Open Course. Analisis Harmonisa. Oleh: Sudaryatno Sudirham

Analisis

Analisis

Harmonisa

_Harmonisa

Penyediaan energi listrik pada umumnya dilakukan dengan

menggunakan sumber tegangan berbentuk gelombang sinus. Arus yang

mengalir diharapkan juga berbentuk gelombang sinus pula.

Pengantar

Namun perkembangan teknologi yang terjadi di sisi

beban membuat arus beban tidak lagi berbentuk

gelombang sinus.

Bentuk-bentuk gelombang arus ataupun tegangan yang

tidak berbentuk sinus, namun tetap periodik, tersusun dari

gelombang-gelombang sinus dengan berbagai frekuensi;

bentuk gelombang ini tersusun dari harmonisa-harmonisa

Sinyal Nonsinus

Pembebanan Non Linier

Tinjauan Di Kawasan Fasor

Dampak Harmonisa Pada Piranti

Harmonisa Pada Sistem Tiga Fasa

Kita akan menggunakan istilah sinyal nonsinus untuk

menyebut secara umum sinyal periodik yang tidak

berbentuk sinus. Kita sudah mengenal bentuk gelombang

seperti ini misalnya bentuk gelombang gigi gergaji dan

sebagainya, namun dalam istilah ini kita masukkan pula

pengertian

sinus terdistorsi

yang terjadi di sistem tenaga

Apabila persamaan sinyal nonsinus diketahui, tidaklah terlalu sulit

mencari spektrum amplitudo dan spektrum sudut fasa

Apabila persamaan sinyal nonsinus sulit dtentukan, maka

kita menentukan spektrum amplitudo sinyal dengan

[

]

∑

π

+

π

+

=

cos(

2

)

sin(

2

)

)

(

t

a

₀

a

nf

₀

t

b

nf

₀

t

f

_{n n}

[

cos(

)

]

)

(

1 0 2 2 0

∑

∞ =

ϕ

−

ω

+

+

=

n n n n

b

n

t

a

a

t

f

n n n

a

b

=

ϕ

tan

Jika

f(t)

adalah fungsi periodik yang memenuhi persyaratan Dirichlet, maka

f(t)

dapat dinyatakan sebagai deret Fourier:

∫

−

=

/2 2 / 0 0 0 0

)

(

1

T T

y

t

dt

T

a

∫

−

ω

>

=

/2 2 / 0 0 0 0

0

;

)

sin(

)

(

2

T T n

y

t

n

t

dt

n

T

b

0

;

)

cos(

)

(

2

/2 2 / 0 0 0 0

>

ω

=

∫

−

y

t

n

t

dt

n

T

a

T T n

Sinyal Nonsinus,

Pendekatan Numerik

Pendekatan Numerik Spektrum Sinyal Nonsinus

∫

−

=

/2 2 / 0 0 0 0

)

(

1

T T

y

t

dt

T

a

Koefisien Fourier

luas bidang yang dibatasi oleh kurva

y(t)

dengan sumbu-t dalam rentang satu perioda

luas bidang yang dibatasi oleh kurva dengan sumbu-t dalam rentang satu perioda

)

cos(

)

(

t

n

₀

t

y

ω

luas bidang yang dibatasi oleh kurva dengan sumbu-t dalam rentang satu perioda

)

sin(

)

(

t

n

₀

t

y

ω

∫

−

ω

>

=

/2 2 / 0 0 0 0

0

;

)

sin(

)

(

2

T T n

y

t

n

t

dt

n

T

b

0

;

)

cos(

)

(

2

/2 2 / 0 0 0 0

>

ω

=

∫

−

y

t

n

t

dt

n

T

a

T T n

Dengan penafsiran bentuk integral sebagai luas bidang, setiap bentuk sinyal periodik

dapat dicari koefisien Fourier-nya, yang berarti pula dapat ditentukan spektrumnya

Dalam praktik, sinyal nonsinus diukur dengan menggunakan alat ukur elektronik yang dapat menunjukkan langsung

-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012 0,014 0,016 0,018 0,02 y[volt] t[detik]

CONTOH-1.1.

-0,78 29,92 Ampli-3, ϕ₃ 1,57 150,05 Ampli-1, ϕ₁ 21,13 −21,18 a₃, b₃ 150,05 0,36 a₁, b₁ 19,90 a₀ 0,211 -0,212 1,501 0,004 0,398 Jumlah L_k -0,001 0,014 -0,001 0,014 0,014 50 0,02 -0,001 0,003 0,000 0,003 0,003 20 0,0196 0,005 -0,003 0,002 -0,006 -0,006 -5 0,0192 : : : : : : : 0,035 0,025 0,014 0,042 0,044 120 0,0012 0,019 0,029 0,007 0,034 0,035 100 0,0008 0,006 0,024 0,002 0,025 0,025 75 0,0004 50 0 L_kb3 L_ka3 L_kb1 L_ka1 L_ka0 A_k t Harmonisa ke-3 Fundamental f₀= 1/T₀ = 50 Hz Komp. searah T₀= 0,02 s ∆t_k = 0,0004 s

Analisis Harmonisa Sinyal Nonsinus pada Contoh

78 , 0 ) 18 , 21 / 13 , 21 ( tan 92 , 29 13 , 21 ) 18 , 21 ( 13 , 21 ; 18 , 21 57 , 1 ) 36 , 0 / 05 , 150 ( tan 05 , 150 05 , 150 36 , 0 05 , 150 ; 36 , 0 90 , 19 1 3 2 2 3 3 3 1 1 2 2 1 1 1 0 − = − = ϕ = + − = ⇒ = − = = = ϕ = + = ⇒ = = = − − A b a A b a a

Elemen Linier

dan

CONTOH-1.2.

Satu kapasitor C = 30 µF mendapatkan tegangan nonsinus pada frekuensi f = 50 Hz dt dv C i_C =

)

5

,

1

5

sin(

10

)

2

,

0

3

sin(

20

)

5

,

0

sin(

100

ω

+

+

ω

−

+

ω

+

=

t

t

t

v

_C

{

}

A ) 5 , 1 5 cos( 50 ) 2 , 0 3 cos( 60 ) 5 , 0 cos( 100 ) 5 , 1 5 sin( 10 ) 2 , 0 3 sin( 20 ) 5 , 0 sin( 100 + ω ω + − ω ω + + ω ω = + ω + − ω + + ω = t C t C t C dt t t t d C i_C detik [V] vC i_C -150 -100 -50 0 50 100 150 0 0.005 0.01 0.015 0.02 [A] 5 2,5 0 −5 −2,5

Relasi tegangan-arus elemen-elemen linier berlaku pula

untuk sinyal nonsinus.

Sinyal Nonsinus,

Elemen Linier dengan Sinyal Nonsinus

Nilai Rata-Rata

rr =

∫

Ty t dt T Y 0 0 ) ( 1

Nilai Efektif

=

∫

T rms y t dt T Y 0 2 0 ) ( 1

Untuk sinyal sinyal nonsinus

∑

∞ = θ + ω + = 1 0 0 sin( ) ) ( n n mn n t Y Y t y

∫

∑

       θ + ω + = ∞ = T n n mn rms Y Y n t dt T Y 0 2 1 0 0 0 ) sin( 1

∫

∑

       θ + ω + = ∞ = T n n mn rms Y Y n t dt T Y 0 2 1 0 0 0 2 ) sin( 1

∑ ∫

∫

∞ =

θ

+

ω

+

+

=

1 0 0 2 2 0 2 0 2

)

(

sin

1

...

...

1

n T n nm t rms

Y

n

t

dt

T

dt

Y

T

Y

∑

∞ =

+

=

1 2 2 0 2 n nrms rms

Y

Y

Y

bernilai nol

∑

∞ =

+

=

1 2 2 0 2 n nrms rms

Y

Y

Y

∑

∞ =

+

+

=

2 2 2 0 2 1 2 n nrms rms rms

Y

Y

Y

Y

2 hrms

Y

2 2 1 2 hrms rms rms

Y

Y

Y

=

+

Kwadrat nilai rms

harmonisa total

Kwadrat nilai rms

komponen fundamental

Kwadrat nilai rms

sinyal nonsinus

Di sini sinyal nonsinus

dipandang sebagai terdiri

dari 2 komponen yaitu:

komponen fundamental

dan

Contoh-1.3.

T₀= 0,05 s 200 V t v

V

7

sin

909

,

0

6

sin

061

,

1

5

sin

273

,

1

4

sin

592

,

1

3

sin

122

,

2

2

sin

183

,

3

sin

366

,

6

10

)

(

0 0 0 0 0 0 0

t

t

t

t

t

t

t

t

v

ω

−

ω

−

ω

−

ω

−

ω

−

ω

−

ω

−

=

V

5

,

4

2

366

,

6

1rms

=

≈

V

V

7

,

10

2

909

,

0

2

061

,

1

2

273

,

1

2

592

,

1

2

122

,

2

2

183

,

3

10

2 2 2 2 2 2 2

₊

₊

₊

₊

₊

₊

_≈

=

hrms

V

V

6

,

11

7

,

10

5

,

4

2 2 2 2 1

+

=

+

≈

=

_{rms hrms} rms

V

V

V

Uraian suatu sinyal gigi gergaji sampai harmonisa ke-7 adalah:

Maka:

Nilai efektif komponen fundamental

Sinyal Nonsinus,

Elemen Linier dengan Sinyal Nonsinus

fundamental

harmonisa total

Nilai efektif komponen harmonisa total

Nilai efektif sinyal nonsinus Nilai efektif harmonisa jauh lebih

Contoh-1.4.

Uraian dari penyearahan setengah gelombang arus sinus

A

sin

₀

t

i

=

ω

sampai dengan harmonisa ke-10 adalah

A

354

,

0

2

5

,

0

1rms

=

=

I

A

54

3

0,

2

007

,

0

2

01

,

0

2

018

,

0

2

042

,

0

2

212

,

0

318

,

0

2 2 2 2 2 2

₊

₊

₊

₊

₊

₌

=

hrms

I

A

5

,

0

354

,

0

354

,

0

2 2 2 2 1

+

=

+

≈

=

_{rms hrms} rms

I

I

I

A

)

10

cos(

007

.

0

)

8

cos(

010

.

0

)

6

cos(

018

,

0

)

4

cos(

042

,

0

)

2

cos(

212

,

0

)

57

,

1

cos(

5

,

0

318

,

0

)

(

0 0 0 0 0 0

t

t

t

t

t

t

t

i

ω

+

ω

+

ω

+

ω

+

ω

+

−

ω

+

=

Pada penyearahan setengah gelombang nilai efektif komponen

fundamental sama dengan nilai efektif komponen harmonisanya

t

v

₁

=

200

sin

ω

v

₁₅

=

20

sin

15

ω

t

pada frekuensi 50 Hz.

Tegangan pada sebuah kapasitor 20 µF terdiri dari dua

komponen, yaitu komponen fundamental dan harmonisa ke-15

t

t

dt

dv

i

₁

=

20

×

10

−6 ₁

/

=

20

×

10

−6

×

200

×

100

π

cos

100

π

=

1

,

257

cos

100

π

A

89

,

0

2

257

,

1

1rms

=

=

I

t

t

dt

dv

i

₁₅

=

20

×

10

−6 ₁₅

/

=

20

×

10

−6

×

20

×

1500

π

sin

1500

π

=

1

,

885

cos

1500

π

A

33

,

1

2

885

,

1

15rms

=

=

I

A

60

,

1

33

,

1

89

,

0

2 2 2 15 2 1

+

=

+

=

=

_{rms rms} rms

I

I

I

Contoh-1.5.

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 detik A i i1 i15

Arus kapasitor

i

berupa arus berfrekuensi harmonisa

ke-15 yang berosilasi pada frkuensi fundamental

A

3

sin

2

,

0

sin

2

t

t

i

=

ω

+

ω

V

3

cos

3

,

0

cos

3

sin

20

sin

200

t

t

t

t

dt

di

L

iR

v

v

v

=

_R

+

_L

=

+

=

ω

+

ω

+

ω

ω

+

ω

ω

-600 -400 -200 0 200 400 600 0 0.005 0.01 0.015 0.02 2 4 0 −2 −4 A V detik v i

A

42

,

1

2

2

,

0

2

2

2 2 2 3 2 1

+

=

+

=

=

_{rms rms} rms

I

I

I

V

272

2

)

3

,

0

(

2

2

20

2

200

2 2 2 2

=

ω

+

ω

+

+

=

rms

V

Contoh-1.6.

Pada sinyal nonsinus, bentuk kurva tegangan kapasitor berbeda dengan bentuk kurva arusnya. Pada sinyal sinus hanya berbeda sudut fasanya.

Sinyal Nonsinus,

Elemen Linier dengan Sinyal Nonsinus

0,5 H

100 Ω _i

v_{R v}

L

Daya Pada Sinyal Nonsinus

Pengertian daya nyata dan daya reaktif pada sinyal sinus berlaku

pula pada sinyal nonsinus

Daya nyata memberikan transfer energi netto, sedangkan daya

reaktif tidak memberikan transfer energi netto

Jika resistor R

_b

menerima arus berbentuk gelombang nonsinus

h Rb

i

i

i

=

₁

+

2 2 1 2 hrms rms Rbrms

I

I

I

=

+

b hrms b rms b Rbrms Rb

I

R

I

R

I

R

P

=

2

×

=

₁2

+

2

Daya nyata yang diterima oleh R

_b

adalah

arus efektifnya adalah

Relasi ini tetap berlaku sekiranya resistor ini terhubung seri dengan induktansi, karena dalam bubungan seri tersebut daya nyata diserap oleh resistor, sementara induktor menyerap daya reaktif.

Contoh-1.7.

Sinyal Nonsinus,

Elemen Linier dengan Sinyal Nonsinus

A

3

sin

2

,

0

sin

2

t

t

i

=

ω

+

ω

0,5 H 100 Ω _i v_{R v} L v

A

42

,

1

=

rms

I

(contoh-1.6.)

W

202

100

)

42

,

1

(

2 2

₌

_×

₌

=

I

R

P

_{R rms}

P

_rata2

= 202 W

p = vi

p

_R

= i

2

_{R = v}

R

i

R -400 -200 0 200 400 600 0 0.005 0.01 0.015 0.02 W detik

(kurva daya yang

diserap R, selalu positif) (kurva daya masuk ke rangkaian,

kadang positif kadang negatif)

daya negatif = diberikan oleh rangkaian

(daya reaktif)

daya positif = masuk ke rangkaian

Contoh-1.8.

100 Ω

50 µF

i

_s

t

t

v

=

100

sin

ω

+

10

sin

3

ω

t

t

R

v

i

_R

=

=

sin

ω

+

0

,

1

sin

3

ω

(

t

t

)

dt

dv

C

i

_C

=

=

50

×

10

−6

100

ω

cos

ω

+

30

ω

cos

3

ω

t

t

t

t

i

_s

=

sin

ω

+

0

,

1

sin

3

ω

+

0

,

005

cos

ω

+

0

.

0015

ω

cos

3

ω

A

71

,

0

2

1

,

0

2

1

2 2

=

+

=

Rrms

I

_P

_R

=

₀

_,

₇₁

2

×

₁₀₀

=

₅₀

_W

Resonansi

Sinyal Nonsinus,

Elemen Linier dengan Sinyal Nonsinus

Karena sinyal nonsinus mengandung harmonisa dengan

berbagai macam frekuensi, maka ada kemungkinan salah

satu frekuensi harmonisa bertepatan dengan frekuensi

resonansi dari rangkaian

Frekuensi resonansi

LC

r

1

=

ω

4 , 2828 10 5 025 , 0 1 1 6 = × × = = ω ₋ LC r

CONTOH-1.9.

Generator 50 Hz dengan induktansi internal 0,025 H mencatu daya melalui kabel yang memiliki kapasitansi total sebesar 5 µF Frekuensi resonansi Hz 450 2 4 , 2828 = π = r f

Tinjauan Sisi Beban

Dan

Tinjauan Di Sisi Beban

i

_nonsinus R_b v_{s +} − p.i. R_s Tegangan sumber sinusoidal Piranti pengubah arus membuat arus tidak sinusoidal h Rb

i

i

i

=

₁

+

)

sin(

_{0 1} 1 1

=

I

ω

t

+

θ

i

_m

∑

=

θ

+

ω

+

=

k n n nm h

I

I

n

t

i

2 0 0

sin(

)

b hrms b rms Rb

I

R

I

R

P

=

₁2

+

2

Tinjauan Di Sisi Sumber

i

_nonsinus R_b v_{s +} − p.i. R_s Tegangan sumber sinusoidal Piranti pengubah arus membuat arus tidak sinusoidal

(

)

_       θ + ω + ω + θ + ω ω = =

∑

= k n n n s s s s s t n I I t V t I t V t i t v p 2 0 0 0 1 0 1

0 ) sin( ) sin sin( )

sin ( ) ( ) ( ) 2 cos( 2 cos 2 0 1 1 1 1 1 = θ − ω t+θ I V I V p_s s s

∑

[

]

∞ = ω θ + ω + ω = 2 0 0 0

0sin sin( )sin

n n n s s sh V I t V I n t t p

nilai rata-rata nol nilai rata-rata nol

tidak memberikan transfer energi netto memberikan transfer energi netto

sh s

s

p

p

p

=

₁

+

sh s

s

p

p

p

=

₁

+

memberikan transfer energi netto

1 1 1 1 1

cos

cos

2

θ

=

θ

=

s _{srms rms} s

V

I

I

V

P

tidak memberikan transfer energi netto

Daya reaktif

beda susut fasa antara v_s dan i₁

P

_s1

haruslah diserap oleh R

_b

dan R

_s

v_s

i

_nonsinus

R_b

Contoh-2.1.

v

_s R sinusoidal

i

_R v_s i_s i_R p_R 0 0 90 180 270 360 450 540 630 720 V_s −V_s v_s p_{R pR} ωt [o_]

Resistor menyerap daya hanya dalam selang

dimana ada tegangan dan ada arus

Contoh-2.2.

i

_b

V

sin

380

₀

t

v

_s

=

ω

3,8 Ω A 100 8 , 3 380 = = maks I A ) 6 cos( 8 , 1 ) 4 cos( 2 , 4 ) 2 cos( 2 , 21 ) 57 , 1 cos( 50 8 , 31 ) ( 0 0 0 0       ω + ω + ω + − ω + = t t t t t i A; 31 , 35 2 8 , 1 2 2 , 4 2 2 , 21 8 , 31 A; 2 50 2 2 2 2 1 = + + + = = bhrms rms b I I

(

)

kW 5 , 9 W 9488 8 , 3 2 2 1 2 ≈ = × + = = I_rmsR_b I_{b rms} I_bhrms P t t i i_1s = _1Rb =50cos(ω₀ −1,57) =50sinω₀ A 2 / 50 1srms = I kW 5 , 9 2 50 2 380 rms 1 rms 1 = s s = × = s V I P

t [det]

W

p

_s0

p

_s1

p

_sh2 -15000 -10000 -5000 0 5000 10000 15000 20000 0 0.005 0.01 0.015 0.02

Kurva daya komponen fundamental selalu positif

Kurva daya komponen searah, sinusoidal, nilai rata-rata nol Kurva daya komponen harmonisa

mulai harmonisa ke-2, simetris terhadap sumbu

t

, nilai rata-rata nol

Pembebanan Non-Linier,

Perambatan Harmonisa

Perambatan Harmonisa

R

_b

R

_a

i

_a

i

_b

= i

_b1

+i

_bh

i

_s

R

_s

A

B

t V v_s = _sm sin ω₀ ) ( _{b1 bh} a s a s s a s a A i i R R R R v R R R v + + − + = ) ( _{b1 bh} a s s a s s a A a i i R R R R R v R v i + + − + = = ) ( ) ( ) ( 1 1 1 bh b a s a a s s bh b bh b a s s a s s b a s i i R R R R R v i i i i R R R R R v i i i +       + + + = + + + + − + = + =

Semua piranti yang terhubung ke titik A,

yaitu titik bersama, terpengaruh oleh

Ukuran Distorsi Harmonisa

Pembebanan Non-Linier,

Ukuran Distorsi Harmonisa

Crest Factor

efektif

nilai

puncak

nilai

factor

=

crest

Total Harmonic Distortion (THD)

Untuk tegangan

rms hrms V

V

V

THD

1

=

Untuk arus

rms hrms I

I

I

THD

1

=

CONTOH-2.3.

i

_b

V

sin

380

₀

t

v

_s

=

ω

3,8 Ω A 100 8 , 3 380 = = maks I A ) 6 cos( 8 , 1 ) 4 cos( 2 , 4 ) 2 cos( 2 , 21 ) 57 , 1 cos( 50 8 , 31 ) ( 0 0 0 0       ω + ω + ω + − ω + = t t t t t i A 31 , 35 2 8 , 1 2 2 , 4 2 2 , 21 8 , 31 A; 2 50 2 2 2 2 1 = + + + = = bhrms rms b I I A 7 , 49 31 , 35 2 / 502 + 2 = = rms I

Crest factor

2 2 , 49 100 . .f = = c

THD

_I 1 2 / 50 31 , 35 1 ≈ = = rms hrms I I I THD atau 100%

CONTOH-2.4.

i

s 10 Ω +₋ Rs p.i. V sin 2 1000 ₀t v = ω i_s(t) v_s(t)/5 [V] [A] [detik] -300 -200 -100 0 100 200 300 0 0,01 0,02

Pendekatan numerik spektrum amplitudo sampai harmonisa ke-11:

A 4 , 69 2 71 , 8 2 71 , 8 2 83 , 14 2 83 , 14 2 96 , 44 2 79 , 83 0 2 2 2 2 2 2 = + + + + + + = brms I

Nilai puncak arus terjadi pada t = 0,005 detik;

i_bm = 141,4 A 2 4 , 69 4 , 141 . . = = = brms bm I I f c A 25 , 59 2 79 , 83 1rms = = I % 60 atau 6 , 0 25 , 59 14 , 36 ≈ = I THD A 0.00 83.79 44.96 14.83 14.83 8.71 8.71 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1_{0 1 3 5 7 9 11} 2 3 4 5 6 7 harmonisa A 14 , 36 2 71 , 8 2 71 , 8 2 83 , 14 2 83 , 14 2 96 , 44 0 2 2 2 2 2 = + + + + + = hrms I

Fasor digunakan untuk menyatakankan sinyal sinus. Dengan fasor, dapat

dihindari operasi diferensial dan integral dalam analisis rangkaian listrik

yang mengandung elemen-elemen dinamis. Fasor diturunkan dengan

anggapan bahwa seluruh bagian rangkaian memiliki frekuensi sama

Sinyal non-sinus terbangun dari sinyal-sinyal sinus dengan

berbagai frekuensi. Oleh karena itu satu sinyal non-sinus

tidak dapat diwakili oleh hanya satu fasor

Setiap komponen harmonisa memiliki fasor sendiri, berbeda

amplitudo dan sudut fasa dari komponen harmonisa lainnya karena

mereka berbeda frekuensi

n n n n

=

a

2

+

b

2

∠

−

θ

I

n n

a

b

1

tan

−

=

θ

t

n

b

t

n

a

t

i

_n

(

)

=

_n

cos

ω

+

_n

sin

ω

Fasor:

t

b

t

n

a

t

i

_n

(

)

=

_n

cos

ω

+

_n

sin

ω

n n n n

=

a

2

+

b

2

∠

−

θ

I

n n

a

b

1

tan

−

=

θ

θ − ∠ + = 2 2 n n n a b I Im Re θ a_n > 0 dan b_n > 0 n a n b Im Re θ ) 180 ( o 2 2 _{+ ∠ −θ} = _{n n} n a b I a_n < 0 dan b_n > 0 n a − n b ) 180 ( o 2 2 _{+ ∠ +θ} = _{n n} n a b I Im Re θ a_n < 0 dan b_n < 0 n a − n b − θ ∠ + = 2 2 n n n a b I Im Re θ a_n > 0 dan b_n < 0 n b − n a

Koefisien FOURIER dan diagram fasor

Fasor dan Impedansi

Fasor sinyal sinus dan cosinus

beramplitudo 1 Im Re

t

b

= sin

ω

t

a

= cos

ω

a

b

CONTOH-3.1.

A ) 10 cos( 007 . 0 ) 8 cos( 010 . 0 ) 6 cos( 018 , 0 ) 4 cos( 042 , 0 ) 2 cos( 212 , 0 ) 57 , 1 cos( 5 , 0 318 , 0 ) ( 0 0 0 0 0 0           ω + ω + ω + ω + ω + − ω + × = t t t t t t I t i _m ; 0 2 007 , 0 ; 0 2 010 , 0 ; 0 2 018 , 0 ; 0 2 042 , 0 ; 0 2 212 , 0 ; 90 2 5 , 0 ; 318 , 0 o 10 o 8 o 6 o 4 o 2 o 1 0 ∠ = ∠ = ∠ = ∠ = ∠ = − ∠ = = m m m m m m m I I I I I I I I I I I I I I

I

₁

I

₂

I

₄

gambar

fasor

Impedansi

Fasor dan Impedansi

Karena setiap komponen harmonisa memiliki frekuensi berbeda maka

pada satu cabang rangkaian yang mengandung elemen dinamis akan

terjadi impedansi yang berbeda untuk setiap komponen

CONTOH-3.2.

t

t

t

i

=

200

sin

ω

₀

+

70

sin

3

ω

₀

+

30

sin

5

ω

₀

20 µF

5 Ω

i

f =50 Hz 15 , 159 ) 10 20 50 2 /( 1 6 1 = π× × × − = C X Z1 = 52 +159,152 =159,23 Ω

Untuk komponen fundamental

Untuk harmonisa ke-3

Tegangan puncak V_1m = Z₁ ×I_1m =159,23×200≈31,85 kV 05 , 53 3 / 1 3 = C = C X X Z₃ = 52 +53,052 =53,29 Ω Tegangan puncak V_3m = Z₃ ×I_3m =53,29×70=3,73 kV 83 , 31 5 / 1 5 = C = C X X Z5 = 52 +31,832 =32,22 Ω

Untuk harmonisa ke-5

Daya dan Faktor Daya

Daya Kompleks

Sisi Beban

S

_b

=

V

_brms

×

I

_brms

VA

*

VI

=

S

Definisi adalah untuk sinyal sinus murni.

Untuk sinyal nonsinus kita tidak menggambarkan fasor arus harmonisa total sehingga mengenai daya kompleks hanya bisa dinyatakan besarnya, tetapi segitiga daya tidak dapat digambarkan

Sisi Sumber

_VA

2

srms sm srms srms s

I

V

I

V

S

=

×

=

×

A

2 2 1rms shrms s srms

I

I

I

=

+

Tegangan sumber sinusoidal

V_brms

V_srms

I_srms

Ibrms

∼∼∼∼

Piranti pengubah arus

Daya Nyata

Sisi Beban

P

_b

=

I

_brms2

R

_b

=

(

I

_b2_1rms

+

I

_bhrms2

)

R

_b

W

arus efektif fundamental arus efektif harmonisa total

Sisi Sumber

_cos

_W

1 1

1

=

srms rms

ϕ

s

V

I

P

Daya nyata dikirimkan melalui komponen fundamental Komponen arus harmonisa sumber tidak memberikan transfer energi netto

beda sudut fasa antara tegangan dan arus fundamental sumber

cosϕϕϕϕ₁ adalah faktor daya pada komponen fundamental yang disebut displacement power factor

V_brms

V_srms

I_srms

Ibrms

∼∼∼∼

Piranti pengubah arus

Faktor Daya

Sisi Beban

b b

S

P

=

beban

f.d.

Sisi Sumber

s s s

S

P

₁

.

d

.

f

=

Impedansi Beban

=

Ω

brms brms b

I

V

Z

V_brms V_srms I_srms Ibrms

∼∼∼∼

Piranti pengubah arus

p.i. 1 1 1

.

d

.

f

s s s

S

P

=

(f.d. total dilihat sumber)

(f.d. komponen fundamental) (f.d. total di beban)

Impedansi beban adalah rasio antara tegangan efektif dan arus efektif beban

rasio antara daya nyata dan daya kompleks yang diserap beban

CONTOH-3.3.

0,5 H 10 Ω _i v_{R v} L v_b

V

sin

2

200

100

₀

t

v

_b

=

+

ω

f =50 Hz V 100 0 = V o 1 = 200∠−90 V A 10 10 / 100 / 0 0 = b = = b V R I A 74 , 10 ) 05 , 0 100 ( 10 200 2 2 1 1rms = × π + = = b rms b Z V I A 14,68 74 , 10 102 2 2 1 2 0 + = + = = _{b b rms} brms I I I W 2154 10 68 , 14 2 2 _{= × =} = _{brms b} Rb I R P

Tegangan pada beban terdiri dari dua komponen yaitu komponen searah dan komponen fundamental

V 5 100 200 1002 2 2 1 2 0 + = + = = _rms brms V V V = = =15,24Ω 68 , 14 5 100 brms brms beban I V Z VA 3281 68 , 14 5 100 × = = × = _{brms brms} b V I S 0,656 3281 2154 f.d. = = = b b beban S P Rangkaian beban

CONTOH-3.4.

I_maks =100 2 A

Teorema Tellegen: Ps =VsrmsI1rms cos ϕ1

Komponen fundamental sisi sumber:

i

_b 10 Ω

V

sin

2

1000

t

v

_s

=

ω

v_s i_b v, i t A 45.00 70.71 30.04 6.03 2.60 _{1.46 0.94} 0 10 20 30 40 50 60 70 80 10 1 2 4 6 8 2 3 4 5 6 10 7 harmonisa A 50 7 , 0 1 8 , 1 3 , 4 2 , 21 8 , 31 2 2 2 2 2 2 2 = + + + + + × = hrms I A 7 , 70 50 502 2 2 2 1 + = + = = _{rms shrms} rms I I I kVA 7 , 70 7 , 70 1000× = = × = _{srms rms} s V I S kW 50 10 67 , 70 2 2 _{= × =} = = _{b rms b} s P I R P 7 , 0 7 , 70 / 50 / / = = = = _{s s b s} s P S P S f.d. 1 50 1000 50000 cos 1 1 = = _× = ϕ rms srms s I V P 100% atau 1 50 50 1 = = = rms hrms I I I THD 7 . 0 ; 1 ; 8 , 1 ; 3 , 4 dst ; 2 , 21 2 04 . 30 ; 50 2 71 . 70 ; 45 10 8 6 4 2 1rms 0 = = = = = = = = = rms rms rms rms rms I I I I I I I

Daya dan Faktor Daya

CONTOH-3.5.

R_b 10 Ω v_s V_srms =1000 V i_{s saklar sinkron} i_Rb

∼∼∼∼

-300 -200 -100 0 100 200 300 0 0,01 0,02 i_Rb(t)vs(t)/5 [V] [A] [detik] 0.00 83.79 44.96 14.83 14.83 8.71 8.71 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10 1 3 5 7 9 11 2 3 4 5 6 7 harmonisa A _{59,25 A} 2 79 , 83 1rms = = I A 14 , 36 2 71 , 8 2 71 , 8 2 83 , 14 2 83 , 14 2 96 , 44 0 2 2 2 2 2 = + + + + + = hrms I A 4 , 69 14 , 36 25 , 59 2 + 2 = = rms I kVA 4 , 69 4 , 69 1000× = = = _{srms rms} s V I S kW 17 , 48 10 4 , 69 2 2 _{= × =} = = _{b rms b} s P I R P 69 , 0 4 , 69 / 17 , 48 / = = = _{s s} s P S f.d. 1 1 cos ϕ = _{srms rms} s V I P 813 , 0 25 , 59 1000 48170 cos . . 1 1 1 = ϕ = = _× = rms srms s s I V P d f 61% atau 61 , 0 25 , 59 14 , 36 1 = = = rms hrms I I I THD

Komponen fundamental sisi sumber: Teorema Tellegen:

Perhitungan pada Contoh-3.5 dilakukan dengan mengandalkan spektrum amplitudo yang hanya sampai harmonisa ke-11 di mana nilainya masih 10% dari fundamental.

Hal ini sangat berbeda dengan Contoh-3.4 di mana harmonisa ke-10 sudah tinggal 1% dari komponen fundamental

(

0.5cos( ) 0,7sin( )

)

)

( _{0 0}

1 t I t t

i = _m − ω + ω

Koreksi dilakukan dengan melihat persamaan arus fundamental dalam uraian deret Fourier

o 1 6 , 57 ) 5 . 0 / 7 . 0 ( tan = = θ − Im Re θ ) 180 ( o 2 2 _{+ ∠ −θ} = _{n n} n a b I a_n < 0 dan b_n > 0 n a − n b 844 , 0 ) 4 , 32 cos( cos . .d _s1 = ϕ₁ = o = f o 1

=

32

,

4

ϕ

ϕ1 kW 50 844 . 0 4 , 59 1000 cos ₁ 1 = × × = ϕ = _{srms rms} s V I P

Ini harus sama dengan yang diterima R_b

s b rms b I R P P = 2 = A 7 , 70 10 / 50000 / = = = _{s b} rms P R I koreksi kVA 7 , 70 7 , 70 1000× = = = _{srms rms} s V I S 7 , 0 7 , 70 / 50 / . .d _s =P_s S_s = = f 65% atau 65 , 0 25 , 59 63 , 38 = = I THD

Koreksi pada CONTOH-3.5.

Transfer Daya

b bhrms b rms b b bhrms rms b Rb

I

I

R

I

R

I

R

P

=

(

2₁

+

2

)

=

2₁

+

2

Daya nyata diserap beban:

Daya nyata yang diserap beban melalui komponen

fundamental selalu lebih kecil dari daya nyata yang dikirim

oleh sumber yang hanya melalui arus fundamental

Beban menerima daya nyata juga melalui komponen harmonisa

Padahal dilihat dari sisi sumber komponen harmonisa tidak memberikan transfer daya nyata

R_b 10 Ω v_s V_srms =1000 V

i_s

i_Rb

∼∼∼∼

Piranti ini menerima daya nyata dari sumber, meneruskan sebagian langsung ke beban dan mengubah sebagian menjadi komponen harmonisa baru diteruskan ke beban Dalam mengubah sebagian daya nyata menjadi komponen harmonisa terjadi daya reaktif yang dikembalikan ke sumber

Perbandingan penyearah setengah gelombang dan saklar sinkron

v_s i_b v, i t i_b vs v, i t kVA 7 , 70 7 , 70 1000× = = × = _{srms rms} s V I S kW 50 10 67 , 70 2 2 _{= × =} = = _{b rms b} s P I R P 7 , 0 7 , 70 / 50 / / = = = = _{s s b s} s P S P S f.d. 1 50 1000 50000 cos 1 1 = = _× = ϕ rms srms s I V P 100% atau 1 50 50 1 = = = rms hrms I I I THD

i

_b 10 Ω V sin 2 1000 t v_s = ω _R b 10 Ω v_s V_srms =1000 V saklar sinkron i_Rb

∼∼∼∼

kVA 7 , 70 7 , 70 1000× = = = _{srms rms} s V I S 7 , 0 7 , 70 / 50 / . .d _s =P_s S_s = = f 65% atau 65 , 0 25 , 59 63 , 38 = = I THD 844 , 0 ) 4 , 32 cos( cosϕ₁ = o = kW 50 844 . 0 4 , 59 1000 cos ₁ 1 = × × = ϕ = _{srms rms} s V I P Setelah dikoreksi CONTOH-3.4. CONTOH-3.5.

Kompensasi Daya Reaktif

saklar sinkron Penyearah setengah gelombang

Daya reaktif yang masih ada merupakan akibat dari arus harmonisa. Oleh karena itu upaya

yang harus dilakukan adalah menekan arus harmonisa melalui

penapisan.

Arus fundamental sudah sefasa dengan tegangan sumber,

cosϕ₁=1,

perbaikan faktor daya tidak terjadi dengan cara kompensasi daya reaktif

Padahal faktor daya total masih lebih kecil dari satu

f.d._sumber= 0,7

Arus fundamental lagging terhadap tegangan fundamental,

cosϕ₁=0.844,

perbaikan faktor daya masih mungkin dilakukan melalui kompensasi daya reaktif

Faktor daya total lebih kecil dari satu

f.d._sumber= 0,7

Dengan menambah kapasitor paralel

C = 100 µF

faktor daya total akan menjadi

f.d.sumber = 0,8

Penjelasan lebih rinci

ada dalam buku.

Adanya harmonisa menyebabkan terjadinya peningkatan susut energi yaitu energi “hilang” yang tak dapat dimanfaatkan, yang secara alamiah berubah menjadi panas

Dampak Pada Sistem

Harmonisa juga menyebabkan terjadinya peningkatan temperatur pada konduktor kabel, pada kapasitor, induktor, dan transformator, yang

memaksa dilakukannya derating pada alat-alat ini dan justru derating ini membawa kerugian (finansial) yang lebih besar dibandingkan dengan dampak langsung yang berupa susut energi

Harmonisa dapat menyebabkan kenaikan tegangan yang dapat menimbulkan

micro-discharges bahkan partial-discharges dalam piranti yang memperpendek

umur, bahkan mal-function bisa terjadi pada piranti.

Pembebanan nonlinier tidaklah selalu kontinyu, melainkan fluktuatif. Oleh karena itu pada selang waktu tertentu piranti terpaksa bekerja pada batas tertinggi temperatur kerjanya bahkan mungkin terlampaui pada saat-saat tertentu. Hal ini akan mengurangi umur ekonomis piranti.

Harmonisa juga menyebabkan overload pada penghantar netral; kWh-meter memberi penunjukan tidak normal; rele proteksi juga akan terganggu, bisa tidak mendeteksi besaran rms bahkan mungkin gagal trip.

Dampak Harmonisa

Dampak Pada Instalasi di Luar Sistem

Harmonisa menimbulkan noise pada instalasi telepon dan

komunikasi kabel.

Digital clock akan bekerja secara tidak normal.

Dalam kuliah ini hanya akan dibahas

Dampak Pada Sistem

Dampak Tidak Langsung

Selain dampak pada sistem dan instalasi di luar sistem yang

merupakan dampak teknis, terdapat dampak tidak langsnug

yaitu dampak ekonomi.

Konduktor

Dampak Harmonisa,

Konduktor

(

)

2

(

2

)

1 2 2 1 2

₁

I s rms s hrms rms s rms s

I

R

I

I

R

I

R

THD

P

=

=

+

=

+

Daya diserap konduktor Resistansi konduktor Menyebabkan kenaikan temperatur / susut energi

Temperaratur konduktor tanpa arus sama dengan temperatur sekitar, T

_s

Konduktor dialiri arus mengalami

kenaikan temperatur

sebesar

∆T

Temperaratur konduktor di aliri arus adalah T

_s

+

∆T

= c_p × I2R

Kapasitas panas pada tekanan konstan

Konduktor dialiri arus non-sinus:

CONTOH-4.1.

Kabel: resistansi total 80 mΩ, mengalirkan arus 100 A frekuensi 50 Hz, temperatur 70o _{C, pada suhu sekitar 25}o _C.

Perubahan beban menyebabkan munculnya harmonisa 350 Hz dengan nilai efektif 40 A

W 800 08 , 0 1002 1 = × = P

Susut daya semula (tanpa harmonisa):

W 128 08 , 0 402 7 = × = P

Susut daya tambahan karena arus harmonisa:

W 928 128 800+ = = kabel P

Susut daya berubah menjadi:

Terjadi tambahan susut daya sebesar 16%

70o− 25o_{= 45}o _C Kenaikan temperatur semula:

C 52 C 2 , 7 C 45o + o ≈ o = T

Kenaikan temperatur akibat adanya hormonisa:

C 77 52 25o + o = o = ′ T

Temperatur kerja akibat adanya harmonisa:

C 2 , 7 45 16 , 0 × o = o = ∆T

Pertambahan kenaikan temperatur:

CONTOH-4.2.

W 80 2 , 0 202× = = kabel P resistif 0,2 ΩΩΩΩ kabel I_rms= 20 A I = I_1rms = 20 A

Jika daya tersalur ke beban dipertahankan:

THD_I = 100% (penyearah ½ gel)

( )

1 1 160 W 2 , 0 202× + 2 = = ′ kabel P resistif 0,2 ΩΩΩΩ kabel I Susut naik 100%

Jika susut daya di kabel tidak boleh meningkat:

W 80 2 , 0 202 × = = k P I = I_rms= 20 A rms ms hms ms rms I I I THD I I2 = ₁2 + 2 = ₁2 (1+ 2) =2× ₁ 2 / 20 1rms = I

Arus fundamental turun menjadi 70%

Daya tersalur ke beban harus diturunkan menjadi 70% Susut tetap

derating kabel

Kapasitor

Dampak Harmonisa,

Kapasitor

Pengaruh Frekuensi Pada

εεεε

_r

frekuensi

frekuensi listrik frekuensi optik power audio radio ε_r loss factor ε_r ε_rtanδ Im Re I_Rp I_C Itot δ V_C δ = = _{C Rp} V_CrmsI_Crms tan P V I δ ε = δ ε =( _rV₀)(ωCV₀)tan 2πfV₀2C _r tan P

Diagram Fasor Kapasitor

faktor kerugian (loss factor) faktor desipasi (loss tangent) fC X_C π = 2 1 d A C = ε0εr

ε

_r menurun dengan naiknya frekuensi

C menurun dengan naiknya frekuesi.

Namun perubahan frekuensi lebih dominan dalam menentukan reaktansi dibanding dengan penurunan

ε

_r; oleh karena itu dalam analisis kita menganggap kapasitansi konstan.

CONTOH-4.3.

f = 50 Hz 500 µF v = 150 sinωt + 30 sin5ωt V

_v

t t v_C =150sin100π + 30sin300π t t i_C =150×500×10−6×100πcos100π +30×500×10−6×500πcos500π -200 -100 0 100 200 0 0.005 0.01 0.015_{t [detik]}0.02 [V] [A] v_C i_C

Kurva tegangan dan kurva arus kapasitor berbeda bentuk pada tegangan non-sinus

Peran tegangan dan peran arus pada kapasitor perlu ditinjau secara terpisah

CONTOH-4.4.

f = 50 Hz

500 µF

v = 150 sinωt + 30 sin3ωt + 30 sin3ωt V

_v

Rating

110 V rms, 50 Hz losses dielektrik 0,6 W Ω = × × × π = − 6,37 10 500 50 2 1 6 1 C X _{16,7 A} 37 , 6 2 / 150 1rms = = C I Ω = = 2,12 3 1 3 C C X X _2,12 10 A 2 / 30 3rms = = C I Ω = = 1,27 5 1 5 C C X X 2,8 A 27 , 1 2 / 5 5rms = = C I 62% atau 62 , 0 7 , 16 8 , 2 102 2 1 = + = = rms C hrms I I I THD % 20 atau 20 , 0 106 5 , 21 2 / 150 2 5 2 302 2 1 = = + = = rms hrms V V V THD V 2 150 1rms = V V 2 30 3rms = V V 2 5 5rms = V

Rugi daya dalam dielektrik

Berbanding lurus dengan frekuensi dan kuadrat tegangan δ

ε =2πfV₀2C _r tan

P

f = 50 Hz

500 µF

v = 150 sinωt + 30 sin3ωt + 30 sin3ωt V

_v

Rating

110 V rms, 50 Hz losses dielektrik 0,6 W

W

6

,

0

V 110 , Hz 50

=

P

W

134

,

0

6

,

0

110

30

50

150

2 V 30 , Hz 150



×

=











×

=

P

W

006

,

0

6

,

0

110

5

50

250

2 V 5 , Hz 250



×

=











×

=

P

Losses dielektrik total:

W

74

,

0

006

,

0

134

,

0

6

,

0

+

+

=

=

total

P

Berbanding lurus dengan frekuensi dan kuadrat tegangan

Induktor

Diagram Fasor Induktor Ideal

V=Ei I_f =I_φ Φ L j * j _f i I E V = = ω Φ = ω L I_f + E_i -+ V

-CONTOH-4.5.

_{v = 150 sinωt + 30 sin3ωt + 30 sin3ωt V} V = E_i= 75 V rms

f = 50 Hz V 11100 50 50 44 , 4 1 L L V_{L rms} = × × × = × V 6660 10 150 44 , 4 3 L L V_{L rms} = × × × = × V 5550 5 250 44 , 4 5 L L V_{L rms} = × × × = × 75 V V 3 , 14084 5550 6660 111002 2 2 = × = + + × = L L V_Lrms H 0053 , 0 3 , 14084 75 = = L 2 2 fπ = L= ?

Fluksi Dalam Inti

* f V_rms m = _{× ×} φ 44 , 4

nilai puncak fluksi jumlah lilitan

nilai efektif tegangan sinus

Bagaimana jika non-sinus?

CONTOH-4.6.

_v L 1200 lilitan ) 135 5 sin( 2 50 sin 2 150 ω₀ + ω₀ − o = t t v_L Wb 563 1200 50 44 , 4 150 1 = _{× ×} = µ φ _m φ₁ =563sin(ω₀t −90o) µWb Wb 6 , 62 1200 50 3 44 , 4 50 3 = _{× × ×} = µ φ _m Wb ) 225 3 sin( 6 , 62 ) 90 135 3 sin( 6 , 62 o 0 o o 0 3 µ − ω = − − ω = φ t t Wb ) 225 3 sin( 6 , 62 ) 90 sin( 563 0 o 0 µ − ω + − ω = φ t t -600 -400 -200 0 200 400 600 0 0.01 0.02 0.03 0.04 t [detik] [V] [µWb] φφφφ v_L

Bentuk gelombang fluksi berbeda dengan bentuk gelombang tegangan

Rugi-Rugi Inti

I_φ Φ I_c I_f γ V=Ei

Adanya rugi inti menyebabkan fluksi magnetik Φ tertinggal dari arus magnetisasi

I

_f sebesar

γ

yang disebut sudut histerisis.

)

90

cos(

o

−

γ

=

=

_{c f} c

I

V

V

I

P

Arus untuk mengatasi rugi inti

Arus magnetisasi Arus untuk membangkitkan fluksi

rugi arus pusar

Formulasi empiris untuk frekuensi rendah

(

n

)

m h

h vf K B

P = P_e = K_e f 2B_m2τ2v B_m: nilai kerapatan fluksi maksimum, τ : ketebalan laminasi inti, dan

v : adalah volume material inti

luas loop kurva histerisis

rugi histerisis

f

v

w

P

_h

=

_h frekuensi volume

Rugi Tembaga

Daya masuk yang diberikan oleh sumber, untuk mengatasi rugi-rugi inti, P_c

untuk mengatasi rugi-rugi tembaga, P_cu

θ

=

+

=

+

=

_{c cu c} 2_{f 1 f}

cos

in

P

P

P

I

R

V

I

P

I_φ Φ I_c I_f I_f R V θ Ei

Arus untuk mengatasi

rugi tembaga

Arus magnetisasi

Arus untuk membangkitkan fluksi

Tegangan jatuh pada belitan

R

I

P

_cu

=

2_f

Transformator

Dampak Harmonisa,

Transformator

Rangkaian Ekivalen dan Diagram Fasor

∼∼∼∼

Re= R2+R

′

1 jXe = j(X2+ X′1) I₂ = I′₁ V₁/a V2 I₂ I2Re V₂ V₁/a jI₂X_e

Rugi-Rugi Pada Belitan

Selain rugi-rugi tembaga terjadi rugi-rugi tambahan arus pusar,

P

_l , yang ditimbulkan oleh fluksi bocor.

Fluksi bocor selain menembus inti juga menembus konduktor belitan. Rugi arus bocor timbul baik di inti maupun di konduktor belitan.

Rugi arus pusar pada belitan (stray losses): P =l Kl f 2Bm2

Fluksi Dan Rugi-Rugi Karena Fluksi

Fluksi magnetik, rugi-rugi histerisis, dan rugi-rugi arus

pusar pada inti dihitung seperti halnya pada induktor

Namun formula ini tak digunakan

Rugi arus pusar dihitung sebagai proporsi dari rugi tembaga, dengan tetap mengingat bahwa rugi arus pusar sebanding dengan kuadrat ferkuensi.

Proporsi ini berkisar antara 2% sampai 15% tergantung dari ukuran transformator

CONTOH-4.7.

Resistansi belitan primer 0,05 Ω

I

I

_rms

= 40 A

Arus ini menimbulkan juga fluksi bocor.

Fluksi bocor ini menembus konduktor belitan dan menimbulkan rugi arus pusar di konduktor belitan. Rugi arus pusar ini = 5% dari rugi tembaga

W

80

05

,

0

40

2

×

=

=

cu

P

W

4

80

05

.

0

%

5

×

P

_cu

=

×

=

Rugi tembaga Rugi arus pusar

Rugi daya total pada belitan 80 + 4 = 84 W.

Rugi arus pusar diperhitungkan 10% dari rugi tembaga

CONTOH-4.8.

Resistansi belitan primer 0,05 Ω

I

I_1rms = 40 A I_7rms = 6 A

W

8

,

81

05

,

0

)

6

40

(

2 2 2

₌

₊

_×

₌

=

I

R

P

_{cu rms}

W

8

05

,

0

40

1

,

0

1

,

0

₁2 2 1

=

×

I

R

=

×

×

=

P

_{l rms}

W

8

,

8

05

,

0

6

7

1

,

0

7

1

,

0

2 ₇2 2 2 7

=

×

×

I

R

=

×

×

×

=

P

_{l rms}

W

6

,

98

8

,

8

8

8

,

81

7 1

+

=

+

+

=

+

=

_{cu l l} total

P

P

P

P

Rugi tembaga total:

Rugi arus pusar komponen fundamental:

Rugi arus pusar harmonisa ke-7:

Faktor K

Faktor K digunakan untuk menyatakan adanya rugi arus pusar

pada belitan. Ia menunjukkan berapa rugi-rugi arus pusar yang

timbul secara keseluruhan.

Nilai efektif total arus nonsinus

A

1 2

∑

=

=

k n nrms Trms

I

I

W

1 2 2 0

∑

=

=

k n nrms K

gR

n

I

P

proporsi terhadap rugi tembaga Rugi tembaga total

W

2 0 1 2 0 2 0 Trms k n nrms rms cu

R

I

R

I

R

I

P

=

=

∑

=

=

Rugi arus pusar total

Resistansi belitan 2 1 2 2 Trms k n nrms

I

I

n

K

∑

=

=

faktor rugi arus pusar (stray loss factor)