Jurnal Penelitian Sains Edisi Khusus Desember 2009 (B) 09:12-05
Statistika Sistem Zarah; dari Klasik hingga Eksotik
Akhmad Aminuddin Bama dan Ramlan
Jurusan Fisika FMIPA, Universitas Sriwijaya, Sumatera Selatan, Indonesia
Intisari: Dalam makalah ini diuraikan secara kronologis statistika bagi sistem zarah, dari statistika Maxwell-Boltzmann yang merupakan bentuk statistik bagi sistem zarah klasik, statistika Bose-Einstein dan Fermi-Dirac, hingga statistika eksotik yang merupakan berbagai bentuk statistika bagi sistem zarah kuantum.
Kata kunci: statistika Maxwell-Boltzmann, satitistika Bose-Einstein, statistika Fermi-Dirac, statistika eksotik
Abstract: This paper describes in chronological order statistics for particle systems, from the Maxwell-Boltzmann statistics, which is a statistics of classical particle systems, Bose-Einstein and Fermi-Dirac statistics, to the exotic statistics, which are various forms of quantum statistics for quantum particle systems.
Keywords: Maxwell-Boltzmann statistics, Bose-Einstein statistics, Fermi-Dirac statistics, exotic statistics E-mail: akhmadbama@yahoo.com
Desember 2009
1 PENDAHULUAN
D
i dalam mekanika statistik, fungsi distribusif(E) bagi sistem zarah identik merupakan pe-luang sebuah zarah berada pada tingkat energi E. Fungsi ini merupakan perluasan gagasan peluang dis-kret untuk kasus yang energinya kontinu[1,2,3,4].Sampai sejauh ini, di alam, paling tidak terdapat tiga fungsi distribusi yang berbeda, yaitu fungsi dis-tribusi Maxwell-Boltzmann, Bose-Einstein, dan Fermi Dirac. Fungsi distribusi Maxwell-Boltzmann berlaku untuk zarah identik tetapi terbedakan. Contoh bagi distribusi ini adalah distribusi Maxwell untuk kecepa-tan molekular. Distribusi Bose-Einstein dan Fermi-Dirac berlaku apabila zarah itu tak terbedakan (aki-bat efek kuantum) yang masing-masingnya berlaku untuk spin bulat dan tengahan (dalam satuan~).
Ra-diasi termal dan panas spesifik mematuhi distribusi Bose-Einstein, sedangkan elektron di dalam logam dan semikonduktor serta lubang (hole) mematuhi fungsi distribusi Fermi-Dirac.
Umumnya, di berbagai tulisan maupun buku teks, berbagai bentuk statistika bagi sistem zarah di atas diuraikan secara rinci dengan berbagai rumusan ma-tematis yang begitu banyak dan kompleks. Hal yang demikian itu terkadang membuat sulit untuk dapat memahami “benang merahnya” secara utuh, terutama bagi pemula. Tujuandari paparan ini adalah mem-berikan gambaran sekilas tetapi menyeluruh (rangku-man) mengenai berbagai statistika bagi sistem zarah, yang umumnya di berbagai tulisan maupun buku teks
tidak terangkum secara menyeluruh.
2 STATISTIKA MAXWELL-BOLTZMANN
Statistika Maxwell-Boltzmann sering digambarkan se-bagai statistika bagi zarah klasik “terbedakan”.
Sistem zarah klasik terbedakan merupakan sistem zarah yang konfigurasinya berbeda ketika dua atau lebih zarah dipertukarkan. Dengan kata lain, konfi-gurasi zarah A di dalam keadaan 1 dan zarah B di dalam keadaan 2 berbeda dengan konfigurasi ketika zarah B berada dalam keadaan 1 sedangkan zarah A dalam keadaan 2.
Ketika gagasan di atas diimplementasikan akan di-hasilkan distribusi (Boltzmann) biasa bagi zarah da-lam berbagai tingkat energi. Fungsi distribusi ini menghasilkan hasil yang kurang fisis untuk entropi, sebagaimana ditunjukkan dalam “paradoks Gibbs”
[1,2,3,4]. Namun, masalah itu tidak muncul pada
penin-jauan statistik ketika semua zarah dianggap tak terbe-dakan.
Secara khusus, statistika Maxwell-Boltzmann ber-guna untuk mempelajari berbagai sifat gas mampat.
3 STATISTIKA BOSE-EINSTEIN DAN FERMI-DIRAC
Statistika kuantum adalah paradigma statistik bagi zarah atau sistem zarah yang perilaku penyusunnya harus digambarkan oleh mekanika kuantum, alih-alih mekanika klasik karena ukuran mikroskopiknya.
c
Bama & Ramlan/Statistika Sistem Zarah . . . JPS Edisi Khusus (B) 09:12-05
Sebagaimana di dalam statistika klasik (statistika Maxwell-Boltzmann), pusat permasalahannya adalah mencari fungsi distribusi yang tepat untuk berbagai temperatur (melukiskan energi kinetik rerata sistem gas). Meskipun demikian, mengingat fungsi distribusi di dalam mekanika statistik klasik menggambarkan jumlah zarah di dalam unsur ruang fase pada jangkau posisi dan momentum tertentu, di dalam statistika kuantum fungsi distribusi memberikan jumlah zarah di dalam grup tingkat-tingkat energi. Cacah zarah yang menghuni setiap tingkat energi individual dapat satu atau dapat berlebih, tergantung pada derajat ke-merosotan energi serta sifat simetri fungsi gelombang terkait dengan pertukaran zarah. Untuk fungsi gelom-bang antisimetrik, hanya ada sebuah zarah yang dapat menghuni sebuah keadaan, sedangkan untuk fungsi gelombang simetrik, sejumlah zarah dapat menghuni sebuah keadaan (pada saat yang sama). Berdasarkan batasan ini, terdapat dua distribusi kuantum terpisah, yaitu distribusi Fermi-Dirac untuk sistem yang digam-barkan oleh fungsi gelombang antisimetrik dan dis-tribusi Bose-Einstein untuk sistem yang digambarkan oleh fungsi gelombang simetrik[5,6].
Statistika kuantum Bose-Einstein dan Fermi-Dirac berlaku ketika efek kuantum harus diperhitungkan yang mengakibatkan zarah tak lagi terbedakan. Efek kuantum muncul jika konsentrasi zarah (jumlah za-rah per-volume (N/V)) lebih besar atau sama dengan konsentrasi kuantumnq[2].
Konsentrasi kuantum terjadi ketika jarak antar zarah sama dengan panjang gelombang de-Broglie termal, yaitu ketika fungsi gelombang zarah saling menyentuh tetapi tidak saling bertindih (overlapping). Konsentrasi kuantum bergantung pada temperatur; pada temperatur tinggi sistem akan berubah men-jadi sistem dalam limit klasik kecuali sistem itu mem-punyai kerapatan yang sangat tinggi, misalnya “katai putih”[5,6].
Statistika Bose-Einstein dan Fermi-Dirac akan men-jadi statistika Maxwell-Boltzmann pada temperatur tinggi atau pada konsentrasi rendah.
Statistika Fermi-Dirac menentukan distribusi statis-tik bagi fermion pada berbagai tingkat energi untuk sebuah sistem di dalam kesetimbangan termal. De-ngan kata lain, statistika ini merupakan probabilitas bagi suatu tingkat energi untuk dihuni fermion.
Fermion adalah zarah tak terbedakan berspin te-ngahan dan karena itu mematuhi asas larangan Pauli, yaitu pada saat yang sama tidak boleh ada lebih dari satu zarah yang dapat menempati keadaan kuantum yang sama. Kumpulan fermion yang tak saling berin-teraksi disebut sebagai gas Fermi ideal[1,2].
Statistika Fermi-Dirac diperkenalkan oleh Enrico Fermi dan Paul Dirac pada tahun 1926. Pada ta-hun itu pula, Ralph Fowler memanfaatkannya untuk menggambarkan keruntuhan bintang menjadi katai
putih, dan pada tahun 1927, Arnold Sommerfeld me-nerapkannya untuk elektron di dalam logam.
Statistika Bose-Einstein menentukan distribusi sta-tistik bagi boson pada berbagai tingkat energi di da-lam kesetimbangn termal.
Tidak seperti fermion, boson adalah zarah berspin bulat sehingga tidak mematuhi asas larangan Pauli; sejumlah besar zarah boson dapat menempati keadaan yang sama pada saat yang sama pula. Hal itu dapat menjelaskan mengapa pada temperatur ren-dah boson dapat berperilaku sangat berbeda dengan fermion; semua zarah akan menggumpal bersama-sama pada keadaan energi yang paling rendah. Proses yang demikian itu disebut sebagai “kondensasi Bose-Einstein”, misalnya fenomena superfluida di dalam he-lium cair. Di samping itu sejumlah zarah tergandeng secara efektif juga dapat bertindak sebagai boson, mi-salnya, di dalam teori superkonduktor BCS, sejumlah pasangan elektron tergandeng bertindak seperti boson dan berkumpul atau menggumpal ke sebuah keadaan yang mengakibatkan resistansi elektrik nol[1,2].
Statistika Bose-Einstein diperkenalkan oleh Bose (untuk foton) pada tahun 1920 dan diperluas oleh Ein-stein untuk atom pada tahun 1924.
4 STATISTIKA EKSOTIK
Di samping statistika klasik (Maxwell-Boltzmann) dan dua jenis statistika kuantum (Bose-Einstein dan Fermi-Dirac) sebagaimana yang dijelaskan di atas, di dalam mekanika kuantum dan mekanika statis-tika (kuantum statisstatis-tika), parastatisstatis-tika merupakan satu dari beberapa alternatif model statistika zarah (kuantum) yang secara teoretis telah banyak dise-lidiki[7,8,9,10,11]. Selain parastatistika, untuk
ruang-waktu berdimensi lebih rendah, misalnya ruang-ruang-waktu berdimensi-(2 + 1), dikenal juga beberapa alternatif statistika lain, misalnya statistika anyonik maupun statistika fraksional lainnya[12,13].
Statistika Fraksional dicirii oleh parameter statis-tik θ (0 < θ < π), yaitu apabila dua zarah yang memenuhi statistika ini dipertukarkan maka fungsi gelombang akan berubah dengan sebuah fase exp(iθ) (θ= 0→ statistika Bose-Einstein;θ=π→statistika Fermi-Dirac). Semua statistika baru itu (selain statis-tika Maxwell-Boltzmann, Bose-Einstein, dan Fermi-Dirac) sering juga disebut sebagai “statistika eksotik”
[12,13,14,15,16,17].
Secara aljabar, terdapat grup SN (grup simetrik berorde-N) yang bekerja pada aljabar operator de-ngan tafsiran yang diharapkan bagi permutasiNzarah
[18,16,17]. Mekanika kuantum menghendaki
pemfoku-san pada observabel, dan observabel haruslah invarian terhadap semua permutasi yang mungkin bagiN za-rah. Dengan kata lain, jika aljabar operator bagi sis-temN-zarah identik adalah aljabar-(∗), maka aljabar
Bama & Ramlan/Statistika Sistem Zarah . . . JPS Edisi Khusus (B) 09:12-05
observabel harus merupakan subaljabar-(∗) yang inva-rian terhadap tindakan grup SN (perlu dicatat bahwa hal ini tidak berarti setiap unsur aljabar operator yang invarian terhadap tindakan SN adalah observ-abel). Karena itu terdapat sektor superseleksi (ruang Hilbert) yang berbeda, masing-masing sektor super-seleksi ini diparameterkan oleh “diagram atau tabel Young” bagi grup SN.
Secara khusus, untuk N zarah paraboson
berorde-a (dengan a adalah bilangan bulat positif), diagram Young yang mungkin adalah semua diagram Young denganabaris sebagai acuannya, sedangkan untukN
zarah parafermion berorde-a adalah semua diagram Young denganakolom sebagai acuannya[19,20].
Di dalam parastatistika, istilah paraboson dan pa-rafermion berorde-a muncul berkaitan dengan tidak adanya keadaan (state) yang berturut-turut anti-simetrik dan anti-simetrik sejumlah a buah zarah. Perlu dicatat bahwa sifat fisis bagi paraboson maupun para-fermion belum banyak diteliti; diduga keduanya mem-punyai sifat fisis yang lebih condong ke boson (untuk paraboson) dan ke fermion (untuk parafermi). Jikaa
sama dengan 1, diperoleh kasus untuk statistika Bose-Einstein (1 baris) dan Fermi-Dirac (1 kolom). Jikaa
takterhingga (atidak hanya bilangan bulat, tetapi da-pat bilangan sebarang), diperoleh statistika Maxwell-Boltzmann[20].
Lebih jauh lagi, secara matematis, penentuan sek-tor superseleksi terkait dengan wakilan uniter tak ter-susutkan (irreducible unitary representation (IUR)) grup fundamental π1(Q) bagi ruang konfigurasi Q
(atau grup N-untai) yang tergantung pada topologi spasialnya. Untuk ruang berdimensi-3 atau lebih dan tersambung sederhana (misalnya ruang bertopologiR3
atau S3), grup fundamental bagi ruang ini trivial,
karena itu statistika yang mungkin bagi sistem N -zarah identik di dalamnya hanya terkait dengan wa-kilan uniter bagi grup simetrik SN[18,21,16,17]. Boson dan fermion adalah manifestasi dari wakilan uniter tak tersusutkan berdimensi-1 bagi SN, sementara untuk wakilan berdimensi yang lebih tinggi bagi SN akan memberikan parastatistika. Berbeda dengan kasus berdimensi-3 (tersambung sederhana), untuk ruang berdimensi-(d <3), grup fundamentalnya tidak selalu trivial. Akibatnya, statistika yang mungkin bagi sis-tem zarah identik di dalam berbagai ruang ini dapat sangat bervariasi tergantung pada topologi ruangnya. Misalnya,N-zarah identik yang menghuni permukaan datar (ruang bertopologiR2) akan menunjukkan
vari-asi statistik yang berbeda jika dibandingkan dengan sistem yang sama tetapi menghuni torus berdimensi-2 (ruang bertopologi T2) atau permukaan bola (ruang
bertopologiS2)[22,16,17].
5 SIMPULAN
Perilaku kolektif (sifat makro) bagi sistem zarah klasik (terbedakan) memenuhi statistika Maxwell-Boltzmann. Sedangkan untuk sistem zarah kuan-tum dan tak terbedakan, perilaku kolektifnya dapat digambarkan oleh berbagai jenis statistika, yaitu dari satistika Bose-Einstein (untuk zarah boson), statistika Fermi-Dirac (untuk zarah Fermi), hingga statistika ek-sotik (bukan Bose dan bukan Fermi).
Parastatistik merupakan statistika eksotik untuk sistem zarah bukan boson dan bukan fermion dalam ruang berdimensi-3, sedangkan statistika fraksional untuk ruang berdimensi-(d <3).
Penenetuan bebagai jenis statistika kuantum terkait dengan wakilan uniter tak tersusutkan dari grup fun-damental bagi ruang konfigurasi sistem yang bergan-tung pada topologi spasialnya (menentukan sektor superseleksi-nya).
DAFTAR PUSTAKA
[1]Greiner,W., L. Neise, dan H. St¨ocker, 1995,
Thermodynamics and Statistical Mechanics, Springer Verlag, New York
[2]Huang, K., 1965,Statistical Mechanics, JohnWilley & Sons, New York
[3]Mandl, F., 1971,Statistical Physics, hal. 310, John Wiley & Sons Ltd., London
[4]Sears, F.W. dan G.L. Sallinger, 1975,Thermodynamics,
Kinetic Theory, and Statistical Thermodynamics, Addison-Wesley, Massachusets
[5]Balachandran, A.P., T.D. Imbo, dan C.S. Imbo, 1988, Topological and Algebraic Aspect of Quantization: Symmetries and Statistics,Ann. Inst. Henri Poincar´e, vol. 49, no. 3, hal. 387-396
[6]Bama, A.A., 2003, Elaborasi Hubungan Spin dan Statistika,Tesis S2, Program Pascasarjana Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta
[7]Chaturvedi, S. dan V. Srinivasan, 1996, Grand Canonical Partition Functions for Multi-level Parafermi Systems of any Order Particles with Different Statistics,Phys. Lett. A, vol. 224, hal. 249-252
[8]Chaturvedi, S., R.H. McKenzie, P.K. Panigrahi, dan V. Srinivasan, 1997, Equivalence of the Grand Canonical Partition Functions of Particles with Different Statistics,
Mod. Phys. Lett. A, vol. 12, hal. 1095-1099 [9]Polychronakus, A.P., 1996, Path Integrals and
Parastatistics,Nucl. Phys. B, vol. 474, hal. 529-539 [10]Satriawan, M., 2002, Generalized Parastatistical Systems,
PhD Thesis, University of Illinois at Chicago, Chicago [11]Satriawan, M., 2004, Grand Canonical Partition Function
for Parastatistical Systems,Phys. J. IPS, vol. C8, hal. 0515
[12]Einarsson, T., 1991, Fractional Statistics on Compact Surfaces, G¨oteborg ITP 91-1 (Invited Brief Review for
Mod. Phys. Lett. B)
[13]Haldane, F.D.M., 1991, “Fractional Statistics” in Arbitrary Dimensions: A Generalization of the Pauli Principle,Phys. Rev. Lett., vol. 67, no. 8, hal. 83 [14]Hatsugai, Y., M. Kohmoto, dan Y.S. Wu, 1991, Braid
Groups, Anyons and Gauge Invariance (On Topologically Nontrivial Surfaces),Technical Report of ISSP, vol. Ser. A, no. 2489
Bama & Ramlan/Statistika Sistem Zarah . . . JPS Edisi Khusus (B) 09:12-05 [15]Hatsugai, Y., M. Kohmoto, dan Y.S. Wu, 1991,
Multi-Sheet Configuration Space and Fractional Quantum Statistics,Technical Report of ISSP, vol. Ser.A, no. 24, hal. 567-940
[16]Imbo, T.D. dan J.M. Russell, 1990,Exotic Statistics on
Surfaces, Lyman Lab. of Physics, Harvard University, Cambridge, MA 02138
[17]Imbo, T.D., C.S. Imbo, dan E.C.G. Sudarshan, 1990, Identical Particles, Exotic Statistics and Braid Groups,
Phys. Lett. B, vol. 234, hal. 103-107hysics, Harvard University, Cambridge, MA 02138
[18]Birman, J.S., 1969, On Braid Groups,Comm. Pure Appl.
Math., vol. 22, hal. 41-72
[19]Fulton, W., 1991,Young Tableaux, Cambridge Univ. Press, New York
[20]Yosi Aprian Sari, R., 2005, Perhitungan Fungsi-fungsi Termodinamika Sistem Paraboson Orde Dua,Tesis S2, Program Pascasarjana Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta
[21]Johnson, D.L., 1997,Presentations of Groups, edisi 2, Cambridge University Press, New York
[22]Bama, A.A., M. Satriawan, M.F. Rosyid, dan Muslim, 2004, Inequivalent Quantizations of Identical Particle System in a Universe with a Wormhole, dalamProceeding of the First Jogja Regional Physics Conference 2004, Section D, Yogyakarta, Indonesia, 11 September 2004, hal. 65-71, Physics Dept. Gadjah Mada University, Yogyakarta, Indonesia
