log log. log q 1 log. log15

(1)

1. Bentuk sederhana dari ( 1 + 3 2) – ( 4 – 50 ) adalah …. a. – 2 2 – 3 b. – 2 2 + 5 c. 8 2 – 3 d. 8 2 + 3 e. 8 2 + 5

Soal Ujian Nasional Tahun 2007

( 1 + 3 2) – ( 4 – 50 ) = ( 1 + 3 2) – ( 4 – 25.2 )

= ( 1 + 3 2) – ( 4 – 5 2 ) = 1 + 3 2– 4 + 5 2 = – 3 + 8 2

2. Jika 2log 3 = a dan 3log 5 = b, maka 15log 20 = …. a. a 2 b. ) 1 ( 2 b a ab   c. 2 a d. 1 2 1   ab b e. ab b a   2 ) 1 (

)

1 (

2

1

2

1

1 .

2

5 log

3 log

5 log

2 log

.

2

5 log

3 log

5 log

2 log

5 log

3 log

5 log

2 log

5 log

3 log

5 log

4 log

)

5

3 log(

)

5

4 log(

15 log

20 log

3 3 3 3 3 3 3 2 3 3 3 3 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 15

b

a

b

a

b

a

x





























3. Nilai dari

....

1 log

.

1 log

.

1 log

₅ ₃



q

r

p

p q r a. – 15 b. – 5 c. – 3 d. 15 1 e. 5

15 )

1 (

15 log

.

15 log

.

log

.

log

.

15 log

.

log

.

log

).

1 )(

3 )(

5 (

log

)

1 .(

log

)

3 .(

log

).

5 (

log

.

log

.

log

1 log

.

1 log

.

1 log

₅ ₃ 5 3 1

























  

r

q

p

q

r

p

q

r

p

q

r

p

q

r

p

r q p r p q r p q r p q r p q r

(2)

4. Nilai dari ₂ 3 1 . 4 5 6 5 2 3 .

6 y

7

  















y

x

untuk x = 4 dan y = 27 adalah ….

a.



12 2



.9 2

b.



12 2



.9 3 c.



12 2



.18 3

d.



12 2



.27 2 e.



12 2



.27 3

2 3 1 . 4 5 6 5 2 3 . 2 3 1 . 4 5 6 5 2 3 . 6 . .y 7 6 y 7                          x y x x x y x x 2 2 3 1 . 3 4 5 2 6 5 3 2 3 . 2 2 3 1 . 4 5 6 5 2 3 . ) 2 ( ) 3 ( 6 ) 2 ( ) .(3 ) 2 ( 7 ) 4 ( ) 27 ( 6 ) 4 ( .(27) ) 4 ( 7                          



 

22. 2 1



3 . .3 2 . 7 2 2 . 2 3 . .3 2 . 7 3 1 . 6 2 2 . .3 2 . 7 2 3 . 6 2 .3 2 . 7 2 2 2 2 1 2 4 2 1 2 3 . 4 1 2 5 2 5 3 .                              









9 3(2 2 1) 1 8 ) 1 2 2 ( 3 9 . 7 1 2 2 1 2 2 1 2 2 3 . 3 . 7 2 _ _        x

5. Akar – akar persamaan 32x+1 – 28.3x + 9 = 0 adalah x1 dan x2. Jika x1 > x2, maka nilai 3x1 – x2 = …

a. – 5 b. – 1 c. 4 d. 5 e. 7

Soal Ujian Nasional Tahun 2007 32x.31 – 28.3x + 9 = 0 3.(3x)2 – 28.3x + 9 = 0 Misal : 3x = p 3p2 – 28p + 9 = 0 ( 3p – 1 ) ( p – 9 ) = 0 3p – 1 = 0 atau p – 9 = 0 3p = 1 atau p = 9 p = 3 1 atau p = 9

Substitusikan nilai p pada persamaan 3x = p 3x =

3 1

(3)

3x = 3–1 atau 3x = 32

x = –1 atau x = 2 ( karena x1 > x2, maka x1 = 2 dan x2 = –1 ) Substitusikan nilai x1 dan x2, maka akan didapat 3(2) – (–1) = 7

6. Akar – akar persamaan 2.34x – 20.32x + 18 = 0 adalah x1 dan x2. Nilai x1 + x2 = ….

a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 4

Caranya sama dengan no 5, tetapi yang dimisalkan adalah 32x.

7. Nilai x yang memenuhi persamaan 2log.2log (2x+1 + 3) = 1 + 2log x adalah …. a. 2log 3 b. 3log 2 c. – 1 atau 3 d. 8 atau ½ e. 3 2 log

2

log.2log (2x+1 + 3) = 1 + 2log x

2

log.2log (2x+1 + 3) = 2log 2 + 2log x

2

log.2log (2x+1 + 3) = 2log 2x ( gunakan kesamaan pada logaritma )

2

log (2x+1 + 3) = 2x ( gunakan definisi logaritma sebagai invers eksponen alog b = c ↔ b= ac ) 2x+1 + 3 = 22x ( pindahkan semua nilai ke ruas kanan )

22x – 2x+1 – 3 = 0 (2x)2 – 2x.21 – 3 = 0 (2x)2 – 2.2x – 3 = 0 Misal 2x = q q2 – 2q – 3 = 0 ( q – 3 ) ( q + 1 ) = 0 q – 3 = 0 atau q + 1 = 0 q = 3 atau q = –1

substitusikan nilai q pada 2x = q 2x = 3 atau 2x = –1

x = 2log 3 (untuk 2x = –1 tidak ada nilai x yang memenuhi, sebab hasil dari suatu bilangan yang dipangkatkan tidak pernah negatif )

8. Penyelesaian pertidaksamaan log (x – 4) + log (x + 8) < log (2x + 16) adalah …. a. x > 6

b. x > 8 c. 4 < x < 6 d. – 8 < x < 6 e. 6 < x < 8

Soal Ujian Nasional Tahun 2006 log (x – 4) + log (x + 8) < log (2x + 16)

(4)

log (x – 4) (x + 8) < log (2x + 16)

log ( x2 + 4x – 32 ) < log ( 2x + 16 ) ( gunakan kesamaan pada logaritma ) ( x2 + 4x – 32 ) < ( 2x + 16 )

x2 + 4x – 32 – 2x – 16 < 0 x2 + 2x – 48 < 0

( x + 8 ) ( x – 6 ) < 0 ( daerah Himpunan Penyelesaian ke - 1 ) Cari harga pembuat nol untuk ( x + 8 ) dan ( x – 6 ), didapat x = –8 dan x = 6

Selain daerah penyelesaian diatas sebagai jawaban perlu juga dicek kembali nilai numerus untuk logaritmanya.

Untuk log (x – 4), nilai x – 4 > 0

x > 4 ( daerah Himpunan Penyelesaian ke - 2 ) Untuk log (x + 8), nilai x + 8 > 0

x > –8 ( daerah Himpunan Penyelesaian ke - 3 ) Untk log (2x + 16), nilai 2x + 16 > 0

x > –8 ( daerah Himpunan Penyelesaian ke - 4 )

Himpunan

Penyelesaian ( HP ) Cat : Untuk mendapatkan daerah positif atau negatif pada HP 1 caranya dengan substitusi nilai yang berada pada daerah tertentu, misalnya nilai yang kurang dari -8 ( misalnya diambil -9)

Substitusi nilai tersebut pada persamaan x2 + 2x – 48

F(-9) = (-9)2 + 2 (-9) – 48 = 81 – 18 – 48 = 15 ( didapat hasil yang positif ) Ini merupakan daerah Himpunan

penyelesaian karena nilainya < 0 ( + + + ) daerah

positif (– – – ) daerah negatif

( + + + ) daerah positif

HP 1

–8 6

Ini merupakan daerah Himpunan

penyelesaian karena nilainya > 4

HP 2

4

Ini merupakan daerah Himpunan penyelesaian karena nilainya > –8

HP 3 dan 4

–8

Daerah yang memeuhi ketiga HP diatas adalah irisan dari ketiga HP tersebut, yaitu 4 < x < 6 9. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan : 2 log x log (2x + 5) + 2 log 2 adalah ….

a. 2 5  < x  8 b. – 2  x  10 c. 0 < x  10 d. – 2 < x < 0 e. 2 5   x < 0

(5)

2 log x  log (2x + 5) + 2 log 2 log x2  log (2x + 5) + log 22

log x2  log (2x + 5) ( 4 ) ( gunakan kesamaan pada logaritma )

x2  (2x + 5) ( 4 ) x2  8x + 20 x2 – 8x – 20  0 ( x – 10 ) ( x + 2 )  0

Cari harga pembuat nol untuk ( x + 2 ) dan ( x – 10 ), didapat x = –2 dan x = 10

Selain daerah penyelesaian diatas sebagai jawaban perlu juga dicek kembali nilai numerus untuk logaritmanya.

Untuk log x, nilai x > 0 ( daerah Himpunan Penyelesaian ke - 2 ) Untuk log ( 2x + 5 ), nilai 2x + 8 > 0

x > – 5/2 ( daerah Himpunan Penyelesaian ke - 3 )

Himpunan Penyelesaian ( HP ) HP 1 –2 10 HP 2 0 HP 3 – 5 /2

Daerah yang memeuhi ketiga HP diatas adalah irisan dari ketiga HP tersebut, yaitu 0 < x  10 10. Himpunan penyelesaian persamaan 2.9x – 3x+1 + 1 = 0 adalah ….

a. { ½ , 1 } b. { –½ , –1 } c. { –½ , 1 } d. { 0 , 3log ½ } e. { ½ , ½log 3 }

Caranya sama dengan no 5, tetapi yang dimisalkan adalah 32x.

11. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 18 36 3 3 2

2

64

8

1





_x x x adalah …. a. x < –14 b. x < –15 c. x < –16 d. x < –17 e. x < –18

(6)

) 36 18 ( 18 3 2 36 18 3 6 3 2 36 18 3 3 2

8

2

2 )

2 (

8

2

64

8

1

     









x x x x x x x x x 36 2 36 18 18 3 2 3

2

2 )

2 (



 







 x x x x

( gunakan kesamaan pada eksponen ) –2x > 36

x < –18 ( tandanya berubah karena kedua ruas dibagi dengan –2 )

12. Himpunan penyelesaian persamaan xlog ( 10x3 – 9x ) = xlog x5 adalah …. a. { 3 }

b. { 1,3 } c. { 0,1,3 } d. { –3, –1,1,3 } e. { –3, –1,0,1,3 }

Soal Ujian Nasional Tahun 2004 x

log

( 10x

3

– 9x )

=

x

log

x

5

( gunakan kesamaan pada logaritma )

10x

3

– 9x = x

5

x

5

– 10x

3

+ 9x = 0

( faktorkan dengan mengeluarkan variabel x )

x ( x

4

– 10x

2

+ 9 ) = 0

( faktorkan kembali persamaan yang ada didalam kurung )

x

( x

2

– 9 )

( x

2

– 1 )

= 0

( faktorkan kembali persamaan yang ada didalam kurung )

x

( x

– 3 ) ( x

+ 3 )

( x

– 1 ) ( x

+ 1 )

= 0

Cari harga pembuat nol untuk

x, ( x

– 3 ), ( x

+ 3 ), ( x

– 1 ) dan ( x

+ 1 ).

Didapat x = 0 x = 3 x = –3 x = 1 x = –1

Dari kelima jawaban hanya 1 dan 3 yang memenuhi persyaratan jika disubstitusikan kepersamaan ( ingat kembali syarat dari bilangan pokok logaritma )

13. Nilai x yang memenuhi

3

3 4

9

1

2_ _ _



x x x adalah …. a. 1 < x < 2 b. 2 < x < 3 c. –3 < x < 2 d. –2 < x < 3 e. –1 < x < 2

Soal Ujian Nasional Tahun 2003 1 2 4 3

)

3 (

3

x2 x



x 2 2 4 3

3

x2 x



x ( gunakan kesamaan pada eksponen ) x2 – 3x + 4 < 2x – 2

x2 – 3x – 2x + 2 + 4 < 0 x2 – 5x + 6 < 0

(7)

( x – 3 ) ( x – 2 ) < 0

Cari harga pembuat nol untuk

( x

– 3 ) dan ( x – 2 ), didapat x = 2 da x = 3

2 3

Didapat hasilya yaitu 2 < x < 3.

Lihat kembali no 8 cara untuk mendapatkan daerah HP nya

14. Jika x1 dan x2 adalah akar – akar persamaan (3log x)2 – 3.3log x + 2 = 0, maka x1.x2 = ….

a. 2 b. 3 c. 8 d. 24 e. 27

Soal Ujian Nasional Tahun 2003 (3log x)2 – 3.3log x + 2 = 0 Misal 3log x = p p2 -3p + 2 = 0 ( p – 2 ) ( p – 1 ) = 0 p1 = 2 atau p2 = 1 3

log x1 = 2 atau 3log x2 = 1

x1 = 9 atau x2 = 3 x1 . x2 = 27 15. Penyelesaian pertidaksamaan 6 1 2 1 1

243

9

1

 















x x adalah …. a. x > –1 b. x > 0 c. x > 1 d. x > 2 e. x > 7

6 1 2 1 1

243

9

1

 















x x 6 1 2 1 1 2

243

3

1



_















x x

 

        

_

6 1 5 2 1 1 2

)

3 (

3

x x         

_

6 5 5 2

3

x x

( gunakan kesamaan pada eksponen ) –2 + x > 6 5 5x –12 + 6x > 5x – 5 6x – 5x > –5 + 12

(8)

x > 7

16. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan 2log (x2 – 3x + 2 ) < 2log ( 10 – x ), xR adalah …. a.



x 2x1 atau 2x4



b.



x x1 atau x2



c.



x 2x4



d.



x x10



e. { }

Soal Ujian Nasional Tahun 2002 Caranya sama dengan N0 12

17. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 9log ( x2 + 2x ) < ½ adalah …. a. –3 < x < 1

b. –2 < x < 0 c. –3 < x < 0

d. –3 < x < 1 atau 0 < x < 2 e. –3 < x < –2 atau 0 < x < 1 Soal Ujian Nasional Tahun 2001

9 log ( x2 + 2x ) < ½ 9 log ( x2 + 2x ) < 9log 2 1 9 9 log ( x2 + 2x ) < 9log 3

Selanjutnya cara mengerjakan sama dengan no 12 18. Diketahui 2x + 2–x = 5. Nilai 22x + 2–2x =…. a. 23 b. 24 c. 25 d. 26 e. 27

2x + 2–x = 5 ( kuadratkan kedua ruas ) ( 2x + 2–x )2 = 52 22x + 2.2x.2–x + 2–2x = 25 22x + 2.2x–x + 2–2x = 25 22x + 2.20 + 2–2x = 25 22x + 2.1 + 2–2x = 25 22x + 2–2x = 25 – 2 22x + 2–2x = 23

19. Nilai 2x yang memenuhi

3 5 2

16

4

x



x adalah …. a. 2 b. 4 c. 8 d. 16 e. 32

(9)

Soal Ujian Nasional Tahun 2000 3 5 2

16

4

x



x 3 5 2

16

4

 

_

x x

 

3 5 2 2

4

 

_

x x

( gunakan kesamaan pada eksponen ) x + 2 = 3 10 2x 3x + 6 = 2x + 10 3x – 2x = 10 – 6 x = 4 2x = 24 = 16

20. Batas – batas nilai x yang memenuhi log ( x – 1 )2 < log ( x – 1 ) adalah …. a. x < 2

b. x > 1

c. x < 1 atau x > 2 d. 0 < x < 2 e. 1 < x < 2

Soal Ujian Nasional Tahun 2000 Caranya sama dengan no 12