1
DIMENSI TIGA
Pendahul uan:
Bab Dimensi Ti ga i ni merupakan kel anj ut an dari mat eri pel aj aran bangun ruang sewakt u di SMP dul u.
Saat di SMP, hal yang di bahas adal ah l uas per mukaan
dan vol ume bangun r uang, sedangkan di SMA
dit ambahkan dengan empat mat eri yait u: 1. Menggambar bangun ruang 2. Irisan bangun r uang
3. Jar ak ant ar t i t ik-gari s-bidang
4. Sudut ant ar a gari s-bi dang dan bi dang-bidang
Kar ena wakt u bel aj ar t inggal 2 minggu, maka yang akan dibahas hanya: a) Bent uk dasar bangun r uang
b) Iri san bangun r uang
A. BENTUK DASAR BANGUN RUANG
1. Kubus
Luas = 6 s 2
Vol = s3 ( s = panj ang sisi )
2. Bal ok
Luas = 2 x ( p. l + p. t + l . t ) Vol = p . l . t
3. Prisma
Luas = 2 x l . al as + sel imut Vol = l uas al as x t i nggi
4. Li mas
Luas = l . al as + sel imut Vol = 1/ 3 l . al as x t inggi
5. Tabung
Luas = 2 r ( r + t )
Vol = r2 t
6. Kerucut
Luas = r (r+s) ( s = pj g si si mi r i ng )
Vol = 1/ 3 . l uas al as . t inggi
7. Bol a
Luas = 4 r 2 Vol = 4/ 3. r 3
Lat i han 1
1. Diket ahui kubus ABCD. EFGH dgn panj ang AB = 6 cm, t it ik M di t engah GH dan t i t ik N pada r usuk DH sedemi ki an sehi ngga DN = 2 NH. Tent ukanl ah:
a. j ar ak AG d. vol ume l imas N. ABCD b. j ar ak BM e. Perbandingan vol ume l imas c. j ar ak BN N. ABCD dan l imas M. BCD
2. Bal ok ABCD. EFGH, perbandingan p : l : t = 4 : 3 : 2. Ji ka vol ume bal ok it u 81 cm3, t ent ukan panj ang diagonal ruangnya.
3. Hit ungl ah t inggi & vol ume l imas segit iga ber at uran T. ABC j ika AB = 8 cm dan TA = 6 cm
4. Hit ungl ah t inggi & vol ume l imas segiempat ber at ur an T. ABCD j ika AB = 8 cm dan TA = 6 cm
5. Diket l imas segi 6 ber at ur an T. ABCDEF, AB = 3 cm dan rusuk TA = 5 cm. Hi t ung t i nggi & vol ume l imas it u
s
r
t r
Di mensi Tiga, SM A Pahoa, Mei 2010 2
6. Sebuah t abung mempunyai vol ume 54 cm3. Jika
t inggi t abung it u 2 kal i j ari -j ari nya, t ent ukanl ah l uas t abung i t u!
7. Sebuah dr um ber bent uk t abung yang j ari -j ari dan t inggi nya 2 dm dan 3 dm, berisi ai r penuh. Ke dal am dr um di masukkan l i ma buah bat u bat a berbent uk bal ok ukuran 12 x 6 x 5 cm.
Tent ukan ket i nggi an air di dal am drum i t u sekar ang!
8. Diket ahui ker ucut dgn t i nggi 8 cm dan j ari-j ari 6 cm. Tent ukan vol ume dan t ot al l uas permukaannya!
9. Sebuah pot bunga berbent uk kerucut t erbal ik yg berj ari -j ari 12 cm dan t i nggi 18 cm di isi pasir hingga 2/ 3 t inggi nya. Tent ukan vol ume pasi r it u!
10. Sebuah bol a mempunyai j ari -j ari 10 cm. Tent ukan l uas dan vol ume bol a it u!
11. Ke dal am kubus (r = 10 cm) dimasukkan sebuah bol a. Tent ukan vol ume maksimum bol a it u!
12. Ke dal am ker ucut (r= 6 cm, t =8 cm) dimasukkan sebuah bol a. Vol ume maksi mum bol a?
13. Ke dal am bol a (r = 4 cm) di masukkan sebuah kubus. Tent ukan perbandi ngan vol ume kubus maksimum dan vol ume bol a!
14. Dua buah ker ucut memi l iki vol ume yg sama. Jika perbandi ngan t i nggi kedua ker ucut adal ah 4 : 9, t ent ukan per bandi ngan j ari -j ari al asnya!
15. Sebuah ker ucut punya t inggi yg sama dgn sebuah t abung. Jika j ari-j ari t abung 2 kal i j ari-j ari ker ucut dan vol ume t abung 18 dm3, t ent ukan vol ume
ker ucut .
B. KEDUDUKAN TITIK, GARIS, & BIDANG
Gari s, Bidang, dan Bangun Ruang
. Garis = benda berdi mensi sat u dan hanya mempunyai
panj ang t api t idak mempunyai l ebar.
. Bidang (bi dang dat ar) = benda berdi mensi dua yg
mempunyai ukur an panj ang dan l ebar. Nama bidang bisa dit ul iskan di poj ok bi dang dgn huruf , , at au dengan menul iskan t i t ik-t i t ik sudut bidang i t u.
. Bangun ruang adal ah benda berdi mensi t iga.
Aksioma/ t eori t it ik, garis, dan bidang:
. Mel al ui 2 t it ik sembar ang hanya dapat dibuat 1 garis. . Sebuah bi dang dapat dit ent ukan/ dibent uk ol eh:
a.3 t it ik sembar ang.
b.1 garis & 1 t it i k di l uar garis. c.2 garis berpot ongan.
d.2 garis sej aj ar.
Kedudukan t i t ik dan garis: Ada 2, yai t u:
a.t it ik pada garis (t i t ik A) b.t it ik di l uar garis (t i t ik B)
Kedudukan t i t ik dan bidang: Ada 2, yai t u:
a.t it ik pada bidang (t it i k C) b.t it ik di l uar bidang (t i t ik D)
Kedudukan garis dan garis l ai n:
. Ada t iga: berpot ongan, sej aj ar, bersil angan.
. Garis g dan h berpot ongan, j i ka mer eka t erl et ak pada
1 bidang dan mempunyai hanya 1 t i t ik persekut uan.
. Garis g dan h sej aj ar, j ika kedua mereka t erl et ak pd
1 bidang dan t idak mempuyai t i t ik persekut uan.
. Garis g dan h bersi l angan, j ika mer eka it u t idak
t erl et ak pd 1 bidang dan t i dak sej aj ar .
. Mel al ui 1 t it ik di l uar garis, hanya dapat dibuat 1
garis yg sej aj ar dgn gar is it u.
A
B
C
D
3
. Ada 3 kemungki nan:
a.Garis t erl et ak pd bidang: j ika garis & bidang mempunyai mi nimal 2 t it ik persekut uan. b.Garis sej aj ar bidang: j ika gari s & bidang t i dak
mempunyai t i t ik persekut uan.
c. Garis menembus bi dang: j ika garis & bidang hanya mempunyai 1 t it i k t embus.
. Jika garis g sej aj ar h & garis h t erl et ak pd bidang ,
maka gar is g sej aj ar dgn bi dang .
Kedudukan bidang dan bidang l ai n
. Ada 3 kemungki nan:
a.Beri mpi t : j ika set iap t i t ik pada sebuah bidang, t erl et ak j uga pada bidang yg l ain. b.Sej aj ar : j ika keduanya t i dak mempunyai t i t i k
persekut uan.
c. Ber pot ongan: j i ka kedua bidang it u
mempunyai 1 gar is persekut uan.
. Jika garis g menembus bi dang dan bidang sej aj ar
bi dang , maka gari s g j uga past i menembus bidang .
IRISAN BANGUN RUANG
Bidang iri san (penampang) adal ah sebuah bi dang dat ar yg memot ong suat u bangun r uang mel al ui 3 t it i k yg t el ah dit ent ukan sebel umnya (i ngat aksi oma di at as! ). Bidang i risan i ni mel al ui t epi sisi l uar dari bangun ruang (t idak mest i semua sisi rusuk bangun ruang dil al ui ol eh bidang i risan).
Cont oh 1
Pada kubus di bawah i ni , bi dang yg diarsir adal ah bidang i risan yg mel al ui t it ik A, C, dan H.
Terl ihat bahwa bidang ir isan t idak mest i mel al ui semua r usuk (t idak mel al ui rusuk BF, EF, dan FG).
Per hat ikan gambar kubus berikut i ni .
Pada r usuk HG, AE, dan BF t erdapat t i t i k P, Q, dan R. Akan dibuat bidang iri san yg mel al ui t i t i k P, Q, dan R.
Jawab:
Per hat ikan gambar di at as:
P t erl et ak pd bidang DCGH dan EFGH Q t erl et ak pd bidang ABFE dan ADHE R t erl et ak pd bidang ABFE dan BCGF
Tampak bahwa Q dan R t erl et ak sama-sama pd bidang ABFE. Ol eh karena it u, t it ik Q dan R bisa l angsung dihubungkan (garis QR mer upakan si si dar i bidang irisan yg akan dibuat ).
Tet api t i dak demiki an dgn t i t ik P karena t i dak t erl et ak 1 bidang dgn t i t ik Q maupun R. Maka, mel al ui t i t ik P akan dibuat garis bant u PQ dan PR.
G
A B
F
E
30O
30O
C D
H
R
Q
P
G
A B
F E
30O
30O
C D
H
R
Q
P
Q
gar is bant u gar i s bant u
T G
A B
F E
30O
30O C
D
Di mensi Tiga, SM A Pahoa, Mei 2010
Kedua t it ik t embus ini akan dihubungkan ol eh sebuah garis (disebut sumbu afinitas).
Sumbu af i nit as adal ah garis yg t erl et ak pada
al as/ at ap/ sisi t erl uar dari bangun r uang, yg di gunakan sbg pat okan unt uk menari k garis-garis bidang iri san l ai nnya di dal am bangun ruang i t u. - Hal ini dimaksudkan unt uk mencar i gar is bidang irisan
pd sisi BCGF.
- Hubungkan gari s VR hi ngga memot ong rusuk CG di t it ik W.
Lakukan hal yg sama unt uk mencari garis t epi dari bidang iri san pd sisi ADHE.
Di mensi Tiga, SM A Pahoa, Mei 2010 5
Cont oh 3
Per hat ikan gambar l imas di bawah ini. Tent ukan bidang i risan yg mel al ui t i t ik K, L, dan M.
Jawab:
Per hat ikan: t it ik L dan M t erl et ak pd 1 bi dang (yait u al as). Ol eh kar ena i t u, l angsung hubungkan garis LM.
Garis LM ini j ika di panj angkan, past i akan menembus bidang samping kir i l i mas (bidang TAD) dan bidang bel akang (TDC).
Di mensi Tiga, SM A Pahoa, Mei 2010 6
Cont oh 4
Pada gambar bal ok berikut i ni, t ent ukan bidang i risan yg mel al ui t i t ik A, B, dan C.
Jawab:
Tit i k A, B, dan C t i dak ada yg sebidang, j adi perl u dibuat kan garis bant u.
Ji ka dit ari k gari s bant u AC, maka garis AC i ni har us dit embuskan ke bidang dimana t it i k B berada.
Juga, j ika di t ari k garis bant u BA, maka har us dit embuskan ke bidang dimana t it i k C ber ada.
Misal nya dit arik garis bant u AC.
“Jika A dan C dihubungkan, maka proyeksi A dan proyeksi C j uga dihubungkan” , didapat t it ik P.
Kar ena P dan B sudah t erl et ak pd 1 bidang, maka dapat dihubungkan, dan gari s PB diperpanj ang hi ngga:
- memot ong r usuk depan-bawah, didapat t it ik Q. - menembus bidang bel akang t empat A ber ada,
didapat t i t ik R.
Kar ena t i t ik R dan A sebi dang (di bi dang bel akang), maka dapat dihubungkan, di perpanj ang hingga menembus bidang samping ki ri, didapat t i t ik S dan T.
Kar ena t i t ik S dan C t erl et ak sebidang (di bidang samping kir i), maka hubungkan S dan C, di dapat t i t ik U
Dengan menghubungkan garis T – A – U – C – Q – B – T diper ol eh bidang irisan yg mel al ui t it ik A, B, dan C, sel esai!
B A
C
B A
C
P
R
Q
B A
C
P
S
R
Q
B A
C
P
T
U S
R
Q
B A
C
P
T
U S
R
Q
B A
C
P
7 Tent ukan bidang iri san yg mel al ui t it i k A, B, dan C pada gambar berikut i ni.
1 2
3
5
4 B
A
C
30O
30O
C A
B
C
B A
C B
A
A
B
C
