PEMECAHAN MASALAH PROGRAM TAK LINIER
INTEGER CAMPURAN TAK KONVEKS DENGAN
STRATEGI KENDALA AKTIF
DISERTASI
Oleh
HARDI TAMBUNAN
108110003/ ILMU MATEMATIKA
PROGRAM STUDI DOKTOR ILMU MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
PEMECAHAN MASALAH PROGRAM TAK LINIER
INTEGER CAMPURAN TAK KONVEKS DENGAN
STRATEGI KENDALA AKTIF
DISERTASI
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar Doktor dalam Program Studi Doktor Ilmu Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Oleh
HARDI TAMBUNAN 108110003/ Ilmu Matematika
PROGRAM STUDI DOKTOR ILMU MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Judul Disertasi : PEMECAHAN MASALAH PROGRAM TAK LINIER INTEGER CAMPURAN TAK KONVEKS DENGAN STRATEGI KENDALA AKTIF
Nama Mahasiswa : Hardi Tambunan Nomor Induk Mahasiswa : 108110003
Program Studi : Doktor Ilmu Matematika
Menyetujui, Komisi Pembimbing
(Prof. Dr. Herman Mawengkang) Promotor
(Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc) (Prof. Dr. Tulus, M.Si) Co Promotor Co Promotor
Ketua Program Studi Dekan
(Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Dr. Sutarman, M.Sc)
Telah diuji pada:
Tanggal 28 Oktober 2015
PANITIA PENGUJI DISERTASI
Ketua : Prof. Dr. Herman Mawengkang Anggota: 1. Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc
2. Prof. Dr. Tulus, M.Si
PERNYATAAN
Saya menyatakan dengan sebenar - benarnya bahwa segala pernyataan dalam disertasi saya yang berjudul:
PEMECAHAN MASALAH PROGRAM TAK LINIER
INTEGER CAMPURAN TAK KONVEKS DENGAN
STRATEGI KENDALA AKTIF
Merupakan gagasan atau hasil penelitian disertasi saya dengan pembimbingan para komisi pembimbing, kecuali yang ditunjukkan rujukannya. Disertasi ini belum pernah diajukan untuk memperoleh gelar pada program sejenis di Pergu-ruan Tinggi lainnya. Semua data dan informasi yang digunakan telah dinyatakan secara jelas dan dapat diperiksa kebenarannya.
Medan, 28 Oktober 2015
Penulis,
ABSTRAK
Program tak linier integer campuran (Mixed integer nonlinear programming
(MINLP)) mengacu kepada program matematika dengan variabel kontinu dan diskrit, dan ketidaklineran dalam fungsi objektif dan kendala. Dalam disertasi ini dipaparkan strategi kendala aktif untuk memperoleh solusi integer layak dari su-atu kelas pada masalah MINLP tak konveks dengan struktur dan subset variabel terbatas dan diasumsikan variabel diskrit terpisah dari variabel-variabel kontinu. Pemecahan masalah digunakan suatu strategi untuk menge- luarkan variabel
non-basic dari batas-batasnya dengan kombinasi kendala aktif dan konsep variabel
superbasic. Strategi ini digunakan untuk mendorong variabel basis non-integer
yang tepat bergerak ke sekitar titik-titik integer. Implementasi dari algoritma yang dibuat berhasil untuk tes masalah proses sistem sintesis.
Kata Kunci: Program tak Linier, kendala aktif, solusi integer.
ABSTRACT
Mixed integer nonlinear programming (MINLP) refers to mathematical pro-gramming with continuous and discrete variables and nonlinearities in the objec-tive function and constraints. This dissertation has presented acobjec-tive constraints trategy for achieving integer feasible solution from a class of non-convex mixed-integer nonlinear programming problems has a structure characterized by a subset of variables restricted to assume discrete values, which are linear and separable from the continuous variables. Solving the problem used a strategy of releasing nonbasic variables from their bounds, combined with the active constraint and the notion of superbasic variable. This strategy is used to force the appropriate non-integer basic variables to move to their neighbourhood non-integer points. Successful implementation of these algorithms was achieved on a process system synthesis problem test.
Keywords: Non-linear programming, active constraints, integer solution
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Kuasa atas berkat
dan anugerah-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan disertasi dengan judul:
Pemecahan Masalah Program Tak Linier Integer Campuran Tak Kon-veks dengan Strategi Kendala Aktif.
Penyelesaian disertasi ini, penulis banyak mendapat arahan, bimbingan dan
ban-tuan dari berbagai pihak baik material maupun moril. Pada kesempatan ini,
penulis menyampaikan terimakasih yang tulus dan penghargaan setinggi-tingginya
kepada:
1. Bapak Prof. Subhilhar, Ph.D selaku Pejabat Rektor Universitas Sumatera
Utara yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk
mengiku-ti Program Studi Doktor Ilmu Matemamengiku-tika di Fakultas MIPA Universitas
Suma- tera Utara.
2. Bapak Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan Fakultas MIPA Universitas
Su-matera Utara yang telah memberi kesempatan kepada saya menjalani
pen-didikan di Program Studi Doktor Ilmu Matematika.
3. Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang, selaku Promotor dan Ketua
Pro-gram Studi Doktor Ilmu Matematika, Fakultas MIPA Universitas Sumatera
Utara yang dengan ketulusan hati, kesabaran, iklas dan bijaksana dalam
memberikan masukan dan arahan sehingga disertasi ini dapat selesai.
4. Bapak Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc, selaku Co-Promotor dan Sekretaris
Pro-gram Studi Doktor Ilmu Matematika, Fakultas MIPA Universitas Sumatera
Utara, atas ketulusan hati dan kesabaran dalam memberikan masukan dan
arahan sehingga dapat menyelesaikan disertasi ini.
5. Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si selaku Co-Promotor, atas ketulusan hati dan
kesabaran dalam memberikan masukan dan arahan sehingga dapat
menye-lesaikan disertasi ini.
6. Bapak Prof. Dr. Opim Salim Sitompul, M.Sc selaku Penguji Luar Komisi
atas semua masukan dan arahan mengenai isi disertasi ini.
7. Bapak Prof. Dr. Anton Abdulbasah Kamil selaku Penguji Luar Komisi atas
semua masukan dan arahan mengenai isi disertasi ini.
8. Seluruh Staf Pengajar pada Program Studi Doktor Ilmu Matematika
Fakul-tas MIPA UniversiFakul-tas Sumatera Utara yang telah memberikan ilmu yang
sangat berharga selama masa perkuliahan.
9. Ibu Misiani, S.Si selaku Staf Administrasi Program Studi Doktor Ilmu
Ma-tematika Fakultas MIPA Universitas Sumatera Utara.
10. Buat sahabat-sahabatku mahasiswa angkatan 2010 Program Studi Doktor
Ilmu Matematika Fakultas MIPA Universitas Sumatera Utara atas kerja
sama yang baik selama perkuliahan.
Penulis menyampaikan terima kasih dan rasa hormat kepada Ayahanda(Alm.)
B.Tambunan dan Ibunda T Br Tobing serta Bapak S. Baringbing dan Ibu S. Br
Sitorus yang selalu mendoakan dan memberikan semangat kepada penulis.
Secara khusus, penulis menyampaikan terimakasih kepada Istriku tercinta
Dra. Rosmiati Baringbing atas doa, pengertian dan dukungannya selama penulis
mengikuti kuliah hingga penyelesaian disertasi ini, dan kepada anak-anakku
ter-sayang dan yang kubanggakan; Toman Sony Tambunan, S.E, M.Si/N.L
Huta-galung, S.E; Nico Tambunan, S.E; Luna Theresia Tambunan, S.E, M.Si/Leonard
P. S Aruan, S.E; Wilson Raja Ganda Tambunan, S.H, M.H, dan Johannes Tuan
Mulia Tambunan yang selalu memberi semangat.
Akhir kata, semoga disertasi ini bermanfaat untuk pengembangan ilmu
pengetahuan.
Medan, 28 Oktober 2015
Penulis,
Hardi Tambunan
RIWAYAT HIDUP
Hardi Tambunan, Lahir di Tarutung pada tanggal 23 Juni 1957. Pendidikan
dasar diselesaikan dari Sekolah Dasar Negeri Pardomuan-Aceh Tenggara pada
tahun 1970. Kemudian melanjutkan ke SMP HKBP Lawe Desky, Aceh Tenggara
dan lulus tahun 1973. Pendidikan Sekolah Menengah Atas lulus tahun 1976 dari
SMA Tarutung, Tapanuli Utara. Selanjutnya, menempuh Pendidikan Tinggi di
Institut Keguruan dan Ilmu Pendidikan (IKIP) Medan dan lulus Sarjana
Mu-da Pendidikan Matematika tahun 1980 Mu-dan Sarjana Pendidikan Matematika lulus
tahun 1983. Pada tahun 1999 memperoleh gelar Magister Pendidikan matematika
dari Institut Keguruan dan Ilmu Pendidikan (IKIP) Surabaya. Studi S-3 dimulai
tahun 2010 pada Program Studi Doktor Ilmu Matematika Fakultas MIPA
Univer-sitas Sumatera Utara. Pengangkatan pertama sebagai dosen pegawai negeri sipil
yang dipekerjakan di Perguruan Tinggi Swasta melalui Kopertis Wilayah I
di-mulai tahun 1986. Saat ini bertugas sebagai dosen di Program Studi Pendidikan
Matematika FKIP Universitaa Quality, Medan.
DAFTAR ISI
BAB 1 PENDAHULUAN 1
1.1 Latar Belakang 1
1.2 Perumusan Masalah 8 1.3 Tujuan Penelitian 9 1.4 Manfaat Penelitian 9
BAB 2 PROGRAM LINIER DAN TAK LINIER 10
2.1 Program Linier 10
2.2 Metode Pemecahan 11 2.2.1 Metode Grafik 11 2.2.2 Metode Simpleks 11 2.2.3 Metode Reduced Gradient 13 2.3 Program Tak Linier 15 2.3.1 Program Konveks 28 2.3.2 Program Tak Konveks 30 2.4 Metode Pemecahan 31
2.4.1 Line Search 31
2.4.2 Trust Region 32
2.4.3 Penalty and Augmented Lagrangian 32
2.4.4 Active Set 33
BAB 3 PROGRAM LINIER INTEGER CAMPURAN 35
3.1 Program Linier Integer 35 3.2 Metode Pemecahan 36 3.2.1 Cabang dan Batas 36 3.2.2 Pemotongan Bidang 39 3.2.3 Neighbourhood Search 40 3.3 Program Linier Integer Campuran 42
BAB 4 PROGRAM TAK LINIER INTEGER CAMPURAN 44
4.1 Model Program Tak Linier Integer Campuran 44 4.2 Metode Pemecahan 45 4.2.1 Cabang dan Batas 46 4.2.2 Generalized Benders Decomposition 48 4.2.3 Outer Approximation 50 4.2.4 Extended Cutting Plane 53 4.2.5 Hybrid algorithm 54 4.2.6 Feasibility Pump 54 4.2.7 Relaksasi Berdasarkan Heuristik 60
BAB 5 PROGRAM TAK LINER INTEGER CAMPURAN
TAK KONVEKS 63
5.1 Model Program Tak Linier Integer Campuran Tak Konveks 63 5.2 Metode Pemecahan 64 5.2.1 Cabang dan Batas 68
5.2.2 Feasibility Pump 74 5.2.3 Under Cover Heuristic 78
5.2.4 RECIPE 80
BAB 6 STRATEGI KENDALA AKTIF 88
6.1 Variabel Superbasic 88
6.2 Kendala 90
6.3 Kendala Aktif 91
BAB 7 PEMECAHAN MASALAH PROGRAM TAK LINER INTEGER CAMPURAN TAK KONVEKS DENGAN STRATEGI KENDALA
AKTIF 94
7.1 Pemecahan Masalah 95 7.1.1 Pemecahan Masalah Program Tak Linier 95 7.1.2 Strategi Kendala Aktif 97 7.1.3 Algoritma Pemecahan Masalah 103 7.1.4 Konvergensi Algoritma Pemecahan Masalah 105 7.2 Mencari Solusi Integer 106 7.2.1 Pendekatan Dasar 106 7.2.2 Strategi Kendala Aktif 110 7.2.3 Algoritma Mencari Solusi Integer 116 7.2.4 Konvergensi Algoritma Mencari Solusi Integer 118 7.3 Hasil Komputasi 119
BAB 8 KESIMPULAN 123
8.1 Kesimpulan 123
8.2 Penelitian Lanjutan 123
DAFTAR PUSTAKA 124
