INTEGER CAMPURAN TAK KONVEKS DENGAN STRATEGI KENDALA AKTIF
DISERTASI
Oleh
HARDI TAMBUNAN
108110003/ ILMU MATEMATIKA
PROGRAM STUDI DOKTOR ILMU MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN 2015
INTEGER CAMPURAN TAK KONVEKS DENGAN STRATEGI KENDALA AKTIF
DISERTASI
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar Doktor dalam Program Studi Doktor Ilmu Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Oleh
HARDI TAMBUNAN 108110003/ Ilmu Matematika
PROGRAM STUDI DOKTOR ILMU MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN 2015
INTEGER CAMPURAN TAK KONVEKS DENGAN STRATEGI KENDALA AKTIF
Nama Mahasiswa : Hardi Tambunan Nomor Induk Mahasiswa : 108110003
Program Studi : Doktor Ilmu Matematika
Menyetujui, Komisi Pembimbing
(Prof. Dr. Herman Mawengkang) Promotor
(Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc) (Prof. Dr. Tulus, M.Si)
Co Promotor Co Promotor
Ketua Program Studi Dekan
(Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Dr. Sutarman, M.Sc)
Tanggal lulus : 28 Oktober 2015
Tanggal 28 Oktober 2015
PANITIA PENGUJI DISERTASI
Ketua : Prof . Dr. Herman Mawengkang Anggota: 1. Prof . Dr. Saib Suwilo, M. Sc
2. Prof . Dr. Tulus, M. Si
3. Prof . Dr. Opim Salim Sitompul, M. Sc 4. Prof . Dr. Anton Abdulbasah Kamil
Saya menyatakan dengan sebenar - benarnya bahwa segala pernyataan dalam disertasi saya yang berjudul:
PEMECAHAN MASALAH PROGRAM TAK LINIER INTEGER CAMPURAN TAK KONVEKS DENGAN
STRATEGI KENDALA AKTIF
Merupakan gagasan atau hasil penelitian disertasi saya dengan pembimbingan para komisi pembimbing, kecuali yang ditunjukkan rujukannya. Disertasi ini belum pernah diajukan untuk memperoleh gelar pada program sejenis di Pergu- ruan Tinggi lainnya. Semua data dan informasi yang digunakan telah dinyatakan secara jelas dan dapat diperiksa kebenarannya.
Medan, 28 Oktober 2015 Penulis,
Hardi Tambunan
Program tak linier integer campuran (Mixed integer nonlinear programming (MINLP)) mengacu kepada program matematika dengan variabel kontinu dan diskrit, dan ketidaklineran dalam fungsi objektif dan kendala. Dalam disertasi ini dipaparkan strategi kendala aktif untuk memperoleh solusi integer layak dari su- atu kelas pada masalah MINLP tak konveks dengan struktur dan subset variabel terbatas dan diasumsikan variabel diskrit terpisah dari variabel-variabel kontinu.
Pemecahan masalah digunakan suatu strategi untuk menge- luarkan variabel non- basic dari batas-batasnya dengan kombinasi kendala aktif dan konsep variabel superbasic. Strategi ini digunakan untuk mendorong variabel basis non-integer yang tepat bergerak ke sekitar titik-titik integer. Implementasi dari algoritma yang dibuat berhasil untuk tes masalah proses sistem sintesis.
Kata Kunci: Program tak Linier, kendala aktif, solusi integer.
i
Mixed integer nonlinear programming (MINLP) refers to mathematical pro- gramming with continuous and discrete variables and nonlinearities in the objec- tive function and constraints. This dissertation has presented active constraints trategy for achieving integer feasible solution from a class of non-convex mixed- integer nonlinear programming problems has a structure characterized by a subset of variables restricted to assume discrete values, which are linear and separable from the continuous variables. Solving the problem used a strategy of releasing nonbasic variables from their bounds, combined with the active constraint and the notion of superbasic variable. This strategy is used to force the appropriate non- integer basic variables to move to their neighbourhood integer points. Successful implementation of these algorithms was achieved on a process system synthesis problem test.
Keywords: Non-linear programming, active constraints, integer solution
ii
Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Kuasa atas berkat dan anugerah-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan disertasi dengan judul:
Pemecahan Masalah Program Tak Linier Integer Campuran Tak Kon- veks dengan Strategi Kendala Aktif.
Penyelesaian disertasi ini, penulis banyak mendapat arahan, bimbingan dan ban- tuan dari berbagai pihak baik material maupun moril. Pada kesempatan ini, penulis menyampaikan terimakasih yang tulus dan penghargaan setinggi-tingginya kepada:
1. Bapak Prof. Subhilhar, Ph.D selaku Pejabat Rektor Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk mengiku- ti Program Studi Doktor Ilmu Matematika di Fakultas MIPA Universitas Suma- tera Utara.
2. Bapak Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan Fakultas MIPA Universitas Su- matera Utara yang telah memberi kesempatan kepada saya menjalani pen- didikan di Program Studi Doktor Ilmu Matematika.
3. Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang, selaku Promotor dan Ketua Pro- gram Studi Doktor Ilmu Matematika, Fakultas MIPA Universitas Sumatera Utara yang dengan ketulusan hati, kesabaran, iklas dan bijaksana dalam memberikan masukan dan arahan sehingga disertasi ini dapat selesai.
iii
gram Studi Doktor Ilmu Matematika, Fakultas MIPA Universitas Sumatera Utara, atas ketulusan hati dan kesabaran dalam memberikan masukan dan arahan sehingga dapat menyelesaikan disertasi ini.
5. Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si selaku Co-Promotor, atas ketulusan hati dan kesabaran dalam memberikan masukan dan arahan sehingga dapat menye- lesaikan disertasi ini.
6. Bapak Prof. Dr. Opim Salim Sitompul, M.Sc selaku Penguji Luar Komisi atas semua masukan dan arahan mengenai isi disertasi ini.
7. Bapak Prof. Dr. Anton Abdulbasah Kamil selaku Penguji Luar Komisi atas semua masukan dan arahan mengenai isi disertasi ini.
8. Seluruh Staf Pengajar pada Program Studi Doktor Ilmu Matematika Fakul- tas MIPA Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan ilmu yang sangat berharga selama masa perkuliahan.
9. Ibu Misiani, S.Si selaku Staf Administrasi Program Studi Doktor Ilmu Ma- tematika Fakultas MIPA Universitas Sumatera Utara.
10. Buat sahabat-sahabatku mahasiswa angkatan 2010 Program Studi Doktor Ilmu Matematika Fakultas MIPA Universitas Sumatera Utara atas kerja sama yang baik selama perkuliahan.
iv
B.Tambunan dan Ibunda T Br Tobing serta Bapak S. Baringbing dan Ibu S. Br Sitorus yang selalu mendoakan dan memberikan semangat kepada penulis.
Secara khusus, penulis menyampaikan terimakasih kepada Istriku tercinta Dra. Rosmiati Baringbing atas doa, pengertian dan dukungannya selama penulis mengikuti kuliah hingga penyelesaian disertasi ini, dan kepada anak-anakku ter- sayang dan yang kubanggakan; Toman Sony Tambunan, S.E, M.Si/N.L Huta- galung, S.E; Nico Tambunan, S.E; Luna Theresia Tambunan, S.E, M.Si/Leonard P. S Aruan, S.E; Wilson Raja Ganda Tambunan, S.H, M.H, dan Johannes Tuan Mulia Tambunan yang selalu memberi semangat.
Akhir kata, semoga disertasi ini bermanfaat untuk pengembangan ilmu pengetahuan.
Medan, 28 Oktober 2015 Penulis,
Hardi Tambunan
v
Hardi Tambunan, Lahir di Tarutung pada tanggal 23 Juni 1957. Pendidikan dasar diselesaikan dari Sekolah Dasar Negeri Pardomuan-Aceh Tenggara pada tahun 1970. Kemudian melanjutkan ke SMP HKBP Lawe Desky, Aceh Tenggara dan lulus tahun 1973. Pendidikan Sekolah Menengah Atas lulus tahun 1976 dari SMA Tarutung, Tapanuli Utara. Selanjutnya, menempuh Pendidikan Tinggi di Institut Keguruan dan Ilmu Pendidikan (IKIP) Medan dan lulus Sarjana Mu- da Pendidikan Matematika tahun 1980 dan Sarjana Pendidikan Matematika lulus tahun 1983. Pada tahun 1999 memperoleh gelar Magister Pendidikan matematika dari Institut Keguruan dan Ilmu Pendidikan (IKIP) Surabaya. Studi S-3 dimulai tahun 2010 pada Program Studi Doktor Ilmu Matematika Fakultas MIPA Univer- sitas Sumatera Utara. Pengangkatan pertama sebagai dosen pegawai negeri sipil yang dipekerjakan di Perguruan Tinggi Swasta melalui Kopertis Wilayah I di- mulai tahun 1986. Saat ini bertugas sebagai dosen di Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Universitaa Quality, Medan.
vi
Halaman
ABSTRAK 1
ABSTRACT 1
KATA PENGANTAR 1
RIWAYAT HIDUP 1
DAFTAR ISI 1
BAB 1 PENDAHULUAN 1
1.1 Latar Belakang 1
1.2 Perumusan Masalah 8
1.3 Tujuan Penelitian 9
1.4 Manfaat Penelitian 9
BAB 2 PROGRAM LINIER DAN TAK LINIER 10
2.1 Program Linier 10
2.2 Metode Pemecahan 11
2.2.1 Metode Grafik 11
2.2.2 Metode Simpleks 11
2.2.3 Metode Reduced Gradient 13
2.3 Program Tak Linier 15
2.3.1 Program Konveks 28
2.3.2 Program Tak Konveks 30
2.4 Metode Pemecahan 31
2.4.1 Line Search 31
2.4.2 Trust Region 32
vii
2.4.4 Active Set 33
BAB 3 PROGRAM LINIER INTEGER CAMPURAN 35
3.1 Program Linier Integer 35
3.2 Metode Pemecahan 36
3.2.1 Cabang dan Batas 36
3.2.2 Pemotongan Bidang 39
3.2.3 Neighbourhood Search 40
3.3 Program Linier Integer Campuran 42
BAB 4 PROGRAM TAK LINIER INTEGER CAMPURAN 44
4.1 Model Program Tak Linier Integer Campuran 44
4.2 Metode Pemecahan 45
4.2.1 Cabang dan Batas 46
4.2.2 Generalized Benders Decomposition 48
4.2.3 Outer Approximation 50
4.2.4 Extended Cutting Plane 53
4.2.5 Hybrid algorithm 54
4.2.6 Feasibility Pump 54
4.2.7 Relaksasi Berdasarkan Heuristik 60
BAB 5 PROGRAM TAK LINER INTEGER CAMPURAN
TAK KONVEKS 63
5.1 Model Program Tak Linier Integer Campuran Tak Konveks 63
5.2 Metode Pemecahan 64
5.2.1 Cabang dan Batas 68
viii
5.2.3 Under Cover Heuristic 78
5.2.4 RECIPE 80
BAB 6 STRATEGI KENDALA AKTIF 88
6.1 Variabel Superbasic 88
6.2 Kendala 90
6.3 Kendala Aktif 91
BAB 7 PEMECAHAN MASALAH PROGRAM TAK LINER INTEGER CAMPURAN TAK KONVEKS DENGAN STRATEGI KENDALA
AKTIF 94
7.1 Pemecahan Masalah 95
7.1.1 Pemecahan Masalah Program Tak Linier 95
7.1.2 Strategi Kendala Aktif 97
7.1.3 Algoritma Pemecahan Masalah 103
7.1.4 Konvergensi Algoritma Pemecahan Masalah 105
7.2 Mencari Solusi Integer 106
7.2.1 Pendekatan Dasar 106
7.2.2 Strategi Kendala Aktif 110
7.2.3 Algoritma Mencari Solusi Integer 116 7.2.4 Konvergensi Algoritma Mencari Solusi Integer 118
7.3 Hasil Komputasi 119
BAB 8 KESIMPULAN 123
8.1 Kesimpulan 123
8.2 Penelitian Lanjutan 123
DAFTAR PUSTAKA 124
ix
Program tak linier integer campuran (Mixed integer nonlinear programming (MINLP)) mengacu kepada program matematika dengan variabel kontinu dan diskrit, dan ketidaklineran dalam fungsi objektif dan kendala. Dalam disertasi ini dipaparkan strategi kendala aktif untuk memperoleh solusi integer layak dari su- atu kelas pada masalah MINLP tak konveks dengan struktur dan subset variabel terbatas dan diasumsikan variabel diskrit terpisah dari variabel-variabel kontinu.
Pemecahan masalah digunakan suatu strategi untuk menge- luarkan variabel non- basic dari batas-batasnya dengan kombinasi kendala aktif dan konsep variabel superbasic. Strategi ini digunakan untuk mendorong variabel basis non-integer yang tepat bergerak ke sekitar titik-titik integer. Implementasi dari algoritma yang dibuat berhasil untuk tes masalah proses sistem sintesis.
Kata Kunci: Program tak Linier, kendala aktif, solusi integer.
i
Mixed integer nonlinear programming (MINLP) refers to mathematical pro- gramming with continuous and discrete variables and nonlinearities in the objec- tive function and constraints. This dissertation has presented active constraints trategy for achieving integer feasible solution from a class of non-convex mixed- integer nonlinear programming problems has a structure characterized by a subset of variables restricted to assume discrete values, which are linear and separable from the continuous variables. Solving the problem used a strategy of releasing nonbasic variables from their bounds, combined with the active constraint and the notion of superbasic variable. This strategy is used to force the appropriate non- integer basic variables to move to their neighbourhood integer points. Successful implementation of these algorithms was achieved on a process system synthesis problem test.
Keywords: Non-linear programming, active constraints, integer solution
ii
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Hingga saat ini, pembahasan tentang masalah program taklinier integer campuran (Mixed Integer Non-Linear Programming (MINLP)) masih menarik untuk diteliti dengan tujuan agar pemecahannya dapat memberikan hasil yang lebih baik dan waktu relatif singkat. Hal itu disebabkan beberapa alasan, antara lain banyak masalah dalam kehidupan nyata dapat dimodelkan sebagai MINLP.
Beberapa aplikasi yang sudah dilakukan diberbagai sektor dapat dilihat seper- ti dalam bidang proses sistem sintesis (Duran dan Grossmann, 1986; Kocis dan Grossmann, 1988; Floudas, et al,1989; Ryoo dan Sahinidis, 1995). Dalam bidang proses kimia (Grossmann dan Sargent, 1979; Grossmann dan Floudas, 1987). Per- masalahan alur kerja (Luyben dan Floudas, 1994), kawasan industri (Harjunkoski, Westerlund, dan Porn, 1999; Kallrath, 2005), perencanaan penumpang pesawat terbang (Briel, at al, 2005). Jaringan transmisi, seperti jaringan air (Cai, et al.
2001; Bragalli, at al, 2006), jaringan gas (Martin, Mller dan Moritz, 2006), dan jaringan energi (Murray dan Shanbhag, 2006). dalam bidang teknik (Grossmann dan Sahinidis, 2002), teknik kimia (Floudas, 2009), rancangan bangunan (Kravan- ja dan Zula, 2010), bidang transportasi (Fugenschuh, et al, 2010), perencanaan produksi (Mawengkang, 2010), perencanaan struktur beton (Guerra, Newman 1
dan Leyffe, 2011), dan dalam vehicle routing problem (VRP) (Tambunan dan Mawengkang, 2015).
Pada hakekatnya masalah MINLP mengacu pada pemrograman (program) matematika dengan adanya variabel diskrit dan kontinu, ketaklinieran di dalam fungsi tujuan dan kendala.
Masalah MINLP dapat dinyatakan dengan model berikut;
Min Z = cT y + f (x) (1.1)
Kendala h(x) 6 0 (1.2)
g(x) + by 6 0 (1.3)
x ∈ X ⊂ Rn+, y ∈ Y ⊂ Z+n (1.4)
dimana f : Rn → R, h : Rn → Rp, dan g : Rn → Rq adalah fungsi kontinu dan biasanya fungsi menggambarkan dimensi-n himpunan compact polyhedral convex, X = {x : x ∈ Rn, A1x 6 a1}, U = {y : y ∈ Y , integer A2y 6 a2} adalah him- punan bilangan diskrit, yaitu titik-titik bilangan bulat tak negatif pada bebera- pa convex polytope, A1, A2, dan B adalah matriks, dan c, a1, a2, adalah vektor kolom.
Terdapat beberapa bentuk karakteristik dalam MINLP, diantaranya jika fungsi objektif dan beberapa atau semua kendala adalah fungsi taklinier dan dae- rah layak konveks, maka masalah adalah MINLP konveks. Jika fungsi objektif dan beberapa atau semua kendala adalah fungsi tak konveks serta daerah layak juga tak konveks, maka disebut masalah MINLP tak konveks.
Salah satu tujuan pemecahan masalah MINLP adalah untuk menemukan solusi integer layak terhadap variabel diskrit, sehingga diperoleh solusi optimum.
Secara teori, masalah MINLP adalah masalah sulit atau NP-hard (Murtagh dan Saunders, 1976; Mawengkang dan Murtagh, 1986; Murti, 1987; DAmbrosio, 2010).
Kesulitan ini disebabkan ketidaklinieran fungsi tujuan dan kendala, sehingga ter- dapat banyak titik optimal yang tidak diharapkan menjadi solusi global.
Pemecahan masalah MINLP termasuk pendekatan inovatif dan berkaitan dengan teknik yang dikembangkan dalam program integer campuran (Mixed Inte- ger Programming (MIP)) dan program tak linier (Nonlinear Programming (NLP)).
Pendekatan untuk pemecahan masalah MINLP dengan fungsi konveks maupun tak konveks dapat dilakukan melalui pendekatan linier dengan mengganti fungsi non-linier berdasarkan hasil linierisasi ke arah pendekatan yang dapat dipecahkan dengan MILP (Belotti, et al, 2012).
Pendekatan yang sudah dilakukan dengan linierisasi fungsi objektif dan kendala tak linier untuk mencari master MILP yang dapat memperkirakan dan mewakili pemecahan masalah awal MINLP adalah Outer Approximation (OA) (Duran dan Grosmann,1986; Fletcher dan Leyffer, 1994; Grossmann dan Sahini- dis, 2002; Kesavan, et al, 2004). Generalized Benders Decomposition (GBD) (Geoffirion, 1972). Cutting Plane (Westerlund dan Peterson, 1995). LP/NLP berdasarkan Branch-and-Bound (B&B) (Gupta dan Ravidran, 1985; Borchers dan Mitchell, 1991; Smith dan Pantelides, 1999; Adjiman, et al, 2000; Tawarmalani
dan Sahinidis, 2004; Liberti, 2006; Belotti, et al, 2009).
Pendekatan inovatif untuk pemecahan masalah MINLP juga dapat dili- hat, seperti; Algoritma Improve Branchand-Branch (Marcovecchio, Bergamini dan Aguirre, 2006), Algoritma Branch-and-Cut (Nowak dan Vigerske, 2007; Karuppi- ah dan Grossmann, 2008), Branch-and-Refine (Leyffer, Sartenaer dan Wanufelle, 2008), Deterministic Lagrangian (Khajavirad dan Michalek, 2009), metode deter- ministik stokhastik, yaitu kombinasi Branch-and-Bound dengan Outer-Approxi- mations (Fernandes, et al,2010), pendekatan Hybrid, yaitu kombinasi Branch-and- Bound dengan Genetic Algoritm (BBGA) (Fernandes, et al 2011).
Pembahasan dalam Disertasi ini adalah pemecahan masalah MINLP tak konveks dengan struktur subset variabel terbatas, dan diasumsikan variabel diskrit terpisah dari variabel-variabel kontinu. Fungsi tujuan dan kendala adalah fungsi tidak konveks dan umumnya daerah layak juga tidak konveks. Hal ini beraki- bat pemecahan semakin sulit, karena menghasilkan banyak minimum lokal yang tidak diharapkan menjadi solusi basis. Pemecahan masalah MINLP tak konveks adalah sulit karena generalisasi masalah MILP dalam mana termasuk pada NP- hard (Garey dan Johnson, 1979).
Umumnya untuk mengatasi kesulitan pemecahan dilakukan dengan bebera- pa kemungkinan pendekatan, antara lain; mengatasi ketidakkonveksan dengan cara merumuskan masalah kembali (bila mungkin). Akan tetapi merumuskan kembali secara tepat dapat dilakukan hanya untuk masalah terbatas yang da-
pat diperoleh suatu formulasi MILP atau MINLP konveks yang ekivalen dengan MINLP tak konveks. Pendekatan tersebut umumnya dilakukan berturut-turut yang berhubungan erat dengan masalah non linear programming (NLP). Seperti Branch and Bound dimulai dari suatu bentuk kontinu murni dalam masalah NLP dengan mengabaikan syarat umum pada variabel diskrit dan sering disebut re- laksasi MINLP (Relaxed MINLP atau rMINLP). Selain itu, tiap-tiap node yang muncul pada pohon Branch and Bound menunjukkan solusi dari rMINLP dengan batas biasa pada variabel diskrit. Dengan demikian pencarian solusi setiap node pada pohon Branch and Bound harus dilakukan. Akan tetapi, bila variabel kon- tinu jumlahnya sangat banyak akan memerlukan waktu yang sangat banyak pula, dengan demikian secara komputasi kurang efisien.
Pendekatan yang sudah dilakukan, khususnya mengatasi konveksitas adalah metode convexcification dikombinasikan dengan metoda Branch-and-Bound (Li, Sun dan McKinnon, 2000), algoritma Improve-and-Branch (Marcovecchio, Berga- mini, dan Aguirre, 2006), teknik pengetatan dengan Branching and Bounds (Be- lotti, et. al, 2008), metode Dynamic Convexizzed (Zhu dan Lin, 2011), dan Dis- junctive Cut (Belotti, 2012). Kemungkinan lain adalah menentukan suatu subset dari MINLP tak konveks berdasarkan daerah layak konveks yang dapat menaksir daerah layak tak konveks. Hal itu dilakukan dengan relaksasi masalah awal de- ngan batas bawah MINLP konveks dan dikombinasikan dengan optimisasi global untuk variabel kontinu, seperti spatial Branch and Bound (Smith dan Pantelides,
1999; Belotti, et al, 2009), Branch and Reduce (Sahidis dan Tawarmalani, 2004), Branch and Cut (Nowak dan Vigerske, 2008). Perbedaan diantara metode ini adalah bentuk relaksasi yang dibuat dan melakukan percabangan dari variabel diskrit dan kontinu.
Pendekatan heuristik untuk pemecahan masalah MINLP dapat dilihat, seper- ti; Local Branching, Feasibility Neighbourhood Search (Mawengkang dan Murtagh, 1986; Nannicini dan Belotti, 2009), Octane Heuristic, Pivot-and-Shift (Balas, et al, 2001, 2004); Primal heuristic (Bonami dan Goncalves, 2008), Feasibility Pump (Fishetti, Glover dan Lodi, 2005; Bonami, et al, 2009, DAmbrosio, et al, 2010; Nannicini dan Belotti, 2012), Undercover Heuristic (Berthold dan Glei- xer, (2010), pendekatan Hybrid dengan penggunaan algoritma genetik (Fernades, et al, 2011). Heuristic dengan beberapa skema algoritma (Nannicini dan Belotti, 2011), Heuristik berdasarkan Variable Neighborhood Search, Local Branching, dan Branch-and-Bound yang disebut Relaxed-Exact-Continuous-Integer Problem Ex- ploration (RECIPE) (Liberti, Mladenovic dan Nannicini, 2011), dan Heuristik berdasarkan Iterative Rounding (Nannicini dan Belotti, 2012).
Dalam pendekatan heuristik, satu algoritma utama terkait dengan berbagai ke- sulitan untuk menemukan solusi layak dalam masalah MINLP. Dari kasus terbu- ruk, kerumitan titik yang muncul dalam menemukan solusi layak masalah MINLP adalah sesulit me- nemukan solusi layak pada Nonlinear programming, NP-hard (Mawengkang dan Murtagh, 1986). Karena itu, masalah MINLP mudah disele-
saikan bila kendala linier jumlahnya sedikit.
Pemecahan masalah MINLP yang berfokus pada kendala dapat dilihat seper- ti mengidentifikasi kendala aktif, yaitu; Partial Smootness and Prox-regularity (Lewis, 2004), teknik identifikasi Active set (Hare, Oberlin dan Wright, 2006).
Mencari kendala minimum lokal dengan Penalty Methods (Wah dan Chen, 2006), External active set strategy (Chung, Polak dan Sastry, 2010), algoritma Lagragean (Yu, et al, 2010). Mencari daerah layak dari daerah tak layak pada batas kendala dengan modifikasi Genetic algorithm (Wasanapradit, et al, 2011); Local Search (Bertsimas, Nohadani, dan Teo, 2011), memisahkan variabel nonbasic dari batas- batasnya dengan kendala aktif (Mawengkang dan Murtagh,1986).
Pembahasan dalam disertasi ini adalah pemecahan masalah MINLP tak konveks berdasarkan masalah kendala yang disebut dengan strategi kendala aktif (Active constrained strategy). Strategi ini dilakukan untuk pencarian titik opti- mal global sehingga solusi layak basis berada dekat dengan batasnya dan dikom- binasikan dengan konsep variabel superbasic yang dikembangkan oleh Murtagh dan Shaunders (1976; 1978), yaitu variabel yang tidak berada di batasnya.
Mengatasi ketidaklinieran fungsi tujuan dan kendala, dilakukan partisi variabel linier dan taklinier dengan asumsi bahwa fungsi tak linier dapat dideferensialkan secara kontinu dalam daerah layak, dan dapat diperoleh suatu titik layak pada variabel tak linier. Ekspansi deret Taylor dan konsep variabel superbasic digu- nakan untuk menghasilkan kombinasi linier pada kendala aktif, sehingga solusi op-
timal berada disekitar kendala aktif dan solusi basis akan dekat dengan batasnya.
Selanjutnya, untuk menemukan solusi integer layak dari solusi kontinu diperoleh melalu proses integerisasi dengan neigbourhood search (Scraf, 1986). Akhirnya dapat diperoleh nilai-nilai variabel kontinu dan integer solusi layak yang dapat mengoptimalkan fungsi objektif.
1.2 Perumusan Masalah
Masalah dalam penelitian ini adalah sulit menemukan solusi integer layak dari masalah MINLP tak konveks. Kesulitan diakibatkan ketidaklinieran dan ketidakkonveksan fungsi objektif dan beberapa atau semua kendala. Pembahasan adalah masalah MINLP tak konveks dengan struktur subset variabel terbatas dan diasumsikan variabel diskrit terpisah dari variabel-variabel kontinu. Pemecahan dilakukan dengan strategi kendala aktif, yaitu suatu strategi untuk pencarian solusi optimal global dengan cara mengeluarkan variabel nonbasic dari batas- batasnya sehingga solusi layak basis berada dekat dengan batasnya dan dikom- binasikan dengan konsep variabel superbasic, yaitu variabel yang tidak berada di batasnya. Akhirnya, melalui proses integerisasi dapat diperoleh solusi integer layak yang dapat mengoptimalkan fungsi objektif.
1.3 Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan untuk mengembangkan suatu pendekatan baru un- tuk memecahkan masalah MINLP tak konveks dalam rangka menemukan solusi integer layak dari solusi kontinu yang dapat mengoptimalkan fungsi objektif
1.4 Manfaat Penelitian
Pendekatan pemecahan masalah yang dihasilkan dalam penelitian ini da- pat digunakan untuk memecahkan permasalahan dibidang optimisasi yang terkait dengan masalah MINLP tak konveks.
PROGRAM LINIER DAN TAK LINIER
2.1 Program Linier
Program linier (Linear programming) adalah suatu masalah matematika yang mempunyai fungsi objektif dan kendala berbentuk linier untuk meminimal- kan atau memaksimalkan suatu permasalahan dalam bidang optimisasi.
Masalah program linier dapat dinyatakan dalam model berikut:
Maks Z = cT y (2.1)
Kendala A(x) 6 0 (2.2)
x > 0 (2.3)
Dimana x adalah variabel, c dan b adalah koefisien vektor dan A adalah ma- triks. Ekpresi untuk memaksimalkan atau meminimalkan disebut fungsi tujuan z = cT x, dan Ax 6 b disebut fungsi kendala. Pemecaham program linier dapat dilakukan dengan metode grafik, akan tetapi untuk fungsi objektif atau kendala mempunyai tiga variabel atau lebih metode grafik sulit atau tidak dapat dilakukan. Suatu prosedur umum untuk menyelesaikan permasalahan program linier disebut metode simpleks.
10
2.2 Metode Pemecahan 2.2.1 Metode Grafik
Pemecahan program linier dengan metode grafik dilakukan apabila hanya mempunyai dua variabel keputusan, artinya, hanya mempunyai dua dimensi. Se- hingga prosedur metode grafik dapat digunakan untuk menentukan nilai variabel keputusan. Solusi optimum selalu berada pada titik pojok daerah layak
2.2.2 Metode Simpleks
Suatu prosedur umum untuk menyelesaikan permasalahan program linier yang mempunyai tiga variabel atau lebih disebut metode simpleks. Metode ini dikembangkan oleh George Dantzig pada tahun 1947. Metode simpleks adalah suatu penyelesaian secara aljabar, tetapi konsep yang mendasarinya adalah geo- metris. Metode ini dirancang untuk menyelesaikan permasalahan program linier, baik dua variabel atau lebih yang penyelesaiannya dilakukan melalui perhitungan berulang (iterasi) dengan langkah yang sama hingga solusi optimum dicapai.
Penyelesaian program linier dengan metode simpleks didasari dengan ide metode grafik, dimana solusi optimum selalu berada pada titik pojok daerah layak. Langkah-langkah metode simpleks dilakukan sebagai berikut:
1. Inisialisasi dimulai dengan memilih solusi awal dari sebuah titik pojok layak
2. Uji optimalitas dengan bergerak dari suatu titik pojok layak ke titik pojok
layak yang berdekatan. Pergerakan akan meningkatkan atau penurunan nilai variabel non-basis, sehingga akan meningkatkan fungsi tujuan untuk masalah maksimalisasi atau menurunkan nilai fungsi tujuan untuk masalah minimalisasi.
3. Iterasi dilakukan berulang-ulang sampai diperoleh solusi yang lebih baik dan iterasi berhenti apabila solusi optimum diperoleh.
Untuk mempermudah perhitungan simpleks, bentuk baku model program lini- er dapat diubah ke dalam bentuk tabel, dan disebut tabel simpleks. Langkah- langkah perhitungan dalam algoritma simpleks adalah sebagai berikut.
1. Inisialisasi dengan menetapkan n-m variabel non-basis awal sama dengan nol, dimana n jumlah variabel dan m banyak kendala
2. Uji optimalitas, solusi layak basis sudah optimal jika dan hanya jika setiap koefisien dalam baris nol adalah tidak negatif. Bila tidak, dilakukan iterasi untuk mendapatkan solusi layak basis berikutnya
3. Iterasi pertama dilakukan dengan menetukan variabel basis yang masuk de- ngan memilih variabel (secara otomatis variabel non-basis) yang memiliki koefisien paling negatif dalam suatu kolom tertentu, dimana kolom itu dise- but kolom sumbu (pivot).
4. Kemudian iterasi kedua dilakukan uji rasio minimum, yaitu:
a. Mengambil masing-masing koefisien dalam kolom sumbu yang berinilai positif,
b. Menetapkan baris yang memiliki rasio terkecil dari hasil pembagian ko- lom ruas kanan dengan koefisien kolom sumbu,
c. Variabel basis pada baris rasio terkecil adalah variabel yang keluar, dan digantikan dengan variabel basis yang masuk dalam kolom variabel ba- sis tabel simpleks berikutnya.
2.2.3 Metode Reduced Gradient
Metode reduced gradient digunakan untuk mengeluarkan beberapa variabel keputusan dari kendala linier dengan mengurangi ruang matriks dari kendala (Murtagh dan Saunders, 1982).
Masalah LP dinyatakan sebagai berikut.
Min f (x) (2.4)
Kendala A(x) = b (2.5)
x ∈ Rn
Partisi variabel keputusan x ke dalam variabel terikat atau basic (xB) dan variabel bebas atau superbasic (xS) sehingga dapat dinyatakan menjadi:
x =
xB xS
(2.6)
Akibatnya, matriks A dipartisi ke dalam matriks B dan S, sehingga persamaan kendala (2.6) dinyatakan menjadi:
Ax = [B S]
xB
xS
= b (2.7)
Dimana matriks B adalah matriks kuadratik, dan sisanya adalah matriks S. Mem- pertimbangkan ∆x, yaitu suatu pergerakan variabel x, sehingga Pers.(2.6) dapat dinyatakan menjadi:
∆x =
∆xB
∆xS
=
xB− xkB xS− xkS
(2.8)
Persamaan (2.7) dan (2.8) dapat memenuhi persamaan (2.6). Oleh karena itu BxB+ SxS = b dan BxkB+ SxkS = b dapat dinyatakan menjadi;
B∆xB+ S∆xS = 0 (2.9)
atau
∆xB = −BS∆xS (2.10)
Sehingga ∆x dapat dinyatakan menjadi:
∆x =
−B−1xB I
∆xS (2.11)
atau
∆x = Z∆xS (2.12)
Dimana Z =
−B−1xB I
disebut sebagai transformasi matriks
Dari derivatif kedua ekspansi deret Taylor dari f(x) pada iterasi ke - k, xk , maka dapat dinyatakan menjadi:
f (x) = f (xk) + ∇f (xk)T∆x + 1/2(∆xT)∇xf (xk)∆x (2.13)
Hasil subsitusi Pers.(2.12) ke dalam Pers.(2.13) menjadi:
f (xS) = f (xk) + ∇f (xk)TZ∆xS+ 1/2 (∆xS)T ZT∇xf (xk)Z∆xS (2.14)
Dinyatakan reduced gradien gTR= ∇f (xk)Tz dan reduced Hessi HR = zT∇xf (xk)z, sehingga Pers.(2.13) (2.14) dapat dinyatakan menjadi:
f (xs) = f (xk) + gTR∆xS+ 1/2(∆xS)THR∆xS (2.15)
Kondisi penting untuk syarat minimum dipenuhi bila δf
δ∆xS = 0, yaitu;
gTR+ HR∆xS = 0 (2.16)
Oleh karena itu, HR∆xS = gTRadalah sistem linier dari persamaan dalam (n − m) variabel.
2.3 Program Tak Linier
Program tak linier (Non linear programming (NLP)) adalah suatu program dalam masalah optimisasi yang mempunyai fungsi objektif tidak linier dan bebe- rapa atau semua fungsi kendala tidak linier, akan tetapi tidak diketahui konveks atau tidak konveks. Pembahasan tentang program tak linier dapat dilihat dalam
Luenberger (1984), Sugden (1992), Hiller dan Lieberman (2005), Boyd dan Van- denberghe (2009).
Model program tak linier (NLP) dapat dinyatakan seperti berikut ini.
Min f (x) (2.17)
Kendala g(x) 6 0 (2.18)
h(x) = 0 (2.19)
x > 0
Dimana f(x) adalah fungsi tak linier, h(x) dan g(x) keduanya fungsi tak linier atau salah satu tidak linier dengan n variabel keputusan.
Pemecahan masalah program tak linier adalah untuk menentukan nilai variabel X = (x1, x2, ..., xn) dari kendala yang memperoleh solusi optimum (minimum atau maksimum) untuk fungsi objektif. Terdapat beberapa bentuk masalah dalam pro- gram tak linier, bentuknya tergantung pada ciri-ciri fungsi objektif dan kendala.
Sehingga pemecahan yang digunakan akan berbeda sesuai dengan ketidaklinieran fungsi objektif dan kendala yang muncul dalam berbagai bentuk, seperti fungsi konveks atau tidak konveks. Akibatnya daerah layak dapat menjadi menjadi daer- ah layak konveks atau tak konveks.
2.3.1 Fungsi Tak Linier
2.3.1.1 Himpunan Konveks dan Tak Konveks
Definisi 2.1: Himpunan C disebut himpunan konveks atau konkaf, apabila semua titik pada segmen garis melalui sembarang dua titik dalam himpunan C juga ele-
men himpunan C.
Definisi 2.2: Misalkan xi, xj ∈ R titik-titik yang dapat dibuat dalam bentuk λxi+ (1 − λ)xj untuk 0 6 λ 6 1 disebut kombinasi garis dari xi dan xj. Definisi 2.3: Suatu himpunan C ⊂ R disebut himpunan konveks apabila untuk setiap sebarang dua elemen xi, xj ∈ C termuat dalam λxi + (1 − λ) xj untuk 0 6 λ 6 1
Definisi 2.4. Suatu himpunan NC ⊂ R disebut himpunan tak konveks apabi- la untuk setiap sebarang dua elemen xi, xj ∈ NC terdapat titik xk sedemikian sehingga xk pada λxi+ (1 − λ)xj untuk 0 6 λ 6 1 tetapi xk∈ N/ C.
2.3.1.2 Fungsi Konveks dan Konkaf
Fungsi konveks adalah suatu fungsi yang memenuhi untuk setiap dua titik xi dan xj, dapat ditarik garis yang menghubungkan f (xi) dan f (xj) pada fungsi tersebut (Luenberger, 1984).
Definisi 2.5: Suatu fungsi f(x) disebut fungsi konveks apabila untuk sebarang dua titik xi dan xj pada Rn dipenuhi f (λxi+ (1 − λ)xj 6 λf (xi) + (1 − λ)f (xj), untuk
0 6 λ 6 1. Suatu fungsi f(x) dikatakan fungsi konveks kuat (strictly) apabila untuk sebarang dua titik, xi dan xj pada Rn dipenuhi f (λxi + (1 − λ)xj >
λf (xi) + (1 − λ)f (xj), untuk 0 6 λ 6 1
Definisi 2.6: Suatu fungsi f(x) dikatakan fungsi konkaf apabila untuk sebarang dua titik xi dan xj pada Rn dipenuhi f (λxi+ (1 − λ)xj > λf (xi) + (1 − λ)f (xj), untuk 0 6 λ 6 1. Suatu fungsi f(x) disebut fungsi konkaf kuat (strictly) apabila untuk sebarang dua titik xi dan xj pada Rn dipenuhi f (λxi + (1 − λ)xj <
λf (xi) + (1 − λ)f (xj), untuk 0 6 λ 6 1 2.2.1.3 Fungsi tak Konveks
Definisi 2.7: Suatu fungsi f(x) dikatakan tak konveks, apabila fungsi tak linier yang tidak dapat dinyatakan fungsi konveks atau konkaf.
Definisi 2.8: Suatu fungsi f(x) disebut tak konveks apabila untuk sebarang dua titik xi dan xj pada Rn terdapat suatu titik xk ∈ λf (xi) + (1 − λ)f (xj) untuk 0 6 λ 6 1 tidak memenuhi f (λxi + (1 − λ)xj > λf (xi) + (1 − λ)f (xj), untuk 0 6 λ 6 1.
2.2.1.4 Daerah Layak Konveks
Definisi 2.9: Daerah layak F adalah konveks apabila untuk setiap dua titik pada daerah layak F, semua kombinasi konveks titik-titik dalam F juga dalam daerah layak F.
Dalam permasalahan optimisasi, daerah layak konveks dalam fungsi objektif F, dinyatakan dalam F = {x : x ∈ Rn, h(x) = 0, g(x) 6 0, x > 0} dapat digambarkan sebagai berikut.
Daerah layak F(x) adalah konveks, karena untuk sebarang titik x1, x2 ∈ F , se- tiap kombinasi konveks dari titik-titik x1, dan x2 dalam daerah layak F, yaitu x = λx1+ (1 − λ)x2 ∈ F untuk semua nilai λ, dimana 0 6 λ 6 1.
2.2.1.5 Daerah Layak Tak Konveks
Definisi 2.10. Daerah layak dikatakan tidak konveks apabila beberapa titik dalam garis yang menghubungkan dua titik tidak berada dalam daerah layak.
Definisi 2.11. Daerah layak F dikatakan tidak konveks apabila kombinasi kon- veks dari sebarang dua titik dalam F tidak dalam daerah layak F.
Dalam permasalahan optimisasi, daerah layak tak konveks dari daerah layak F = x : x ∈ Rn, h(x) = 0, gi(x) 6 0, i = 1, ..., n , dapat digambarkan sebagai berikut.
Daerah layak F(x adalah tidak konveks, karena untu sebarangk dua titik titik x1, x2 ∈ F (x) terdapat titik xk ∈ F (x) sedemikian sehingga x/ k = λ x1+ (1 − λ) x2
∈ F (x) untuk semua nilai λ untuk 0 6 λ 6 1./ 2.3.2 Metode Pemecahan
Membahas masalah program tak linier tidak terlepas dari pemecahan ma- salah fungsi tak linier. Terdapat beberapa pendekatan yang digunakan untuk pemecahan fungsi tak linier dalam rangka mencari titik ekstrim. Perbedaan pen- dekatan tergantung kepada bentuk fungsi dan tujuan yang akan dicapai. Pen- dekatan atau metode yang biasa digunakan dalam pemecahan fungsi tak lini- er, seperti deret Taylor, fungsi Lagrange, dan Kondisi Kuhn-Tucher, pendekatan tersebut dapat dilihat dalam Rao (2009), Mital (1976), Bronson (1996), Chachuat (2007). Pemecahan itu diuraikan secara ringkas berikut ini
2.3.2.1 Deret Taylor
Deret Taylor digunakan untuk mengembangkan konsep dasar dari fungsi objektif, yaitu dengan gradient fungsi dan matriks Hessian untuk memperoleh karakteristik solusi optimal dari pengujian konveksitas suatu fungsi dan titik eks- trim.
Andaikan fungsi f(x) adalah fungsi yang dapat dideferensialkan secara kontinu dan mempunyai nilai riel dari X dalam Rn. Dapat diambil x + δx sebagai per- sekitaran dari x dalam Rn sedemikian sehingga ∆X = {δx1, δx2, ..., δxn} dan X + ∆x = {x1 + δx1, x2 + δx2, ..., xn + δxn}, dimana derivatif dari f(x) adalah
∇f =h
∂f
∂x1,∂x∂f
2, ...,∂x∂f
n
i
, sehingga deret Taylor untuk f(x) dalam variabel n dapat dinyatakan dengan f {x1+ δx1, x2+ δx2, ..., xn+ δxn} = f (x1, x2, ..., xn) + f (δx1∂x∂f
1
+ δx2∂x∂f
2 + ... + δxn∂x∂f
n) + 12f (δx1∂x∂f
1 + δx2∂x∂f
2 + ... + δxn∂x∂f
n)2+ ... + 1nf (δx1
∂f
∂x1+δx2∂x∂f
2+...+δxn∂x∂f
n)n+n+11 f (δx1∂x∂f
1+δx2∂x∂f
2+...+δxn∂x∂f
n)n+1 Matriks Hessian dari fungsi f(x) sebagai matriks n x n, yaitu:
H(x) =
∂2f
∂2x1, ∂2f
∂x1∂x2, ..., ∂2f
∂x1∂xn
∂2f
∂x2∂x1, ∂2f
∂2x2, ..., ∂2f
∂x2∂xn ..., ..., ...
∂2f
∂xn∂x1, ∂2f
∂xn∂x2, ..., ∂2f
∂2xn
(2.20)
Sehingga deret Taylor dapat dinyatakan menjadi:
F (x + ∆x) = f (x) + (∆x)1∇f (x) +1
2(∆x)1H(x)∆x + E(x, ∆x) k ∆x k2 (2.21) Dimana E(x, ∆x) → 0, dan k ∆x k→ 0
2.3.2.2 Titik Ekstrim
Titik ekstrim adalah suatu titik maksimum atau minimum dari seluruh ni- lai variabel suatu fungsi. Titik yang membuat f (x) minimum mengakibatkan (−f (x)) menjadi maksimum atau sebaliknya. Hal itu berarti, suatu masalah maksimum dapat diubah menjadi masalah minimum, dan sebaliknya.
Definisi 3.11. Titik x∗ ∈ D disebut minimum lokal dari fungsi f(x) pada D apabila terdapat persekitaran ε > 0 dari x∗ sedemikian sehingga untuk semua x dalam persekitaran x∗ memenuhi f (x) > f (x∗). Titik x∗ ∈ D disebut maksimum lokal dari fungsi f(x) pada D apabila terdapat persekitaran ε > 0 dari x∗ sedemi- kian sehingga untuk semua x di persekitaran x∗ memenuhi f (x) 6 f (x∗).
Definisi 3.12. Titik x∗ ∈ D disebut minimum global dari fungsi f(x)pada D apabila untuk semua x ∈ D memenuhi f (x) > f (x∗). Titik x∗ ∈ D disebut maksimum global dari fungsi f(x) pada D apabila untuk semua x ∈ D memenuhi f (x) 6 f (x∗).
Beberapa syarat penting untuk mengidentifikasi titik stationer dengan menggu- nakan fungsi gradient dan matriks Hessi, yaitu:
1. Kondisi cukup untuk minimum lokal pada titik x∗ a. Fungsi gradien ∇f (x∗) = 0
b. Matriks Hessi H(x∗) adalah definit positif
2. Kondisi cukup untuk maksimum lokal pada titik x∗ a. Fungsi gradien ∇f (x∗) = 0
b. Matriks Hessi H(x∗) adalah definit negatif
3. Kondisi cukup untuk titik sadle (pelana) pada titik x∗ a. Fungsi gradien ∇f f (x∗) = 0
b. Matriks Hessi H(x∗) adalah indefinit
2.3.2.3 Fungsi Lagrange
Suatu metode klasik menyangkut pemecahan permasalahan pada program linier atau non-linier adalah dengan metode pengali Lagrange. Metode ini digu- nakan untuk mencari solusi dari suatu permasalahan titik ekstrim dari beberapa variabel dan fungsi yang memenuhi semua persamaan kendala. Prosedur metode ini dimulai dengan merumuskan fungsi Lagrange seperti berikut.
Maks/min f (x) (2.22)
Kendala: gi(x(i, ., xn)) = bi, i = 1, , m; m < n (2.23) xi > 0
dimana f(x) dan g(x) adalah fungsi yang dapat dideferensialkan dan mempunyai nilai riel untuk setiap variabel x.
Fungsi F(x) dinyatakan dengan ekspresi:
F (x, λ) = λ0f (x) + λ1[b1− g1(x)] + ... + λm[bm− gm(x)] (2.24)
disebut fungsi lagrange, dan bilangan λi disebut pengali lagrange, dengan memenu hi persyaratan pengali, apabila x∗ = x∗1, ..., x∗n adalah solusi dari masalah pada suatu titik ekstim dari Pers.(2.22) - (2.23), maka terdapat bilangan yang paling kecil tidak nol dari pengali lagrange λ∗ = λ∗0, ..., λ∗m sedemikian sehingga titik-titik x∗, λ∗ adalah titik stationer dari fungsi lagrange yang memenuhi variabel xj dan λi, i 6= 0 disebut sebagai variabel bebas. Kondisi penting untuk titik stationer dari fungsi lagrange adalah suatu kepastian sistem pada persamaan m + n
Teorema 2. 1. Misalkan x ∈ L ⊆ Rn, f(x) dan g(x) adalah fungsi yang dapat di- deferensialkan dan mempunyai nilai real untuk setiap x dalam L. Jika f(x) mempunyai relatif ekstrim di x terhadap kendala gk(x) = 0, k = 1, ..., m, maka terdapat λk, k = 1, ..., m sedemikian sehingga x∗ adalah titik stationer.
Bukti:
Tanpa mengurangi keumuman dari kendala gk(x) = 0, diasumsikan Jacobian sebagai berikut:
∂(g1, g2, ..., gm)
∂(x1, x2, ..., xm) 6= 0 (2.25)
Karena x∗adalah relatif ekstrim dari f(x), maka (∆x)(∇f (x∗)) = 0, atau pada x∗ berlaku:
∂x1
∂f
∂x1 + ∂x2
∂f
∂x2 + ... + ∂xn
∂f
∂xn = 0 (2.26)
Karena kendala gk(x) = 0, k = 1, ..., m, ∂xj, j = 1, ..., m tidak bebas linier, maka dengan pendeferensialan diperoleh:
∂gk
∂x1∂x1+ ∂gk
∂x2∂x2+ ... + ∂gk
∂xn∂xn = 0, k = 1, ..., m (2.27) Dengan mengalikan Pers. (2. 27) dengan λ1, λ2, ..., λm, dan menambahkannya ke Pers. (2. 26), diperoleh:
n
X
i=1
(∂f
∂xi + λ1∂g1
∂xi + λ2∂g2
∂xi + ... + λm∂gm
∂xi)∂xi = 0 (2.28)
Dengan mempertimbangkan persamaan:
(∂f
∂xi + λ1∂g1
∂xi + λ2∂g2
∂xi + ... + λm∂gm
∂xi) = 0, i = 1, ..., m (2.29) atau
∂g1
∂x1,∂g2
∂x1, ...,∂gm
∂x1
∂g1
∂x2,∂g2
∂x2, ...,∂gm
∂x2 ..., ..., ...
∂g1
∂xn, ∂g2
∂xn, ...,∂gm
∂xn
λ1 λ2 . . λm
=
∂f
∂x1
∂f
∂x2 ....
∂f
∂xm
(2.30)
Karena Pers.(2.24) merupakan matriks non singular, maka terdapat nilai unik dari λ1, λ2, ..., λm yang memenuhi Pers.(2.29).
Dengan mengurangi variabel xi, i = 1, ..., n dalam Pers.(2.28) maka diperoleh:
n
X
i=m+1
(∂f
∂xi + λ1∂g1
∂xi + λ2∂g2
∂xi + ... + λm∂gm
∂xi)∂xi = 0
Karena terdapat variabel xi, i = m + 1, ..., n adalah variabel bebas linier me- ngakibatkan:
∂f
∂xi + λ1
∂g1
∂xi + λ2
∂g2
∂xi + ... + λm
∂gm
∂xi∂xi = 0, i = m + 1, ..., n (2.31) Berdasarkan penyederhanaan Pers.(2.29) dan (2.31) diperoleh:
∂L(x, λ)
∂xi = 0, i = 1, ..., n pada x∗ (2.32)
Dengan demikian x∗ adalah titik stationer dari f(x). 2.3.2.4 Kondisi Kuhn-Tucher
Solusi optimal dari permasalahan program tak linier dianalisis oleh Karush (1939) dan Kuhn-Tucher (1951). Kondisi optimal Karush-Kuhn-Tucher (KKT) adalah valid untuk pemecahan masalah program tak linier dengan fungsi objektif dan kendala tak linier yang mempunyai kendala bentuk pertidaksamaan atau persamaan. Jadi, syarat perlu untuk memperoleh solusi optimal dari program tak linier adalah adanya kondisi Karush-Kuhn-Tucher dari model berikut.
Min f (x) (2.33)
Kendala g(x) 6 0 (2.34)
x > 0
Berdasarkan fungsi Lagrange diperoleh L(x, λ) = f (x) + λgi(x), i = 1, ..., n, di- mana λ > 0 adalah pengali Lagrange. Sehingga untuk memperoleh titik stationer
harus memenuhi; ∂L(x,λ)∂x
i = 0, i = 1, ..., n sehingga kondisi Karush-Kuhn-Tucher (KTT) adalah;
∂L(x, λ)
∂xi = ∂f
∂xi +
m
X
k=1
(λk
∂gk
∂gi) = 0, i = 1, ..., n (2.35) dan
gk(x) 6 0 λkgk(x) = 0 λk> 0
, k = 1, ..., m (2.36)
atau
∂f
∂xi +
m
X
k=1
(λk∂gk
∂gi) > 0 xj
"
∂f
∂xi +
m
X
k=1
(λk∂gk
∂gi)
#
= 0
xj > 0
(2.37)
dan
gi(x) 6 0 λigi(x) = 0 λi > 0
, k = i, ..., m (2.38)
Dimana kondisi Pers.(2.34)-(2.35) merupakan syarat perlu pada (x∗, λ∗) untuk titik pelana (saddle) dari f (x, λ) dengan variabel x tidak dibatasi dan λ > 0.
Dengan kondisi yang sama Pers. (2.36)-(2.37) untuk x > 0, λ > 0. Apabila f(x) dan gi(x) adalah fungsi konveks dengan titik sadle (x∗, λ∗), λ∗ > 0 dari L(x, λ)
dengan demikian x∗ adalah titik minimum dari f(x) dengan kendala gi(x). Kare- na f(x) adalah fungsi konveks maka f(x) hanya mempunyai satu titik optimum yang menjadi titik minimumnya. Jadi kondisi ini merupakan solusi perkiraan kondisi Kuhn-Tucher yang memberikan titik minimum dari f(x). Sehingga masa- lah program tak linier mempunyai solusi optimum hanya jika terdapat m bilangan λ1, ..., λm sedemikian sehingga semua kondisi berikut dipenuhi.
(1) ∂f
∂xj =
m
X
k=1
λk∂gi
∂xj 6 0, ∀i = 1, ..., n di xj = x∗j (2) x∗j(∂x∂f
j −
m
P
k=1
λk∂x∂gi
j) = 0, ∀i = 1, ..., n di xj = x∗j (4) λi(gi(x∗j) − bi) = 0, ∀i = 1, ..., m
(5) x∗i > 0, ∀i = 1, ..., n
(6) λi > 0, ∀i = 1, ..., m, dimana λi disebut pengali Lagrange’
2.3.1 Program Konveks
Program konveks suatu klas khusus dari program tak linier yang memiliki fungsi tujuan linier atau tidak linier dan kendala tidak linier, dimana semua solusi layak berada dalam daerah layak. Program konveks berarti fungsi adalah kon- veks, sehingga daerah pencarian adalah konveks. Fungsi dapat dideferensialkan dari banyak variabel bila matriks Hessian (suatu matriks untuk semua derivative keduanya) adalah definit positif pada semua (entire) domainnya, dan masalah program konveks mengacu pada masalah optimisasi yang hanya mempunyai satu minimum lokal, dan dapat menemukan minimum global.
Model program konveks dinyatakan sebagai berikut;
Min f (x) (2.39)
Kendala gi(x) 6 0, i = 1, ..., 0 (2.40)
x > 0
Dimana fungsif, gi, ..., gm : Rn→ R adalah fungsi konveks
Definisi 3.13. Misal C adalah himpunan konveks yang tidak kosong di dalam Rn. Jika f : C → R adalah konveks pada C, maka min f (x)
x∈C
disebut program konveks.
Dalam program konveks diasumsikan minimum lokal menjadi minimum global.
Nilai f (x∗) adalah minimum pada titik x∗ yang memenuhi f (x) > f (x∗) untuk k x − x∗ k< δ, dan minimum global dalam daerah layak F nilai pada f (x∗) adalah minimum yang memenuhi memenuhi f (x) > f (x∗), ∀x ∈ F, dan menentukan nilai x = x∗ menjadi solusi minimum dilakukan dengan derivarif pertama dari f(x), yaitu ∂f (x)∂x
j = 0, pada x = x∗, untuk j = 1, 2, ..., n.
Teorema 2.2. Misal x∗ adalah minimum lokal pada program konveks, maka x∗ adalah juga minimum global.
Bukti: Misalkan variabel x∗ adalah minimum lokal, berarti ∃ε > 0 sedemikian sehingga f (x) > f (x∗), ∀x ∈ Cε(x∗). Dengan kontradiksi, andaikan x∗ bukan minimum global, maka ∃x ∈ C sedemikian sehingga f (x) < f (x∗). Misalkan λ ∈ [0, 1] adalah pilihan sedemikian sehingga dengan konveksitas pada C, dan f(x) dalam C, berarti f (x) = λx + (1 − λ) x∗ ∈ Cε(x∗).
Selanjutnya, dengan konveksitas dari f pada C, berarti; f (x) 6 λ f (x) + (1 − λ)f (x∗) < λf (x∗) + (1 − λ)f (x∗) 6 f (x∗) atau f (x) 6 f (x∗).
Hal ini bertentangan dengan pengandaian, bahwa x∗ adalah minimum lokal. Jadi haruslah x∗ adalah minimum global.
Dalam masalah program konveks, dengan penambahan asumsi bahwa f dan g adalah fungsi konveks. Biasanya, bila masalah tidak diasumsikan pada masalah konveks, maka masalah mempunyai solusi optimum lokal . Hasil yang diperoleh berdasarkan penggunaan metode eksak dapat menemukan solusi global, disebut metode optimisasi global.
2.3.2 Program Tak Konveks
Program tak konveks adalah suatu program yang mempunyai fungsi objek- tif tak linier dan beberapa atau semua kendala tak linier. Masalah program tak konveks mungkin mempunyai banyak titik optimum lokal, hal itu akan memer- lukan banyak waktu untuk mengidentifikasi apakah masalah mempunyai solusi atau tidak, apabila solusi yang akan dicari adalah minimum global. Oleh karena itu, masalah pemecahan masalah program tak konveks pada umumnya lebih sulit, bahkan fungsi adalah sangat smooth (halus). Dalam program tak konveks, dia- sumsikan bahwa minimum lokal tidak menjadi minimum global, atau maksimum lokal tidak menjadi maksimum global. Masalah tersebut digambarkan seperti dalam gambar 2.5 berikut.
2.4 Metode Pemecahan
Beberapa penggunaan algoritma yang efektif dalam pemecahan masalah NLP dapat dilihat dalam Bertsimas (1999), Boyd dan Vabdenberghe (2004), Flet- cher (2000), Nocedal dan Wright (2006), pemecahan itu diuraikan secara ringkas berikut ini.
2.4.1 Line Search
Pencarian garis (line search) digunakan untuk masalah optimisasi tak ber- kendala dengan fungsi objektif non-linier. Pada tiap iterasi suatu penaksiran dari fungsi non-linier dipertimbangkan dan (i) suatu petunjuk pencarian ditentukan, (ii) penjang langkah pencarian selama arah pengambilan diperhitungkan. Pen- dekatan berbeda untuk menentukan arah dan panjang langkah seperti Steepest des−
cent, N ewton, Quasi − N ewton, Conjugate Direction methods.
2.4.2 Trust Region
Daerah kepercayaan (Trust region) adalah suatu metode yang digunakan se- bagai suatu alternatif untuk pencarian garis. Pada tiap-tiap iterasi, pencarian dari titik terbaik menggunakan perkiraan yang dibatasi ke dalam suatu trust region, dan ditetapkan dengan suatu panjang langkah maksimum. Pendekatan ini di- dorong oleh fakta bahwa perkiraan dari fungsi non-linier pada titik yang diberikan tidak dapat menjadi titik terbaik. Oleh karena itu trust region dapat menun- jukkan bagian seharusnya yang dapat memberikan perkiraan yang baik. Kemu- dian arah dan panjang langkah pencarian memberikan perbaikan terbaik untuk nilai fugsi objektif sampai daerah kepercayaan diambil.
2.4.3 Penalty and Augmented Lagrangian
Metode P enalty mendefinisikan ulang fungsi objektif dari N LP untuk mem- peroleh kelayakan dan nilai optimalitas dari suatu penambahan syarat-syarat so- lusi yang menetapkan ketidaklayakan solusi. Ketika suatu fungsi penalty memini- malkan solusi dari N LP awal. Hal itu disebut eksak, dengan kata lain minimal- isasi fungsi penalty mengarahkan kepada solusi optimal dari masalah asli. Suatu contoh dari metode penalty eksak adalah metode Augmented Lagrangian yang membuat dengan jelas penggunaan dari penduga pengali Lagrange.
2.4.4 Active Set
Himpunan aktif (active set) adalah himpunan variabel aktif dalam suatu persamaan kendala. Metode himpunan aktif adalah suatu metode iteratif untuk pemecahan masalah N LP dengan pertidaksamaan kendala. Berdasarkan penger- tian kendala dalam himpunan aktif, suatu pergerakan mengidentifikasi titik baru untuk iterasi selanjutnya. Algoritma simpleks oleh Dantzig (1956) adalah suatu metode kendala aktif untuk pemecahan masalah program linier. Suatu hasil yang efektif dan luas digunakan dalam kasus khusus dengan metode himpunan aktif untuk masalah N LP adalah program kuadratik (Quadratic programming), yaitu suatu rangkaian pemecahan masalah untuk menaksir masalah NLP terakhir. Su- atu contoh seperti penyelesaian menggunakan metode Newtons dengan kondisi KKT dari masalah N LP .
Metode himpunan aktif adalah suatu metode yang mengestimasi himpunan vari- abel aktif dari solusi optimal. Masalah N LP dibagi dalam dua bagian himpunan kendala, yaitu pertidaksamaan yang menjadikannya sebagai kendala aktif, dan kendala tidak aktif. Pertidaksamaan kendala dalam himpunan tidak aktif diang- gap sebagai pertidaksamaan kuat pada solusi optimum dan mengabaikan yang sangat utama. Sisa masalah dipecahkan dengan suatu metode untuk memecah- kan persamaan kendala dari masalah optimisasi.
Pemecahan masalah NLP terdiri dari dua tahap iterasi yang memberikan suatu es- timasi himpunan aktif dari solusi. Tahap pertama adalah tahap kelayakan, dima-
na fungsi objektif diabaikan ketika titik layak ditemukan pada kendala Ax=b dan Dx > f . Tahap kedua adalah tahap optimalitas, dimana fungsi objektif dimini- malkan ketika kelayakan diperbaiki. Kedua tahap dari algoritma terkait dengan perubahan minimalisasi fungsi dari suatu fungsi yang menggambarkan tingkat dari ketidaklayakan kepada fungsi objektif. Metode ini mempunyai prosedur un- tuk meninjau ulang himpunan aktif, salah satu cara adalah dengan penghapusan pertidaksamaan kendala dari kendala asli, atau menambahkan pertidaksamaan kendala dari himpunan tak aktif ke dalamnya. Pembahasan metode himpunan aktif (Active set) dapat dilihat dalam Panier (1987), Murty dan Yu (1997), Oberlin dan Wright (2006). Kontribusi metode active set tersebut mendasari pemecahan masalah NLP dengan kendala aktif.
PROGRAM LINIER INTEGER CAMPURAN
3.1 Program Linier Integer
Model matematika untuk program linier integer (Integer linear programming (ILP)) adalah perluasan dari model program linier dengan satu batasan tamba- han yaitu nilai variabel harus integer. Bila seluruh variabel keputusan dari suatu permasalahan program linier harus bernilai integer, maka masalah itu disebut masalah program integer murni (Pure integer programming). Lingkup lain dari masalah program integer adalah masalah yang melibatkan keputusan ya atau tidak. Kedua pilihan keputusan tersebut mengakibatkan nilai variabel keputusan dibatasi hanya 0 untuk keputusan tidak, dan 1 untuk keputusan ya, dimana vari- abel itu disebut variabel biner (variabel 0-1). Sehingga masalah program integer hanya memiliki variabel biner, dan disebut masalah program integer biner (Bina- ry integer programming). Dalam hal ini asumsi divisibilitas dari program linier harus dihilangkan.
Pemecahan masalah program linier dengan metode simpleks didasari oleh pencarian solusi optimum pada titik-titik ekstrim pada daerah solusi layak, se- hingga mempermudah pencarian solusi optimum dari sejumlah pemecahan yang tidak terbatas menjadi sejumlah yang terbatas. Sebaliknya, program linier integer
35
dimulai dengan sejumlah titik pemecahan terbatas, akan tetapi sifat variabel yang berbentuk integer mempersulit pencarian langsung diantara titik integer layak daerah solusi layak. Sehingga untuk memperoleh solusi integer dari masalah pro- gram linier dengan menggunakan metode simpleks bukan hal yang mudah, karena membulatkan nilai-nilai pecahan variabel basis tidak menjamin tetap memenuhi kendala dan tidak menyimpang dari solusi integer yang layak. Karena itu, perlu suatu algoritma untuk memperoleh solusi integer dari permasalahan itu.
Terdapat beberapa metode atau pendekatan untuk memecahkan permasala- han program linier integer, yaitu dengan pendekatan percabangan dan batas (Branch and Bound), dan metode pemotongan bidang (Cutting Plane).
3.2 Metode Pemecahan 3.2.1 Cabang dan Batas
Metode Branch-and-Bound (Cabang dan batas) dikembangkan oleh Land dan Doing (1960) yang digunakan untuk pemecahan program linier integer ber- dasarkan ide metode simpleks dalam program linier, kemudian dimodifikasi oleh Dakin (1965). Beberapa penjelasan dasar tentang metode tersebut juga dapat dilihat seperti dalam Murtagh (1981), Ravidran, et al (1987), dan Nemhauser dan Wolsey (1988).
Model umum untuk pemecahan program linier integer (ILP)) dimodelkan sebagai berikut:
