esaian Pers.Non Linier Studi Kasus Penyele S. Hadi, ST. MSc. Muhammad Zen Studi Kasus Non Linier

(1)

Studi Kasus Penyele

1

y

Muhammad Zen

Studi Kasus Non Linier

esaian Pers.Non Linier

1

(2)

Contoh Kasus

2

9 Penyelesaian persamaan non linier 9 Penyelesaian persamaan non linier

permasalahan yang terpisah, tetapi satu kesatuan atau satu rantai dari p penyelesaian persamaan non linier perhitungannya.

9 Beberapa contoh permasalahan yan persamaan non linier sebagai kunci

P t il i k i l d i

- Penentuan nilai maksimal dan min - Perhitungan nilai konstanta pada m

yang biasanya muncul dalam perm

y g y p

bisa digunakan untuk menghitung - Penentuan titik potong beberapa f

digunakan untuk keperluan perhit digunakan untuk keperluan perhit

2

terkadang muncul sebagai terkadang muncul sebagai

terkadang pula muncul sebagai penyelesaian permasalahan dimana

justru menjadi kunci dalam

ng memerlukan penyelesaian inya adalah sebagai berikut:

i l f i li i

nimal fungsi non linier matrik dan determinan, masalahan sistem linier, g nilai eigen

fungsi non linier, yang banyak tungan perhitungan secara grafis tungan-perhitungan secara grafis.

(3)

Penentuan Nilai Maksimal da

3

Pada penyelesaian persamaan non maka dicari x yang memenuhi f(x)=0 nilai maksimal dan minimal dari fung nilai maksimal dan minimal dari fung yang memenuhi f’(x)=0.

J di b l k t d

Jadi sebelum menggunakan metode maksimal dan nilai minimal pada fun dihitung g(x)=f’(x). Nilai fungsi g(x) g g( ) ( ) g g( ) untuk menentukan nilai x dimana g( Sedangkan untuk menentukan titik y Sedangkan untuk menentukan titik y atau titik minimal, maka perlu dihitun

an Minimal Fungsi Non Linier

3

g

linier dengan fungsi f(x),

0. Sedangkan pada penentuan gsi f(x) yang dicari adalah nilai x gsi f(x), yang dicari adalah nilai x

ik t k t k il i

e numerik untuk menentukan nilai ngsi f(x), maka terlebih dahulu

inilah yang menjadi fungsi acuan y g j g

(x)=0.

yang diperoleh adalah titik maksimal yang diperoleh adalah titik maksimal ng f’’(x).

(4)

Contoh Menentuk

Co to e e tu

4

Tentukan nilai minimal dari f(x) = x2

2

Tentukan nilai minimal dari f(x) = x2

1.5 0.5 1 0 0.5 -0.5 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2

Dari gambar di atas nilai minimal t

kan Nilai Minimal

a a

a

4

2 _(x+1)e-2x₊₁

x**2-(x+1)*exp(-2*x)+1

2_-(x+1)e 2x₊₁

0.4 0.6 0.8 1

(5)

Contoh Menentuka

5

Untuk menentukan nilai minimal ter Untuk menentukan nilai minimal ter

g(x) = 2x - e-2x _{+ 2(x+}

Jadi permasalahannya menjadi me

2 (2 1) 2 ₀

2x+ (2x+1)e-2x _{= 0}

Dengan menggunakan metode Secan Pendekatan awal di x0=-0.4 dan x1=-0 Toleransi error = 1e-005

Iterasi x f(x)( ) 1 -0.316495 0.0581765 2 -0.332006 -0.0113328 3 -0.329477 0.000208218 3 0.329477 0.000208218 4 -0.329523 7.28621e-007 Akar persamaan di x = -0 329523

Akar persamaan di x = -0.329523

Jadi nilai minimal fungsi f(x) terletak di

an Nilai Minimal

5

rlebih dahulu dihitung g(x)=f’(x) rlebih dahulu dihitung g(x) f (x)

1)e-2x _{= 2x+ (2x+1)e}-2x

enyelesaikan persamaan :

t diperoleh : 0.2

(6)

Penentuan Nilai E

6

Nilai eigen pada suatu matrik A, mg p

menyajikan karakteristik kestabila dihitung menggunakan :

A

−

λ

A

λ

dimana I adalah matrik identitas d Bila matrik A mempunyai ukuran n yang disajikan dalam bentuk pers yang disajikan dalam bentuk pers

sebagai berikut : ₁

1 +

+ a ₋ − a ₋

a_nλn _n λn _n

P t il i λ k

Penentuan nilai λ merupakan per persamaan non linier.

igen Pada Matrik

6

merupakan nilai-nilai yang

g

p y g

an matrik. Nilai eigen ini dapat

0 I

λ

I

=

0 λ

dan

λ

adalah nilai eigen dari matrik A.

nxn maka akan terdapat n nilai λ

samaan polinomial pangkat n samaan polinomial pangkat n

0 .. ₁ ₀ 2 2 + + + = − − λn a λ a l h d l l i

(7)

Contoh Penentuan Ni

7

T t k il i i d i _A

Tentukan nilai eigen dari :

Nilai eigen dapat diperoleh den Nilai eigen dapat diperoleh den

atau bisa dituliskan dengan : atau bisa dituliskan dengan :

(

2

−

Secara grafis bisa digambarkan :

Aturan Sarrus

ilai Eigen Pada Matrik

g

7 ⎥ ⎤ ⎢ ⎡ 2 1 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣− − = 1 0 1 1 3 0 ngan : 2 λ 1 0 ngan : 0 1 0 1 1 3 0 0 1 2 = − − − − − = − λ λ λ λI A

) (

{

3 −

)(

1 −

)

}

+

1 =

0 −

λ

0 7 11 6 2 3 +

λ

−

λ

+ =

λ

0 1 2 -x**3+6*x**2-11*x+7 -3 -2 -1 -5 -4 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4

(8)

Contoh Penentuan N

8

Dengan menggunakan metod Pendekatan awal di x0 = 3 2 d Pendekatan awal di x0 3.2 d Toleransi error = 1e-005

It i f( ) Iterasi x f(x) 1 3.31569 0.0381934 2 3.32411 0.002583 3 3.32472 -2.18963e 4 3.32472 1.23711e-Akar persamaan di x = 3.3247

Nilai Eigen Pada Matrik

g

8 e secant diperoleh: dan x1 = 3 4 dan x1 3.4 )) 4 07 e-005 -008 72

(9)

Menghitung

9

Perhitungan nilai akar a dapat dilaku

g

Perhitungan nilai akar a dapat dilaku persamaan f(x)=x2_{-a. Ini dapat dilak}

penyelesaian dari persamaan : x2 _{- a}

Menghitung akar 3 dapat dilakukan persamaan : x2 _{- 3 = 0}

Dengan menggunakan metode seca Dengan menggunakan metode seca Pendekatan awal di x0 = 1 dan x1 =

T l i 1 005

Toleransi error = 1e-005

Iterasi x f(x)

1 1.66667 -0.222222 2 1.72727 -0.0165289 3 1.73214 0.000318878 4 1.73205 -4.40416e-00

Akar persamaan di x = 1.73205

g Nilai Akar

9

ukan dengan menggunakan

g

ukan dengan menggunakan ukan dengan menghitung a = 0 dengan menyelesaikan ant diperoleh : ant diperoleh : = 2 07

(10)

Menghitung Titik

1

Perhatikan dua buah kurva y=f(x)

g

Perhatikan dua buah kurva y=f(x) titik p seperti gambar berikut :

y U y=g(x) Unt dua sec x p sec yan men dim y=f(x) dim f(x) atau f(x)

Maka fungsi persama Maka fungsi persama

k Potong 2 Kurva

0

dan y=g(x) yang berpotongan di

g

dan y=g(x) yang berpotongan di

k k i ik

tuk menentukan titik potong a buah kurva di atas

cara numerik maka pertama kali

ca a u e a a pe ta a a

ng harus dilakukan adalah

nentukan fungsi dari persamaan mana titik potong didefinisikan dgn : mana titik potong didefinisikan dgn :

= g(x) u

– g(x) = 0

aannya adalah f(x)-g(x). aannya adalah f(x) g(x).

(11)

Contoh Menghitung

g

1

Tentukan titik potong y=2x3-x dan

3

p g y

Perhatikan gambar kedua kurva

2 2.5 1 1.5 0 0.5 -1 -0.5 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2

Dari gambar di atas terlihat akar

g Titik Potong 2 Kurva

g

1 n y=e-x 2*x**3-x exp( x) y

tesebut sebagai berikut:

exp(-x)

2 0.4 0.6 0.8 1

(12)

Contoh Menghitung

g

1

Dengan menggunakan metode Sec Dengan menggunakan metode Sec dari persamaannya adalah sebagai

y=2x3_{-x - e}-x

P k i t d t d

Pemakaian metode secant dengan adalah sebagai berikut:

Pendekatan awal di x0 = 0.8 dan x1 Toleransi error = 1e-005

i x f(x) i x f(x) 1 0.852558 -0.0395088 2 0.861231 -0.00628888 3 0.862873 8.36952e-005 4 0.862852 -1.73417e-007 Akar persamaan di x = 0.862852

g Titik Potong 2 Kurva

g

2

cant, terlebih dahulu disusun fungsi cant, terlebih dahulu disusun fungsi

berikut:

titik d k t l 0 8 d 1

titik pendekatan awal 0,8 dan 1 = 1

(13)

Latihan Soal :

1. Tentukan nilai akar 27 dan akar 50 2. Sebuah sinyal DTMF mempunyai

Tentukan nilai maksimal dari sinya menggunakan metode Secant

menggunakan metode Secant. 3. Tentukan titik potong kurva y = e-x

Gunakan metode Secant dan New jumlah iterasi dan kesalahannya. 4. Gunakan metode Newton Raphso

t k hit k d i 10 B

untuk menghitung akar dari 10. Ba kesalahannya. Buat kesimpulan. 5 Tentukan nilai puncak pada kurva 5. Tentukan nilai puncak pada kurva

x=[0,10]

6. Hitung nilai eigen dari

Studi Kasus Non Linier 1

0

persamaan : sin(x)+sin(2x). al tersebut untuk batas 0 s/d 3,

dengan y=x2 _{untuk batas [-1,1].}

wton Raphson. Bandingkan on, Regula Falsi dan Secant

di k j l h it i d andingkan jumlah iterasi dan

y=x2_+e-2x_{sin(x) pada range}

y x +e sin(x) pada range