Open Course. Fungsi dan Grafik. Oleh: Sudaryatno Sudirham

Fungsi

Fungsi

dan

_dan

Grafik

_Grafik

Oleh: Sudaryatno Sudirham

Open Course

Dalam pelajaran ini disajikan bahasan tentang fungsi dan

grafik sebagai tahap awal dalam mempelajari kalkulus

Bahasan dibatasi pada fungsi-fungsi dengan peubah

bebas tunggal yang berupa bilangan nyata

Cakupan Bahasan

Pengertian Tentang Fungsi

Fungsi Linier

Gabungan Fungsi Linier

Mononom dan Polinom

Bangun Geometris

Fungsi Trigonometri

Gabungan Fungsi Sinus

Fungsi Logaritma Natural, Eksponensial, Hiperbolik

Fungsi dalam Koordinat Polar

Pengertian Tentang Fungsi

Fungsi

Apabila suatu besaran y memiliki nilai yang tergantung dari nilai besaran lain x, maka dikatakan bahwa besaran y tersebut

merupakan fungsi besaran x

Contoh: panjang batang logam merupakan fungsi temperatur Pernyataan secara umum ditulis

) (x f y =

disebut peubah tak bebas nilainya tergantung x

disebut peubah bebas bisa bernilai sembarang

dalam pelajaran ini nilai x dibatasi pada nilai bilangan nyata

Walaupun nilai x bisa berubah secara bebas, sementara ruas kiri tergantung dari ruas kanan, namun nilai x tetap harus

Pengertian Tentang Fungsi

Domain

Domain ialah rentang nilai (interval nilai) di mana peubah-bebas x bervariasi

rentang terbuka a _b

a < x < b _{a dan b tidak termasuk dalam rentang}

rentang setengah terbuka a _b

a ≤≤≤≤ x < b _{a masuk dalam rentang, tetapi b tidak}

rentang tertutup a _b

Sistem koordinat x-y atau koordinat sudut-siku

Pengertian Tentang Fungsi

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 P[2,1] Q[-2,2] R[-3,-3] S[3,-2] y x IV I II III sumbu-x sumbu-y

Posisi titik pada bidang dinyatakan dalam koordinat

[x, y] Bidang terbagi dalam 4 kuadran

Kurva dari Suatu Fungsi

Pengertian Tentang Fungsi

x y =0,5

Setiap nilai x akan menentukan satu nilai y

dst. 2 1,5 1 0,5 0 -0,5 y dst. 4 3 2 1 0 -1 x Δ Δ Δ Δx Δ ΔΔ Δy -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 -1 0 1 2 3 4 x y R P Q x y =0,5 Kurva

Titik P, Q, R, terletak pada kurva Kemiringan kurva:

x y ∆ ∆

Kekontinyuan

Pengertian Tentang Fungsi

Suatu fungsi yang kontinyu dalam suatu rentang nilai x tertentu, akan membentuk kurva yang tidak terputus dalam rentang tersebut.

Suatu fungsi y = f(x) yang terdefinisi di sekitar x = c dikatakan kontinyu di x = c jika dipenuhi dua syarat:

(1) fungsi tersebut memiliki nilai yang terdefinisi sebesar f(c) di x = c; (2) nilai f(x) akan menuju f(c) jika x menuju c; pernyataan ini kita

tuliskan sebagai

yang kita baca: limit f(x) untuk x menuju c sama dengan f(c).

) ( ) ( lim f x f c c x = →

Contoh-1.1.

Pengertian Tentang Fungsi

y = 1/x y = 1/x y x -1 0 1 -10 -5 0 5 10 Tak terdefinisikan di x = 0 y x y = u(x) 1 0 0 Terdefinisikan di x = 0

Simetri

Pengertian Tentang Fungsi

1. Jika fungsi tidak berubah apabila x kita ganti dengan −x maka kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-y;

2. Jika fungsi tidak berubah apabila x dan y dipertukarkan, kurva fungsi tersebut simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III. 3. Jika fungsi tidak berubah apabila y diganti dengan −y, kurva

fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-x.

4. Jika fungsi tidak berubah jika x dan y diganti dengan −x dan −y, kurva fungsi tersebut simetris terhadap titik-asal [0,0].

Pengertian Tentang Fungsi

Contoh-1.2. -6 -3 0 3 6 -6 -3 0 3 6 y = 0,3x2 y = 0,05x3 y2 _{+ x}2 _{= 9} x y

tidak berubah jika x dan y diganti dengan −x dan −y

tidak berubah bila x diganti −x

tidak berubah jika:

x diganti −x

x dan y diganti dengan −x dan −y x dan y dipertukarkan

Pengertian Tentang Fungsi

Pernyataan Fungsi Bentuk Implisit

8

1

1

2 2 2 2 2

=

+

+

=

=

=

+

y

xy

x

x

y

xy

y

x

)

(x

f

y =

Pernyataan fungsi bentuk eksplisit:

Pernyataan bentuk

implisit

Walaupun tidak dinyatakan secara eksplisit, setiap nilai peubah-bebas x akan memberikan satu atau lebih nilai

peubah-tak-bebas y

dapat diubah ke bentuk eksplisit

/ 1 1 2 x y x y x y = = − = 0 ) 8 ( 2 2 _{+ xy + x − =} y 2 ) 8 ( 4 2 2 2 _{− −} ± − = x x x y -8 -4 0 4 8 -4 -2 0 2 4 x y

Fungsi Bernilai Tunggal

Pengertian Tentang Fungsi

Fungsi bernilai tunggal adalah fungsi yang hanya memiliki satu nilai peubah-tak-bebas

untuk setiap nilai peubah-bebas

0 4 8 -1 0 1 2 3 4x y 2 5 , 0 x y = 0 0,8 1,6 0 1 2x y

x

y

=

+

-1,6 -0,8 0 0 1 2 x y

_y

₌

₋

_x

-0,8 0 0,8 0 1 2 3 4 x y

y

=

log

₁₀

x

0 2 4 -4 -2 0 2 4x y 2 x x y = = Contoh-1.3.

Pengertian Tentang Fungsi

Fungsi Bernilai Banyak

-2 -1 0 1 2 0 1 2 3 x y x y = ±

Fungsi bernilai banyak adalah fungsi yang memiliki lebih dari satu nilai peubah-tak-bebas

untuk setiap nilai peubah-bebas

-10 -5 0 5 10 0 1 2 3 x y x y2 =1/ y = ± 1/ x Contoh-1.3.

Fungsi Dengan Banyak Peubah Bebas

Pengertian Tentang Fungsi

Secara umum kita menuliskan fungsi dengan banyak peubah-bebas: ) , , , , (x y z u v f w =

Fungsi dengan banyak peubah bebas juga mungkin bernilai banyak, misalnya 2 2 2 2 z y x + + = ρ

Fungsi ini akan bernilai tunggal jika dinyatakan sebagai

2 2 2 z y x + + + = ρ

Pengertian Tentang Fungsi

Sistem Koordinat Polar

Selain sistem koordinat sudut-siku di mana posisi titik dinyatakan dalam skala sumbu-x dan sumbu-y, kita mengenal pula sistem

koordinat polar.

Dalam sistem koordinat polar, posisi titik dinyatakan oleh jarak titik ke titik-asal [0,0] yang diberi simbol r, dan sudut yang

terbentuk antara r dengan sumbu-x yang diberi simbol θ Hubungan antara koordinat susut siku dan koordinat polar

θ = sinr y θ = cosr x 2 2 y x r = + ) / ( tan−1 y x = θ x P θ r y rsinθ rcosθ

Fungsi Linier

Fungsi Tetapan

Fungsi tetapan bernilai tetap untuk rentang nilai x dari −∞ sampai +∞.

k

y =

x -4 0 5 -5 0 5 y y = 4 5 . 3 − = y Contoh-2.1.

Fungsi Linier

Persamaan Garis Lurus yang melalui [0,0]

mx

y =

kemiringan garis lurus

      ∆ ∆ = = " delta " " delta " : dibaca , kemiringan x y x y m Δ Δ Δ Δx Δ Δ Δ Δy 0 1 2 -1 0 1 2 3 4 x y -6 -4 -2 0 2 4 6 8 -1 0 1 2 3 4 x y y = 0,5x y = x y = 2x y = -1,5 x m > 0 m < 0 Contoh-2.2.

Fungsi Linier

Pergeseran Kurva dan Persamaan Garis Lurus

y = 2x y − 2 = 2x -4 -2 0 2 4 6 8 10 -1 0 1 2 3 _x 4 y

mx

b

y

− )

=

(

y = 2x -4 -2 2 4 6 8 -1 0 1 2 3 _x 4 y 0 y =2(x–1)

)

(

x

a

m

y

=

−

kurva tergeser sebesar

b

ke arah sumbu-y positif kurva tergeser sebesar

a

ke arah sumbu-x positif titik potong dengan sumbu-y titik potong dengan sumbu-x b mx y = + a mx y = + ′

Bentuk umum persamaan garis lurus

pergeseran ke arah sumbu-y

pergeseran ke arah sumbu-x

Fungsi Linier

Contoh-2.3. Persamaan garis: y−4 = −2x 2 0 2 4 0 1 2 1 2 _{= −} − − = − − = ∆ ∆ = x x y y x y m -4 -2 2 4 6 8 -1 0 1 2 3 _x 4 y 0 memotong sumbu y di 4 memotong sumbu x di 2 atau y = −2(x−2) 4 2 + − = x y

Fungsi Linier

1 2 1 2 x x y y m − − = x x x y y mx y 1 1 1 2 − − = =

Persamaan Garis Lurus yang melalui dua titik

[x₁,y₁] [x₂,y₂] -4 -2 0 2 4 6 8 -1 0 1 3 x y 2 -4 -2 2 4 6 8 -1 0 1 2 3 _x 4 y 0 [1,4] [3,8] ₂ 1 3 4 8 1 2 1 2 ₌ − − = − − = x x y y m

persamaan garis: y−b = 2x atau y = 2(x−a) 2 4− b= atau 8= 2(3−a) 2 = b atau a = −1 x y−2 = 2 _atau y = 2(x+1) 2 2 + = x y Contoh-2.4.

Fungsi Linier

Perpotongan Garis Lurus

1 1 1 a x b y = + y₂ = a₂x +b₂ 2 2 1 1x b a x b a + = + 2 P 2 P 1 P 1 P 2 1 1 2 P atau b x a y b x a y a a b b x + = + = ⇒ − − = ⇒ Contoh-2.5. 8 4 dan 3 2 ₂ 1 = x + y = x − y 5 , 5 8 4 3 2 2 1 = y → x + = x− → x = y 14 3 5 , 5 2 3 2 + = × + = = x y

Koordinat titik potong P harus memenuhi persamaan y₁ maupun y₂.

Dua garis:

Koordinat titik potong P harus memenuhi: dan -30 -20 -10 0 10 20 30 -10 -5 0 5 10 y x y₂ y₁ P

x

_P

y

_P Titik potong: P[(5,5),14]

Fungsi Linier

Contoh-Contoh Fungsi Linier dalam Peristiwa Nyata

Suatu benda dengan massa

m

yang mendapat gaya

F

akan memperoleh percepatan

a

ma F = _v(t) = _v0 +_at ]]]] anoda _katoda l Contoh-2.6. Contoh-2.7. e e m F a =

Beda tegangan antara anoda dan katoda dalam tabung katoda adalah V Kuat medan listrik:

l V E =

Gaya pada elektron:

l eV eE

F_e = =

Percepatan pada elektron:

gaya fungsi linier dari V

percepatan fungsi linier dari F_e

Fungsi Linier

Suatu pegas, jika ditarik kemudian dilepaskan akan kembali pada posisi semula apabila tarikan yang dilakukan masih dalam batas elastisitas pegas. Gaya tarikan merupakan fungsi linier dari

panjang tarikan.

Contoh-2.8.

kx F =

Contoh-2.9.

Dalam sebatang konduktor sepanjang

l

, akan mengalir arus listrik sebesar

i

jika antara ujung-ujung konduktor diberi perbedaan

tegangan sebesar

V

. Arus merupakan fungsi linier dari tegangan.

R V GV i = = R G = 1 A l R = ρ RA V A i j = =

gaya panjang tarikan konstanta pegas konduktansi _resistansi kerapatan arus resistivitas G dan R adalah tetapan

Luas penampang konduktor

panjang konduktor

Fungsi Linier

Contoh-2.10. x_a x C_a C_x materi masuk di x_a materi keluar di x ∆x

Peristiwa difusi mencapai keadaan mantap,jika konsentrasi materi C_a dan C_x

bernilai konstan

Inilah Hukum Fick Pertama yang secara formal menyatakan bahwa fluksi dari materi yang berdifusi sebanding dengan gradien konsentrasi.

Peristiwa difusi: materi menembus materi lain

dx dC D J_x = − gradien konsentrasi koefisien difusi

Fluksi materi yang berdifusi merupakan fungsi linier dari gradien konsentrasi

Fluksi materi yang berdifusi ke arah x

Gabungan Fungsi Linier

Fungsi Anak Tangga

)

(

x

a

ku

y

=

−

0 untuk 0 0 untuk 1 ) ( < = ≥ = x x x u

)

(x

ku

y =

_{muncul pada x = 0} amplitudo

Fungsi ini memiliki nilai yang terdefinisi

di x = 0

Fungsi anak tangga satuan

Fungsi anak tangga secara umum

Contoh-3.1.

Fungsi anak tangga tergeser -4 0 5 0 x 5 y y = 3,5u(x) ) ( 5 , 2 u x y = − _-4 0 5 0 _x 5 y 1 ) 1 ( 5 , 3 − = u x y

Gabungan Fungsi Linier

Fungsi Ramp

_{y =}

_axu

_(x

₎

0 1 2 3 4 5 6 -1 0 1 2 3 _x 4 y _y 1 = xu(x) y₂ = 2xu(x) y₃ = 1,5(x-2)u(x-2) Fungsi ramp tergeser:

_y

=

_a

₍

_x

−

_g

₎

_u

₍

_x

−

_g

₎

Fungsi ramp satuan :

y =

xu

(x

)

Contoh-3.2.

kemiringan a = 1

kemiringan

Fungsi ini baru muncul pada

x

= 0

karena ada faktor

u

(

x

)

yang didefinisikan muncul pada

x

= 0

Gabungan Fungsi Linier

Pulsa

_{Pulsa merupakan fungsi yang muncul pada suatu} nilai

x

₁ tertentu dan menghilang pada

x

₂

>

x

₁

)

(

)

(

x

x

₁

au

x

x

₂

au

y

=

−

−

−

:

persamaan

1 2

x −

x

:

pulsa

lebar

{

( 1) ( 2)

}

2 − − − = u x u x y₁=2u(x-1) y₂ = −2u(x

−

2) y₁ + y₂ = 2 u(x-1) – 2 u(x-2) lebar pulsa -2 -1 0 1 2 -1 0 1 2 3 _x 4 perioda x y Deretan Pulsa: Contoh-3.3.

Gabungan Fungsi Linier

Perkalian Ramp dan Pulsa

{

(

)

(

)

}

)

(

x

A

u

x

x

₁

u

x

x

₂

mxu

y

=

×

−

−

−

{

u

(

x

x

₁

)

u

(

x

x

₂

)

}

mAx

y

=

−

−

−

ramp pulsa

hanya mempunyai nilai dalam selang lebarnya

y₁=2xu(x) y₂=1,5{u(x-1)-u(x-3)}

y

₃

=

y

₁

y

₂ 0 2 4 6 8 10 -1 0 1 2 3 4

_x

5 y Contoh-3.4. y₂ = {u(x)-u(x-b)} y₁ = mxu(x) y₃ = y₁ y₂ = mx{u(x)-u(x-b)} 0 2 4 6 8 10 -1 0 1 2 3 4 5 y y x b maka y juga akan bernilai dalam selang lebar pulsa saja

Gabungan Fungsi Linier

Gabungan Fungsi Ramp

...

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

+

−

₁

−

₁

+

−

₂

−

₂

+

=

axu

x

b

x

x

u

x

x

c

x

x

u

x

x

y

Contoh-3.4. y₁= 2xu(x) y₂= −2(x−2)u(x−2) y₃= 2xu(x)−2(x−2)u(x−2) y -8 -4 0 4 8 12 0 1 2 3 4 x 5

Kemiringan yang berlawanan membuat y₃ bernilai konstan mulai dari x tertentu

y₁=2xu(x) y₂= −4(x−2)u(x−2) y₃= 2xu(x)−4(x−2)u(x

−

2) -10 -5 0 5 10 15 0 1 2 3 4 _x 5 y

y₂ lebih cepat menurun dari y₁ maka

Gabungan Fungsi Linier

y₁= 2xu(x) y₂= −4(x-2)u(x-2) y₃= {2xu(x)−4(x-2)u(x-2)}{u(x-1)-u(x-3)} -10 -5 0 5 10 15 0 1 2 3 4 x 5 y

Pulsa ini membuat y₃ hanya bernilai dalam selang 1≤ x ≤ 3

Mononom

Mononom

Mononom adalah pernyataan tunggal yang berbentuk

kx

n

Mononom Pangkat Dua:

y =

kx

2

y = x2 y = 3x2 y = 5x2 y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -3 -2 -1 0 1 2 x 3 -100 -80 -60 -40 -20 0 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 y x 2 10x y = − 2 2x y = − Contoh-4.1.

y memiliki nilai maksimum

Karena x2 ≥ 0,maka jika k > 0 → y > 0

jika k < 0 → y < 0

y₁ = 10x2

y₂ = 10(x−2)2 y₃ = 10(x−2)2 _{+ 30}

Pergeseran kurva mononom pangkat dua

0 50 100 -5 -3 -1 1 3 _x 5 y Pergeseran ke arah sumbu-x positif Pergeseran ke arah sumbu-y positif

Mononom

Mononom Pangkat Genap pada umumnya

y₂ = 2x4 y₃ = 2x6 y₁ = 2x2 0 1 2 3 y -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 _x 1.5 0 2 4 6 8 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 y = x6 y = 3x4 y = 6x2 y x

Pada mononom berpangkat genap, makin besar pangkat makin melandai

kurva di sekitar titik puncak Jika kurva-kurva ini memiliki nilai k yang sama maka mereka

berpotongan di titik P[1,k]

Koordinat titik potong antara kurva

( )

2 12 3 dan 2 2 3 6 3 dan 6 : Kurva 4 2 4 2 4 2 = = = → = → = = = y x x x x x y x y

( )

3 81 dan 3 3 3 3 dan : Kurva 6 2 4 6 4 6 = = = → = → = = = y x x x x x y x y Contoh-4.2.

Kurva mononom pangkat genap simetris terhadap sumbu-y

Mononom

Mononom Pangkat Ganjil

-3 -2 -1 0 1 2 3 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 y = 2x _{y = 2x}5 y = 2x3 y x

Pangkat ganjil terendah: linier

Jika kurva-kurva ini memiliki nilai k yang sama maka mereka

berpotongan di titik P[1,k] Makin tinggi pangkat mononom, makin landai kurva di sekitar titik

[0,0] yaitu titik yang merupakan

titik belok

Kurva mononom pangkat ganjil simetris terhadap titik [0,0]

Mononom

Mononom Pangkat Tiga

-500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 y x 3 3x y = − 3 2x y =

Mononom pangkat tiga Simetris terhadap [0,0] y = 10(x−2)3 y = 10(x−2)3 _{+ 100} -600 -400 -200 0 200 400 600 -5 -3 -1 1 3 x 5 y = 10x3 y Pergeseran mononom pangkat tiga ke arah

sumbu-x positif Pergeseran ke arah

sumbu-y positif

Mononom

Polinom Pangkat Dua

Polinom,

Pangkat Dua

c

bx

ax

y

=

2

+

+

y y₁=2x2 x y₃=13 y₂=15x -150 0 150 -10 0 10

13

15

2

2

+

+

=

x

x

y

y₁=2x2 y₄ = 2x2+15x x y y₂=15x -150 0 150 -10 0 x = −15/2 10 Kurva masing-masing komponen (mononom) dari polinom: Penjumlahan mononom

pertama dan ke-dua:

y

=

2

x

2

+

15

x

Perpotongan dengan sumbu-x

2

15

15

2

y₄ = 2x2_+15x −15/2 x y -150 0 150 -10 0 sumbu simetri −15/4 10 y₄ = 2x2+15x x y -150 0 150 -10 0 sumbu simetri y₅ = 2x2_+15x+13 10

Sumbu simetri dari

y

=

2

x

2

+

15

x

memotong sumbu-x di:

4

15

−

=

x

Penambahan komponen y₃ = 13 memberikan:

x

x

y

=

2

2

+

15

13 15 2 2 + + = x x y

Koordinat titik puncak:

125 , 15 13 4 15 15 4 15 2 75 , 3 4 / 15 2 − = +       − +       − = = − = y x

y

=

ax

2

₊

_bx

₊

_c

x₂ y x y = ax2 -50 0 0         ₋ − a ac b 4 4 2

Polinom Pangkat Dua secara umum

x₁ Sumbu simetri: a b x 2 − = a ac b a b x a c a b a b x a c x a b x a y 4 4 2 4 2 2 2 2 2 2 − −       ₊ = + −       ₊ = +       ₊ = Pergeseran ke arah kiri sumbu-x

Pergeseran ke arah negatif sumbu-y         ₋ − a ac b 4 4 2

Penjumlahan: y₃ = y₁ + y₂ -2000 0 2000 -10 0 x 10 y y₁ y₂

200

80

19

4

3 2 3

=

x

+

x

−

x

−

y

Polinom Pangkat Tiga: mononom pangkat tiga +

polinom pangkat dua

d

cx

bx

ax

y

=

3

+

2

+

+

Mononom pangkat tiga (y₁) Dan

Polinom pangkat dua (y₂) -2000 0 2000 -10 0 10 y x y₁= 4x3 200 80 19 2 2 = x − x − y

y₃ memotong sumbu-x di 3 titik Hal ini tidak selalu terjadi Tergantung dari nilai koefisien y₁

2000 -10 10 y₂ y₁ y₃ = y₁ + y₂ -2000

Kasus: a kurang positif Penurunan kurva y₁ di daerah x

negatif tidak terlalu tajam Kurva terlihat hanya memotong

sumbu-x di 2 titik

Titik potong ke-3 jauh di sumbu-x negatif -2000 2000 -10 15 y₁ y₂ y₃ = y₁+y₂

Kasus: a terlalu positif Penurunan y₁ di daerah negatif

sangat tajam

Tak ada titik potong dengan sumbu di daerah x negatif

Hanya ada satu titik potong di x positif 3 1

ax

y =

d

cx

bx

ax

y

=

3

+

2

+

+

3 1

ax

y =

Polinom,

Pangkat Tiga

y

₃

= y

₁

+

y

₂

y

₁

y

₂ -2000 0 -10 0 15 2000

d

cx

bx

ax

y

=

3

+

2

+

+

y

₃

= y

₁

+

y

₂ -2000 0 2000 -10 0 15

kx

ax

y

₁

=

3

=

−

d

cx

bx

y

₂

=

2

+

+

a <

0

Kurva y₃ berpotongan dengan sumbu-x di tiga tiga tempat. Akan tetapi perpotongan yang ke-tiga berada jauh di daerah x positif

Jika a terlalu negatif kurva berpotongan dengan sumbu-x di satu tempat

Polinom,

Pangkat Tiga

•

jika fungsi tidak berubah apabila x kita ganti dengan −x

maka kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-y;

•

jika fungsi tidak berubah apabila x dan y dipertukarkan,

kurva funsi tersebut simetris terhadap garis-bagi

kuadran I dan III.

•

jika fungsi tidak berubah apabila y diganti dengan −y,

kurva funsi tersebut simetris terhadap sumbu-x.

•

jika fungsi tidak berubah jika x dan y diganti dengan −x

dan −y, kurva fungsi tersebut simetris terhadap titik-asal

[0,0].

Simetri

Nilai Peubah

Dalam melihat bentuk-bentuk geometris hanya nilai-nyata dari y dan x yang kita perhatikan

Kita menganggap bahwa bilangan negatif tidak memiliki akar, karena kita belum membahas bilangan kompleks

Contoh-5.1.

1

2 2

_{+ x}

₌

y

2

1 x

y

=

±

−

Apabila |x| > 1, maka (1 - x2) _{< 0}

Dalam hal demikian ini kita membatasi x hanya pada rentang

Karena kurva ini simetris terhadap garis y = x, maka ia memiliki nilai juga terbatas pada rentang

1

1

≤

≤

−

x

1

1

≤

≤

−

y

Titik Potong Dengan Sumbu Koordinat

Koordinat titik potong dengan sumbu-x dapat diperoleh dengan

memberi nilai y = 0, sedangkan koordinat titik potong dengan sumbu-y diperoleh dengan memberi nilai x = 0. Apabila dengan cara demikian tidak diperoleh nilai y ataupun x maka kurva tidak memotong sumbu-x maupun sumbu-y Contoh-5.2.

1

2 2

_{+ x}

₌

y

Titik potong dengan sumbu-x adalah P[1,0] dan Q[−1,0]. Titik potong dengan sumbu-y adalah R[0,1] dan S[0,−1]

xy = 1

Kurva fungsi ini tidak memotong sumbu-x maupun sumbu-y

Bangun Geometris,

Karakteristik Umum

Asimptot

Suatu garis yang didekati oleh kurva namun tidak mungkin menyentuhnya, disebut asimptot

Contoh-5.3.

10

)

(

2 2 2

_x

₋

_x

₌

_x

₊

y

)

1

(

10

2

−

+

±

=

x

x

x

y

tidak boleh < 0 agar x(x−1) > 0 haruslah x < 0 atau x > 1 Tidak ada bagian kurva yang berada antara x = 0 dan x = 1.

Garis vertikal x = 0 dan x = 1 adalah asimptot dari kurva -4 0 4 -4 0 4 y x

Jarak Antara Dua Titik

Jika P[x_p,y_p) dan Q[x_q,y_q], maka 2 2

)

(

)

(

PQ

=

x

_p

−

x

_q

+

y

_p

−

y

_q

Bangun Geometris,

jarak antara dua titik

Contoh-5.4. -4 -2 2 4 6 8 -1 0 1 2 3 _x 4 y 0 [1,4] [3,8]

20

)

4

8

(

)

1

3

(

PQ

=

−

2

+

−

2

=

Parabola

Bangun Geometris,

Parabola

Bentuk kurva

y =

kx

2 disebut parabola

[0,0] y x y=kx2 P[x,y] Q[0,p] R[x,−p]

P terletak pada kurva Q terletak di sumbu-y

y = −p garis sejajar sumbu-x R terletak pada garis y

ada suatu nilai k sedemikian rupa sehingga PQ = PR Q disebut titik fokus parabola

Garis y disebut direktrik

Titik puncak parabola berada di tengah antara titik fokus dan direktriknya x p py y x p y x p 2 2 2 2 2 2 2 2 ) ( ) PR ( PQ + + − = + − = + − = p y ) ( PR = + p y x p py y2 − 2 + 2 + 2 = + p x y 4 2 = p k 4 1 = k p 4 1 = 2

4

1

x

p

y =

Bangun Geometris,

Parabola

Contoh-5.4.

Parabola

y =

0

,

5

x

2 dapat kita tuliskan

2 2

5

,

0

4

1

2

1

x

x

y

×

=

=

Direktrik:

y

= p

−

=

−

0

,

5

Titik fokus: Q[0,(0,5)]

Bangun Geometris,

Lingkaran

Lingkaran

Lingkaran merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap satu titik tertentu

yang disebut titik pusat lingkaran

Jika titik pusat lingkaran adalah [0,0] dan jari-jari lingkaran adalah r

2 2 _y x r = + x2 + y2 = r2 persamaan lingkaran berjari-jari r berpusat di [0.0] 2 2 2

)

(

)

(

x

−

a

+

y

−

b

=

r

Pergeseran titikpusat lingkaran sejauh

a

kearah sumbu-

x

dan sejauh

b

ke arah sumbu-

y

Persamaan umum lingkaran berjari-jari

r

berpusat di

(

a,b

)

-1 0,5 1 -1 _[0,0] 0,5 1 _x y r = 1

1

2 2

₊

₌

y

x

r 2 2 2

₍

₀

_,

₅

₎

)

5

,

0

(

x

−

+

y

−

=

r

Contoh-5.5.

Elips

Bangun Geometris,

Elips

Elips adalah tempat kedudukan titik yang jumlah jarak terhadap dua titik tertentu adalah konstan

Kedua titik tertentu tersebut merupakan dua titik fokus dari elips

X[x,y] P[-c, 0] Q[c, 0] _x y 2 2 ) ( XP= x+ c + y 2 2 ) ( XQ= x−c + y

(

)

a y c x y c x a 2 ) ( ) ( misalkan) kita 2 XQ XP 2 2 2 2 _{+ + − + =} + ⇒ = + 2 2 ) (x c y x a c a − = − + 2 2 2 2 2 2 2 ) ( ) ( 4 4 ) (x+ c + y = a − a x− c + y + x −c + y 2 2 2 2 ) ( 2 ) (x+c + y = a− x−c + y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x x cx c y a c cx a − + = − + + _{2 2} 1 2 2 2 = − + c a y a x kwadratkan kwadratkan sederhanakan 2 2 2 2 XQ XP : PXQ segitiga di + = a> c → a > c 1 2 2 2 2 = + b y a x 2 2 2 c a b = −

1 2 2 2 2 = + b y a x X[x,y] P[-c, 0] _{Q[c, 0] x} y

[

−

a

,0]

_[

_a

_,0]

[0,

b

]

[0,−

b

]

sumbu panjang = 2a sumbu pendek = 2b Elips tergeser 1 ) ( ) ( 2 2 2 2 = − + − b q y a p x 1 2 2a = → a = 5 , 0 1 2b= →b= 1 -1 0 -1 0 1 x 2 y 1 5 , 0 ) 25 , 0 ( 1 ) 5 , 0 ( 2 2 2 2 = − + − y x 5 , 0 = p 25 , 0 = q

Hiperbola

Hiperbola merupakan tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya antara dua titik tertentu adalah konstan

X(x,y) P[-c,0] Q[c,0] y x 2 2 ) ( XP = x +c + y 2 2 ) ( XQ= x− c + y a y c x y c x XQ XP 2 ) ( ) ( + 2 + 2 − − 2 + 2 = = − 2 2 2 2 ) ( 2 ) (x+c + y = a+ x−c + y 2 2 ) ( ) / (c a x−a = x−c + y 1 2 2 2 2 2 = − − a c y a x

Dalam segitiga PXQ, selisih (XP−XQ) < PQ → 2c < 2a → c2 − a2 _{= b}2

1

2 2 2 2

=

−

b

y

a

x

kwadratkan dan sederhanakan kwadratkan

persamaan hiperbola

1

2 2 2 2

=

−

b

y

a

x

+∞ −∞ X(x,y) -c c y x

[-

a

,0]

[

a

,0]

Kurva tidak memotong sumbu-y

Tidak ada bagian kurva yang terletak antara

x =

−

a

dan

x = a

2

2 2 _{c a}

b = −

Kurva Berderajat Dua

Bangun Geometris,

Kurva Berderajat Dua

Parabola, lingkaran, elips, dan hiperbola adalah bentuk-bentuk khusus kurva berderajat dua, atau kurva pangkat dua

Bentuk umum persamaan berderajat dua adalah

0 2 2 _{+ Bxy+Cy +Dx+ Ey+ F =} Ax Persamaan parabola: B=C = D= F =0; A=1; E =−4p Lingkaran: B= D = E =0; A=1; C =1; F = −1

Bentuk Ax2 _{dan Cy}2 _{adalah bentuk-bentuk berderajat dua yang} telah sering kita temui pada persamaan kurva yang telah kita bahas. Namun bentuk Bxy yang juga merupakan bentuk berderajat

Bangun Geometris,

Kurva Berderajat Dua

Perputaran Sumbu Koordinat

Hiperbola dengan titik fokus tidak pada sumbu-x

P[-a,-a] Q[a,a] y x a a y a x a y a x ) ( ) ( ) ( ) 2 ( + 2 + + 2 − − 2 + − 2 = 2 2 ) ( ) (x a y a a y x + − = − + − 2

2

xy =

a

Mempetukarkan x dengan y tidak mengubah persamaan ini. Kurva persamaan ini simetris terhadap garis y = x, 2 2 2 2 ) ( ) ( 2 ) ( ) (x+a + y+a = a+ x−a + y−a

Kurva hiperbola ini memiliki sumbu simetri yang terputar 45o _{berlawanan dengan arah}

perputaran jarum jam, dibandingkan dengan sumbu simetri hiperbola sebelumnya, yaitu

sumbu-x. -5

0 5

-5 0 x

Fungsi Trigonometri,

Pengertian-Pengertian

Untuk menjelaskan fungsi trigonometri, kita gambarkan lingkaran-satuan Fungsi sinus PQ PQ sinθ= = r Fungsi Cosinus OQ OQ cosθ = = r Fungsi Tangent θ θ = = θ cos sin OQ PQ tan θ − = − = ′ = θ − tan OQ PQ OQ Q P ) tan( Fungsi Cotangent θ θ = = θ sin cos PQ OQ cot θ − = − = ′ = θ − cot PQ OQ Q P OQ ) cot( Fungsi Secan Fungsi Cosecan OQ cos 1 sec = r θ = θ PQ sin 1 csc = r θ = θ O P Q θ -1 1 -1 _[0,0] 1 x y r = 1 P’ -θ θ + θ = _sin2 _cos2 1

Fungsi Trigonometri,

Relasi-Relasi

Relasi-Relasi

sinα α -1 1 -1 _{[0,0] 1 x} y β cosα cosα cosβ cosα sinβ β sinα sinβ sinα cosβ β α + β α = β +

α ) sin cos cos sin

sin( β α + β α = β − α β α − β α = β − α sin sin cos cos ) cos( sin cos cos sin ) sin( β α − β α = β +

α ) cos cos sin sin

cos( Karena β − = β − ) sin sin( β = β − ) cos cos(

Fungsi Trigonometri,

Relasi-Relasi Contoh-6.1: α α = α α + α α =

α) sin cos cos sin 2sin cos 2 sin( α − α = α α − α α = α 2 2 sin cos sin sin cos cos ) 2 cos( β α − β α = β − α β α + β α = β + α sin cos cos sin ) sin( sin cos cos sin ) sin( 2 ) sin( ) sin( cos sinα β = α+β + α−β α + α =cos2 sin2 1 α = + α 2 cos 2 1 ) 2 cos( 2 ) cos( ) cos( cos cosα β= α+β + α−β β α − β α = β +

α ) cos cos sin sin

cos( β α + β α = β −

α ) cos cos sin sin

cos( 2 ) cos( ) cos( cos cosα β = − α+β + α−β β α − β α = β +

α ) cos cos sin sin

cos( β α + β α = β −

α ) cos cos sin sin

cos( 1 cos 2 ) 2 cos( α = 2 α− α − = − α 2 sin 2 1 ) 2

Fungsi Trigonometri,

Normal

Kurva Fungsi Trigonometri Dalam Koordinat x-y

perioda -1 0 1 0 x y 2π π −π x y -1 0 1 0 −π π 2π −2π perioda ) 2 / cos( ) sin( = − π = x x y

pergeseran fungsi cosinus sejauh π/2 ke arah sumbu-x positif

Contoh: o o o o _{cos(56 90 ) cos34} 56 sin = − =

-3 -2 -1 0 1 2 3 -3π/4 -π/2 -π/4 0 π/4 π/2 3π/4 -3 -2 -1 0 1 2 3 0 -3π/4 -π/2 -π/4 π/4 π/2 3π/4 Fungsi Tangent Fungsi Cotangent θ = θ θ = θ cot 1 cos sin tan θ = θ θ = θ tan 1 sin cos cot asimptot Rentang: -π/4 < tanθ < π/4 π/4 < tanθ < 3π/4 dst. Lebar rentang: π/2 Rentang: 0 < tanθ < π/2 -π/2 < tanθ < 0 dst. Lebar rentang: π/2

Fungsi Trigonometri,

Normal

Fungsi Secan Fungsi Cosecan -3 -2 -1 0 1 2 3 -1,5π -π -0,5π 0 0,5π π 1,5π -3 -2 -1 0 1 2 3 -1,5π -π -0,5π 0 0,5π π 1,5π ) cos( 1 ) sec( x x y = = ) sin( 1 ) csc( x x y = = Rentang: -π/2 < tanθ < π/2 π/2 < tanθ < 3π/2 dst. Lebar rentang: π Rentang: 0 < tanθ < π -π< tanθ < 0 dst. Lebar rentang: π asimptot

Fungsi Trigonometri,

Inversi

Sinus Inversi

x x y 1 sin atau arcsin − = = x y -1 00 1 −π π 2π −2π -0,5π -0,25π 0 0,25π 0,5π -1 -0,5 0 0,5 x 1 y Kurva lengkap

Kurva nilai utama -π/2 < sin-1_{x <π/2} -1 < x < 1 y x 1 2 1 x− x y = sin−1 2 2 1 tan 1 cos x x y x y − = − =

Sudut y yang sinusnya = x x

y = sin

Cosinus Inversi

x y -1 0 0 1 −π π 0 0,25π 0,5π 0,75π 1π -1 -0,5 0 0,5 x 1 y Kurva lengkap

Kurva nilai utama 0 < cos-1_{x < π} -1 < x < 1 x y = cos−1 y x 1 2 1 x− x y = cos−1 x x y x y 2 2 1 tan 1 sin − = − = y x = cos

Tangent Inversi

_y

1

_x

tan

−

=

-3 -2 -1 0 1 2 3 -1,5π -π -0,5π 0 0,5π π 1,5π y x -0,5π -0,25π 0 0,25π 0,5π -10 -5 0 5 x 10 y 2 tan 2 1 _< π < π − − x Kurva lengkap

Kurva nilai utama

y x = tan y x 1 2 1 x+ x y = tan−1 2 2 1 1 cos 1 sin x y x x y + = + =

Cotangent inversi

x

y

=

cot

−1

dengan nilai utama

π

<

<

cot

−1

x

0

0 0,5π 1π -10 -5 0 5 10 y x π < <cot−1x 0

Kurva nilai utama

y

x

=

cot

y x 1 2 1 x+ x y = tan−1 2 2 1 cos 1 1 sin x x y x y + = + =

Secan Inversi

x

x

y

=

sec

−1

=

cos

−1

1

dengan nilai utama π ≤ ≤sec−1x 0 0 0,25π 0,5π 0,75π π -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x 4 y π < <sec−1x 0

Kurva nilai utama

y

x

=

sec

y x 1 2 1 x+ x y = sec−1 2 2 1 tan 1 cos 1 sin x y x y x x y + = = + =

Cosecan Inversi

x x y = csc−1 =sin−1 1 2 csc 2 1 _≤ π ≤ π − − x y -0,5π -0,25π 0 0,25π 0,5π -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x 4

Kurva nilai utama

dengan nilai utama

2 csc 2 1 _≤ π ≤ π − − x y x = csc y x 1 2 1 x+ x y = csc−1 2 2 1 1 tan 1 cos 1 sin x y x x y x y + = + = =

Gabungan Fungsi Sinus

Banyak peristiwa terjadi secara siklis sinusoidal yang merupakan fungsi waktu, seperti misalnya gelombang cahaya, gelombang radio

pembawa, gelombang tegangan listrik sistem tenaga, dsb

Oleh karena itu kita akan melihat fungsi sinus dengan menggunakan waktu, t, sebagai peubah bebas

Tiga besaran karakteristik fungsi sinus

) 2 sin( ) sin( 0 +θ π = θ + = t f A x A y sudut fasa frekuensi siklus amplitudo

Selain frekuensi siklus, f₀, kita mengenal juga frekuensi sudut, ω₀, dengan hubungan

2 ₀

0 = πf

Gabungan Fungsi Sinus

Hubungan antara frekuensi siklus dan perioda adalah:

0 0

1

T f =

Karena fungsi sinus adalah fungsi periodik maka gabungan fungsi sinus juga merupakan fungsi

periodik walaupun tidak berbentuk sinus.

T₀ -A 0 A 0 t y T_s T₀ -A 0 A 0 t y

Fungsi sinus adalah fungsi periodik yaitu fungsi yang memenuhi hubungan

) ( ) (t T₀ f t f − = perioda

Gabungan Fungsi Sinus

Contoh-6.1. y y = 3 cos 2f₀t -4 0 4 -5 15 t y y = 1 + 3 cos 2f₀t -4 0 4 -5 15 t ) ) 2 ( 2 cos( 2 2 cos 3 1 f₀t f₀ t y ==== ++++ π −−−− π y t -4 0 4 -5 15 ) 4 / ) 2 ( 2 cos( 2 2 cos 3 1++++ π ₀ −−−− π ₀ ++++π ==== f t f t y -4 1 -5 15

Bentuk kurva gabungan fungsi sinus ditentukan oleh besaran karakteristik fungsi sinus penyusunnya

Perbedaan amplitudo, frekuensi, dan sudut fasa menentukan bentuk gelombang gabungan

Gabungan Fungsi Sinus

Bentuk kurva gabungan fungsi sinus ditentukan juga oleh banyak komponen sinus yang terlibat Komponen-komponen sinus yang terlibat dalam pembentukan gelombang gabungan disebut harmonisa Komponen sinus dengan f₀ disebut komponen fundamental

Di atas komponen fundamental adalah Harmonisa ke-2 dengan frekuensi 2f₀ Harmonisa ke-3 dengan frekuensi 3f₀

Harmonisa ke-4 dengan frekuensi 4f₀ dst.

Gabungan fungsi sinus juga mungkin mengandung fungsi tetapan yang disebut komponen searah

Gabungan Fungsi Sinus

a) _b)

d)

c)

e)

a). sinus dasar (fundamental).

b). harmonisa-3 dan sinus dasar + harmonisa-3.

c). harmonisa-5 dan sinus dasar + harmonisa-3 + harmonisa-5.

d). harmonisa-7 dan sinus dasar + harmonisa-3 + harmonisa-5 + harmonisa-7. e) hasil penjumlahan yang dilakukan sampai pada harmonisa ke-21.

Contoh-6.2.

Gabungan Fungsi Sinus

Spektrum

Jika gabungan fungsi sinus membentuk gelombang periodik yang tidak berbentuk sinus (non-sinus) maka bentuk gelombang

non-sinus dapat diuraikan menjadi komponen-komponen sinus Komponen-komponen sinus itu membentuk suatu spektrum.

Ada dua spektrum yaitu

Spektrum Amplitudo dan Spektrum Sudut-fasa

Makin tinggi frekuensi harmonisa, makin rendah amplitudonya. Frekuensi tertinggi, f_maks, adalah frekuensi harmonisa yang

amplitudonya sudah dapat diabaikan.

Frekuensi terendah, f_min, adalah frekuensi komponen fundamental yaitu 1, atau 0 jika spektrum mengandung komponen searah

Lebar Pita

Lebar pita frekuensi suatu spektrum adalah selang frekuensi yang merupakan selisih f_maksdan f_min

Contoh-6.3.

Gabungan Fungsi Sinus

) 4 2 cos( 5 , 7 ) 2 / 2 2 cos( 15 ) 2 cos( 30 10 + π ₀ + π ₀ − π + π ₀ + π = f t f t f t y π −π/2 0 − Sudut fasa 7,5 15 30 10 Amplitudo 4 f₀ 2 f₀ f₀ 0 Frekuensi 0 10 20 30 40 0 1 2 3 4 5 Frekuensi [×f0] A m p lit u d o 0 π/2 2π 0 1 2 3 4 5 S u d u t F a s a Frekuensi [×f₀] −π/2 −2π Spektrum Sudut-fasa Spektrum Amplitudo

Gabungan Fungsi Sinus

Deret Fourier

Penguraian suatu sinyal periodik menjadi suatu spektrum sinyal tidak lain adalah pernyataan fungsi periodik kedalam deret Fourier

[

]

∑

π + π + = cos(2 ) sin(2 ) ) (t a₀ a nf₀t b nf₀t f _{n n} fungsi periodik Koefisien Fourier Contoh-6.4. 1 0 ; 2 / ganjil 0 genap; 1 / 2 / 1 2 0 ≠ = = = − π = π = n b A b n a n n A a A a n n n T₀ t y

Contoh-6.6. Contoh-6.5.

Gabungan Fungsi Sinus

T₀ A t y n b n a n n A a A a n n n semua untuk 0 ganjil 0 genap; 1 / 4 / 2 2 0 = = − π = π = n n A b n a A a n n semua untuk semua untuk 0 2 / 0 π − = = = T₀ A t y

Bilangan Natural

Fungsi Logaritma Natural

Logaritma natural adalah logaritma dengan menggunakan basis bilangan e

Bilangan e ini, seperti halnya bilangan π, adalah bilangan-nyata dengan desimal tak terbatas. Sampai dengan 10 angka di belakang koma, nilainya adalah

e = 2,7182818284

1

ln =

e

a

e

a

e

a

= ln

=

ln

Fungsi Logaritma Natural

Kurva y = ln x

Fungsi Logaritma Natural

Definisi ln x x t ln x 1/t 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 y

luas bidang antara fungsi 1/t dan sumbu-x yang dibatasi oleh t = 1 dan t = x

∫

=

x

dt

t

x

1

1

ln

e = 2,7182818284L.. -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 0 1 2 3 x 4 y e y = ln x

1

ln =

e

Sifat-Sifat 1 untuk negatif bernilai ln ln 1 ln ln ln ; ln ln ln ln ln ln < = = = − = + = x x x e e x n x a x a x x a ax x n

Fungsi Eksponensial

Fungsi Eksponensial

Antilogaritma Antilogaritma adalah inversi dari logaritma

y

x

=

ln

Fungsi Eksponensial x

e

y =

Fungsi eksponensial yang penting adalah fungsi eksponensial dengan eksponen negatif

0

;

)

(

≥

=

e

−

u

x

x

y

ax

Faktor u(x) membuat fungsi ini muncul pada x = 0 Namun demikian faktor ini biasa tidak lagi dituliskan dengan pengertian bahwa fungsi eksponensial tetap muncul pada t = 0

Kurva Fungsi Eksponensial

Fungsi Eksponensial

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 _x 4 y e−x e−2x

Makin negatif eksponen fungsi ini, makin cepat ia menurun

mendekati sumbu-x

ax

e

y

=

−

Penurunan kurva fungsi eksponensial ini sudah mencapai sekitar 36% dari nilai awalnya (yaitu nilai pada x = 0), pada saat x = 1/a

Pada saat x = 5/a, kurva sudah sangat menurun mendekati sumbu-x, nilai fungsi sudah di bawah 1% dari nilai awalnya

Oleh karena itu fungsi eksponensial biasa dianggap sudah bernilai nol pada x = 5/a

Fungsi Eksponensial

Persamaan umum fungsi eksponensial dengan amplitudo A dengan waktu sebagai peubah bebas adalah

)

(

)

(

t

Ae

/

u

t

u

Ae

y

=

−at

=

−t τ

yang dituliskan dengan singkat

y

=

Ae

−at

=

Ae

−t/τ

τ = 1/

a

disebut konstanta waktu makin kecil τ, makin cepat fungsi eksponensial menurun

Pada saat t = 5τ, nilai fungsi sudah di bawah 1% dari A fungsi eksponensial dianggap sudah bernilai nol pada t = 5τ

Gabungan Fungsi Eksponensial

Fungsi Eksponensial

0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 A t/τ 1 / 1 τ t

Ae

y

====

−−−− 2 / 2 τ t

Ae

y

====

−−−−

((((

e

t/τ1

e

t/τ2

))))

A

y

====

−−−−

−−−−

−−−−

Fungsi Hiperbolik

Fungsi Hiperbolik

Definisi

Kombinasi tertentu dari fungsi eksponensial membentuk fungsi hiperbolik, seperti

cosinus hiperbolik (cosh) dan sinus hiperbolik (sinh)

2 sinh ; 2 cosh x x x x _{e e} x e e x − − ₋ = + =

Untuk

sinh

x

dan cosh x terdapat hubungan

1 4 4 4 2 4 2 sinh cosh 2 2 2 2 2 2 _{x− x =} e x + +e− x ₋ e x − +e− x _{= =}

sedangkan untuk

sin

x

dan

cos

x

terdapat hubungan: 1

sin

+∞ −∞ v v = 0 P[x,y] y = sinh v x = cosh v -4 -2 0 2 4 0 2 4

Fungsi hiperbolik yang lain

v v v v v v v v e e e e v v v e e e e v v v ₋ − − − − + = = + − = = sinh cosh coth ; cosh sinh tanh v v v v e e v v e e v v _{− −} − = = + = = 2 sinh 1 csch ; 2 cosh 1 sech

Fungsi Hiperbolik

Fungsi Hiperbolik

Beberapa Identitas

1 sinh cosh2 v − 2v = v v 2 2 _sech tanh 1− = v v 2 2 _{1 csch} coth − = u e v v + sinh = cosh u e v v − sinh = − cosh

Fungsi Hiperbolik

Kurva-Kurva Fungsi Hiperbolik

x e 2 1 x e− − 2 1 x y = sinh x y -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -2 -1 0 1 2 -1 0 1 2 3 4 -2 -1 0 1 2 x y=sech x y=cosh y x x y=csch x y=sinh x y -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -2 -1 0 1 2 x y=csch x y=coth x y=coth x y=tanh x y -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -2 -1 0 1 2 x y=sinh x y=cosh y x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -2 -1 0 1 2 x e 2 1

Koordinat Polar

Relasi Koordinat Polar dan Koordinat Sudut-siku

θ = sin P r y θ = cos P r x P[r,θ] x y θ [0,0] r x_P y_P

Koordinat Polar

Persamaan Kurva Dalam Koordinat Polar

Persamaan lingkaran berjari-jari c berpusat di O[a,b] dalam koordinat sudut-siku

2 2

2 _{( )}

)

(x − a + y −b = c

dalam koordinat polar

2 2 2 _{( sin )} ) cos (r θ− a + r θ −b =c [0,0] a x y P[r,θ] θ r b [0,0] a x y _P[r,θ] θ r

Koordinat Polar

Contoh-9.1. -3 -2 -1 0 1 2 3 -5 -3 -1 1 y x r θ P[r,θ] cardioid

)

cos

1

(

2

−

θ

=

r

θ y x -3 -2 -1 0 1 2 3 -5 -3 -1 1 3 5 r P[r,θ]

θ

=

16

cos

2

r

-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 -1 0 1 2 _x 3 y θ = π θ = 3π θ = 4π θ = 2π r θ P[r,θ] y = 2

2

=

θ

r

Persamaan Garis Lurus

Koordinat Polar

r θ O y x l₁ a P[r,θ]

a

r

l

₁

:

cos

θ

=

r θ O y x l₂ b P[r,θ]

b

r

l

₂

:

sin

θ

=

α r β l₃ a A O y x θ P[r,θ] a r l₃ : cos(β−θ) = r β l₄ a O y x θ P[r,θ] a r l₄ : cos(θ−β) =

Koordinat Polar

Parabola, Elips, Hiperbola

θ − = cos 1 k r Parabola: Eksentrisitas θ + = = cos PD PF r k r e_s Eksentrisitas: direktriks F D θ r k x A B y P[r,θ] titik fokus

Dengan pengertian eksentrisitas ini kita dapat membahas sekaligus

parabola, elips, dan hiperbola.

Elips: 1 = s e θ − = cos 1 _s s e k e r θ + = θ + = e (k rcos ) e k e rcos r _{s s s} 1 < s e θ − = θ − × = cos 2 cos 5 , 0 1 5 , 0 k k r (misal e_s = 0,5) Hiperbola: es >1 _{− θ} × = cos 2 1 2 k r (misal e_s = 2)

Lemniskat dan Oval Cassini

Koordinat Polar

F₁[a,π] F₂[a,0] P[r,θ] r θ _{θ = 0} θ = π θ = π/2

Kurva-kurva ini adalah kurva pada kondisi khusus, yang merupakan tempat kedudukan titik-titik yang hasil kali

jaraknya terhadap dua titik tertentu bernilai konstan

( ) (

) (

)

θ + + = θ + + θ = cos 2 cos sin PF 2 2 2 2 2 1 ar a r r a r

( ) (

) (

)

θ − + = θ − + θ = cos 2 cos sin PF 2 2 2 2 2 2 ar a r r a r 2 2 1 PF PF × =b Misalkan

(

) (

)

) cos 2 1 ( 2 cos 2 cos 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 4 θ − + + = θ − + × θ + + = r a a r ar a r ar a r b θ − + = r4 a4 2a2r2 cos2

)

1

(

2

cos

2

cos

2 2 4 2 2

_a

_a

_k

r

=

θ

±

θ

−

−

Buat b dan a berrelasi

b = ka _k4_a4 _{= r}4 _+a4 _−2a2_r2_cos2θ ) 1 ( 2 cos 2 0= r4 − a2r2 θ+a4 −k4

Koordinat Polar

Lemniskat

2 2_cos2 2 _cos2 _{2 (1} 4₎

k a a r = θ± θ − − Kondisi khusus:

k

= 1

θ = 2 2 cos2 2 a r θ = 0 θ = π θ = π/2 -0,6 -0,2 0 0,2 0,6 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5

Kondisi khusus:

k

> 1, misal

k

= 1,1

θ = 0 θ = π θ = π/2 -1 -0,5 0 0,5 1 -2 -1 0 1 2 Kurva dengan a = 1

Oval Cassini

Kondisi khusus:

k

< 1

, misalkan

k

= 0,8

θ = 0 θ = π θ = π/2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 -2 -1 0 1 2

Koordinat Polar

) 1 ( 2 cos 2 cos 2 2 4 2 2 _{a a k} r = θ ± θ − −

Courseware

Fungsi dan Grafik