengakomodasi ties tersebut.
3 3 2 10 10 2 3 3 78.5 12 12 x 3 3 2 10 10 2 2 82 12 12 y
Sehingga dengan rumus
2 2 2 2 2
*
2
i sx
y
d
r
x
y
diperoleh :78.5 82 93.5
*
0.418
2 (78.5)(82)
sr
Keputusan : Berdasarkan Tabel A.21 untuk hipotesis dua arah n=10 dan α=0.05 diperoleh nilai kritis 0.648. Karena nilai rs (maupun rs*) lebih kecil dari nilai kritisnya, maka
hipotesis bahwa kehadiran dalam kuliah dan nilai ujian akhir saling bebas diterima.
Tau Kendall,
Salah satu ukuran keeratan hubungan antar dua peubah yang popular adalah Tau Kendall (dilambangkan dengan untuk populasi atau
untuk contoh). Seperti koefisien korelasi peringkat Spearman, Tau Kendall juga berdasarkan peringkat pengamatan dan nilainya berkisar pada selang –1 sampai dengan +1. Meskipun ada kesamaan antara
dengan rs, keduanya memiliki perbedaan dalam hal nilai sebagai akibat adanya perbedaan
dalam prosedur perhitungan. Perbedaan yang paling penting adalah bahwa
merupakan penduga tidak bias bagi parameter populasi sedangkan rs bukan.5 / 9
Statistik
didefinisikan sebagai peluang konkordan minus peluang diskordan. Pasangan pengamatan (Xi, Yi) dan (Xj, Yj) disebut konkordan apabila perbedaan antara Xi danXj mempunyai arah yang sama dengan Yi dan Yj. Dengan kata lain, dikatakan konkordan
apabila Xi > Xj dan Yi > Yj atau Xi < Xj dan Yi < Yj. Sebaliknya, apabila arah perbedaannya
tidak sama disebut diskordan. Sedangkan apabila Xi=Xj dan/atau Yi=Yj dikatakan
pengamatan tersebut tidak konkordan maupun diskordan.
Asumsi
a. Data terdiri dari contoh acak sebanyak n pasang pengamatan, dapat berupa numerik maupun non-numerik. Setiap pengamatan berpasangan menggambarkan dua pengukuran yang diambil dari objek yang sama, disebut unit asosiasi.
b. Skala pengukuran minimal ordinal sehingga data dapat diurutkan.
Hipotesis
a. H0 : X dan Ysaling bebas ( = 0)
H1 : ≠ 0
b. H0 : X dan Ysaling bebas
H1 : > 0
c. H0 : X dan Ysaling bebas
H1 : < 0 Statistik Uji
Statistik uji Tau Kendall, yang juga merupakan ukuran keeratan hubungan antar dua peubah adalah : ( 1) / 2 S n n
dalam hal ini n adalah banyaknya pasangan pengamatan (X, Y). Untuk mendapatkan nilai S, lakukan prosedur berikut :
1. Urutkan pasangan pengamatan (Xi, Yi) dari yang terkecil hingga terbesar
berdasarkan peubah X, sehingga X dikatakan dalam natural order.
2. Bandingkan setiap nilai Y dengan nilai Y yang ada di bawahnya. Satu pasang nilai Y dikatakan konkordan (natural order) apabila nilai Y yang di bawah lebih besar daripada nilai Y yang di atas. Jika sebaliknya, katakan bahwa pasangan nilai Y adalah diskordan (reverse natural order).
3. Nyatakan banyaknya Y yang konkordan sebagai P, dan diskordan sebagai Q. 4. S = P – Q
Ties. Jika ada nilai yang sama (ties) baik pada peubah X maupun Y direkomedasikan
untuk menghitung ulang nilai
dengan prosedur sebagai berikut : 1. Urutkan pengamatan secara ascending berdasarkan peubah X2. Dalam pengamatan X yang sama, urutkan pengamatan Y secara ascending.
3. Hitung banyaknya pasangan nilai Y yang konkordan dan banyaknya pasangan Y diskordan. Perhatikan, jangan bandingkan nilai-nilai Y yang berada pada X yang ties.
6 / 9
4. Jika terdapat banyak sekali ties, nilai
dapat dihitung kembali dengan rumus :1 1 2 2 * ( 1) x ( 1) y S n n T n n T
dalam hal ini :
1 2
(
1)
x x xT
t t
1 2 ( 1) y y y T t t xt
= banyaknya nilai pengamatan X yang tiesy
t = banyaknya nilai pengamatan Y yang ties
Kaidah Keputusan
Nilai kritis statistik Tau Kendall ditunjukkan pada Tabel A.22. Untuk setiap hipotesis yang relevan, untuk ukuran contoh n, H0 ditolak pada taraf nyata α apabila :
a. |
|
*( , /2)nb.
*( , )n
c.
*( , )nContoh besar. Untuk contoh berukuran besar, statistik uji yang digunakan adalah :
3 ( 1) 2(2 5) n n z n
yang menyebar normal baku.
Contoh :
Berikut ini adalah data tinggi (dalam cm) dan berat (dalam kg) badan beberapa mahasiswa dari suatu kelas. Hitung nilai Tau Kendall antara tinggi dan berat badan tersebut. Apakah dapat disimpulkan bahwa tinggi dan berat badan saling bebas!
Tinggi Berat Tinggi Berat
171 49 155 43 161 59 180 73 160 50 145 38 163 56 152 46 168 58 158 41 153 47 165 65 170 54 140 37 173 60 181 85
Hipotesis : H0 : Tinggi dan berat badan saling babas
H1 : ≠ 0
Statistik Uji : Untuk mendapatkan statistik uji atau nilai Tau Kendall dilakukan prosedur yang diringkas pada tabel sebagai berikut :
7 / 9
Tinggi
(Terurut) Berat
Pasangan Berat yang konkordan
Pasangan Berat yang diskordan 140 37 15 0 145 38 14 0 152 46 11 2 153 47 10 2 155 43 10 1 158 41 10 0 160 50 8 1 161 59 4 4 163 56 5 2 165 65 2 4 168 58 3 2 170 54 3 1 171 49 3 0 173 60 2 0 180 73 1 0 181 85 0 0 P = 101 Q = 19
Dari tabel di atas diperoleh S = P – Q = 101 – 19 = 82. Untuk n = 16, dapat dihitung :
82 0.683 16(16 1) / 2
Untuk n=16, α=0.05, dari Tabel A.22 diperoleh *(n,α/2)=0.383, sehingga cukup bukti
untuk menyatakan ada korelasi antara tinggi dan berat badan.
Koefisien Konkordansi Kendall, W
Pada suatu kesempatan kita barangkali memperingkatkan sebuah kelompok yang terdiri dari k objek atau individu berdasarkan b karakteristik. Selanjutnya kita ingin mengukur keeratan hubungan di antara b peringkat tersebut. Sebagai contoh, 10 mahasiswa diurutkan berdasarkan perolehan nilai UAS pada semester tertentu yang terdiri dari lima mata kuliah. Selanjutnya kita dapat menguji apakah di antara enam mata kuliah tersebut ada hubungan yang nyata atau tidak. Untuk tujuan tersebut kita dapat menggunakan koefisien konkordansi Kendall W.
Asumsi
a. Data terdiri dari b kelompok pengukuran atau pengamatan pada k objek secara lengkap.
b. Skala pengukuran minimal ordinal
c. Data dapat diurutkan atau dapat dikonversi kedalam data urutan.
Hipotesis
H0 : Tidak ada asosiasi antar karakteristik
8 / 9
Statistik Uji
Koefisien konkordansi Kendall dapat dihitung dengan rumus :
2 2 2 1 2 2 12 3 ( 1) ( 1) k j Rj b k k W b k k
Dalam hal ini, b adalah banyaknya karakteristik (gugus peringkat), k adalah banyaknya pengamatan dan Rj adalah jumlah peringkat untuk objek atau individu ke-j.
Jika terjadi ties, W dapat dikoreksi dengan cara mengganti penyebut pada rumus di atas dengan
b k k
2(
2
1)
b t
(
3
1)
, dalam hal ini t adalah banyaknya ties.Kaidah Keputusan
Untuk b dan k kecil dapat menggunakan tabel koefisien konkordansi Kendall (A.14). Hipotesis nol ditolak jika p-value yang ditampilkan untuk W, b, dan k kurang dari taraf nyata α yang ditetapkan. Untuk b dan k yang tidak tercantum dalam tabel A.14, kita dapat menghitung
2
(
1)
X
b k
W
untuk kemudian dibandingkan dengan nilai pada tabel khi-kuadrat (A.11) dengan derajat bebas k – 1.
Contoh :
Berikut ini adalah nilai UAS 10 mahasiswa pada lima mata kuliah. Selidiki apakah ada asosisasi antar mata kuliah tersebut.
Mata Kuliah Mahasiswa
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Aljabar matriks 55 59 81 72 61 75 60 74 83 62 Pengantar peluang 80 62 88 73 82 85 70 75 91 65 Teori statistika I 60 73 74 62 72 70 63 80 87 68 Metode Penarikan Contoh 88 80 90 82 78 87 84 86 85 75 Perancangan Percobaan 78 80 79 72 81 73 77 74 76 75
Hipotesis : H0 : Lima mata kuliah tidak berasosiasi
H1 : Lima mata kuliah berasosisasi
Statistik Uji : Untuk mendapatkan nilai koefisien konkordansi Kendall, data nilai UAS di atas diurutkan untuk setiap mata kuliah. Hasil pengurutan adalah sebagai berikut :
Mata Kuliah Mahasiswa
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Aljabar matriks 1 2 9 6 4 8 3 7 10 5
Pengantar peluang 6 1 9 4 7 8 3 5 10 2
Teori statistika I 1 7 8 2 6 5 3 9 10 4
Metode Penarikan Contoh 9 3 10 4 2 8 5 7 6 1
Perancangan Percobaan 7 9 8 1 10 2 6 3 5 4
9 / 9
Sehingga koefisien konkordansi Kendall adalah :
2 2 2 2 2 2
12(24
16 ) 3(5 )(10)(10 1)
0.3987
(5 )(10)(10
1)
W
Karena untuk b=5 dan k=10 tidak tercantum dalam tabel A.14, maka digunakan hampiran khi-kuadrat :
2
5(10 1)(0.3987) 17.9455
X
Untuk derajat bebas 10 – 1 = 9 dan taraf nyata 0.05 diperoleh 2=16.919.
Dengan demikian, karena
X
2
2maka hipotesis nol ditolak dan simpulkan bahwa ada asosiasi yang nyata antar lima mata kuliah tersebut.E.O.F
