PROGRAM LINIER DAN TAK LINIER
2.1 Program Linier
Program linier (Linear programming) adalah suatu masalah matematika yang mempunyai fungsi objektif dan kendala berbentuk linier untuk meminimal-kan atau memaksimalmeminimal-kan suatu permasalahan dalam bidang optimisasi.
Masalah program linier dapat dinyatakan dalam model berikut:
Maks Z =cT
y (2.1)
Kendala A(x)60 (2.2)
x>0 (2.3)
Dimana x adalah variabel, c dan b adalah koefisien vektor dan A adalah ma-triks. Ekpresi untuk memaksimalkan atau meminimalkan disebut fungsi tujuan
z = cT x, dan Ax 6 b disebut fungsi kendala. Pemecaham program linier dapat dilakukan dengan metode grafik, akan tetapi untuk fungsi objektif atau kendala mempunyai tiga variabel atau lebih metode grafik sulit atau tidak dapat dilakukan. Suatu prosedur umum untuk menyelesaikan permasalahan program linier disebut metode simpleks.
2.2 Metode Pemecahan 2.2.1 Metode Grafik
Pemecahan program linier dengan metode grafik dilakukan apabila hanya mempunyai dua variabel keputusan, artinya, hanya mempunyai dua dimensi. Se-hingga prosedur metode grafik dapat digunakan untuk menentukan nilai variabel keputusan. Solusi optimum selalu berada pada titik pojok daerah layak
2.2.2 Metode Simpleks
Suatu prosedur umum untuk menyelesaikan permasalahan program linier yang mempunyai tiga variabel atau lebih disebut metode simpleks. Metode ini dikembangkan oleh George Dantzig pada tahun 1947. Metode simpleks adalah suatu penyelesaian secara aljabar, tetapi konsep yang mendasarinya adalah geo-metris. Metode ini dirancang untuk menyelesaikan permasalahan program linier, baik dua variabel atau lebih yang penyelesaiannya dilakukan melalui perhitungan berulang (iterasi) dengan langkah yang sama hingga solusi optimum dicapai.
Penyelesaian program linier dengan metode simpleks didasari dengan ide metode grafik, dimana solusi optimum selalu berada pada titik pojok daerah layak. Langkah-langkah metode simpleks dilakukan sebagai berikut:
1. Inisialisasi dimulai dengan memilih solusi awal dari sebuah titik pojok layak
layak yang berdekatan. Pergerakan akan meningkatkan atau penurunan nilai variabel non-basis, sehingga akan meningkatkan fungsi tujuan untuk masalah maksimalisasi atau menurunkan nilai fungsi tujuan untuk masalah minimalisasi.
3. Iterasi dilakukan berulang-ulang sampai diperoleh solusi yang lebih baik dan iterasi berhenti apabila solusi optimum diperoleh.
Untuk mempermudah perhitungan simpleks, bentuk baku model program lini-er dapat diubah ke dalam bentuk tabel, dan disebut tabel simpleks. Langkah-langkah perhitungan dalam algoritma simpleks adalah sebagai berikut.
1. Inisialisasi dengan menetapkan n-m variabel non-basis awal sama dengan nol, dimana n jumlah variabel dan m banyak kendala
2. Uji optimalitas, solusi layak basis sudah optimal jika dan hanya jika setiap koefisien dalam baris nol adalah tidak negatif. Bila tidak, dilakukan iterasi untuk mendapatkan solusi layak basis berikutnya
3. Iterasi pertama dilakukan dengan menetukan variabel basis yang masuk de-ngan memilih variabel (secara otomatis variabel non-basis) yang memiliki koefisien paling negatif dalam suatu kolom tertentu, dimana kolom itu dise-but kolom sumbu (pivot).
a. Mengambil masing-masing koefisien dalam kolom sumbu yang berinilai positif,
b. Menetapkan baris yang memiliki rasio terkecil dari hasil pembagian ko-lom ruas kanan dengan koefisien koko-lom sumbu,
c. Variabel basis pada baris rasio terkecil adalah variabel yang keluar, dan digantikan dengan variabel basis yang masuk dalam kolom variabel ba-sis tabel simpleks berikutnya.
2.2.3 Metode Reduced Gradient
Metodereduced gradient digunakan untuk mengeluarkan beberapa variabel keputusan dari kendala linier dengan mengurangi ruang matriks dari kendala (Murtagh dan Saunders, 1982).
Masalah LP dinyatakan sebagai berikut.
Min f(x) (2.4)
Kendala A(x) = b (2.5)
x∈Rn
Partisi variabel keputusan x ke dalam variabel terikat atau basic (xB) dan variabel bebas atau superbasic (xS) sehingga dapat dinyatakan menjadi:
x=
xB
xS
Akibatnya, matriks A dipartisi ke dalam matriks B dan S, sehingga persamaan kendala (2.6) dinyatakan menjadi:
Ax = [B S]
Dimana matriks B adalah matriks kuadratik, dan sisanya adalah matriks S. Mem-pertimbangkan ∆x, yaitu suatu pergerakan variabel x, sehingga Pers.(2.6) dapat dinyatakan menjadi:
Persamaan (2.7) dan (2.8) dapat memenuhi persamaan (2.6). Oleh karena itu
BxB+SxS =b dan BxkB+SxkS =b dapat dinyatakan menjadi;
B∆xB+S∆xS = 0 (2.9)
atau
∆xB =−BS∆xS (2.10)
Sehingga ∆x dapat dinyatakan menjadi:
Dimana Z =
−B−1x
B
I
disebut sebagai transformasi matriks
Dari derivatif kedua ekspansi deret Taylor dari f(x) pada iterasi ke - k,xk , maka dapat dinyatakan menjadi:
f(x) = f(xk
) +∇f(xk
)T∆x+ 1/2(∆xT)∇xf(xk)∆x (2.13)
Hasil subsitusi Pers.(2.12) ke dalam Pers.(2.13) menjadi:
f(xS) = f(xk
) +∇f(xk
)TZ∆xS+ 1/2 (∆xS)T ZT∇xf(xk)Z∆xS (2.14)
Dinyatakan reduced gradiengT
R=∇f(xk)Tzdan reduced HessiHR =zT∇xf(xk)z, sehingga Pers.(2.13) (2.14) dapat dinyatakan menjadi:
f(xs) = f(xk) +gT
R∆xS+ 1/2(∆xS)THR∆xS (2.15) Kondisi penting untuk syarat minimum dipenuhi bila δf
δ∆xS
= 0, yaitu;
gTR+HR∆xS = 0 (2.16)
Oleh karena itu,HR∆xS =gTRadalah sistem linier dari persamaan dalam (n−m) variabel.
2.3 Program Tak Linier
Luenberger (1984), Sugden (1992), Hiller dan Lieberman (2005), Boyd dan Van-denberghe (2009).
Model program tak linier (NLP) dapat dinyatakan seperti berikut ini.
Min f(x) (2.17)
Kendala g(x)60 (2.18)
h(x) = 0 (2.19)
x>0
Dimana f(x) adalah fungsi tak linier, h(x) dan g(x) keduanya fungsi tak linier atau salah satu tidak linier dengan n variabel keputusan.
Pemecahan masalah program tak linier adalah untuk menentukan nilai variabel
X = (x1, x2, ..., xn) dari kendala yang memperoleh solusi optimum (minimum atau maksimum) untuk fungsi objektif. Terdapat beberapa bentuk masalah dalam pro-gram tak linier, bentuknya tergantung pada ciri-ciri fungsi objektif dan kendala. Sehingga pemecahan yang digunakan akan berbeda sesuai dengan ketidaklinieran fungsi objektif dan kendala yang muncul dalam berbagai bentuk, seperti fungsi konveks atau tidak konveks. Akibatnya daerah layak dapat menjadi menjadi daer-ah layak konveks atau tak konveks.
2.3.1 Fungsi Tak Linier
2.3.1.1 Himpunan Konveks dan Tak Konveks
ele-men himpunan C.
Definisi 2.2: Misalkan xi, xj ∈ R titik-titik yang dapat dibuat dalam bentuk
λxi+ (1−λ)xj untuk 0 6λ6 1 disebut kombinasi garis dari xi dan xj. Definisi 2.3: Suatu himpunan C ⊂R disebut himpunan konveks apabila untuk setiap sebarang dua elemen xi, xj ∈ C termuat dalam λxi + (1−λ) xj untuk 0 6λ6 1
Definisi 2.4. Suatu himpunan NC ⊂ R disebut himpunan tak konveks apabi-la untuk setiap sebarang dua elemen xi, xj ∈ NC terdapat titik xk sedemikian sehingga xk pada λxi+ (1−λ)xj untuk 06λ61 tetapi xk∈/ NC.
2.3.1.2 Fungsi Konveks dan Konkaf
Fungsi konveks adalah suatu fungsi yang memenuhi untuk setiap dua titik
xi dan xj, dapat ditarik garis yang menghubungkan f(xi) dan f(xj) pada fungsi tersebut (Luenberger, 1984).
0 6 λ 6 1. Suatu fungsi f(x) dikatakan fungsi konveks kuat (strictly) apabila untuk sebarang dua titik, xi dan xj pada Rn dipenuhi f(λxi + (1 − λ)xj >
λf(xi) + (1−λ)f(xj), untuk 06λ61
Definisi 2.6: Suatu fungsi f(x) dikatakan fungsi konkaf apabila untuk sebarang dua titikxi dan xj pada Rn dipenuhi f(λxi+ (1−λ)xj >λf(xi) + (1−λ)f(xj), untuk 0 6 λ 6 1. Suatu fungsi f(x) disebut fungsi konkaf kuat (strictly) apabila untuk sebarang dua titik xi dan xj pada Rn dipenuhi f(λxi + (1 − λ)xj <
λf(xi) + (1−λ)f(xj), untuk 06λ61 2.2.1.3 Fungsi tak Konveks
Definisi 2.7: Suatu fungsi f(x) dikatakan tak konveks, apabila fungsi tak linier yang tidak dapat dinyatakan fungsi konveks atau konkaf.
2.2.1.4 Daerah Layak Konveks
Definisi 2.9: Daerah layak F adalah konveks apabila untuk setiap dua titik pada daerah layak F, semua kombinasi konveks titik-titik dalam F juga dalam daerah layak F.
Dalam permasalahan optimisasi, daerah layak konveks dalam fungsi objektif F, dinyatakan dalamF ={x:x∈Rn, h(x) = 0,g(x)60, x>0}dapat digambarkan sebagai berikut.
Daerah layak F(x) adalah konveks, karena untuk sebarang titik x1, x2 ∈ F, se-tiap kombinasi konveks dari titik-titik x1, dan x2 dalam daerah layak F, yaitu
x=λx1+ (1−λ)x2 ∈F untuk semua nilai λ, dimana 06λ61. 2.2.1.5 Daerah Layak Tak Konveks
Dalam permasalahan optimisasi, daerah layak tak konveks dari daerah layakF =
x:x∈Rn, h(x) = 0, gi(x)60, i= 1, ..., n, dapat digambarkan sebagai berikut.
Daerah layak F(x adalah tidak konveks, karena untu sebarangk dua titik titik
x1, x2 ∈F(x) terdapat titikxk ∈/ F(x) sedemikian sehinggaxk =λ x1+ (1−λ)x2
/
∈F(x) untuk semua nilaiλ untuk 06λ61. 2.3.2 Metode Pemecahan
2.3.2.1 Deret Taylor
Deret Taylor digunakan untuk mengembangkan konsep dasar dari fungsi objektif, yaitu dengan gradient fungsi dan matriks Hessian untuk memperoleh karakteristik solusi optimal dari pengujian konveksitas suatu fungsi dan titik eks-trim.
Andaikan fungsi f(x) adalah fungsi yang dapat dideferensialkan secara kontinu dan mempunyai nilai riel dari X dalam Rn. Dapat diambil x+δx sebagai per-sekitaran dari x dalam Rn sedemikian sehingga ∆X = {δx1, δx2, ..., δxn} dan
, sehingga deret Taylor untuk f(x) dalam variabel n dapat dinyatakan denganf{x1+δx1, x2+δx2, ..., xn+δxn}=f(x1, x2, ..., xn) +f(δx1∂x∂f1
Matriks Hessian dari fungsi f(x) sebagai matriks n x n, yaitu:
H(x) =
F(x+ ∆x) =f(x) + (∆x)1∇f(x) + 1
2(∆x)
1H(x)∆x+E(x,∆x)k∆xk2
(2.21) DimanaE(x,∆x)→0,dank∆xk→0
2.3.2.2 Titik Ekstrim
Titik ekstrim adalah suatu titik maksimum atau minimum dari seluruh ni-lai variabel suatu fungsi. Titik yang membuat f(x) minimum mengakibatkan (−f(x)) menjadi maksimum atau sebaliknya. Hal itu berarti, suatu masalah maksimum dapat diubah menjadi masalah minimum, dan sebaliknya.
Definisi 3.11. Titik x∗
∈ D disebut minimum lokal dari fungsi f(x) pada D apabila terdapat persekitaranε > 0 dari x∗
sedemikian sehingga untuk semua x dalam persekitaranx∗
memenuhif(x)>f(x∗
). Titikx∗
∈Ddisebut maksimum lokal dari fungsi f(x) pada D apabila terdapat persekitaran ε >0 dari x∗
sedemi-kian sehingga untuk semua x di persekitaran x∗
memenuhif(x)6f(x∗ ). Definisi 3.12. Titik x∗
∈ D disebut minimum global dari fungsi f(x)pada D apabila untuk semua x ∈ D memenuhi f(x) > f(x∗
). Titik x∗
∈ D disebut maksimum global dari fungsi f(x) pada D apabila untuk semua x∈D memenuhi
f(x)6f(x∗ ).
Beberapa syarat penting untuk mengidentifikasi titik stationer dengan menggu-nakan fungsi gradient dan matriks Hessi, yaitu:
1. Kondisi cukup untuk minimum lokal pada titikx∗ a. Fungsi gradien∇f(x∗
b. Matriks HessiH(x∗
) adalah definit positif
2. Kondisi cukup untuk maksimum lokal pada titikx∗ a. Fungsi gradien∇f(x∗
) = 0 b. Matriks HessiH(x∗
) adalah definit negatif
3. Kondisi cukup untuk titik sadle (pelana) pada titikx∗ a. Fungsi gradien∇f f(x∗
) = 0 b. Matriks HessiH(x∗
) adalah indefinit
2.3.2.3 Fungsi Lagrange
Suatu metode klasik menyangkut pemecahan permasalahan pada program linier atau non-linier adalah dengan metode pengali Lagrange. Metode ini digu-nakan untuk mencari solusi dari suatu permasalahan titik ekstrim dari beberapa variabel dan fungsi yang memenuhi semua persamaan kendala. Prosedur metode ini dimulai dengan merumuskan fungsi Lagrange seperti berikut.
Maks/minf(x) (2.22)
Kendala:gi(x(i, ., xn)) =bi, i= 1, , m;m < n (2.23)
xi >0
Fungsi F(x) dinyatakan dengan ekspresi:
F(x, λ) = λ0f(x) +λ1[b1−g1(x)] +...+λm[bm−gm(x)] (2.24)
disebut fungsi lagrange, dan bilanganλi disebut pengali lagrange, dengan memenu hi persyaratan pengali, apabila x∗
= x∗
1, ..., x
∗
n adalah solusi dari masalah pada suatu titik ekstim dari Pers.(2.22) - (2.23), maka terdapat bilangan yang paling kecil tidak nol dari pengali lagrangeλ∗
=λ∗
0, ..., λ
∗
m sedemikian sehingga titik-titik
x∗
, λ∗
adalah titik stationer dari fungsi lagrange yang memenuhi variabel xj dan
λi, i 6= 0 disebut sebagai variabel bebas. Kondisi penting untuk titik stationer dari fungsi lagrange adalah suatu kepastian sistem pada persamaanm+n
Teorema 2.1. Misalkan x∈L⊆Rn, f(x) dan g(x) adalah fungsi yang dapat di-deferensialkan dan mempunyai nilai real untuk setiap x dalam L. Jika f(x) mempunyai relatif ekstrim di x terhadap kendala gk(x) = 0, k = 1, ..., m,maka terdapat λk, k = 1, ..., m sedemikian sehingga x∗ adalah titik stationer.
Bukti:
Tanpa mengurangi keumuman dari kendalagk(x) = 0,diasumsikan Jacobian sebagai berikut:
∂(g1, g2, ..., gm)
Karena x∗ maka dengan pendeferensialan diperoleh:
∂gk
Dengan mengalikan Pers.(2.27) dengan λ1, λ2, ..., λm, dan menambahkannya ke Pers.(2.26), diperoleh:
Dengan mempertimbangkan persamaan: (∂f
Dengan mengurangi variabel xi, i= 1, ..., n dalam Pers.(2.28) maka diperoleh:
Berdasarkan penyederhanaan Pers.(2.29) dan (2.31) diperoleh:
∂L(x, λ)
∂xi
= 0, i= 1, ..., n pada x∗
(2.32)
Dengan demikian x∗
adalah titik stationer dari f(x). 2.3.2.4 Kondisi Kuhn-Tucher
Solusi optimal dari permasalahan program tak linier dianalisis oleh Karush (1939) dan Kuhn-Tucher (1951). Kondisi optimal Karush-Kuhn-Tucher (KKT) adalah valid untuk pemecahan masalah program tak linier dengan fungsi objektif dan kendala tak linier yang mempunyai kendala bentuk pertidaksamaan atau persamaan. Jadi, syarat perlu untuk memperoleh solusi optimal dari program tak linier adalah adanya kondisi Karush-Kuhn-Tucher dari model berikut.
Min f(x) (2.33)
Kendala g(x)60 (2.34)
x>0
harus memenuhi; ∂L∂x(x,λ)
Dimana kondisi Pers.(2.34)-(2.35) merupakan syarat perlu pada (x∗
, λ∗
) untuk titik pelana (saddle)dari f(x, λ) dengan variabel x tidak dibatasi dan λ>0. Dengan kondisi yang sama Pers. (2.36)-(2.37) untuk x > 0, λ> 0. Apabila f(x) dan gi(x) adalah fungsi konveks dengan titik sadle (x∗
, λ∗
), λ∗ >
dengan demikian x∗
adalah titik minimum dari f(x) dengan kendala gi(x). Kare-na f(x) adalah fungsi konveks maka f(x) hanya mempunyai satu titik optimum yang menjadi titik minimumnya. Jadi kondisi ini merupakan solusi perkiraan kondisi Kuhn-Tucher yang memberikan titik minimum dari f(x). Sehingga masa-lah program tak linier mempunyai solusi optimum hanya jika terdapat m bilangan
λ1, ..., λm sedemikian sehingga semua kondisi berikut dipenuhi.
(1) ∂f
∂xj =
m X
k=1 λk
∂gi
∂xj
60,∀i= 1, ..., ndi xj =x∗j
(2) x∗ j(
∂f ∂xj −
m P k=1
λk∂x∂gi
j) = 0,∀i= 1, ..., n dixj =x
∗ j
(4) λi(gi(x∗
j)−bi) = 0,∀i= 1, ..., m (5) x∗
i >0,∀i= 1, ..., n
(6) λi >0,∀i= 1, ..., m,dimana λi disebut pengali Lagrange’
2.3.1 Program Konveks
Model program konveks dinyatakan sebagai berikut;
Min f(x) (2.39)
Kendala gi(x)60, i= 1, ...,0 (2.40)
x>0
Dimana fungsif, gi, ..., gm :Rn→R adalah fungsi konveks
Definisi 3.13. Misal C adalah himpunan konveks yang tidak kosong di dalam
Rn. Jika f : C → R adalah konveks pada C, maka minf(x) x∈C
disebut program konveks.
Dalam program konveks diasumsikan minimum lokal menjadi minimum global. Nilai f(x∗
) adalah minimum pada titik x∗
yang memenuhi f(x) > f(x∗
) untuk
kx−x∗ k< δ,dan minimum global dalam daerah layak F nilai padaf(x∗) adalah minimum yang memenuhi memenuhif(x)>f(x∗
),∀x∈F,dan menentukan nilai
x = x∗
menjadi solusi minimum dilakukan dengan derivarif pertama dari f(x), yaitu ∂f∂x(x)
j = 0, pada x=x
∗, untuk j = 1,2, ..., n.
Teorema 2.2. Misal x∗
adalah minimum lokal pada program konveks, makax∗ adalah juga minimum global.
Bukti: Misalkan variabel x∗
adalah minimum lokal, berarti ∃ε > 0 sedemikian sehingga f(x) > f(x∗
),∀x ∈ Cε(x∗
). Dengan kontradiksi, andaikan x∗
bukan minimum global, maka ∃x ∈ C sedemikian sehingga f(x) < f(x∗
). Misalkan
λ ∈ [0,1] adalah pilihan sedemikian sehingga dengan konveksitas pada C, dan f(x) dalam C, berarti f(x) =λx+ (1−λ)x∗
Selanjutnya, dengan konveksitas dari f pada C, berarti; f(x) 6 λ f(x) + (1− λ)f(x∗)< λf(x∗) + (1−λ)f(x∗)6f(x∗) atau f(x)6f(x∗).
Hal ini bertentangan dengan pengandaian, bahwax∗
adalah minimum lokal. Jadi haruslah x∗
adalah minimum global.
Dalam masalah program konveks, dengan penambahan asumsi bahwa f dan g adalah fungsi konveks. Biasanya, bila masalah tidak diasumsikan pada masalah konveks, maka masalah mempunyai solusi optimum lokal . Hasil yang diperoleh berdasarkan penggunaan metode eksak dapat menemukan solusi global, disebut metode optimisasi global.
2.3.2 Program Tak Konveks
2.4 Metode Pemecahan
Beberapa penggunaan algoritma yang efektif dalam pemecahan masalah NLP dapat dilihat dalam Bertsimas (1999), Boyd dan Vabdenberghe (2004), Flet-cher (2000), Nocedal dan Wright (2006), pemecahan itu diuraikan secara ringkas berikut ini.
2.4.1 Line Search
2.4.2 Trust Region
Daerah kepercayaan (Trust region) adalah suatu metode yang digunakan se-bagai suatu alternatif untuk pencarian garis. Pada tiap-tiap iterasi, pencarian dari titik terbaik menggunakan perkiraan yang dibatasi ke dalam suatu trust region, dan ditetapkan dengan suatu panjang langkah maksimum. Pendekatan ini di-dorong oleh fakta bahwa perkiraan dari fungsi non-linier pada titik yang diberikan tidak dapat menjadi titik terbaik. Oleh karena itu trust region dapat menun-jukkan bagian seharusnya yang dapat memberikan perkiraan yang baik. Kemu-dian arah dan panjang langkah pencarian memberikan perbaikan terbaik untuk nilai fugsi objektif sampai daerah kepercayaan diambil.
2.4.3 Penalty and Augmented Lagrangian
2.4.4 Active Set
Himpunan aktif (active set) adalah himpunan variabel aktif dalam suatu persamaan kendala. Metode himpunan aktif adalah suatu metode iteratif untuk pemecahan masalahN LP dengan pertidaksamaan kendala. Berdasarkan penger-tian kendala dalam himpunan aktif, suatu pergerakan mengidentifikasi titik baru untuk iterasi selanjutnya. Algoritma simpleks oleh Dantzig (1956) adalah suatu metode kendala aktif untuk pemecahan masalah program linier. Suatu hasil yang efektif dan luas digunakan dalam kasus khusus dengan metode himpunan aktif untuk masalah N LP adalah program kuadratik (Quadratic programming), yaitu suatu rangkaian pemecahan masalah untuk menaksir masalah NLP terakhir. Su-atu contoh seperti penyelesaian menggunakan metode Newtons dengan kondisi KKT dari masalah N LP.
Metode himpunan aktif adalah suatu metode yang mengestimasi himpunan vari-abel aktif dari solusi optimal. Masalah N LP dibagi dalam dua bagian himpunan kendala, yaitu pertidaksamaan yang menjadikannya sebagai kendala aktif, dan kendala tidak aktif. Pertidaksamaan kendala dalam himpunan tidak aktif diang-gap sebagai pertidaksamaan kuat pada solusi optimum dan mengabaikan yang sangat utama. Sisa masalah dipecahkan dengan suatu metode untuk memecah-kan persamaan kendala dari masalah optimisasi.
dima-na fungsi objektif diabaikan ketika titik layak ditemukan pada kendala Ax=b dan
