Sudaryatno Sudirham. Fungsi dan Grafik

Fungsi dan Grafik

Bahan Kuliah Terbuka

dalam format pdf tersedia di

www.buku-e.lipi.go.id

dalam format pps beranimasi tersedia di

www.ee-cafe.org

Buku

Fungsi dan Grafik

(pdf)

tersedia di

www.buku-e.lipi.go.id dan

Pembatasan

Pembahasan Fungsi dan Grafik

dibatasi hanya padafungsi dengan peubah

bebas tunggal yang berupa bilangan nyata

Keseluruhan bahasan mengenai fungsi

dan grafik akan mencakup

1.

Pengertian Tentang Fungsi

2.

Fungsi Linier

3.

Gabungan Fungsi Linier

4.

Mononom dan Polinom

5.

Bangun Geometris

6.

Fungsi Trigonometri

7.

Gabungan Fungsi Sinus

8.

Fungsi Logaritma Natural

9.

Fungsi Eksponensial

10. Fungsi Hiperbolik

Fungsi

Apabila suatu besaran y

maka dikatakan bahwa

memiliki nilai yang tergantung

dari nilai besaran lain x

panjang sebatang batang logam (= y) merupakan fungsi temperatur (= x)

Secara umum pernyataan bahwa y merupakan fungsi x dituliskan

) (x f y =

y disebut peubah tak bebas nilainya tergantung x

x disebut peubah bebas bisa bernilai sembarang

Dalam pelajaran ini kita hanya akan melihat x yang berupa

bilangan nyata.

Selain bilangan nyata kita mengenal bilangan kompleks yang dibahas dalam pelajaran mengenai bilangan kompleks.

Walaupun nilai x bisa berubah secara bebas, namun nilai x tetap harus ditentukan sebatas mana ia boleh bervariasi

Domain

Domain ialah rentang nilai (interval nilai) di mana peubah-bebas x bervariasi.

a _b

rentang terbuka

a < x < b _{a dan b tidak termasuk dalam rentang}

rentang setengah terbuka a _b

a ≤≤≤≤ x < b _{a masuk dalam rentang, tetapi b tidak}

rentang tertutup a _b

a ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ b _{a dan b masuk dalam rentang} Ada tiga macam rentang nilai yaitu:

Sistem koordinat x-y atau koordinat sudut-siku

P[2,1] Q[-2,2] R[-3,-3] S[3,-2] -4 -3 -2 -1 1 2 3 y 0 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x IV I II III sumbu-x sumbu-y

Bidang dibatasi oleh dua sumbu, yaitu sumbu mendatar yang kita sebut sumbu-x dan sumbu tegak yang kita sebut sumbu-y.

Bidang terbagi dalam 4 kuadran yaitu Kuadran I, II, III, dan IV

(koordinat Cartesian, dikemukakan oleh des Cartes)

Posisi titik pada bidang dinyatakan dalam

Kurva dari Suatu Fungsi

x y =0,5

Setiap nilai x akan menentukan satu nilai y

x -1 0 1 2 3 4 dst. y -0,5 0 0,5 1 1,5 2 dst. -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 -1 0 1 2 3 4 x y ∆x ∆y P R Q x y =0,5 Kurva

Titik P, Q, R, terletak pada kurva Kemiringan kurva:

x y ∆ ∆

Kita lihat fungsi:

Kekontinyuan

Suatu fungsi yang kontinyu dalam suatu rentang nilai x tertentu, akan membentuk kurva yang tidak terputus dalam rentang tersebut.

Suatu fungsi y = f(x) yang terdefinisi di sekitar x = c dikatakan kontinyu di x = c jika dipenuhi dua syarat:

(1) fungsi tersebut memiliki nilai yang terdefinisi sebesar f(c) di x = c; (2) nilai f(x) akan menuju f(c) jika x menuju c; pernyataan ini kita

tuliskan sebagai

yang kita baca: limit f(x) untuk x menuju c sama dengan f(c).

) ( ) ( lim f x f c c x→ =

Contoh: y = 1/x y = 1/x y x -1 0 1 -10 -5 0 5 10 Tak terdefinisikan di x = 0 y = u(x) 1 y x 0 0 Terdefinisikan di x = 0 yaitu y|_x=0 = 1 (y untuk x = 0 adalah 1)

(y untuk x = 0 tidak dapat ditentukan nilainya)

Simetri

1. Jika fungsi tidak berubah apabila x kita ganti dengan −x maka kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-y;

2. Jika fungsi tidak berubah apabila x dan y dipertukarkan, kurva fungsi tersebut simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III. 3. Jika fungsi tidak berubah apabila y diganti dengan −y, kurva

fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-x.

4. Jika fungsi tidak berubah jika x dan y diganti dengan −x dan −y, kurva fungsi tersebut simetris terhadap titik-asal [0,0].

Contoh: y = 0,3x2 y = 0,05x3 y2 _{+ x}2 _{= 9} x -6 -3 0 3 6 -6 -3 0 3 6 y

tidak berubah jika x dan y diganti dengan −x dan −y

tidak berubah bila x diganti −x

tidak berubah jika: x diganti −x

x dan y diganti dengan −x dan −y x dan y dipertukarkan

y diganti dengan −y

(simetris terhadap sumbu-y)

Pernyataan Fungsi Bentuk Implisit

8

1

1

2 2 2 2 2

=

+

+

=

=

=

+

y

xy

x

x

y

xy

y

x

)

(x

f

y

=

Pernyataan fungsi Pernyataan bentuk implisit

Walaupun tidak dinyatakan secara eksplisit, setiap nilai peubah-bebas x akan memberikan satu atau lebih nilai

peubah-tak-bebas y

dapat diubah ke bentuk eksplisit

/ 1 1 2 x y x y x y = = − = 0 ) 8 ( 2 2 _{+ + − =} x xy y 2 ) 8 ( 4 2 2 2 _{− −} ± − = x x x y

disebut bentuk eksplisit.

-8 -4 0 4 8 -4 -2 0 2 4 x y

Fungsi Bernilai Tunggal

Fungsi bernilai tunggal adalah fungsi yang hanya memiliki satu nilai peubah-tak-bebas

untuk setiap nilai peubah-bebas

0 4 8 -1 0 1 2 3 4x y 2

5

,

0 x

y

=

0 0,8 1,6 0 1 2x y

x

y

=

+

-1,6 -0,8 0 0 1 2 x y

_y

₌

₋

_x

-0,8 0 0,8 0 1 2 3 4 x y

y

=

log

₁₀

x

0 2 4 -4 -2 0 2 4x y 2 x x y = = Contoh:

Fungsi Bernilai Banyak

-2 -1 0 1 2 0 1 2 3 x y x y = ±

Fungsi bernilai banyak adalah fungsi yang memiliki lebih dari satu nilai peubah-tak-bebas

untuk setiap nilai peubah-bebas

-10 -5 0 5 10 0 1 2 3 x y x y2 =1/ y = ± 1/ x Contoh:

Fungsi Dengan Banyak Peubah Bebas

Secara umum kita menuliskan fungsi dengan banyak peubah-bebas:

) , , , , (x y z u v f w =

Fungsi dengan banyak peubah bebas juga mungkin bernilai banyak, misalnya 2 2 2 2 z y x + + = ρ

Fungsi ini akan bernilai tunggal jika dinyatakan sebagai

2 2 2 z y x + + + = ρ

Sistem Koordinat Polar

Selain sistem koordinat sudut-siku di mana posisi titik dinyatakan dalam skala sumbu-x dan sumbu-y, kita mengenal pula sistem

koordinat polar.

Dalam sistem koordinat polar, posisi titik dinyatakan oleh jarak titik ke titik-asal [0,0] yang diberi simbol r, dan sudut yang

terbentuk antara r dengan sumbu-x yang diberi simbol θ Hubungan antara koordinat sudut siku dan koordinat polar

adalah sebagai berikut θ =rsin y θ = rcos x 2 2 y x r = + ) / ( tan−1 y x = θ x P θ r y rsinθ rcosθ

Contoh:

-3 -2 -1 0 1 2 3 -5 -3 -1 1 y x r θ P[r,θ]

Bentuk ini disebut cardioid

)

cos

1

(

2

−

θ

=

r

-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 -1 0 1 2 x 3 y r θ P[r,θ] y = 2

2

=

θ

r

Contoh:

Fungsi Tetapan

Fungsi tetapan bernilai tetap untuk rentang nilai x dari −∞ sampai +∞.

k

y

=

x -4 0 5 -5 0 5 y y = 4 5 . 3 − = y Contoh:

Persamaan Garis Lurus yang melalui [0,0]

mx

y

=

kemiringan garis lurus

      ∆ ∆ = = " delta " " delta " : dibaca , kemiringan x y x y m 0 1 2 -1 0 1 2 3 4 x y ∆x ∆y -6 -4 -2 0 2 4 6 8 -1 0 1 2 3 4 x y y = 0,5x y = x y = 2x y = -1,5 x m > 0 m < 0 Contoh:

Pergeseran Kurva dan Persamaan Garis Lurus

y = 2x y − 2 = 2x -4 -2 0 2 4 6 8 10 -1 0 1 2 3 _x 4 y

mx

b

y

−

)

=

(

y = 2x y =2(x–1) -4 -2 2 4 6 8 -1 0 1 2 3 _x 4 y 0

)

(

x

a

m

y

=

−

Secara umum, persamaan garis lurus yang tergeser sebesar

b ke arah sumbu-y positif adalah

menunjukkan pergeseran sebesar a ke arah sumbu-x positif

titik potong dengan sumbu-y titik potong dengan sumbu-x b mx y = + a mx y = + ′

Bentuk umum persamaan garis lurus pergeseran ke arah sumbu-y pergeseran ke arah sumbu-x menunjukkan pergeseran sebesar b ke arah sumbu-y positif

Contoh: Persamaan garis: y −4 = −2x 2 0 2 4 0 1 2 1 2 _{= −} − − = − − = ∆ ∆ = x x y y x y m -4 -2 2 4 6 8 -1 0 1 2 3 _x 4 y 0 memotong sumbu y di 4 memotong sumbu x di 2 atau y = −2(x−2) 4 2 + − = x y

dapat dilihat sebagai garis melalui (0,0) yaitu

y = -2x

yang tergeser kearah sumbu-y atau tergeser kearah sumbu-x

1 2 1 2 x x y y m − − = x x x y y mx y 1 1 1 2 − − = =

Persamaan Garis Lurus yang melalui dua titik

[x₁,y₁] [x₂,y₂] -4 -2 0 2 4 6 8 -1 0 1 3 x y 2 -4 -2 2 4 6 8 -1 0 1 2 3 _x 4 y 0 [1,4] [3,8] ₂ 1 3 4 8 1 2 1 2 ₌ − − = − − = x x y y m

persamaan garis: y−b = 2x atau y = 2(x−a) 2 4−b = 8 = 2(3−a) 2 = b a = −1 x y−2= 2 y = 2(x+1) 2 2 + = x y Contoh:

Persamaan garis lurus melalui [0,0] yang sejajar dengan garis yang melalui

P dan Q P

Q

Garis ini harus digeser hingga melalui P dan Q

Perpotongan Garis Lurus

1 1 1 a x b y = + y₂ = a₂x + b₂ 2 2 1 1x b a x b a + = + 2 P 2 P 1 P 1 P 2 1 1 2 P atau b x a y b x a y a a b b x + = + = ⇒ − − = ⇒ Contoh: 8 4 dan 3 2 ₂ 1 = x + y = x − y 5 , 5 8 4 3 2 2 1 = y → x+ = x− → x = y 14 3 5 , 5 2 3 2 + = × + = = x y

Koordinat titik potong P harus memenuhi persamaan y₁ maupun y₂.

Dua garis:

Koordinat titik potong P harus memenuhi: dan -30 -20 -10 0 10 20 30 -10 -5 0 5 10 y x y₂ y₁ P

x

_P

y

_P Titik potong: P[(5,5),14]

Contoh-Contoh Fungsi Linier dalam Peristiwa Nyata

Suatu benda dengan massa

m

yang mendapat gaya

F

akan memperoleh percepatan

a

ma F = _v(t) = _v0 +_at ]]]] anoda _katoda l Contoh: Contoh: e e m F a =

Beda tegangan antara anoda dan katoda dalam tabung katoda adalah V Kuat medan listrik:

l V E =

Gaya pada elektron:

l eV eE

F_e = =

Percepatan pada elektron:

gaya fungsi linier dari V

percepatan fungsi linier dari F_e

Suatu pegas, jika ditarik kemudian dilepaskan akan kembali pada posisi semula apabila tarikan yang dilakukan masih dalam batas elastisitas pegas. Gaya tarikan merupakan fungsi linier dari

panjang tarikan.

Contoh:

kx F =

Contoh:

Dalam sebatang konduktor sepanjang

l

, akan mengalir arus listrik sebesar

i

jika antara ujung-ujung konduktor diberi perbedaan

tegangan sebesar

V

. Arus merupakan fungsi linier dari tegangan.

R V GV i = = R G = 1 A l R =ρ RA V A i j = =

gaya panjang tarikan konstanta pegas konduktansi _resistansi kerapatan arus resistivitas G dan R adalah tetapan

Luas penampang konduktor

panjang konduktor

Contoh: materi masuk di x_a materi keluar di x x_a x C_a C_x ∆x

Peristiwa difusi mencapai keadaan mantap,jika

konsentrasi materi C_a di x_adan C_x di xbernilai konstan

Inilah Hukum Fick Pertama yang secara formal menyatakan bahwa fluksi dari materi yang berdifusi sebanding dengan gradien konsentrasi.

Peristiwa difusi: materi menembus materi lain

dx dC D J_x = − gradien konsentrasi koefisien difusi

Fluksi materi yang berdifusi merupakan fungsi linier dari gradien konsentrasi

Fluksi materi yang berdifusi ke arah x

Fungsi Anak Tangga

0 untuk 0 0 untuk 1 ) ( < = ≥ = x x x u

)

(x

ku

y

=

muncul pada x = 0 amplitudo

Fungsi ini memiliki nilai yang terdefinisi

di x = 0

Fungsi anak tangga satuan

Secara umum 0 2 0 _x 5 y 1 1

)

(x

u

y

=

)

(x

u

y

=

Contoh: -4 0 5 0 x 5 y y =3,5u(x) ) ( 5 , 2 u x y = −

)

(

x

a

ku

y

=

−

Fungsi anak tangga tergeser

-4 0 5 0 _x 5 y 1 ) 1 ( 5 , 3 − = u x y

Pergeseran sebesar

a

ke arah sumbu-x positif

Fungsi Ramp

_y

₌

_axu

_(x

₎

0 1 2 3 4 5 6 -1 0 1 2 3 _x 4 y _y 1 = xu(x) y₂ = 2xu(x) y₃ = 1,5(x-2)u(x-2)

Fungsi ramp tergeser:

_y

=

_a

₍

_x

−

_g

₎

_u

₍

_x

−

_g

₎

Fungsi ramp satuan :

y

=

xu

(x

)

Contoh:

kemiringan a = 1

kemiringan

Fungsi ini baru muncul pada

x = 0

karena ada faktor

u(x)

yang didefinisikan muncul pada

x = 0

(fungsi anak tangga)

Pergeseran

Pulsa

_{Pulsa merupakan fungsi yang muncul pada suatu}

nilai

x

₁ tertentu dan menghilang pada

x

₂

> x

₁

)

(

)

(

x

x

₁

au

x

x

₂

au

y

=

−

−

−

:

persamaan

1 2

x

−

x

:

pulsa

lebar

{

( 1) ( 2)

}

2 − − − = u x u x y₁=2u(x-1) y₂ = −2u(x

−

2) y₁ + y₂ = 2 u(x-1) – 2 u(x-2) lebar pulsa -2 -1 0 1 2 -1 0 1 2 3 _x 4 perioda x y Deretan Pulsa: Contoh:

Perkalian Ramp dan Pulsa

{

(

)

(

)

}

)

(

x

A

u

x

x

₁

u

x

x

₂

mxu

y

=

×

−

−

−

{

u

(

x

x

₁

)

u

(

x

x

₂

)

}

mAx

y

=

−

−

−

ramp pulsa

hanya mempunyai nilai dalam selang lebarnya

y₁=2xu(x) y₂=1,5{u(x-1)-u(x-3)}

y

₃

= y

₁

y

₂ 0 2 4 6 8 10 -1 0 1 2 3 4

_x

5 y Contoh: maka y juga akan bernilai dalam selang lebar pulsa saja

y₂ = {u(x)-u(x-b)} y₁ = mxu(x) y₃ = y₁ y₂ = mx{u(x)-u(x-b)} 0 2 4 6 8 10 -1 0 1 2 3 4 5 y y x b Contoh:

Gabungan Fungsi Ramp

...

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

+

−

₁

−

₁

+

−

₂

−

₂

+

=

axu

x

b

x

x

u

x

x

c

x

x

u

x

x

y

Contoh: y₁= 2xu(x) y₂= −2(x−2)u(x−2) y₃= 2xu(x)−2(x−2)u(x−2) y -8 -4 0 4 8 12 0 1 2 3 4 x 5

Kemiringan yang berlawanan membuat y₃ bernilai konstan mulai dari x tertentu

y₁=2xu(x) y₂= −4(x−2)u(x−2) y₃= 2xu(x)−4(x−2)u(x

−

2) -10 -5 0 5 10 15 0 1 2 3 4 _x 5 y

y₂ lebih cepat menurun dariy₁ maka

y₃menurun mulai dari x tertentu Contoh:

y₁= 2xu(x) y₂= −4(x-2)u(x-2) y₃= {2xu(x)−4(x-2)u(x-2)}{u(x-1)-u(x-3)} -10 -5 0 5 10 15 0 1 2 3 4 x 5 y

Pulsa ini membuat y₃ hanya bernilai dalam selang 1≤ x ≤ 3

Mononom

Mononom adalah pernyataan tunggal yang berbentuk

kx

n

Mononom Pangkat Dua:

y

=

kx

2

y = x2 y = 3x2 y = 5x2 y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -3 -2 -1 0 1 2 x 3 -100 -80 -60 -40 -20 0 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 y x 2 10x y = − 2 2x y = − Contoh:

y memiliki nilai maksimum

Karena x2 ≥ _0,maka

jika k > 0 → y > 0

jika k < 0 → y < 0

y₁ = 10x2

y₂ = 10(x−2)2

y₃ = 10(x−2)2 _{+ 30}

Pergeseran kurva mononom pangkat dua

-5 -3 3 _x 5 0 50 100 -1 1 y Pergeseran ke arah sumbu-x positif Pergeseran ke arah sumbu-y positif

Mononom Pangkat Genap pada umumnya

y₂ = 2x4 y₃ = 2x6 y₁ = 2x2 0 1 2 3 y -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 _x 1.5 0 2 4 6 8 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 y = x6 y = 3x4 y = 6x2 y x

Pada mononom berpangkat genap, makin besar pangkat makin melandai

kurva di sekitar titik puncak

Jika kurva-kurva ini memiliki nilai k yang sama maka mereka

berpotongan di titik P[1,k]

Koordinat titik potong antara kurva

( )

2 12 3 dan 2 2 3 6 3 dan 6 : Kurva 4 2 4 2 4 2 = = = → = → = = = y x x x x x y x y

( )

3 81 dan 3 3 3 3 dan : Kurva 6 2 4 6 4 6 = = = → = → = = = y x x x x x y x y Contoh:

Mononom Pangkat Ganjil

-3 -2 -1 0 1 2 3 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 y = 2x _{y = 2x}5 y = 2x3 y x

Pangkat ganjil terendah: linier

Jika kurva-kurva ini memiliki nilai k yang sama maka mereka

berpotongan di titik P[1,k] Makin tinggi pangkat mononom, makin landai kurva di sekitar titik

[0,0] yaitu titik yang merupakan

titik belok

Mononom Pangkat Tiga

-500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500 -2 -1 0 1 y -5 -4 -3 2 3 4 5 x 3 3x y = − 3 2x y =

Mononom pangkat tiga Simetris terhadap [0,0] y = 10(x−2)3 y = 10(x−2)3 _{+ 100} y = 10x3 -5 -3 3 x 5 -600 -400 -200 0 200 400 600 -1 1 y Pergeseran mononom pangkat tiga ke arah

sumbu-x positif Pergeseran ke arah

Polinom Pangkat Dua

c

bx

ax

y

=

2

+

+

y₁=2x2 y₃=13 y₂=15x x -10 y -150 0 150 0 10

13

15

2

2

+

+

=

x

x

y

y₁=2x2 y₄ = 2x2_+15x y₂=15x x = −15/2 y -150 0 150 0 _x -10 10 Kurva masing-masing komponen (mononom) dari polinom: Penjumlahan mononom

pertama dan ke-dua:

y

=

2

x

2

+

15

x

Perpotongan dengan sumbu-x

2

15

15

2

y₄ = 2x2_+15x −15/2 x y -150 0 150 -10 0 sumbu simetri −15/4 10 y₄ = 2x2_+15x x y -150 0 150 -10 0 sumbu simetri y₅ = 2x2_+15x+13 10

Sumbu simetri dari

y

=

2

x

2

+

15

x

memotong sumbu-x di:

4

15

−

=

x

Penambahan komponen y₃ = 13 memberikan: 13 15 2 2 + + = x x y

Koordinat titik puncak:

125 , 15 13 4 15 15 4 15 2 75 , 3 4 / 15 2 − = +       − +       − = = − = y x

y = ax

2

_{+bx +c}

y = ax2 y x 0 0

Polinom Pangkat Dua secara umum

x₂ x₁ Sumbu simetri: a b x 2 − = a ac b a b x a c a b a b x a c x a b x a y 4 4 2 4 2 2 2 2 2 2 − −       + = + −       + = +       + = Pergeseran ke arah kiri sumbu-x

Pergeseran ke arah negatif sumbu-y         ₋ − a ac b 4 4 2

Penjumlahan: y₃ = y₁ + y₂ -2000 0 2000 -10 0 x 10 y y₁ y₂

200

80

19

4

3 2 3

=

x

+

x

−

x

−

y

Polinom Pangkat Tiga: mononom pangkat tiga +

polinom pangkat dua

d

cx

bx

ax

y

=

3

+

2

+

+

Mononom pangkat tiga (y₁) Dan

Polinom pangkat dua (y₂)

-2000 0 2000 -10 0 10 y x y₁= 4x3 200 80 19 2 2 = x − x − y

y₃ memotong sumbu-x di 3 titik

Hal ini tidak selalu terjadi Tergantung dari nilai koefisien y₁

2000 -10 10 y₂ y₁ y₃ = y₁ + y₂ -2000

Kasus: a kurang positif Penurunan kurva y₁ di daerah x

negatif tidak terlalu tajam Kurva terlihat hanya memotong

sumbu-x di 2 titik

Titik potong ke-3 jauh di sumbu-x negatif -2000 2000 -10 15 y₁ y₂ y₃ = y₁+y₂

Kasus: a terlalu positif Penurunan y₁ di daerah negatif

sangat tajam

Tak ada titik potong dengan sumbu di daerah x negatif

Hanya ada satu titik potong di x positif 3 1

ax

y

=

d

cx

bx

ax

y

=

3

+

2

+

+

3 1

ax

y

=

y

₃

= y

₁

+ y

₂

y

₁

y

₂ -2000 0 -10 0 15 2000

d

cx

bx

ax

y

=

3

+

2

+

+

y

₃

= y

₁

+ y

₂ -2000 0 2000 -10 0 15 3 3 1

ax

kx

y

=

=

−

d

cx

bx

y

₂

=

2

+

+

a < 0

Kurva y₃ berpotongan dengan sumbu-x di tiga tiga tempat. Akan tetapi perpotongan yang ke-tiga berada jauh di daerah x positif

Jika a terlalu negatif kurva berpotongan dengan sumbu-x di satu tempat

•

jika fungsi tidak berubah apabila x kita ganti dengan

−

x

maka kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-y;

•

jika fungsi tidak berubah apabila x dan y dipertukarkan,

kurva funsi tersebut simetris terhadap garis-bagi

kuadran I dan III.

•

jika fungsi tidak berubah apabila y diganti dengan

−

y,

kurva funsi tersebut simetris terhadap sumbu-x.

•

jika fungsi tidak berubah jika x dan y diganti dengan

−

x

dan

−

y, kurva fungsi tersebut simetris terhadap titik-asal

[0,0].

Nilai Peubah

Dalam melihat bentuk-bentuk geometris hanya nilai-nyata dari y dan x yang kita perhatikan

Kita menganggap bahwa bilangan negatif tidak memiliki akar, karena kita belum membahas bilangan kompleks

Contoh:

1

2 2

₊

₌

x

y

2

1

x

y

=

±

−

Apabila |x| > 1, maka (1 - x2) _{< 0}

1

1

≤

≤

−

y

Karena kurva ini simetris terhadap garis y = x, maka ia memiliki nilai juga terbatas pada rentang

1

1

≤

≤

−

x

Titik Potong Dengan Sumbu Koordinat

Koordinat titik potong dengan sumbu-x dapat diperoleh dengan

memberi nilai y = 0, sedangkan koordinat titik potong dengan sumbu-y diperoleh dengan memberi nilai x = 0. Apabila dengan cara demikian tidak diperoleh nilai y ataupun x maka kurva tidak memotong sumbu-x maupun sumbu-y Contoh:

1

2 2

₊

_x

₌

y

Titik potong dengan sumbu-x adalah P[1,0] dan Q[−1,0]. Titik potong dengan sumbu-y adalah R[0,1] dan S[0,−1]

xy = 1

Asimptot

Suatu garis yang didekati oleh kurva namun tidak mungkin menyentuhnya, disebut asimptot

Contoh:

10

)

(

2 2 2

_x

₋

_x

₌

_x

₊

y

)

1

(

10

2

−

+

±

=

x

x

x

y

tidak boleh < 0 agar x(x−1) > 0 haruslah x < 0 atau x > 1 Tidak ada bagian kurva yang berada antara x = 0 dan x = 1.

Garis vertikal x = 0 dan x = 1 adalah asimptot dari kurva

-4 0 4 -4 0 4 y x

Jarak Antara Dua Titik

Jika P[x_p,y_p) dan Q[x_q,y_q], maka

2 2

)

(

)

(

PQ

=

x

_p

−

x

_q

+

y

_p

−

y

_q Contoh: -4 -2 2 4 6 8 -1 0 1 2 3 _x 4 y 0 [1,4] [3,8]

20

)

4

8

(

)

1

3

(

PQ

=

−

2

+

−

2

=

Parabola

Bentuk kurva

y

=

kx

2 disebut parabola

[0,0]

y

x

y=kx2

P terletak pada kurva Q terletak di sumbu-y

y = −p garis sejajar sumbu-x

R terletak pada garis y

ada suatu nilai k sedemikian rupa sehingga PQ = PR

Q disebut titik fokus parabola Garis y disebut direktrik

Titik puncak parabola berada di tengah antara titik fokus dan direktriknya

x p py y x p y x p 2 2 2 2 2 2 2 2 ) ( ) PR ( PQ + + − = + − = + − = p y ) ( PR = + p y x p py y2 − 2 + 2 + 2 = + p x y 4 2 = p k 4 1 = k p 4 1 = 2

4

1

x

p

y

=

P[x,y] Q[0,p] R[x,−p]

Contoh:

Parabola

y

=

0 x

,

5

2 dapat kita tuliskan

2 2

5

,

0

4

1

2

1

x

x

y

×

=

=

Direktrik:

y

=

−

p

=

−

0

,

5

Titik fokus: Q[0,(0,5)]

Lingkaran

Lingkaran merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap satu titik tertentu

yang disebut titik pusat lingkaran

Jika titik pusat lingkaran adalah [0,0] dan jari-jari lingkaran adalah r

2 2 y x r = + x2 + y2 = r2 persamaan lingkaran berjari-jari r berpusat di [0.0] 2 2 2

₍

₎

)

(

x

−

a

+

y

−

b

=

r

Pergeseran titikpusat lingkaran sejauh

a

kearah sumbu-

x

dan sejauh

b

ke arah sumbu-

y

Persamaan umum lingkaran berjari-jari

r

berpusat di

(a,b)

-1 1 -1 ₁ 0,5 0,5 [0,0] _x y r = 1

1

2 2

₊

_y

₌

x

r 2 2 2

)

5

,

0

(

)

5

,

0

(

x

−

+

y

−

=

r

Contoh:

Elips

Elips adalah tempat kedudukan titik yang jumlah jarak terhadap dua titik tertentu adalah konstan

Dua titik tertentu tersebut merupakan dua titik fokus dari elips

X[x,y] P[-c, 0] _{Q[c, 0] x} y 2 2 ) ( XP= x +c + y 2 2 ) ( XQ= x −c + y

(

)

a y c x y c x a 2 ) ( ) ( misalkan kita 2 XQ XP 2 2 2 2 _{+ + − + =} + ⇒ = + 2 2 ) (x c y x a c a − = − + 2 2 2 2 2 2 2 ) ( ) ( 4 4 ) (x + c + y = a − a x −c + y + x− c + y 2 2 2 2 ) ( 2 ) (x+c + y = a− x−c + y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x x cx c y a c cx a − + = − + + _{2 2} 1 2 2 2 = − + c a y a x kwadratkan kwadratkan sederhanakan 2 2 2 2 XQ XP : PXQ segitiga di + = a> c → a >c 1 2 2 2 2 = + b y a x 2 2 2 c a b = −

1 2 2 2 2 = + b y a x X[x,y] P[-c, 0] _{Q[c, 0] x} y

[

−

a,0]

_[a,0]

[0,b]

[0,

−

b]

sumbu panjang = 2a sumbu pendek = 2b Elips tergeser 1 ) ( ) ( 2 2 2 2 = − + − b q y a p x _{2a = 2→a =1} 5 , 0 1 2b= →b = 1 -1 0 -1 0 1 x 2 y 1 5 , 0 ) 25 , 0 ( 1 ) 5 , 0 ( 2 2 2 2 = − + − y x 5 , 0 = p 25 , 0 = q

Hiperbola

Hiperbola merupakan tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya antara dua titik tertentu adalah konstan

X(x,y) P[-c,0] Q[c,0] y x 2 2 ) ( XP= x+ c + y 2 2 ) ( XQ= x−c + y a y c x y c x XQ XP 2 ) ( ) ( + 2 + 2 − − 2 + 2 = = − 2 2 2 2 ) ( 2 ) (x+c + y = a+ x−c + y 2 2 ) ( ) / (c a x−a = x−c + y 1 2 2 2 2 2 = − − a c y a x

Dalam segitiga PXQ, selisih (XP−XQ) < PQ

→ 2c < 2a → c2 − _a2 _{= b}2

1

2 2 2 2

=

−

b

y

a

x

kwadratkan dan sederhanakan kwadratkan

1

2 2 2 2

=

−

b

y

a

x

+∞ −∞ X(x,y) -c c y x

[-a,0]

[a,0]

Kurva tidak memotong sumbu-y

Tidak ada bagian kurva yang terletak antara

x =

−

a

dan

x = a

2 2 2 a c b = −

Kurva Berderajat Dua

Parabola, lingkaran, elips, dan hiperbola adalah bentuk-bentuk khusus kurva berderajat dua, atau kurva pangkat dua

Bentuk umum persamaan berderajat dua adalah

0 2 2 _{+ + + + + =} F Ey Dx Cy Bxy Ax Persamaan parabola: B=C= D = F =0; A=1; E =−4p Lingkaran: B = D = E = 0; A=1; C =1; F = −1

Bentuk Ax2 _{dan Cy}2 _{adalah bentuk-bentuk berderajat dua yang telah}

sering kita temui pada persamaan kurva yang telah kita bahas. Namun bentuk Bxy yang juga merupakan bentuk berderajat dua,

Perputaran Sumbu Koordinat

Hiperbola dengan titik fokus tidak pada sumbu-x

a a y a x a y a x ) ( ) ( ) ( ) 2 ( + 2 + + 2 − − 2 + − 2 = 2 2 ) ( ) (x a y a a y x+ − = − + − 2

2

xy

=

a

Mempetukarkan x dengan y tidak mengubah persamaan ini. Kurva persamaan ini simetris terhadap garis y = x, 2 2 2 2 ) ( ) ( 2 ) ( ) (x+a + y+a = a+ x−a + y−a

Kurva hiperbola ini memiliki sumbu simetri yang terputar 45o _{berlawanan dengan arah}

perputaran jarum jam, dibandingkan dengan sumbu simetri hiperbola sebelumnya, yaitu

sumbu-x. -5 0 5 -5 0 x y P[-a,-a] Q[a,a] y x X[x,y]

Untuk menjelaskan fungsi trigonometri, kita gambarkan lingkaran-satuan, r = 1 Fungsi sinus PQ PQ sinθ = = r Fungsi Cosinus OQ OQ cosθ= = r Fungsi Tangent θ θ = = θ cos sin OQ PQ tan θ − = − = ′ = θ − tan OQ PQ OQ Q P ) tan( Fungsi Cotangent θ θ = = θ sin cos PQ OQ cot θ − = − = ′ = θ − cot PQ OQ Q P OQ ) cot( Fungsi Secan Fungsi Cosecan OQ 1 cos 1 sec = θ = θ PQ 1 sin 1 csc = θ = θ P Q θ O [0,0] -1 1 -1 1 x y r = 1 P’ -θ θ + θ = 2 2 cos sin 1

Relasi-Relasi

sinα α -1 1 -1 _{[0,0] 1 x} y β cosα cosα cosβ cosα sinβ β sinα sinβ sinα cosβ

Relasi-Relasi

sinα α -1 1 -1 _{[0,0] 1 x} y β cosα cosα cosβ cosα sinβ β sinα sinβ sinα cosβ

)

sin(

α

+

β

=

sin

α

cos

β

+

cos

α

sin

β

)

cos(

α

+

β

=

cos

α

cos

β

−

sin

α

sin

β

β α + β α = β − α β α − β α = β − α sin sin cos cos ) cos( sin cos cos sin ) sin( Karena β − = β − ) sin sin( β = β − ) cos cos(

Contoh:

α

α

=

α

α

+

α

α

=

α

+

α

=

α

)

sin(

)

sin

cos

cos

sin

2

sin

cos

2

sin(

a).

α

−

α

=

α

α

−

α

α

=

α

+

α

=

α

2 2

sin

cos

sin

sin

cos

cos

)

cos(

)

2

cos(

b).

α

+

α

=

2 2

sin

cos

1

α

=

+

α

2

cos

2

1

)

2

cos(

1 cos 2 ) 2 cos( α = 2 α−

α

−

=

−

α

2

sin

2

1

)

2

cos(

α − = α 2 sin 2 1 ) 2 cos(

α

−

α

=

α

2 2

sin

cos

)

2

cos(

c).

β

α

+

β

α

=

β

+

α

)

sin

cos

cos

sin

sin(

2 ) sin( ) sin( cos sinα β= α+β + α−β 2 ) cos( ) cos( cos cosα β = α+β + α−β

β

α

+

β

α

=

β

−

α

)

cos

cos

sin

sin

cos(

2

)

cos(

)

cos(

sin

sin

α

β

=

α

−

β

−

α

+

β

β

α

−

β

α

=

β

+

α

)

cos

cos

sin

sin

cos(

β

α

+

β

α

=

β

−

α

)

cos

cos

sin

sin

cos(

Contoh:

β

α

−

β

α

=

β

−

α

)

sin

cos

cos

sin

sin(

d).

β

α

=

β

−

α

+

β

+

α

)

sin(

)

2

sin

cos

sin(

e).

_cos(

α

+

β

₎

=

_cos

α

_cos

β

−

_sin

α

_sin

β

β

α

=

β

−

α

+

β

+

α

)

cos(

)

2

cos

cos

cos(

f).

β

α

=

β

+

α

−

β

−

α

)

cos(

)

2

sin

sin

Kurva Fungsi Trigonometri Dalam Koordinat x-y

perioda -1 0 1 0 x y 2π π −π x y -1 0 1 0 −π π 2π −2π perioda ) 2 / cos( ) sin( = − π = x x y

pergeseran fungsi cosinus sejauh

π/2 ke arah sumbu-x positif

Contoh: o o o o 34 cos ) 90 56 cos( 56 sin = − = ) sin(x y = _{y = cos(x)}

-3 -2 -1 0 1 2 3 -3π/4 -π/2 -π/4 0 π/4 π/2 3π/4 Fungsi Tangent θ = θ θ = θ cot 1 cos sin tan asimptot Rentang: -π/4 < tanθ < π/4 π/4 < tanθ < 3π/4 dst. Lebar rentang: π/2

θ

θ

cos

sin

-3 -2 -1 0 1 2 3 0 -3π/4 -π/2 -π/4 π/4 π/2 3π/4 Fungsi Cotangent θ = θ θ = θ tan 1 sin cos cot asimptot Rentang: 0 < tanθ < π/2 -π/2 < tanθ < 0 dst. Lebar rentang: π/2

θ

θ

cos

sin

Fungsi Secan Fungsi Cosecan -3 -2 -1 0 1 2 3 -1,5π -π -0,5π 0 0,5π π 1,5π -3 -2 -1 0 1 2 3 -1,5π -π -0,5π 0 0,5π π 1,5π ) cos( 1 ) sec( x x y = = ) sin( 1 ) csc( x x y = = Rentang: -π/2 < tanθ < π/2 π/2 < tanθ < 3π/2 dst. Lebar rentang: π Rentang: 0 < tanθ < π -π< tanθ < 0 dst. Lebar rentang: π asimptot

Sinus Inversi

x x y 1 sin atau arcsin − = = x y -1 0 0 1 −π π 2π −2π -0,5π -0,25π 0 0,25π 0,5π -1 -0,5 0 0,5 x 1 y Kurva lengkap

Kurva nilai utama -π/2 < sin-1_{x <}π_/2 -1 < x < 1 y x 1 2 1 x− x y =sin−1 2 2 1 tan 1 cos x x y x y − = − =

Sudut y yang sinusnya = x

x y = sin

Cosinus Inversi

x y -1 0 0 1 −π π 0 0,25π 0,5π 0,75π 1π -1 -0,5 0 0,5 x 1 y Kurva lengkap

Kurva nilai utama 0 < cos-1_{x <} π -1 < x < 1 x y = cos−1 y x 1 2 1 x− x y = cos−1 x x y x y 2 2 1 tan 1 sin − = − = y x = cos

Tangent Inversi

_y

1

_x

tan

−

=

-3 -2 -1 0 1 2 3 -1,5π -π -0,5π 0 0,5π π 1,5π y x -0,5π -0,25π 0 0,25π 0,5π -10 -5 0 5 x 10 y 2 tan 2 1 _< π < π − − x Kurva lengkap

Kurva nilai utama

y x = tan y x 1 2 1 x+ x y = tan−1 2 2 1 1 cos 1 sin x y x x y + = + =

Cotangent inversi

x

y

=

cot

−1

dengan nilai utama

π

<

<

cot

−1

x

0

0 0,5π 1π -10 -5 0 5 10 y x π < < cot−1x 0

Kurva nilai utama

y

x

=

cot

y x 1 2 1 x+ x y = tan−1 2 2 1 cos 1 1 sin x x y x y + = + =

Secan Inversi

x

x

y

=

sec

−1

=

cos

−1

1

dengan nilai utama

π ≤ ≤ sec−1x 0 0 0,25π 0,5π 0,75π π -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x 4 y π < < sec−1x 0

Kurva nilai utama

y

x

=

sec

y x 1 2 1 x+ x y = sec−1 2 2 1 tan 1 cos 1 sin x y x y x x y + = = + =

Cosecan Inversi

x x y = csc−1 = sin−1 1 2 csc 2 1 _≤ π ≤ π − − x y -0,5π -0,25π 0 0,25π 0,5π -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x 4

Kurva nilai utama

dengan nilai utama

2 csc 2 1 _≤ π ≤ π − − x y x = csc y x 1 2 1 x+ x y = csc−1 2 2 1 1 tan 1 cos 1 sin x y x x y x y + = + = =

Banyak peristiwa terjadi secara siklis sinusoidal yang merupakan fungsi waktu, seperti misalnya gelombang cahaya, gelombang radio

pembawa, gelombang tegangan listrik sistem tenaga, dsb

Oleh karena itu kita akan melihat fungsi sinus dengan menggunakan waktu, t, sebagai peubah bebas

Tiga besaran karakteristik fungsi sinus

) 2 sin( ) sin( 0 +θ π = θ + = t f A x A y sudut fasa frekuensi siklus amplitudo

Selain frekuensi siklus, f₀, kita mengenal juga frekuensi sudut,

ω0, dengan hubungan

2 ₀

0 = πf

Hubungan antara frekuensi siklus dan perioda adalah: 0 0 1 T f =

Karena fungsi sinus adalah fungsi periodik maka gabungan fungsi sinus juga merupakan fungsi

periodik walaupun tidak berbentuk sinus. T₀ -A 0 A 0 t y T_s T₀ -A 0 A 0 t y

Fungsi sinus adalah fungsi periodik yaitu fungsi yang memenuhi hubungan

) ( ) (t T₀ f t f − = perioda

Contoh: y y = 3 cos 2f₀t -4 0 4 -5 15 t y y = 1 + 3 cos 2f₀t -4 0 4 -5 15 t ) ) 2 ( 2 cos( 2 2 cos 3 1 f₀t f₀ t y ==== ++++ π −−−− π y t -4 0 4 -5 15 ) 4 / ) 2 ( 2 cos( 2 2 cos 3 1++++ π ₀ −−−− π ₀ ++++π ==== f t f t y -4 1 -5 15

Bentuk kurva gabungan fungsi sinus ditentukan oleh besaran karakteristik fungsi sinus penyusunnya

Perbedaan amplitudo, frekuensi, dan sudut fasa menentukan bentuk gelombang gabungan

Bentuk kurva gabungan fungsi sinus ditentukan juga oleh jumlah komponen sinus yang terlibat Komponen-komponen sinus yang terlibat dalam pembentukan gelombang gabungan disebut harmonisa Komponen sinus dengan f₀ disebut komponen fundamental

Di atas komponen fundamental adalah Harmonisa ke-2 dengan frekuensi 2f₀ Harmonisa ke-3 dengan frekuensi 3f₀

Harmonisa ke-4 dengan frekuensi 4f₀ dst.

Gabungan fungsi sinus juga mungkin mengandung fungsi tetapan yang disebut komponen searah

sinus dasar (fundamental). Contoh:

Gabungan fungsi sinus yang membentuk gelombang persegi

hasil penjumlahan sampai pada harmonisa ke-21. harmonisa-3 dan

sinus dasar + harmonisa-3.

harmonisa-5 dan

sinus dasar + harmonisa-3 + harmonisa-5.

harmonisa-7 dan

sinus dasar + harmonisa-3 + harmonisa-5 + harmonisa-7.

Spektrum

Jika gabungan fungsi sinus membentuk gelombang periodik yang tidak berbentuk sinus (non-sinus) maka bentuk gelombang

non-sinus dapat diuraikan menjadi komponen-komponen sinus Komponen-komponen sinus itu membentuk suatu spektrum.

Ada dua spektrum yaitu

Spektrum Amplitudo dan Spektrum Sudut-fasa

Makin tinggi frekuensi harmonisa, makin rendah amplitudonya. Frekuensi tertinggi, f_maks, adalah frekuensi harmonisa yang

amplitudonya sudah dapat diabaikan.

Frekuensi terendah, f_min, adalah frekuensi komponen fundamental yaitu 1, atau 0 jika spektrum mengandung komponen searah

Lebar Pita

Lebar pita frekuensi suatu spektrum adalah selang frekuensi yang merupakan selisih f_maksdan f_min

Contoh: ) 4 2 cos( 5 , 7 ) 2 / 2 2 cos( 15 ) 2 cos( 30 10+ π ₀ + π ₀ − π + π ₀ + π = f t f t f t y Frekuensi 0 f₀ 2 f₀ 4 f₀ Amplitudo 10 30 15 7,5 Sudut fasa − 0 −π/2 π 0 10 20 30 40 0 1 2 3 4 5 Frekuensi [×f0] A m p lit u d o 0 π/2 2π 0 1 2 3 4 5 S u d u t F a sa Frekuensi [×f₀] −π/2 −2π Spektrum Sudut-fasa Spektrum Amplitudo

Deret Fourier

Penguraian suatu sinyal periodik menjadi suatu spektrum sinyal tidak lain adalah pernyataan fungsi periodik kedalam deret Fourier

[

]

∑

π + π + = cos(2 ) sin(2 ) ) (t a₀ a nf₀t b nf₀t f _{n n} fungsi periodik Koefisien Fourier Contoh: 1 0 ; 2 / ganjil 0 genap; 1 / 2 / 1 2 0 ≠ = = = − π = π = n b A b n a n n A a A a n n n T₀ t y

Contoh: Contoh: T₀ A t y n b n a n n A a A a n n n semua untuk 0 ganjil 0 genap; 1 / 4 / 2 2 0 = = − π = π = n n A b n a A a n n semua untuk semua untuk 0 2 / 0 π − = = = T₀ A t y

Bilangan Natural

Logaritma natural adalah logaritma dengan menggunakan basis bilangan e

Bilangan e ini, seperti halnya bilangan π, adalah bilangan-nyata dengan desimal tak terbatas. Sampai dengan 10 angka di belakang koma, nilainya adalah

e = 2,7182818284

1

ln

e

=

a

e

a

e

a

=

ln

=

ln

Kurva y = ln x

Fungsi Logaritma Natural

Definisi ln x x ln x t 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 y 1/t

luas bidang antara fungsi 1/t dan sumbu-x yang dibatasi oleh t = 1 dan t = x

∫

=

x

dt

t

x

1

1

ln

1 2 3 x 4 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 0 y y = ln x

1

ln

e

=

e = 2,7182818284….. e

Sifat-Sifat 1 untuk negatif bernilai ln ln 1 ln ln ln ; ln ln ln ln ln ln < = = = − = + = x x x e e x n x a x a x x a ax x n

Fungsi Eksponensial

Antilogaritma Antilogaritma adalah inversi dari logaritma

y

x

=

ln

Fungsi Eksponensial x

e

y

=

Fungsi eksponensial yang sering kita jumpai adalah fungsi eksponensial dengan eksponen negatif

0

;

)

(

≥

=

e

−

u

x

x

y

ax

Faktor u(x) membuat fungsi ini muncul pada x = 0

Namun demikian faktor ini biasa tidak lagi dituliskan dengan pengertian bahwa fungsi eksponensial tetap muncul pada t = 0

Kurva Fungsi Eksponensial x 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 0 y e−x e−2x

Makin negatif eksponen fungsi ini, makin cepat ia menurun

mendekati sumbu-x

ax

e

y

=

−

Penurunan kurva fungsi eksponensial ini sudah mencapai sekitar 36% dari nilai awalnya (yaitu nilai pada x = 0), pada saat x = 1/a

Pada saat x = 5/a, kurva sudah sangat menurun mendekati sumbu-x, nilai fungsi sudah di bawah 1% dari nilai awalnya

Oleh karena itu fungsi eksponensial biasa dianggap sudah bernilai nol pada x = 5/a

Persamaan umum fungsi eksponensial dengan amplitudo A dengan waktu sebagai peubah bebas adalah

)

(

)

(

t

Ae

/

u

t

u

Ae

y

=

−at

=

−t τ

yang dituliskan dengan singkat

y

=

Ae

−at

=

Ae

−t/τ

τ

= 1/a

disebut konstanta waktu makin kecil τ, makin cepat fungsi eksponensial menurun Pada saat t = 5τ, nilai fungsi sudah di bawah 1% dari A fungsi eksponensial dianggap sudah bernilai nol pada t = 5τ

Gabungan Fungsi Eksponensial

1 / 1 τ t

Ae

y

====

−−−− 2 / 2 τ t

Ae

y

====

−−−−

((((

e

t/τ1

e

t /τ2

))))

A

y

====

−−−−

−−−−

−−−− t/τ A 0 1 2 3 4 5

Fungsi Hiperbolik

Definisi

Kombinasi tertentu dari fungsi eksponensial membentuk fungsi hiperbolik, seperti

cosinus hiperbolik (cosh) dan sinus hiperbolik (sinh)

2 sinh ; 2 cosh x x x x e e x e e x − − ₋ = + =

Fungsi hiperbolik yang lain

x x x x x x x x e e e e x x x e e e e x x x ₋ − − − − + = = + − = = sinh cosh coth ; cosh sinh tanh x x x x e e x x e e x x − − = = ₋ + = = 2 sinh 1 csch ; 2 cosh 1 sech

Kurva-Kurva Fungsi Hiperbolik

x e y 2 1 1 = x e y = − − 2 1 2 x y -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -2 -1 0 1 2 2 sinh x x e e x y − − = =

x

y

=

sinh

y x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -2 -1 0 1 2 2 cosh x x e e x − + = x e y 2 1 1 =

x

y

=

cosh

-1 0 1 2 3 4 -2 -1 0 1 2 y x x x y cosh 1 sech = =

x

y

=

sinh

x y -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -2 -1 0 1 2

x

y

=

csch

x x y sinh 1 csch = =

x

y

=

coth

x y 0 0 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -2 -1 1 2 x x x y cosh sinh tanh = = x x x y sinh cosh coth = =

untuk

sinh x

dan cosh x terdapat hubungan 1 4 4 4 2 4 2 sinh cosh 2 2 2 2 2 2 _{− =} e x + +e− x ₋ e x − +e− x _{= =} x x

1

sin

cos

2

x

+

2

x

=

Jika untuk

sin x

dan

cos x

kita kenal hubungan:

Identitas

Beberapa Identitas:

cosh2 v −sinh2 v =1 v v 2 2 sech tanh 1− = v v 2 2 csch 1 coth − = v e v v+sinh = cosh v e v v−sinh = − cosh

Relasi Koordinat Polar dan Koordinat Sudut-siku

θ = sin P r y θ = cos P r x P[r,θ] [0,0] x y θ r x_P y_P •P(xP ,yP)

Persamaan Kurva Dalam Koordinat Polar

Persamaan lingkaran berjari-jari c berpusat di O[0,0] dalam koordinat sudut-siku adalah

2 2 2 c y x + = [0,0] _x y

Dalam koordinat polar persamaan ini menjadi

2 2 2 ) sin ( ) cos (r θ + r θ = c θ r

a

[0,0] x

y

Persamaan lingkaran berjari-jari c berpusat di O[a,0] dalam koordinat sudut-siku adalah

2 2 2 ) (x−a + y = c θr

Dalam koordinat polar perswamaan ini menjadi

2 2 2 ) sin ( ) cos (r θ−a + r θ = c

Persamaan lingkaran berjari-jari c berpusat di O[a,b] dalam koordinat sudut-siku adalah

2 2 2 ) ( ) (x − a + y − b =c

Dalam koordinat polar perswamaan ini menjadi

2 2 2 ) sin ( ) cos (r θ − a + r θ −b =c b a [0,0] _x y θ r

Contoh:

-3 -2 -1 0 1 2 3 -5 -3 -1 1 y x r θ P[r,θ]

Bentuk ini disebut cardioid

)

cos

1

(

2

−

θ

=

r

Contoh:

θ y x -3 -2 -1 0 1 2 3 -5 -3 -1 1 3 5 r P[r,θ]

θ

=

16

cos

2

r

-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 -1 0 1 2 x 3 y θ = π θ = 3π θ = 4π θ = 2π r θ P[r,θ] y = 2

2

=

θ

r

Contoh:

Persamaan Garis Lurus

O

y

x

l

₁

a

r

θ

P[r,

θ

]

a

r

l

₁

:

cos

θ

=