Sudaryatno Sudirham. Studi Mandiri. Fungsi dan Grafik. Darpublic

2

Sudaryatno Sudirham

Darpublic

Studi Mandiri

Fungsi dan Grafik

Fungsi dan Grafik

Fungsi dan Grafik

Fungsi dan Grafik

BAB 8

Fungsi Logaritma atural, Eksponensial,

Hiperbolik

8.1. Fungsi Logarithma atural.

Definisi. Logaritma natural adalah logaritma dengan menggunakan basis bilangan e. Bilangan e ini, seperti halnya bilangan π, adalah bilangan-nyata dengan desimal tak terbatas. Sampai dengan 10 angka di belakang koma, nilainya adalah

e = 2,7182818284

Bilangan e merupakan salah satu bilangan-nyata yang sangat penting dalam matematika:

1

ln =

e

(8.1)

a

e

a

e

a

= ln

=

ln

(8.2) Kita lihat sekarang fungsi logaritma natural. Fungsi logaritma natural dari x dituliskan sebagai

x

y

=

ln

(8.3) Fungsi ini didefinisikan melalui integral (mengenai integrasi akan kita pelajari pada Bab-12), yaitu

∫

=

x

dt

t

x

1

1

ln

(8.4) Di sini kita akan melihat definisi tersebut secara grafis di mana integral dengan batas tertentu seperti (8.4) berarti luas bidang antara fungsi 1/t dan sumbu-x yang dibatasi oleh t = 1 dan t = x . Perhatikan Gb.8.1. Nilai fungsi y = ln x adalah luas bidang yang dibatasi oleh kurva (1/t) dan sumbu-t, dalam rentang antara t = 1 dan t = x.

Gb.8.1. Definisi ln x ditunjukkan secara grafis.

x t ln x 1/t 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 y

8-2 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik

Kurva fungsi y = ln x dalam koordinat x-y adalah seperti pada Gb.8.2. Nilai ln x = 1 terjadi pada nilai x = e.

Gb.8.2. Kurva y = ln x.

Sifat-Sifat. Sifat-sifat logaritma natural mirip dengan logaritma biasa. Jika x dan a adalah positif dan n adalah bilangan rasional, maka:

1 untuk negatif bernilai ln ln 1 ln ln ln ; ln ln ln ln ln ln < = = = − = + = x x x e e x n x a x a x x a ax x n _(8.5) Soal-Soal

Dengan membagi luas bidang di bawah kurva (1/t) pada Gb.8.1 dalam segmen-segmen selebar ∆t = 0,1 dan mendekati luas segmen sebagai luas trapesium, hitunglah

1). ln 1,5 2). ln 2 ; 3). ln 0,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 0 1 2 3 _x 4 y e y = ln x

8.2. Fungsi Eksponensial

Antilogaritma dan Fungsi Eksponensial. Antilogaritma adalah inversi dari logaritma; kita melihatnya sebagai suatu fungsi

y

x=ln (8.6) Mengingat sifat logaritma sebagaimana disebutkan di atas, ekspresi ini ekivalen dengan

x

e

y = (8.7) yang disebut fungsi eksponensial.

Fungsi eksponensial yang penting dan sering kita jumpai adalah fungsi eksponensial dengan eksponen negatif; fungsi ini dianggap mulai muncul pada x = 0 walaupun faktor u(x), yaitu fungsi anak tangga satuan, tidak dituliskan. 0 ; ≥ =ae− x y bx (8.8) Eksponen negatif ini menunjukkan bahwa makin besar bx maka nilai fungsi makin kecil. untuk suatu nilai b tertentu, makin besar x fungsi ini akan makin menurun. Makin besar b akan makin cepat penurunan tersebut.

Dengan mengambil nilai a = 1, kita akan melihat bentuk kurva fungsi eksponensial (8.8) untuk beberapa nilai b, dalam rentang x ≥ 0 seperti terlihat pada Gb.8.3. Pada Gb.8.3. ini terlihat bahwa makin besar nilai b, makin cepat fungsi menurun.

Gb.8.3. Perbandingan kurva y = e−x dan y = e−2x.

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 x 4 y

e

− x

e

−2x

8-4 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik

Penurunan kurva fungsi eksponensial ini sudah mencapai sekitar 36% dari nilai awalnya (yaitu nilai pada x = 0), pada saat x = 1/b. Pada saat x = 5b kurva sudah sangat menurun mendekati sumbu-x, nilai fungsi sudah di bawah 1% dari nilai awalnya. Oleh karena itu fungsi eksponensial biasa dianggap sudah bernilai nol pada x = 5/b.

Persamaan umum fungsi eksponensial dengan amplitudo A adalah )

(t

u Ae

y= −at (8.9) Faktor u(t) adalah fungsi anak tangga satuan untuk menyatakan bahwa kita hanya meninjau keadaan pada t ≥ 0. Fungsi ini menurun makin cepat jika a makin besar. Didefinisikanlah

a 1 = τ (8.10) sehingga (8.9) dituliskan ) ( / _ut Ae y= −t τ (8.11) τ disebut konstanta waktu; makin kecil τ, makin cepat fungsi eksponensial menurun.

Gabungan Fungsi Eksponensial. Gabungan fungsi eksponensial yang banyak dijumpai dalam rekayasa adalah eksponensial ganda yaitu penjumlahan dua fungsi eksponensial. Kedua fungsi mempunyai amplitudo sama tetapi berlawanan tanda; konstanta waktu dari keduanya juga berbeda. Persamaan fungsi gabungan ini adalah

(

_e / 1 _e / 2

)

_u(_t)

A

y= −t τ − −t τ (8.12) Bentuk kurva dari fungsi ini terlihat pada Gb.8.4.

Fungsi ini dapat digunakan untuk memodelkan surja. Gelombang surja (surge) merupakan jenis pulsa yang awalnya naik dengan cepat sampai suatu nilai maksimum tertentu kemudian menurun dengan agak lebih lambat. Surja tegangan yang dibangkitkan untuk keperluan laboratorium berbentuk “mulus” namun kejadian alamiah yang sering dimodelkan dengan surja tidaklah mulus, misalnya arus terpaan petir.

Gb.8.4. Kurva gabungan dua fungsi eksponensial.

Soal-Soal

1. Gambarkan dan tentukan persamaan kurva fungsi eksponensial yang muncul pada x = 0 dan konstanta τ , berikut ini :

a). ya = amplitudo 5, τ = 2. b). yb = amplitudo 10, τ = 2. c). yc = amplitudo −5, τ = 4.

2. Dari fungsi pada soal 10, gambarkanlah bentuk kurva fungsi berikut. c b a f c a e b a d

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

+

+

=

+

=

+

=

c).

b).

a).

3. Gambarkanlah bentuk kurva fungsi berikut.

{

1

}

(

)

10

a).

y

₁

=

−

e

−0,5x

u

x

{

10

5

}

(

)

b).

y

₂

=

−

e

−0,2x

u

x

0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5

((((

_e

t/τ1

_e

t/τ2

))))

A

y

=

==

=

−−−−

−

−−

−

−−−− 1 / 1 τ t

Ae

y

=

==

=

−−−− 2 / 2 τ t

Ae

y

=

==

=

−−−−

A

0

t/τ

8-6 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik 8.3. Fungsi Hiperbolik

Definisi. Kombinasi tertentu dari fungsi eksponensial membentuk fungsi hiperbolik, seperti cosinus hiperbolik (cosh) dan sinus hiperbolik (sinh)

2 sinh ; 2 cosh v v v v e e v e e v − − ₋ = + = (8.13)

Persamaan (8.13) ini merupakan definisi dari cosinus hiperbolik dan

sinus hiperbolik. Definisi ini mengingatkan kita pada fungsi trigonometri

biasa cosinus dan sinus. Pada fungsi trigonometri biasa, jika x = cosθ dan

y = sinθ maka fungsi sinus dan cosinus ini memenuhi persamaan

“lingkaran satuan” (berjari-jari 1), yaitu

θ + θ = = + 2 2 2 2 cos sin 1 y x .

Pada fungsi hiperbolik, jika x = cosh v dan y = sinh v, maka fungsi-fungsi ini memenuhi persamaan “hiperbola satuan”:

1

2

2_{− y =}

x

Hal ini dapat kita uji dengan mensubstitusikan cosh v untuk x dan sinh v untuk y dan kita akan mendapatkan bahwa persamaan “hiperbola satuan” akan terpenuhi. Kita coba:

1 4 4 4 2 4 2 sinh cosh 2 2 2 2 2 2 2 2_{− = − =}e v + +e− v ₋e v− +e−v _{= =} v v y x

Bentuk kurva fungsi hiperbolik satuan terlihat pada Gb. 8.5. dengan

2 sinh ; 2 cosh v v v v e e v y e e v x − − ₋ = = + = =

Gb.8.5. Kurva fungsi hiperbolik satuan. -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4

y

x

P[x,y] v = 0 v = ∞

Jika kita masukkan 2 sinh ; 2 cosh v v v v e e v y e e v x − − ₋ = = + = =

maka titik P[x,y] akan berada di bagian positif kurva tersebut. Karena ev selalu bernilai positif dan e−v = 1/ev juga selalu positif untuk semua nilai nyata dari v, maka titik P[x,y] selalu berada di bagian positif (sebelah kanan sumbu-y) kurva hiperbolik.

Mirip dengan fungsi trigonometri, fungsi hiperbolik yang lain didefinisikan sebagai v v v v v v v v e e e e v v v e e e e v v v ₋ − − − − + = = + − = = sinh cosh coth ; cosh sinh tanh (8.14) v v v v e e v v e e v v _{− −} − = = + = = 2 sinh 1 csch ; 2 cosh 1 sech (8.15)

Identitas. Beberapa identitas fungsi hiperbolik kita lihat di bawah ini. 1). cosh2v−sinh2v=1. Identitas ini telah kita buktikan di atas.

Identitas ini mirip dengan identitas fungsi trigonometri biasa. 2). 1−tanh2v=sech2v. Identitas ini diperoleh dengan membagi

identitas pertama dengan cosh2v.

3). coth2v−1=csch2v. Identitas ini diperoleh dengan membagi identitas pertama dengan sinh2v.

4). coshv+ sinhv=eu. Ini merupakan konsekuensi definisinya.

5). coshv− sinhv=e−u. Ini juga merupakan konsekuensi

8-8 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik

Kurva-Kurva Fungsi Hiperbolik. Gb.8.6 berikut ini memperlihatkan kurva fungsi-fungsi hiperbolik.

(a) b) c) x e 2 1 x e− − 2 1 x y=sinh

x

y

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -2 -1 0 1 2 -1 0 1 2 3 4 -2 -1 0 1 2 x y=sech x y=cosh

y

x

x e 2 1 _{y=sinh x} x y=cosh

y

x

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -2 -1 0 1 2

d)

e)

Gb.8.6. Kurva-kurva fungsi hiperbolik. Soal-Soal

1). Turunkan relasi sinh(u +v) dan cosh(u +v).

2). Diketahui sinhv=−3/4. Hitung cosh v, coth v, dan csch v. 3). Diketahui sinhv=−3/4. Hitung cosh v, tanhv, dan sech v.

x y=csch x y=sinh

x

y

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -2 -1 0 1 2 x y=csch -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -2 -1 0 1 2 x y=coth x y=coth x y=tanh

x

y