1.1. Latar Belakang dan Permasalahan
Matematika dibagi menjadi beberapa kelompok bidang ilmu, antara lain analisis, aljabar, dan statistika. Ruang barisan merupakan salah satu bagian yang ada di bidang analisis yang membahas tentang barisan. Barisan merupakan pemeta-an pada himpunpemeta-an semua bilpemeta-angpemeta-an asli. Himpunpemeta-an semua bilpemeta-angpemeta-an asli dinotasikpemeta-an dengan N. Jika range dari pemetaan tersebut berada di dalam himpunan bilang-an real, maka barisbilang-an tersebut merupakbilang-an barisbilang-an bilbilang-angbilang-an real. Himpunbilang-an semua bilangan real dinotasikan dengan R. Jika range dari pemetaan tersebut berada di da-lam himpunan bilangan kompleks, maka barisan tersebut merupakan barisan bilang-an kompleks. Himpunbilang-an semua bilbilang-angbilang-an kompleks dinotasikbilang-an dengbilang-an C. Rubilang-ang barisan merupakan kumpulan barisan dengan kriteria tertentu, misalkan terbatas. Contoh ruang barisan yaitu ruang l∞. Para ahli matematika khususnya di bidang
analisis telah menemukan ruang barisan selisih c0(4), c(4) dan l∞(4), yang
se-lanjutnya ruang barisan selisih tersebut diperluas menjadi ruang barisan c0(4m),
c(4m) dan l
∞(4m). Oleh para ahli matematika ruang barisan c0(4m), c(4m)
dan l∞(4m) diperluas menjadi ruang barisan selisih terboboti c0(4mv ), c(4mv ) dan
l∞(4mv ).
Topik mengenai ruang dual cukup menarik untuk dikaji, karena ruang dual merupakan salah satu konsep penting di dalam matematika analisis. Dual konti-nu ruang bernorma X adalah koleksi semua pemetaan linear kontikonti-nu dari X ke lapangannya dan dinotasikan X∗. Sifat di dalam X∗ dapat digunakan untuk me-lihat sifat di dalam X antara lain jika X∗ separabel maka X separabel. Dual K¨othe-Toeplitz suatu ruang vektor X, dinotasikan Xα, adalah Xα = {a = {a
k} :
P∞
k=1|akxk| < ∞, untuk setiap x ∈ X}. Dual K¨othe-Toeplitz mempunyai peranan
penting dalam representasi ruang linear dan karakteristik dari matriks transformasi
antara ruang barisan dengan ruang barisan.
Oleh karena itu penulis ingin melakukan penelitian tentang ruang barisan selisih terboboti c0(4mv ), c(4mv ) dan l∞(4mv ). dan beberapa sifat yang terkait
de-ngan ruang barisan tersebut serta menyajikannya dalam tulisan ini. Adapun batasan permasalahan yang akan diteliti adalah sebagai berikut :
1. Konsep ruang barisan selisih terboboti dan beberapa sifat yang berlaku pada ruang tersebut.
2. Dual K¨othe-Toeplitz pada ruang barisan selisih terboboti. 3. Relasi inklusi pada ruang barisan selisih terboboti.
1.2. Tujuan dan Manfaat Penelitian
Berdasarkan masalah yang telah dirumuskan pada Subbab 1.1, tujuan penu-lisan tesis ini adalah untuk memberikan pemahaman yang lebih baik tentang ruang barisan selisih terboboti. Penulisan kembali jurnal Et dan Esi (2000) yang dileng-kapi dengan contoh, serta pembuktian teorema, lemma dan proposisi secara lebih mendetail diharapkan mampu untuk memberikan pemahaman yang lebih mendalam terhadap jurnal tersebut. Pada jurnal Et dan Esi (2000) ruang barisan selisih diperlu-as menjadi ruang barisan selisih terboboti, selanjutnya dibahdiperlu-as beberapa sifat yang berlaku pada ruang barisan selisih terboboti, relasi inklusi dan dual K¨othe-Toeplitz pada ruang barisan selisih terboboti.
Pembahasan dual K¨othe-Toeplitz dan relasi inklusi pada ruang barisan seli-sih terboboti diharapkan dapat membantu mengembangkan ilmu di bidang matema-tika analisis yang berhubungan dengan ruang barisan dan dapat membantu memberi ide untuk memperluas ruang barisan selisih terboboti.
1.3. Tinjauan Pustaka
Konsep mengenai ruang barisan merupakan salah satu konsep yang dipela-jari dalam teori matematika analisis. Beberapa penjelasan dan konsep pada dasar
teori, diantaranya ruang bernorma, ruang metrik, dan ruang c0, c dan l∞
dipero-leh dari Maddox (1970). Penjelasan dan konsep pada ruang linear diperodipero-leh dari Royden (1988), sedangkan penjelasan dan konsep mengenai operator linear, dual kontinu dan proyeksi diperoleh dari Berberian (1961).
Kizmaz (1981) mendefinisikan 4xk = xk − xk+1, untuk setiap k ∈ N
sehingga diperoleh barisan selisih 4¯x = {4xk} = {xk − xk+1}. Konsep
baris-an selisih 4¯x selanjutnya digunakan untuk mendefinisikan ruang barisan selisih, khususnya ruang c(4), c0(4) dan l∞(4) dan beberapa sifat yang berkaitan.
Baris-an selisih 4¯x selanjutnya diperluas oleh Et dan Colak (1995) menjadi barisan se-lisih 4mx = {Pm
i=0(−1) i m
ixk+i} untuk setiap m ∈ N. Konsep barisan selisih
4mx = {Pm
i=0(−1)i mixk+i} selanjutnya digunakan untuk mendefinisikan ruang
barisan selisih, khususnya ruang c0(4m), c(4m) dan l∞(4m). Barisan selisih 4¯x
diperluas oleh Colak (1989) menggunakan ¯v = {vk} sebarang barisan bilangan real
tidak nol yang memenuhi lim inf |vk|
1
k = r dengan 0 < r 6 ∞ sehingga
dipero-leh barisan selisih 4v¯x = {4¯ ¯vxk} = {vkxk− vk+1xk+1}. Konsep barisan selisih
4v¯x selanjutnya digunakan untuk mendefinisikan ruang barisan selisih, khususnya¯
ruang c0(4¯v), c(4v¯) dan l∞(4¯v).
Oleh Et dan Esi (2000) barisan selisih yang didefinisikan Kizmaz (1981), Et dan Colak (1995), dan Colak (1989) diperluas menjadi barisan selisih 4m¯v x =¯ Pm
i=0(−1) i m
ivk+ixk+i untuk setiap m ∈ N. Menggunakan konsep ruang
baris-an selisih 4mv¯x, Et dan Esi mendefinisikan ruang barisan selisih terboboti, khusus-¯ nya ruang c(4mv ), c0(4mv ) dan l∞(4mv ). Et dan Esi juga memberikan beberapa
si-fat yang berkaitan dengan ruang barisan selisih terboboti, antara lain ruang Banach, ruang-BK, teori inklusi, dual kontinu dan dual K¨othe-Toeplitz. Penjelasan meng-enai ruang-BK dan dual kontinu diperoleh dari Maddox (1970) dan Banas (2014), sedangkan penjelasan mengenai dual K¨othe-Toeplitz diperoleh dari Garling (1967) dan Banas (2014).
1.4. Metode Penelitian
Metode yang digunakan dalam penelitian tesis ini adalah studi literatur. Pe-nelitian ini lebih difokuskan untuk memberikan bukti lemma, proposisi dan teorema secara mendetail yang terdapat dalam jurnal Et dan Esi (2000). Pada jurnal tersebut dibahas mengenai ruang barisan selisih terboboti, khususnya ruang c0(4mv ), c(4mv )
dan l∞(4mv ), dan beberapa sifat yang berlaku, teorema inklusi, dan dual K¨
othe-Toeplitz pada ruang barisan tersebut.
Konsep ruang barisan selisih terboboti c0(4mv ), c(4mv ) dan l∞(4mv )
merupa-kan perluasan dari ruang barisan selisih c0(4), c(4) dan l∞(4). Untuk
menunjuk-kan beberapa sifat yang berlaku pada ruang barisan selisih terboboti diperlumenunjuk-kan be-berapa alat, di antaranya konsep ruang linear, ruang bernorma, ruang Banach, ope-rator linear dan ruang-BK. Selanjutnya dapat ditunjukkan ruang c0(4mv ), c(4mv )
dan l∞(4mv ) masing-masing merupakan ruang Banach dan ruang-BK.
Hal lain yang dipelajari dalam jurnal Et dan Esi (2000) adalah dual K¨ othe-Toeplitz dan relasi inklusi pada ruang barisan selisih terboboti, khususnya ruang c0(4mv), c(4mv ) dan l∞(4mv ). Untuk meneliti dual Kothe-Toeplitz pada ruang
c0(4mv), c(4mv ) dan l∞(4mv ) diperlukan beberapa lemma yang dipergunakan untuk
membuktikan sifat-sifat yang berlaku pada dual K¨othe-Toeplitz. Untuk membukti-kan beberapa lemma tersebut, digunamembukti-kan beberapa lemma dalam Kizmaz (1981). Setelah mempelajari dual K¨othe-Toeplitz dan relasi inklusi pada ruang barisan se-lisih terboboti, langkah selanjutnya adalah mempelajari relasi inklusi pada ruang c0(4mv), c(4mv ) dan l∞(4mv ).
1.5. Sistematika Penulisan
Dalam tesis ini, hasil penelitian akan dibagi ke dalam lima bab. Di dalam BAB I yaitu pendahuluan, dibahas mengenai latar belakang permasalahan, tuju-an penelitituju-an, tinjautuju-an pustaka, metode penelitituju-an serta sistematika penulistuju-an tesis. Dilanjutkan ke BAB II, yaitu dasar teori. Dalam bab ini, dibahas mengenai konsep yang digunakan dalam pembahasan selanjutnya, diantaranya konsep ruang Banach, ruang c0, c dan l∞, ruang c0(4m), c(4m) dan l∞(4m), ruang c0(4¯v), c(4v¯) dan
l∞(4¯v), dan dual K¨othe-Toeplitz. Kemudian dilanjutkan ke dalam BAB III dan
BAB IV, yaitu pembahasan dari hasil penelitian. Dalam BAB III, akan difokuskan untuk membahas ruang barisan selisih terboboti, khususnya ruang c0(4mv ), c(4mv )
dan l∞(4mv ), serta sifat-sifat yang terkait. Dalam BAB IV, difokuskan untuk
mem-bahas teori inklusi dan dual Kothe-Toeplitz ruang barisan selisih terboboti, khusus-nya ruang c0(4mv ), c(4mv ) dan l∞(4mv ). Terakhir, dalam BAB V memuat tentang
