EVALUASI BAGIAN FORMAL-RHETORICAL DAN
Tulisan ini merupakan hasil dari penelitian pendahuluan yang ditujukan untuk melakukan evaluasi proses pembuktian dari mahasiswa pendidikan matematika dalam melakukan pembuktian dengan menggunakan formal-rethorical part dan problemcentered part sebagai struktur bukti. Deskripsi kombinasi pemahaman terhadap formal-rethorical part dan
problemcentered part dalam membuktikan lemma, teorema dan akibat (corollary) dalam Analisis Real akan memunculkan sisi kreatif dari mahasiswa dalam memahami dan memvalidasi serta mengkonstruksi bukti. Bagian formal-rethorical part kadang dikatakan sebagai framework (kerangka) bukti dari bukti sedangkan bagian problem centered bergantung secara murni pada pemecahan masalah matematis, intuisi, dan pemahaman yang lebih yang terkait dengan konsep. Selden dan Selden (2013) menyatakan bahwa dua aspek dari struktur bukti ini merupakan genre bukti..
Kata Kunci: Bukti, formal-rethorical, problem centered
A. Pendahuluan
Di dalam matematika, bukti adalah serangkaian argumen logis yang menjelaskan kebenaran suatu pernyataan, yang dimaksud logis di sini adalah semua langkah pada setiap argumen harus di justifikasi oleh langkah sebelumnya. Menurut Healy dan Hoyles (Cheng & Lin, 2009, hlm. 124) bukti dalam matematika adalah jantung pemikiran matematika dan penalaran deduktif. Sedangkan menurut Yuanqian Chen (2008, hlm. 398) bukti adalah langkah-demi-langkah yang mendemonstrasikan suatu pernyataan yang valid. Selden dan Selden (Lee & Smith, 2009, hlm. 21) menegaskan bahwa bukti dapat dianggap sebagai bentuk khusus dari argumentasi di mana logika deduktif bertindak sebagai penjamin norma pernyataan matematika. Selanjutnya Mariotti (2006, hlm. 189) mendefinisikan bukti sebagai rangkaian implikasi logis yang menghasilkan validasi teoritis dari suatu pernyataan.
apa yang mendukung aktivitas bukti dan yang terlibat dalam kegiatan ini, (3) menyadari ketika bukti dapat dilihat sebagai peran dan fungsinya dalam matematika, ilmu pengetahuan empiris dan dunia nyata. Oleh karena itu, sejak bukti bisa menjadi kekuatan pendorong dalam kegiatan produktif seorang mahasiswa sepanjang perkuliahannya, maka mereka dapat menghargai arti sebenarnya dan pentingnya bukti melalui perkuliahan tersebut.
Tidak dapat disangkal bahwa proses pembuktian dalam matematika merupakan hal yang kompleks yang melibatkan berbagai kompetensi siswa/mahasiswa, diantaranya mengidentifikasi asumsi, memilah sifat dan struktur, serta mengatur/menyusun masing-masing argumen sehingga menjadi logis dan valid. Jadi kemampuan mahasiswa untuk membuktikan pernyataan valid adalah kunci keberhasilan dalam matematika.
Untuk membantu kesulitan yang sering dialami oleh mahasiswa dalam menuliskan bukti, Selden dan Selden (2013, hlm. 308) menyatakan bahwa mahasiswa perlu dibantu dengan cara menerapkan dua aspek/bagian dari bukti yakni : (1) The formal-rhetorical part (Bagian Retoris-Formal), bagian ini kadang-kadang disebut dengan kerangka bukti (a proof framework). Bagian dari bukti yang hanya tergantung pada memangkal dan menggunakan struktur logis dari pernyataan teorema, definisi yang terkait, dan hasil sebelumnya. Secara umum, bagian ini tidak tergantung pada pemahaman yang mendalam, atau intuisi tentang konsep yang terlibat atau masalah yang akan dipecahkan (Schoenfeld, 1985, hlm. 74); (2) The problem-centered part
(Bagian yang menjadi pusat masalah). Bagian ini tergantung secara murni pada pemecahan masalah matematis, intuisi, dan pemahaman yang lebih yang terkait dengan konsep (Selden & Selden, 2009).
konvergen? (Bartle & Sherbert. Exercise 3.2, No.22, 2010).
Bukti:
Ambil sebarang , dan karena konvergen, katakan , N,
sedemikian sehingga .
Berdasarkan asumsi, N, sedemikian sehingga ,
. Dengan menggunakan sifat ketaksamaan segitiga maka,
, .
Jadi , atau berarti bahwa barisan konvergen.
sangat memerlukan keterampilan teknis, namun menyelesaikan masalah pada potongan-potongan bukti yang dikosongkan ini merupakan bagian yang menjadi pusat masalah (The problem-centered part). Tidak semudah yang dibayangkan oleh mahasiswa dalam mengisi kekosongan dari bagian bukti pada Analisis Real, mungkin mahasiswa yang memiliki pengalaman dan pemahaman yang baik, yang akan bisa mengisi kekosongan dari penggalan bukti tersebut dengan misalnya ,
menggunakan manipulasi matematis dan memanfaatkan sifat ketaksamaan segitiga, serta .
Dalam matematika, argumentasi dan bukti dapat dijelaskan oleh empat karakteristik fungsional yang dijelaskan dari aspek umum di antara keduanya yakni (Pedemonte 2007, hlm. 26):
(1) Argumentasi dan bukti dalam matematika merupakan pembenaran rasional
Karakteristik pembenaran ini terlihat dalam bentuk argumentasi: penalaran, merupakan kesimpulan eksplisit yang berasal dari satu atau lebih pernyataan yang diberikan (Duval, 1995). Kesimpulan ini didasarkan pada rasionalitas seperti kesimpulan yang digunakan dalam bahasa yuridis (Plantin, 1990). Teori linguistik menganggap model yuridis sebagai model untuk argumentasi yang menegaskan pentingnya rasionalitas dalam argumentasi (Perelman dan Olbrechts-Tyteca, 1958; Toulmin, 1993). Dalam hal ini, argumentasi dapat dianggap sebagai pembaharuan retorika Aristotelian, namun secara aktual menurut Toulmin (1993), teori argumentasi lebih dekat ke dialektika Aristoteles. Jadi argumentasi dalam matematika sebagai bukti lebih dekat dengan dialektika, karena harus menghasilkan pernyataan benar.
(2) Argumentasi dan bukti dalam matematika untuk meyakinkan
Dari sudut pandang epistimologis, argumentasi dan bukti dalam matematika dikembangkan ketika seseorang ingin meyakinkan (diri sendiri atau orang lain) tentang kebenaran pernyataan (Chazan, 1993; De Villiers 1990; Hanna 1989, Healy dan Hoyles 2000; Lakatos, 1976). Dalam konteks ini, penting untuk membedakan antara istilah meyakinkan (convincing) dan membujuk (persuading), karena sangat berbeda dalam pengertiannya. Menurut teori linguistik, tujuan meyakinkan adalah untuk memodifikasi pendapat dan kepercayaan dengan menarik rasionalitas, sedangkan tujuan membujuk adalah untuk mendapatkan persetujuan tanpa harus menarik rasionalitas. Meyakinkan menyiratkan membujuk tetapi membujuk tidak berarti meyakinkan, sehingga dalam matematika hanya menggunakan argumen yang meyakinkan.
(3) Argumentasi dan bukti dalam matematika yang ditujukan kepada khalayak universal
(Plantin, 1990).Audien terdiri dari komunitas matematika, ruang kelas, guru, teman berbicara.
(4) Argumentasi dan bukti dalam matematika termasuk dalam ‘field’
(Toulmin, 2003, hlm. 2).
Teori linguistik menyatakan bahwa makna dalam sebuah argumentasi dapat berbeda sesuai dengan situasi wacana. Lebih khusus, kata-kata tidak dapat menjamin pemahaman akurat (Ducrot dkk, 1980). Hal ini diperlukan untuk melihat proposisi, di konteks lain informasi yang memungkinkan kesalahpahaman harus dikurangi. Karakter ragam argumentasi digarisbawahi oleh Toulmin (2003), yang menunjukkan
“field” sebagai gagasan. Untuk bukti field adalah bidang teoritis: aljabar, kalkulus, geometri, dan lain-lain. Field argumentasi dalam matematika dibatasi oleh kriteria validitas. Misalnya, aksioma untuk nilai kebenaran dari suatu argumentasi dalam geometri berbeda dari aksioma yang digunakan dalam argumentasi aljabar.
Hal ini sesuai dengan Mejia-Ramos (2008) (Mejia-Ramos dkk, 2011, hlm. 334) berpendapat bahwa ada tiga kegiatan argumentatif utama yang terkait dengan pembuktian: membangun argumen baru, menyajikan argumen yang tersedia, dan membaca argumen yang diberikan.
B. Metode Penelitian
Penelitian pendahuluan ini didasarkan pada analisis kualitatif hasil tes yang dilakukan terhadap 25 mahasiswa yang telah memprogramkan mata kuliah Analisis Real I (satu). Fokus evaluasi didasarkan pada hasil kerja mahasiswa dalam melakukan pembuktian berdasarkan struktur bukti bagian formal-rethorical dan
problem centered dari empat soal yang diberikan. Dalam mengidenfikasi pemahaman terhadap formal-rethorical dan problemcentered untuk setiap soal yang dikemukakan menggunakan lima kategori yang diadopsi dari (Stylianides, 2009, hlm. 245) sebagai berikut: Argumen valid, logis terkoneksi antara fakta dengan unsur konklusi yang akan dibuktikan (A1), Argumen valid tetapi bukan bukti (A2) , Tidak
berhasil mengupayakan menjadi argumen yang valid (maksudnya adalah argumen tidak valid atau belum selesai) (A3), Argumen empiris (A4), dan Argumen tidak-asli
(yaitu, respon yang menunjukkan keterlibatan minimal, respon yang tidak relevan, atau respon yang berpotensi relevan tetapi relevansi tidak dibuat jelas oleh yang melakukan pembuktian) (A5).
C. Pembahasan
Tabel 1 menunjukkan bahwa hasil rangkuman dari aktivitas memahami dan mengkonstruksi bukti yang dievaluasi berdasarkan lima kategori yang dijelaskan sebelumnya menunjukkan bahwa argumen yang digunakan baik dalam bagian (RF) maupun (PC) dari hasil kerja mahasiswa menggunakan argumen tidak-asli, atau 7 mahasiswa memberikan respon yang tidak relevan dalam melakukan pembuktian.
Tabel 1. Distribusi tanggapan dosen terhadap bukti matematis Struktur bukti Kategori prespektif argumen pada bukti
A1 A2 A3 A4 A5
The formal-rhetorical part (Bagian Retoris-Formal) (RF)
2 0 1 1 3
The problem-centered part (Bagian yang menjadi pusat masalah) (PC)
3 4 5 2 4
Total 5 4 6 3 7
Dari hasil evaluasi, nampak bahwa 5 mahasiswa bisa menghasilkan argumen menjadi bukti yakni sebanyak 2 mahasiswa mampu mengkonstruksi (RF) menjadi bukti dan 3 mahasiswa memvalidasi argumen menjadi bukti. Namun secara keseluruhan menunjukkan bahwa 20 mahasiswa memiliki keterbatasan kemampuan menyusun argumen menjadi bukti matematis, dengan kata lain bahwa mahasiswa masih dalam kategori A2, A3, A4, dan A5.
Berikut ini akan dikemukakan temuan dari hasil kerja mahasiswa sebagai berikut:
Gambar 1. Hasil kerja R1
Kesalahan mendasar yang dilakukan oleh R1 yakni cenderung mengikuti
langkah-langkah pembuktian sebelumnya tanpa memahami definisi yang terkandung dalam
pembuktian tersebut, yakni kesalahan dalam mendefinisikan “
dan ” (argumen yang tidak valid/ A3) .
Gambar 2. Hasil kerja R2
Nampak bahwa R2 tidak bisa memanfaatkan clue (petunjuk) yang ada dan definisi
yang telah disediakan. R2 tidak melengkapi “ N, sedemikian sehingga
” dan “ N, sedemikian sehingga ,
” serta “ ” (Tidak berhasil mengupayakan
menjadi argumen yang valid (maksudnya adalah argumen tidak valid atau belum selesai) (A3) , namun R2 benar menggunakan sifat ketaksamaan segitiga sehingga
menyimpulkan bahwa , atau berarti bahwa barisan konvergen, dari hasil kerja ini menunjukkan bahwa R2 belum bisa menjadi argumen sebagai bukti.
Jika ditelusuri hasil kerja R3, nampaknya menunjukkan bahwa urutan kerja dari
argumen yang dikemukakan seakan-akan logis, namun baris ke-5, manipulasi matematis yang dilakukan oleh R3 menunjukkan hal yang tidak logis. Selanjutnya
pada baris ke-7, pemilihan epsilon yang dilakukan oleh R3 juga tidak tepat. Dengan
demikian hasil kerja R3 dapat digolongkan kedalam kategori A2 dan A3.
D. Kesimpulan dan Saran
Data hasil penelitian pendahuluan ini memberikan kontribusi yang sangat berarti dalam mengevaluasi kesulitan mahasiswa dalam menyusun argumen secara logis terkoneksi antara fakta dengan unsur konklusi (A1), argumen valid tetapi bukan bukti
(A2), tidak berhasil mengupayakan menjadi argumen yang valid (maksudnya adalah
argumen tidak valid atau belum selesai) (A3), argumen empiris (A4), dan argumen
tidak-asli (yaitu, respon yang menunjukkan keterlibatan minimal, respon yang tidak relevan, atau respon yang berpotensi relevan tetapi relevansi tidak dibuat jelas oleh yang melakukan pembuktian) (A5) khususnya dalam memahami dan mengkonstruksi
bukti matematis berdasarkan formal-rethorical part dan problemcentered part, dari hasil evaluasi menunjukkan bahwa mahasiswa masih dalam kategori A2, A3, A4, dan A5 ini
artinya bahwa mahasiswa belum mampu menyusun argumen menjadi bukti. Hasil penelitian pendahuluan ini memberikan peluang untuk penelitian selanjutnya dengan konsep yang sama atau berbeda dengan berbagai variasi pendekatan, metode dan strategi dalam memahami dan mengkonstruksi bukti khususnya pada mata kuliah Analisis Real.
E. Daftar Pustaka
Bartle dan Sherbert (2010). Introduction To Real Analysis. John Wiley & Son, Inc. Singapore.
Cheng, Ying-Hao & Lin, Fou-Lai (2009). Developing Learning Strategies for
Enhancing below AverageStudents’ Ability In Constructing Multiple-Steps
Geometry Proof. Proceedings of the ICMI Study 19 Conference: Proof and Proving in Mathematics Education, Vol. 1, pp. 124-129
Lee, Kosze & Smith III, John P. (2009). Cognitive and Linguistic Challenges in Understanding Proving. Proceedings of the ICMI Study 19 Conference: Proof and Proving in Mathematics Education, Vol. 2, pp. 21-26.
Mariotti, M. A. (2006). Proof and proving in mathematics education. In A. Gutierrez, & P. Boero (Eds.), Handbook of research on the psychology of mathematics education (pp. 173-204). Rotterdam, The Netherlands: Sense Publishers.
Pedemonte, B. (2007). How can the relationship between argumentation and proof be analysed?. Journal Educational Studies in Mathematics, 66:23-41.
Selden, A., & Selden, J. (2013). Proof and Problem Solving at University Level.
Journal The Mathematics Enthusiast. 10(1&2), 303-334.
Toulmin, S. E. (2003). The Uses of Arguments (Updated Edition). Cambridge: University Press.
Weber, K., & Mejia-Ramos, J. P. (2011). Why and how mathematicians read proofs: An exploratory study. Journal Educational Studies of Mathematics, 76, 329-344.
