Fungsi dan Grafik
Sudaryatno Sudirham1
Pokok Bahasan mencakup
1. Pengertian Tentang Fungsi 2. Fungsi Linier
3. Gabungan Fungsi Linier 4. Mononom dan Polinom 5. Bangun Geometris 6. Fungsi Trigonometri 7. Gabungan Fungsi Sinus 8. Fungsi Logaritma Natural 9. Fungsi Eksponensial 10. Fungsi Hiperbolik
11. Fungsi dalam Koordinat Polar
2
Pembatasan
Pembahasan Fungsi dan Grafik
dibatasi hanya padafungsi dengan peubah
bebas tunggal yang berupa bilangan nyata
Fungsi
Apabila suatu besaran y
maka dikatakan bahwa
memiliki nilai yang tergantung
dari nilai besaran lain x
y merupakan fungsi x
5
panjang sebatang batang logam (= y) merupakan fungsi temperatur (= x)
Secara umum pernyataan bahwa y merupakan fungsi x dituliskan )
(x
f y= y disebut peubah tak bebas
nilainya tergantung x
x disebut peubah bebas bisa bernilai sembarang
Dalam pelajaran ini kita hanya akan melihat x yang berupa bilangan nyata.
Selain bilangan nyata kita mengenal bilangan kompleks yang dibahas dalam pelajaran mengenaibilangan kompleks. Walaupun nilai x bisa berubah secara bebas, namun nilai x
tetap harus ditentukan sebatas mana ia boleh bervariasi Contoh:
6
Domain
Domain ialah rentang nilai (interval nilai) di mana peubah-bebas x bervariasi.
a b
rentang terbuka
a < x < b a dan b tidak termasuk dalam rentang
rentang setengah terbuka a b
a ≤≤≤≤x < b a masuk dalam rentang, tetapi b tidak
rentang tertutup a b
a ≤≤≤≤x≤≤≤≤b a dan b masuk dalam rentang Ada tiga macam rentang nilai yaitu:
7
Sistem koordinat x-y atau koordinat sudut-siku
P[2,1] Q[-2,2] R[-3,-3] S[3,-2] -4 -3 -2 -1 1 2 3 y 0 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x IV I II III sumbu-x sumbu-y
Bidang dibatasi oleh dua sumbu, yaitu sumbu mendatar yang kita sebut sumbu-x dan sumbu tegak yang kita sebut sumbu-y. Bidang terbagi dalam 4 kuadran
yaitu Kuadran I, II, III, dan IV
(koordinat Cartesian, dikemukakan oleh des Cartes)
Posisi titik pada bidang dinyatakan dalam
koordinat [x, y]
Kurva dari Suatu Fungsi x y=0,5
Setiap nilai x akan menentukan satu nilai y
x -1 0 1 2 3 4 dst. y -0,5 0 0,5 1 1,5 2 dst. -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 -1 0 1 2 3 4x y ∆x ∆y P R Q x y=0,5 Kurva
Titik P, Q, R, terletak pada kurva Kemiringan kurva:
x y
∆ ∆ Kita lihat fungsi:
(kita baca: “delta x per delta y”)
9
Kekontinyuan
Suatu fungsi yang kontinyu dalam suatu rentang nilai x tertentu, akan membentuk kurva yang tidak terputus dalam rentang tersebut.
Suatu fungsi y = f(x) yang terdefinisi di sekitar x = c dikatakan kontinyu di x = c jika dipenuhi dua syarat:
(1)fungsi tersebut memiliki nilai yang terdefinisi sebesar f(c) di x = c;
(2)nilai f(x) akan menuju f(c) jika x menuju c; pernyataan ini kita tuliskan sebagai
yang kita baca: limit f(x) untuk x menuju c sama dengan f(c). ) ( ) ( limf x f c c x→ = 10 Contoh: y = 1/x y = 1/x y x -1 0 1 -10 -5 0 5 10 Tak terdefinisikan di x = 0 y = u(x) 1 y x 0 0 Terdefinisikan di x = 0 yaitu y|x=0 = 1 (y untuk x = 0 adalah 1)
(y untuk x = 0 tidak dapat ditentukan nilainya)
11
Simetri
1. Jika fungsi tidak berubah apabila x kita ganti dengan −x maka kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-y;
2. Jika fungsi tidak berubah apabila x dan y dipertukarkan, kurva fungsi tersebut simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III. 3. Jika fungsi tidak berubah apabila y diganti dengan −y, kurva
fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-x.
4. Jika fungsi tidak berubah jika x dan y diganti dengan −x dan −y, kurva fungsi tersebut simetris terhadap titik-asal [0,0].
Contoh: y = 0,3x2 y = 0,05x3 y2+ x2 = 9 x -6 -3 0 3 6 -6 -3 0 3 6 y
tidak berubah jika x dan y diganti dengan −x dan −y
tidak berubah bila x diganti −x
tidak berubah jika:
x diganti −x
x dan y diganti dengan −x dan −y x dan y dipertukarkan y diganti dengan −y
(simetris terhadap sumbu-y)
(simetris terhadap titik [0,0])
13
Pernyataan Fungsi Bentuk Implisit
8 1 1 2 2 2 2 2 = + + = = = + y xy x x y xy y x ) (x f y= Pernyataan fungsi Pernyataan bentuk implisit
Walaupun tidak dinyatakan secara eksplisit, setiap nilai peubah-bebas x akan memberikan satu atau lebih nilai
peubah-tak-bebas y
dapat diubah ke bentuk eksplisit
/ 1 1 2 x y x y x y = = − = 0 ) 8 ( 2 2+ + − = x xy y 2 ) 8 ( 4 2 2 2− − ± − = x x x y
disebut bentuk eksplisit.
-8 -4 0 4 8 -4 -2 0 2 4 x y 14
Fungsi Bernilai Tunggal
Fungsi bernilai tunggal adalah fungsi yang hanya memiliki satu nilai peubah-tak-bebas
untuk setiap nilai peubah-bebas
0 4 8 -1 0 1 2 3 4x y 2 5 , 0 x y= 0 0,8 1,6 0 1 2x y x y=+ -1,6 -0,8 0 0 1 2x y y=− x -0,8 0 0,8 0 1 2 3 4 x y y=log10x 0 2 4 -4 -2 0 2 4x y 2 x x y= = Contoh: 15
Fungsi Bernilai Banyak
-2 -1 0 1 2 0 1 2 3 x y x y=±
Fungsi bernilai banyak adalah fungsi yang memiliki lebih dari satu nilai peubah-tak-bebas
untuk setiap nilai peubah-bebas
-10 -5 0 5 10 0 1 2 3 x y x y2=1/ y=± 1/x Contoh: 16
Fungsi Dengan Banyak Peubah Bebas
Secara umum kita menuliskan fungsi dengan banyak peubah-bebas: ) , , , , (xyzuv f w=
Fungsi dengan banyak peubah bebas juga mungkin bernilai banyak, misalnya 2 2 2 2=x +y +z ρ
Fungsi ini akan bernilai tunggal jika dinyatakan sebagai
2 2 2 y z x + + + = ρ 17
Sistem Koordinat Polar
Selain sistem koordinat sudut-siku di mana posisi titik dinyatakan dalam skala sumbu-x dan sumbu-y, kita mengenal pula sistem
koordinat polar.
Dalam sistem koordinat polar, posisi titik dinyatakan oleh jarak titik ke titik-asal [0,0] yang diberi simbol r, dan sudut yang
terbentuk antara r dengan sumbu-x yang diberi simbol θ Hubungan antara koordinat sudut siku dan koordinat polar
adalah sebagai berikut θ =rsin y θ =rcos x 2 2 y x r= + ) / ( tan−1y x = θ x P θ r y rsinθ rcosθ 18 Contoh: -3 -2 -1 0 1 2 3 -5 -3 -1 1 y x r θ P[r,θ]
Bentuk ini disebut cardioid
)
cos
1
(
2
−
θ
=
r
19 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 -1 0 1 2 x 3 y r θ P[r,θ] y = 22
=
θ
r
Contoh: 2021
Fungsi Tetapan
Fungsi tetapan bernilai tetap untuk rentang nilai x dari −∞sampai +∞.
k y= x -4 0 5 -5 0 5 y y = 4 5 . 3 − = y Contoh: 22
Persamaan Garis Lurus yang melalui [0,0]
mx y=
kemiringan garis lurus
∆ ∆ = = " delta " " delta " : dibaca , kemiringan x y x y m 0 1 2 -1 0 1 2 3 4x y ∆x ∆y -6 -4 -2 0 2 4 6 8 -1 0 1 2 3 4x y y = 0,5x y = x y = 2x y = -1,5 x m > 0 m < 0 Contoh:
garis lurus melalui [0,0]
23
Pergeseran Kurva dan Persamaan Garis Lurus
y = 2x y−2 = 2x -4 -2 0 2 4 6 8 10 -1 0 1 2 3 x 4 y mx b y− )= ( y = 2x y =2(x–1) -4 -2 2 4 6 8 -1 0 1 2 3 x 4 y 0 ) (x a m y= − Secara umum, persamaan garis lurus yang tergeser sebesar
bke arah sumbu-y positif adalah
menunjukkan pergeseran sebesara
ke arah sumbu-x positif titik potong dengan sumbu-y titik potong dengan sumbu-x b mx y= + a mx y= + ′
Bentuk umum persamaan garis lurus pergeseran ke arah sumbu-y pergeseran ke arah sumbu-x menunjukkan pergeseran sebesar b
Contoh: Persamaan garis: y−4=−2x 2 0 2 4 0 1 2 1 2 =− − − = − − = ∆ ∆ = x x y y x y m -4 -2 2 4 6 8 -1 0 1 2 3 x 4 y 0 memotong sumbu y di 4 memotong sumbu x di 2 atau y=−2(x−2) 4 2 + − = x y
dapat dilihat sebagai garis melalui (0,0) yaitu
y = -2x
yang tergeser kearah sumbu-y atau tergeser kearah sumbu-x
25 1 2 1 2 x x y y m − − = x x x y y mx y 1 1 1 2 − − = = Persamaan Garis Lurus yang melalui dua titik
[x1,y1] [x2,y2] -4 -2 0 2 4 6 8 -1 0 1 x 3 y 2 -4 -2 2 4 6 8 -1 0 1 2 3 x 4 y 0 [1,4] [3,8] 2 1 3 4 8 1 2 1 2 = − − = − − = x x y y m
persamaan garis:y−b=2x atau y=2(x−a) 2 4−b= 8=2(3−a) 2 = b a=−1 x y−2=2 y=2(x+1) 2 2 + = x y Contoh:
Persamaan garis lurus melalui [0,0] yang sejajar dengan garis yang melalui
P dan Q P
Q
Garis ini harus digeser hingga melalui P dan Q
26
Perpotongan Garis Lurus
1 1 1 ax b y= + y2=a2x+b2 2 2 1 1x b a x b a + = + 2 P 2 P 1 P 1 P 2 1 1 2 P atau b x a y b x a y a a b b x + = + = ⇒ − − = ⇒ Contoh: 8 4 dan 3 2 2 1= x+ y = x− y 5 , 5 8 4 3 2 2 1=y → x+ = x− →x= y 14 3 5 , 5 2 3 2 + = × + = = x y
Koordinat titik potong P harus memenuhi persamaan y1maupun y2. Dua garis:
Koordinat titik potong P harus memenuhi: dan -30 -20 -10 0 10 20 30 -10 -5 0 5 10 y x y2 y1 P xP yP Titik potong:P[(5,5),14] 27
Contoh-Contoh Fungsi Linier dalam Peristiwa Nyata
Suatu benda dengan massa myang mendapat gaya Fakan memperoleh percepatana ma F= v(t)=v0+at ]]]] anoda katoda l Contoh: Contoh: e e m F a= Beda tegangan antara anoda dan katoda dalam tabung katoda adalah V Kuat medan listrik:
l V E= Gaya pada elektron:
l eV eE Fe= =
Percepatan pada elektron:
gaya fungsi linier dariV
percepatan fungsi linier dariFe
Apakah percepatan elektron fungsi linier dari V ?
Suatu pegas, jika ditarik kemudian dilepaskan akan kembali pada posisi semula apabila tarikan yang dilakukan masih dalam batas elastisitas pegas. Gaya tarikan merupakan fungsi linier dari panjang tarikan.
Contoh:
kx F=
Contoh:
Dalam sebatang konduktor sepanjang l, akan mengalir arus listrik sebesar ijika antara ujung-ujung konduktor diberi perbedaan tegangan sebesar V. Arus merupakan fungsi linier dari tegangan.
R V GV i= = R G=1 A l R=ρ RA V A i j= =
gaya panjang tarikan konstanta pegas konduktansi resistansi kerapatan arus resistivitas G dan R adalah tetapan
Luas penampang konduktor
panjang konduktor 29 Contoh: materi masuk di xa materi keluar di x xa x Ca Cx ∆x
Peristiwa difusi mencapai keadaan mantap,jika konsentrasi materiCadi xadan
Cxdi xbernilai konstan
Inilah Hukum Fick Pertama yang secara formal menyatakan bahwa fluksi dari materi yang berdifusi sebanding dengan gradien konsentrasi.
Peristiwa difusi: materi menembus materi lain
dx dC D Jx=− gradien konsentrasi koefisien difusi
Fluksi materi yang berdifusi merupakan fungsi linier dari gradien konsentrasi
Fluksi materi yang berdifusi ke arah x
30
31
Fungsi Anak Tangga
0 untuk 0 0 untuk 1 ) ( < = ≥ = x x x u ) (x ku y= muncul pada x = 0 amplitudo
Fungsi ini memiliki nilai yang terdefinisi
di x = 0 Fungsi anak tangga satuan
Secara umum 0 2 0 x5 y 1 1 ) (x u y= ) (x u y= Contoh: -4 0 5 0 x5 y y=3,5u(x) ) ( 5 , 2 ux y=− 32
) (x a ku
y= −
Fungsi anak tangga tergeser
-4 0 5 0 x5 y 1 ) 1 ( 5 , 3 − = ux y
Pergeseran sebesarake arah sumbu-x positif
Contoh:
33
Fungsi Ramp
y
=
axu
(x
)
0 1 2 3 4 5 6 -1 0 1 2 3 x 4 y y 1= xu(x) y2= 2xu(x) y3= 1,5(x-2)u(x-2) Fungsi ramp tergeser: y=a(x−g)u(x−g)
Fungsi ramp satuan: y=xu(x)
Contoh:
kemiringana = 1 kemiringan
Fungsi ini baru muncul padax = 0
karena ada faktoru(x)yang didefinisikan muncul padax = 0
(fungsi anak tangga)
Pergeseran searah sumbu-x
34
Pulsa Pulsa merupakan fungsi yang muncul pada suatu nilaix1tertentu dan menghilang padax2 > x1
) ( ) (x x1 aux x2 au y= − − − : persamaan 1 2 x −x : pulsa lebar
{
( 1) ( 2)}
2 − − − = ux ux y1=2u(x-1) y2 = −2u(x−2) y1 + y2 = 2 u(x-1) – 2 u(x-2) lebar pulsa -2 -1 0 1 2 -1 0 1 2 3 x 4 perioda x y Deretan Pulsa: Contoh: 35Perkalian Ramp dan Pulsa
{
( ) ( )}
) (x Aux x1 ux x2 mxu y= × − − −{
u(x x1) u(x x2)}
mAx y= − − − ramp pulsahanya mempunyai nilai dalam selang lebarnya
y1=2xu(x) y2=1,5{u(x-1)-u(x-3)} y3 = y1y2 0 2 4 6 8 10 -1 0 1 2 3 4 x 5 y Contoh: makayjuga akan bernilai dalam selang lebar pulsa saja
y2 = {u(x)-u(x-b)} y1 = mxu(x) y3 = y1y2 = mx{u(x)-u(x-b)} 0 2 4 6 8 10 -1 0 1 2 3 4 5 y y x b Contoh: 37
Gabungan Fungsi Ramp
... ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( + − 1 − 1 + − 2 − 2 + =axux bx x ux x cx x ux x y Contoh: y1= 2xu(x) y2= −2(x−2)u(x−2) y3= 2xu(x)−2(x−2)u(x−2) y -8 -4 0 4 8 12 0 1 2 3 4 x 5
Kemiringan yang berlawanan membuat y3 bernilai konstan
mulai dari x tertentu
38 y1=2xu(x) y2= −4(x−2)u(x−2) y3= 2xu(x)−4(x−2)u(x−2) -10 -5 0 5 10 15 0 1 2 3 4 x 5 y
y2lebih cepat menurun dariy1 maka
y3menurun mulai dari x tertentu
Contoh: 39 y1= 2xu(x) y2= −4(x-2)u(x-2) y3= {2xu(x)−4(x-2)u(x-2)}{u(x-1)-u(x-3)} -10 -5 0 5 10 15 0 1 2 3 4 x 5 y
Pulsa ini membuaty3hanya bernilai dalam selang 1≤x≤3 Contoh:
41
Mononom
42
Mononom
Mononom adalah pernyataan tunggal yang berbentuk kxn Mononom Pangkat Dua: y=kx2
y = x2 y = 3x2 y = 5x2 y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -3 -2 -1 0 1 2 x 3 -100 -80 -60 -40 -20 0 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 y x 2 10x y=− 2 2x y=− Contoh:
y memiliki nilai maksimum
Karena x2≥0,maka
jika k > 0 →y > 0 jika k < 0 →y < 0
y memiliki nilai minimum
43
y1= 10x2
y2= 10(x−2)2 y3= 10(x−2)2+ 30 Pergeseran kurva mononom pangkat dua
-5 -3 3 x 5 0 50 100 -1 1 y Pergeseran ke arah sumbu-x positif Pergeseran ke arah sumbu-y positif 44
Mononom Pangkat Genap pada umumnya y2= 2x4 y3= 2x6 y1= 2x2 0 1 2 3 y -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 x1.5 0 2 4 6 8 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 y = x6 y = 3x4 y = 6x2 y x
Pada mononom berpangkat genap, makin besar pangkat makin melandai
kurva di sekitar titik puncak Jika kurva-kurva ini memiliki nilai k yang sama maka mereka
berpotongan di titik P[1,k]
Koordinat titik potong antara kurva
( )
2 12 3 dan 2 2 3 6 3 dan 6 : Kurva 4 2 4 2 4 2 = = = → = → = = = y x x x x x y x y( )
3 81 dan 3 3 3 3 dan : Kurva 6 2 4 6 4 6 = = = → = → = = = y x x x x x y x y Contoh:Kurva mononom pangkat genap simetris terhadap sumbu-y 45
Mononom Pangkat Ganjil
-3 -2 -1 0 1 2 3 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 y = 2x y = 2x5 y = 2x3 y x
Pangkat ganjil terendah: linier
Jika kurva-kurva ini memiliki nilai k yang sama maka mereka
berpotongan di titik P[1,k] Makin tinggi pangkat mononom, makin landai kurva di sekitar titik [0,0] yaitu titik yang merupakan
titik belok
Kurva mononom pangkat ganjil simetris terhadap titik [0,0]
46
Mononom Pangkat Tiga
-500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500 -2 -1 0 1 y -5 -4 -3 2 3 4 5 x 3 3x y=− 3 2x y=
Mononom pangkat tiga Simetris terhadap [0,0] y = 10(x−2)3 y = 10(x−2)3+ 100 y = 10x3 -5 -3 3x 5 -600 -400 -200 0 200 400 600 -1 1 y Pergeseran mononom pangkat tiga ke arah
sumbu-x positif Pergeseran ke arah sumbu-y positif 47
Polinom
48Polinom Pangkat Dua
c
bx
ax
y
=
2+
+
y1=2x2 y3=13 y2=15x x -10 y -150 0 150 0 10 13 15 2 2+ + = x x y y1=2x2 y4= 2x2+15x y2=15x x = −15/2 y -150 0 150 0 x -10 10 Kurva masing-masing komponen (mononom) dari polinom: Penjumlahan mononompertama dan ke-dua: y=2x2+15x
Perpotongan dengan sumbu-x
2 15 15 2 0= x2+ x⇒x=− 49 y4 = 2x2+15x −15/2 x y -150 0 150 -10 0 sumbu simetri −15/4 10 y4 = 2x2+15x x y -150 0 150 -10 0 sumbu simetri y5 = 2x2+15x+13 10
Sumbu simetri dari y=2x2+15x
memotong sumbu-x di:
4 15 − = x Penambahan komponen y3= 13 memberikan: 13 15 2 2+ + = x x y
Koordinat titik puncak:
125 , 15 13 4 15 15 4 15 2 75 , 3 4 / 15 2 − = + − + − = = − = y x 50 y = ax2 +bx +c y = ax2 y x 0 0
Polinom Pangkat Dua secara umum
x2 x1 Sumbu simetri: a b x 2 − = a ac b a b x a c a b a b x a c x a b x a y 4 4 2 4 2 2 2 2 2 2 − − + = + − + = + + = Pergeseran ke arah kiri sumbu-x
Pergeseran ke arah negatif sumbu-y − − a ac b 4 4 2 51 Penjumlahan: y3= y1 + y2 -2000 0 2000 -10 0 x 10 y y1 y2 200 80 19 4 3 2 3= x + x − x− y
Polinom Pangkat Tiga: mononom pangkat tiga + polinom pangkat dua
d cx bx ax
y= 3+ 2+ +
Mononom pangkat tiga (y1) Dan Polinom pangkat dua (y2)
-2000 0 2000 -10 0 10 y x y1= 4x3 200 80 19 2 2= x − x− y
y3 memotong sumbu-x di 3 titik
Hal ini tidak selalu terjadi Tergantung dari nilai koefisien y152
2000 -10 10 y2 y1 y3= y1 + y2 -2000
Kasus: a kurang positif Penurunan kurva y1di daerah x
negatif tidak terlalu tajam Kurva terlihat hanya memotong
sumbu-x di 2 titik Titik potong ke-3 jauh di sumbu-x
negatif -2000 2000 -10 15 y1 y2 y3= y1+y2
Kasus: a terlalu positif Penurunan y1di daerah negatif
sangat tajam Tak ada titik potong dengan sumbu
di daerah x negatif Hanya ada satu titik potong di x
positif 3 1 ax y = d cx bx ax y= 3+ 2+ + 3 1 ax y = 53 y3= y1 + y2 y1 y2 -2000 0 -10 0 15 2000 d cx bx ax y= 3+ 2+ + y3= y1 + y2 -2000 0 2000 -10 0 15 3 3 1 ax kx y = =− d cx bx y2= 2+ + a < 0
Kurva y3berpotongan dengan sumbu-x di
tiga tiga tempat. Akan tetapi perpotongan yang ke-tiga berada jauh di daerah x positif
Jika a terlalu negatif kurva berpotongan dengan sumbu-x di satu tempat
54
55
• jika fungsi tidak berubah apabila x kita ganti dengan −x
maka kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-y; • jika fungsi tidak berubah apabila x dan y dipertukarkan,
kurva funsi tersebut simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III.
• jika fungsi tidak berubah apabila y diganti dengan −y,
kurva funsi tersebut simetris terhadap sumbu-x. • jika fungsi tidak berubah jika x dan y diganti dengan −x
dan −y, kurva fungsi tersebut simetris terhadap titik-asal
[0,0].
Simetri
Nilai Peubah
Dalam melihat bentuk-bentuk geometris hanya nilai-nyata dari y dan x yang kita perhatikan
Kita menganggap bahwa bilangan negatif tidak memiliki akar, karena kita belum membahas bilangan kompleks
Contoh:
1
2 2+
=
x
y
21
x
y
=
±
−
Apabila |x| > 1, maka (1 - x2)< 0 1 1≤ ≤ − yKarena kurva ini simetris terhadap garis y = x, maka ia memiliki nilai juga terbatas pada rentang
1 1≤ ≤
− x
Dalam hal demikian ini kita membatasi x hanya pada rentang
57
Titik Potong Dengan Sumbu Koordinat
Koordinat titik potong dengan sumbu-x dapat diperoleh dengan memberi nilai y = 0, sedangkan koordinat titik potong dengan sumbu-y diperoleh dengan memberi nilai x = 0. Apabila dengan cara demikian tidak diperoleh nilai y ataupun x maka kurva tidak memotong sumbu-x maupun sumbu-y Contoh: 1 2 2+ = x y
Titik potong dengan sumbu-x adalah P[1,0] dan Q[−1,0]. Titik potong dengan sumbu-y adalah R[0,1] dan S[0,−1]
xy = 1
Kurva fungsi ini tidak memotong sumbu-x maupun sumbu-y
58
Asimptot
Suatu garis yang didekati oleh kurva namun tidak mungkin menyentuhnya, disebut asimptot
Contoh: 10 ) ( 2 2 2 − = + x x x y ) 1 ( 10 2 − + ± = x x x y tidak boleh < 0 agar x(x−1) > 0 haruslah x < 0 atau x > 1 Tidak ada bagian kurva yang berada antara x = 0 dan x = 1.
Garis vertikal x = 0 dan x = 1 adalah asimptot dari kurva
-4 0 4 -4 0 4 y x 59
Jarak Antara Dua Titik
Jika P[xp,yp) dan Q[xq,yq], maka 2 2 ( ) ) ( PQ= xp−xq + yp−yq Contoh: -4 -2 2 4 6 8 -1 0 1 2 3 x 4 y 0 [1,4] [3,8] 20 ) 4 8 ( ) 1 3 ( PQ= − 2+ − 2= 60
Parabola Bentuk kurva 2 kx y= disebut parabola [0,0] y x y=kx2
P terletak pada kurva Q terletak di sumbu-y
y = −p garis sejajar sumbu-x
R terletak pada garis y ada suatu nilai k sedemikian
rupa sehingga PQ = PR Q disebut titik fokus parabola
Garis y disebut direktrik Titik puncakparabola berada di tengah
antara titik fokus dan direktriknya
x p py y x p y x p 2 2 2 2 2 2 2 2 ) ( ) PR ( PQ + + − = + − = + − = p y ) ( PR= + p y x p py y2−2 + 2+ 2= + p x y 4 2 = p k 4 1 = k p 4 1 = 2 4 1 x p y= P[x,y] Q[0,p] R[x,−p] 61 Contoh: Parabola y=0 x,5 2
dapat kita tuliskan
2 2 5 , 0 4 1 2 1 x x y × = = Direktrik:
y
=
−
p
=
−
0
,
5
Titik fokus: Q[0,(0,5)] 62 LingkaranLingkaran merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap satu titik tertentu
yang disebut titik pusat lingkaran
Jika titik pusat lingkaran adalah [0,0] dan jari-jari lingkaran adalah r 2 2 y x r= + x2+y2=r2 persamaan lingkaran berjari-jari r berpusat di [0.0] 2 2 2 ) ( ) (x−a + y−b =r
Pergeseran titikpusat lingkaran sejauha kearah sumbu-x
dan sejauhbke arah sumbu-y
Persamaan umum lingkaran berjari-jarir berpusat di (a,b)
63 -1 1 -1 1 0,5 0,5 [0,0] x y r = 1 1 2 2+ = y x r 2 2 2 ( 0,5) ) 5 , 0 (x− + y− =r Contoh: 64
Elips Elips adalah tempat kedudukan titik yang jumlah jarak terhadap dua titik tertentu adalah konstan
Dua titik tertentu tersebut merupakan dua titik fokus dari elips
X[x,y] P[-c, 0] Q[c, 0] x y 2 2 ) ( XP= x+c +y XQ= (x−c)2+y2 ( ) a y c x y c x a 2 ) ( ) ( misalkan kita 2 XQ XP 2 2 2 2+ + − + = + ⇒ = + 2 2 ) (x c y x a c a− = − + 2 2 2 2 2 2 2 ) ( ) ( 4 4 ) (x+c +y = a − a x−c +y + x−c +y 2 2 2 2 ) ( 2 ) (x+c +y = a− x−c +y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x x cx c y a c cx a − + = − + + 1 2 2 2 2 2 = − + c a y a x kwadratkan kwadratkan sederhanakan 2 2 2 2 XQ XP : PXQ segitiga di + = a> c→ a >c 1 2 2 2 2 = + b y a x 2 2 2 c a b = − 65 1 2 2 2 2 = + b y a x X[x,y] P[-c, 0] Q[c, 0] x y [−a,0] [a,0] [0,b] [0,−b] sumbu panjang = 2a sumbu pendek = 2b Elips tergeser 1 ) ( ) ( 2 2 2 2 = − + − b q y a p x 2a=2→a=1 5 , 0 1 2b= →b= 1 -1 0 -1 0 1 x2 y 1 5 , 0 ) 25 , 0 ( 1 ) 5 , 0 ( 2 2 2 2 = − + − y x 5 , 0 = p 25 , 0 = q 66 Hiperbola
Hiperbola merupakan tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya antara dua titik tertentu adalah konstan
X(x,y) P[-c,0] Q[c,0] y x 2 2 ) ( XP= x+c +y 2 2 ) ( XQ= x−c +y a y c x y c x XQ XP 2 ) ( ) ( + 2+ 2− − 2+ 2= = − 2 2 2 2 ) ( 2 ) (x+c +y = a+ x−c +y 2 2 ) ( ) / (c ax−a= x−c +y 1 2 2 2 2 2 = − − a c y a x
Dalam segitiga PXQ, selisih (XP−XQ) < PQ
→2c < 2a→c2−a2= b2 1 2 2 2 2 = − b y a x
kwadratkan dan sederhanakan kwadratkan persamaan hiperbola 67 1 2 2 2 2 = − b y a x +∞ −∞ X(x,y) -c c y x [-a,0] [a,0]
Kurva tidak memotong sumbu-y
Tidak ada bagian kurva yang terletak antara x =−adan x = a
2 2 2 c a
b = −
Kurva Berderajat Dua
Parabola, lingkaran, elips, dan hiperbola adalah bentuk-bentuk khusus kurva berderajat dua, atau kurva pangkat dua
Bentuk umum persamaan berderajat dua adalah 0 2 2+ + + + + = F Ey Dx Cy Bxy Ax Persamaan parabola: B=C=D=F=0; A=1; E=−4p Lingkaran: B=D=E=0; A=1; C=1; F = −1
Bentuk Ax2dan Cy2adalah bentuk-bentuk berderajat dua yang telah
sering kita temui pada persamaan kurva yang telah kita bahas. Namun bentuk Bxy yang juga merupakan bentuk berderajat dua,
belum kita temui dan akan kita lihat berikut ini
69
Perputaran Sumbu Koordinat
Hiperbola dengan titik fokus tidak pada sumbu-x
a a y a x a y a x ) ( ) ( ) ( ) 2 ( + 2+ + 2− − 2+ − 2= 2 2 ( ) ) (x a y a a y x+ − = − + − 2 2xy=a
Mempetukarkan x dengan y tidak mengubah persamaan ini. Kurva persamaan ini simetris terhadap garis y = x, 2 2 2 2 ) ( ) ( 2 ) ( ) (x+a + y+a = a+ x−a +y−a
Kurva hiperbola ini memiliki sumbu simetri yang terputar 45o berlawanan dengan arah perputaran jarum jam, dibandingkan dengan sumbu simetri hiperbola sebelumnya, yaitu
sumbu-x. -5 0 5 -5 0 x y P[-a,-a] Q[a,a] y x X[x,y] 70 71
Untuk menjelaskan fungsi trigonometri, kita gambarkan lingkaran-satuan, r = 1 Fungsi sinus PQ PQ sinθ= = r Fungsi Cosinus OQ OQ cosθ= = r Fungsi Tangent θ θ = = θ cos sin OQ PQ tan θ − = − = ′ = θ − tan OQ PQ OQ Q P ) tan( Fungsi Cotangent θ θ = = θ sin cos PQ OQ cot θ − = − = ′ = θ − cot PQ OQ Q P OQ ) cot( Fungsi Secan Fungsi Cosecan OQ 1 cos 1 sec = θ = θ PQ 1 sin 1 csc = θ = θ P Q θ O [0,0] -1 1 -1 1 x y r = 1 P’ -θ θ + θ =sin2 cos2 1 72
Relasi-Relasi sinα α -1 1 -1 [0,0] 1 x y β cosα cosαcosβ cosαsinβ β sinαsinβ sinαcosβ 73 Relasi-Relasi sinα α -1 1 -1 [0,0] 1 x y β cosα cosαcosβ cosαsinβ β sinαsinβ sinαcosβ )
sin(α+β =sinαcosβ+cosαsinβ
)
cos(α+β =cosαcosβ−sinαsinβ
β α + β α = β − α β α − β α = β − α sin sin cos cos ) cos( sin cos cos sin ) sin( Karena β − = β −) sin sin( β = β −) cos cos( 74 Contoh:
α
α
=
α
α
+
α
α
=
α
+
α
=
α
)
sin(
)
sin
cos
cos
sin
2
sin
cos
2
sin(
a).
α
−
α
=
α
α
−
α
α
=
α
+
α
=
α
)
cos(
)
cos
cos
sin
sin
cos
2sin
22
cos(
b).
α
+
α
=
2 2sin
cos
1
α
=
+
α
)
1
2
cos
22
cos(
1 cos 2 ) 2 cos(α = 2α− α − = − α 2 sin 2 1 ) 2 cos( α − = α) 1 2sin2 2 cos(α
−
α
=
α
2 2sin
cos
)
2
cos(
c).
75β
α
+
β
α
=
β
+
α
)
sin
cos
cos
sin
sin(
2 ) sin( ) sin( cos sinα β= α+β+ α−β 2 ) cos( ) cos( cos cosα β= α+β+ α−β β α + β α = β −α ) cos cos sin sin cos( 2 ) cos( ) cos( sin sinα β= α−β− α+β β α − β α = β +
α ) cos cos sin sin cos( β α + β α = β −
α ) cos cos sin sin cos( Contoh:
β
α
−
β
α
=
β
−
α
)
sin
cos
cos
sin
sin(
d).β
α
=
β
−
α
+
β
+
α
)
sin(
)
2
sin
cos
sin(
e). cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ
β α = β − α + β +
α ) cos( ) 2cos cos
cos( f). β α = β + α − β −
α ) cos( ) 2sin sin cos(
Fungsi Trigonometri Normal
77
Kurva Fungsi Trigonometri Dalam Koordinat x-y
perioda -1 0 1 0 x y 2π π −π x y -1 0 1 0 −π π 2π −2π perioda ) 2 / cos( ) sin( = −π = x x y
pergeseran fungsi cosinus sejauh π/2 ke arah sumbu-x positif
Contoh: o o o o cos(56 90 ) cos34 56 sin = − = ) sin( x y= y=cos(x)
Fungsi Sinus Fungsi Cosinus
78 -3 -2 -1 0 1 2 3 -3π/4 -π/2 -π/4 0 π/4 π/2 3π/4 Fungsi Tangent θ = θ θ = θ cot 1 cos sin tan asimptot Rentang: -π/4 < tanθ< π/4 π/4 < tanθ< 3π/4 dst. Lebar rentang: π/2 θ θ cos sin 79 -3 -2 -1 0 1 2 3 0 -3π/4 -π/2 -π/4 π/4 π/2 3π/4 Fungsi Cotangent θ = θθ = θ tan 1 sin cos cot asimptot Rentang: 0 < tanθ< π/2 -π/2 < tanθ< 0 dst. Lebar rentang: π/2 θ θ cos sin 80
Fungsi Secan Fungsi Cosecan -3 -2 -1 0 1 2 3 -1,5π -π -0,5π 0 0,5π π 1,5π -3 -2 -1 0 1 2 3 -1,5π -π -0,5π 0 0,5π π 1,5π ) cos( 1 ) sec( x x y= = ) sin( 1 ) csc( x x y= = Rentang: -π/2 < tanθ< π/2 π/2 < tanθ< 3π/2 dst. Lebar rentang: π Rentang: 0 < tanθ< π -π< tanθ< 0 dst. Lebar rentang: π asimptot 81
Fungsi Trigonometri Inversi
82 Sinus Inversi x x y 1 sin atau arcsin − = = x y -1 00 1 −π π 2π −2π -0,5π -0,25π 0 0,25π 0,5π -1 -0,5 0 0,5 x1 y Kurva lengkap
Kurva nilai utama -π/2 < sin-1x <π/2 -1 < x < 1 y x 1 2 1 x− x y=sin−1 2 2 1 tan 1 cos x x y x y − = − = Sudut y yang sinusnya = x
x y= sin 83 Cosinus Inversi x y -1 00 1 −π π 0 0,25π 0,5π 0,75π 1π -1 -0,5 0 0,5x 1 y Kurva lengkap
Kurva nilai utama 0 < cos-1x < π -1 < x < 1 x y=cos−1 y x 1 2 1 x− x y=cos−1 x x y x y 2 2 1 tan 1 sin − = − = y x=cos 84
Tangent Inversi y=tan−1x -3 -2 -1 0 1 2 3 -1,5π -π -0,5π 0 0,5π π 1,5π y x -0,5π -0,25π 0 0,25π 0,5π -10 -5 0 5 x 10 y 2 tan 2 1 <π < π − −x Kurva lengkap
Kurva nilai utama
y x=tan y x 1 2 1 x+ x y=tan−1 2 2 1 1 cos 1 sin x y x x y + = + = 85 Cotangent inversi x y=cot−1 dengan nilai utama
π < < −1x cot 0 0 0,5π 1π -10 -5 0 5 10 y x π < < −1x cot 0
Kurva nilai utama
y x=cot y x 1 2 1 x+ x y=tan−1 2 2 1 cos 1 1 sin x x y x y + = + = 86 Secan Inversi x x y=sec−1 =cos−11
dengan nilai utama π ≤ ≤sec−1x 0 0 0,25π 0,5π 0,75π π -4 -3 -2 -1 0 1 2 3x4 y π < <sec−1x 0
Kurva nilai utama
y x=sec y x 1 2 1 x+ x y=sec−1 2 2 1 tan 1 cos 1 sin x y x y x x y + = = + = 87 Cosecan Inversi x x y=csc−1 =sin−11 2 csc 2 1 ≤π ≤ π − − x y -0,5π -0,25π 0 0,25π 0,5π -4 -3 -2 -1 0 1 2 3x 4
Kurva nilai utama
dengan nilai utama
2 csc 2 1 ≤π ≤ π − −x y x=csc y x 1 2 1 x+ x y=csc−1 2 2 1 1 tan 1 cos 1 sin x y x x y x y + = + = = 88
89
Banyak peristiwa terjadi secara siklis sinusoidal yang merupakan fungsi waktu, seperti misalnya gelombang cahaya, gelombang radio
pembawa, gelombang tegangan listrik sistem tenaga, dsb Oleh karena itu kita akan melihat fungsi sinus dengan menggunakan
waktu, t, sebagai peubah bebas Tiga besaran karakteristik fungsi sinus
) 2 sin( ) sin( 0+θ π = θ + = t f A x A y sudut fasa frekuensi siklus amplitudo
Selain frekuensi siklus, f0, kita
mengenal juga frekuensi sudut, ω0, dengan hubungan
2 0 0= πf ω
90
Hubungan antara frekuensi siklus dan perioda adalah:
0 0
1
T f =
Karena fungsi sinus adalah fungsi periodik maka gabungan fungsi sinus juga merupakan fungsi
periodik walaupun tidak berbentuk sinus.
T0 -A 0 A 0 t y Ts T0 -A 0 A 0 t y
Fungsi sinus adalah fungsi periodik yaitu fungsi yang memenuhi hubungan ) ( ) (t T0 f t f − = perioda 91 Contoh: y y = 3 cos 2f0t -4 0 4 -5 15 t y y = 1 + 3 cos 2f0t -4 0 4 -5 15 t ) ) 2 ( 2 cos( 2 2 cos 3 1 f0t f0t y==== ++++ π −−−− π y t -4 0 4 -5 15 ) 4 / ) 2 ( 2 cos( 2 2 cos 3 1++++ π0−−−− π 0 ++++π ==== ft f t y -4 1 -5 15
Bentuk kurva gabungan fungsi sinus ditentukan oleh besaran karakteristik fungsi sinus penyusunnya
Perbedaan amplitudo, frekuensi, dan sudut fasa menentukan bentuk gelombang gabungan
Bentuk kurva gabungan fungsi sinus ditentukan juga oleh jumlah komponen sinus yang terlibat Komponen-komponen sinus yang terlibat dalam pembentukan gelombang gabungan disebut harmonisa Komponen sinus dengan f0disebut komponen fundamental
Di atas komponen fundamental adalah Harmonisa ke-2 dengan frekuensi 2f0
Harmonisa ke-3 dengan frekuensi 3f0
Harmonisa ke-4 dengan frekuensi 4f0 dst.
Gabungan fungsi sinus juga mungkin mengandung fungsi tetapan yang disebut komponen searah
93
sinus dasar (fundamental).
Contoh:
Gabungan fungsi sinus yang membentuk gelombang persegi
hasil penjumlahan sampai pada harmonisa ke-21. harmonisa-3 dan
sinus dasar + harmonisa-3.
harmonisa-5 dan sinus dasar + harmonisa-3 +
harmonisa-5.
harmonisa-7 dan sinus dasar + harmonisa-3 + harmonisa-5 + harmonisa-7.
94
Spektrum
Jika gabungan fungsi sinus membentuk gelombang periodik yang tidak berbentuk sinus (non-sinus) maka bentuk gelombang
non-sinus dapat diuraikan menjadi komponen-komponen sinus Komponen-komponen sinus itu membentuk suatu spektrum.
Ada dua spektrum yaitu
Spektrum Amplitudo dan Spektrum Sudut-fasa Makin tinggi frekuensi harmonisa, makin rendah amplitudonya.
Frekuensi tertinggi, fmaks, adalah frekuensi harmonisa yang amplitudonya sudah dapat diabaikan.
Frekuensi terendah, fmin, adalah frekuensi komponen fundamental yaitu 1, atau 0 jika spektrum mengandung komponen searah Lebar Pita
Lebar pita frekuensi suatu spektrum adalah selang frekuensi yang merupakan selisih fmaksdan fmin
95 Contoh: ) 4 2 cos( 5 , 7 ) 2 / 2 2 cos( 15 ) 2 cos( 30 10+ π0 + π 0 −π + π 0 +π = ft ft ft y Frekuensi 0 f0 2 f0 4 f0 Amplitudo 10 30 15 7,5 Sudut fasa − 0 −π/2 π 0 10 20 30 40 0 1 2 3 4 5 Frekuensi [×f0] A m p li tu d o 0 π/2 2π 0 1 2 3 4 5 S u d u t F a sa Frekuensi [×f0] −π/2 −2π Spektrum Sudut-fasa Spektrum Amplitudo
Suatu persamaan gelombang:
Deret Fourier
Penguraian suatu sinyal periodik menjadi suatu spektrum sinyal tidak lain adalah pernyataan fungsi periodik kedalam deret Fourier
[
]
∑
π + π + = cos(2 ) sin(2 ) ) (t a0 a nf0t b nf0t f n n fungsi periodik Koefisien Fourier Contoh: 1 0 ; 2 / ganjil 0 genap; 1 / 2 / 1 2 0 ≠ = = = − π = π = n b A b n a n n A a A a n n n T0 t y 97 Contoh: Contoh: T0 A t y n b n a n n A a A a n n n semua untuk 0 ganjil 0 genap; 1 / 4 / 2 2 0 = = − π = π = n n A b n a A a n n semua untuk semua untuk 0 2 / 0 π − = = = T0 A t y 98 99 Bilangan NaturalLogaritma natural adalah logaritma dengan menggunakan basis bilangan e
Bilangan e ini, seperti halnya bilanganπ, adalah bilangan-nyata dengan desimal tak terbatas. Sampai dengan 10 angka di belakang koma, nilainya adalah
e = 2,7182818284 1 lne= a e a ea= ln = ln 100
Kurva y = ln x Fungsi Logaritma Natural
Definisi ln x x ln x t 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 y 1/t
luas bidang antara fungsi 1/t dan sumbu-x yang dibatasi oleh t = 1 dan t = x
∫
= x dt t x 1 1 ln 1 2 3 x 4 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 0 y y = ln x 1 lne= e = 2,7182818284….. e 101 Sifat-Sifat 1 untuk negatif bernilai ln ln 1 ln ln ln ; ln ln ln ln ln ln < = = = − = + = x x x e e x n x a x a x x a ax x n 102 103 Fungsi EksponensialAntilogaritma Antilogaritma adalah inversi dari logaritma
y x=ln Fungsi Eksponensial x e y=
Fungsi eksponensial yang sering kita jumpai adalah fungsi eksponensial dengan eksponen negatif
0 ; ) ( ≥ =e− ux x y ax
Faktor u(x) membuat fungsi ini muncul pada x = 0 Namun demikian faktor ini biasa tidak lagi dituliskan dengan pengertian bahwa fungsi eksponensial tetap muncul pada t = 0
Kurva Fungsi Eksponensial x 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 0 y e−x e−2x
Makin negatif eksponen fungsi ini, makin cepat ia menurun
mendekati sumbu-x
ax e y= −
Penurunan kurva fungsi eksponensial ini sudah mencapai sekitar 36% dari nilai awalnya (yaitu nilai pada x = 0), pada saat x = 1/a Pada saat x = 5/a, kurva sudah sangat menurun mendekati sumbu-x, nilai fungsi sudah di bawah 1% dari nilai awalnya
Oleh karena itu fungsi eksponensial biasa dianggap sudah bernilai nol pada x = 5/a
105
Persamaan umum fungsi eksponensial dengan amplitudo A dengan waktu sebagai peubah bebas adalah
) ( ) (t Ae /ut u Ae y= −at = −t τ
yang dituliskan dengan singkat y=Ae−at=Ae−t/τ
τ= 1/adisebut konstanta waktu makin kecil τ, makin cepat fungsi eksponensial menurun Pada saat t = 5τ, nilai fungsi sudah di bawah 1% dari A fungsi eksponensial dianggap sudah bernilai nol pada t = 5τ
106
Gabungan Fungsi Eksponensial
1 / 1 τ t Ae y ==== −−−− 2 / 2 τ t Ae y ==== −−−−
((((
e t/τ1 e t/τ2))))
A y==== −−−− −−−− −−−− t/τ A 0 1 2 3 4 5 107 108Fungsi Hiperbolik Definisi
Kombinasi tertentu dari fungsi eksponensial membentuk fungsi hiperbolik, seperti
cosinus hiperbolik (cosh) dan sinus hiperbolik (sinh)
2 sinh ; 2 cosh x x x x e e x e e x − − − = + =
Fungsi hiperbolik yang lain
x x x x x x x x e e e e x x x e e e e x x x − − − − − + = = + − = = sinh cosh coth ; cosh sinh tanh x x x x e x x e e e x x − − − = = + = = 2 sinh 1 csch ; 2 cosh 1 sech 109
Kurva-Kurva Fungsi Hiperbolik
x e y 2 1 1= x e y =− − 2 1 2 x y -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -2 -1 0 1 2 2 sinh x x e e x y − − = = 110 x y=sinh y x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -2 -1 0 1 2 2 cosh x x e e x − + = x e y 2 1 1= 111 x y=cosh -1 0 1 2 3 4 -2 -1 0 1 2 y x x x y cosh 1 sech = = 112
x y=sinh x y -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -2 -1 0 1 2 x y=csch x x y sinh 1 csch = = 113 x y=coth x y 0 0 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -2 -1 1 2 x x x y cosh sinh tanh = = x x x y sinh cosh coth = = 114
untuksinh xdancosh xterdapat hubungan
1 4 4 4 2 4 2 sinh cosh 2 2 2 2 2 2x− x=ex+ +e−x−ex− +e− x= = 1 sin cos2x+ 2x=
Jika untuksin x dancos x kita kenal hubungan: Identitas
Beberapa Identitas: cosh2v−sinh2v=1
v v 2 2 sech tanh 1− = v v 2 2 1 csch coth − = v e v v+sinh = cosh v e v v−sinh = − cosh 115 116
Relasi Koordinat Polar dan Koordinat Sudut-siku θ = sin P r y θ = cos P r x P[r,θ] [0,0] x y θ r xP yP P(xP,yP) • 117
Persamaan Kurva Dalam Koordinat Polar
Persamaan lingkaran berjari-jari c berpusat di O[0,0] dalam koordinat sudut-siku adalah
2 2 2 y c x + = [0,0] x y
Dalam koordinat polar persamaan ini menjadi 2 2 2 ( sin ) ) cos (r θ +r θ =c θ r 118 a [0,0] x y
Persamaan lingkaran berjari-jari c berpusat di O[a,0] dalam koordinat sudut-siku adalah
2 2 2 ) (x−a +y =c θr
Dalam koordinat polar perswamaan ini menjadi 2 2 2 ) sin ( ) cos (r θ−a +r θ =c 119
Persamaan lingkaran berjari-jari c berpusat di O[a,b] dalam koordinat sudut-siku adalah
2 2 2 ) ( ) (x−a + y−b =c
Dalam koordinat polar perswamaan ini menjadi 2 2 2 ( sin ) ) cos (r θ−a + r θ−b =c b a [0,0] x y θ r 120
Contoh: -3 -2 -1 0 1 2 3 -5 -3 -1 1 y x r θ P[r,θ]
Bentuk ini disebut cardioid
)
cos
1
(
2
−
θ
=
r
121 Contoh: θ y x -3 -2 -1 0 1 2 3 -5 -3 -1 1 3 5 r P[r,θ] θ =16cos 2 r 122 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 -1 0 1 2 x 3 y θ= π θ= 3π θ= 4π θ= 2π r θ P[r,θ] y = 2 2 = θ r Contoh: 123Persamaan Garis Lurus
O y x l1 a r θ P[r,θ] a r l1: cosθ= 124
O y x b l2 b r l2: sinθ= r θ P[r,θ] 125 α l3 O y x β a A r θ P[r,θ] a r l3: cos(β−θ)= 126 l4 O y x β a r θ P[r,θ] l4: rcos(θ−β)=a 127
Parabola, Elips, Hiperbola
θ − = cos 1 k r Parabola: Eksentrisitas θ + = = cos PD PF r k r es Eksentrisitas: D B θ r P[r,θ] F titik fokus
Dengan pengertian eksentrisitas ini kita dapat membahas sekaligus
parabola, elips, dan hiperbola.
Elips: 1 = s e θ − = cos 1 s s e k e r θ + = θ + =e(k rcos ) ek ercos r s s s 1 < s e θ − = θ − × = cos 2 cos 5 , 0 1 5 , 0 k k r (misal es= 0,5) Hiperbola:es>1 θ − × = cos 2 1 2 k r (misal es= 2) x y A direktriks k 128
Lemniskat dan Oval Cassini F1[a,π] F2[a,0] P[r,θ] r θ θ= 0 θ= π θ= π/2
Kurva-kurva ini adalah kurva pada kondisi khusus, yang merupakan tempat kedudukan titik-titik yang hasil kali
jaraknya terhadap dua titik tertentu bernilai konstan
( ) (
) (
)
θ + + = θ + + θ = cos 2 cos sin PF 2 2 2 2 2 1 ar a r r a r( ) (
) (
)
θ − + = θ − + θ = cos 2 cos sin PF 2 2 2 2 2 2 ar a r r a r 2 2 1 PF PF× =b Misalkan(
) (
)
) cos 2 1 ( 2 cos 2 cos 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 4 θ − + + = θ − + × θ + + = r a a r ar a r ar a r b θ − + =r4 a4 2a2r2cos2 ) 1 ( 2 cos 2 cos 2 2 4 2 2 k a a r = θ± θ− −Buat b dan a berrelasi
b = ka k4a4=r4+a4−2a2r2cos2θ 0=r4−2a2r2cos2θ+a4(1−k4)
129
Lemniskat r2=a2cos2θ±a2 cos22θ−(1−k4)
Kondisi khusus: k = 1 θ =2 2cos2 2 a r θ= 0 θ= π θ= π/2 -0,6 -0,2 0 0,2 0,6 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5
Kondisi khusus: k > 1, misal k = 1,1
θ= 0 θ= π θ= π/2 -1 -0,5 0 0,5 1 -2 -1 0 1 2 Kurva dengan a = 1 130 Oval Cassini
Kondisi khusus:k < 1, misalkan k = 0,8
θ= 0 θ= π θ= π/2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 -2 -1 0 1 2 ) 1 ( 2 cos 2 cos 2 2 4 2 2 a a k r = θ± θ− − 131