Ruang Vektor Vektor vektor Yang Tegak Lu

Vektor-vektor Yang Tegak Lurus dan Vektor-vektor Yang Paralel

- Dua vektor A dan B saling tegak lurus atau A ⊥ B (yaitu cos θ = 0), jika B

Ao = 0 atau jika : Ax Bx + Ay By + Az Bz = 0

- Dua vektor A dan B saling paralel jika komponen-komponennya sebanding atau

jika :

z z

y y

x x

B A B A

B A

= =

Hasil Kali Skalar Untuk Menghitung Usaha

Dalam fisika, usaha = gaya × jarak perpindahan

Jika vektor gaya dan vektor jarak perpindahan tidak sejajar, maka :

Usaha = besarnya komponen gaya yang sejajar dengan arah perpindahan x besarnya

jarak

F v

W = _{F cos}θ . d

v v

F v

= Fod

θ

d v

F cosθ v

komponen vektor gaya F yang sejajar dengan jarak perpindahan d

CONTOH :

Diketahui :

F = 2i + 2j – 4k adalah gaya yang bekerja pada benda yang bergerak dari titik (1,0,1)

ke titik (2,4,2)

Tentukan besarnya usaha yang dilakukan oleh gaya F

Jawab:

d F

W= o

d = (2–1)i + (4–0)j + (2–1)k = 2i + 4j + k

a. Hasil Kali Vektor (Cross Product / Vector Product )

Ditulis : A×B=C hasilnya berupa vektor

dengan A×B = A Bsinθ

Arah dari A×B ditentukan berdasarkan aturan tangan kanan atau sekrup putar kanan.

Sifat Hasil Kali Vektor :

1. A×B ≠_B×_A

A×B = – (B×A) anti komutatif 2. (k A ) × B = k(A×B) = A×k(B) 3. A × (B+C) = (A×B) + (A×C)

(A+B) × C = (A×C) + (B×C)

Dalam R3

Z i×i = i i sin0 = 0 dengan cara yang sama

i × i = j × j = k × k = 0

k i× j = i j sin90°=1 j Y j×k = j ksin90°=1 _{i k}×_i = _{k i sin90}°=₁ X

sehingga : i × j = k ; j × k = i ; k × i = j

j × i = -k ; k × j = -i ; i × k = -j

Jika : A = Axi + Ayj + Az k

B = Bxi + By j + Bzk

maka : A×B = (Ax i + Ay j + Azk) × (Bx i + By j + Bzk)

= (AyBz – AzBy) i – (AxBz – AzBx) j + (AxBy – AyBx) k C

A θ

C A

B

θ B

B

A

A B×

B

atau :

A×B =

z y x

z y x

B B B

A A A

k j i

dan

_A×_B = _{A Bsin}θ=

( )( ) ( )

AoA BoB − AoB2

CONTOH :

A = 2i – j + k

B = i – 3j + 4k

A

Ao _{= 2}2 _{+ (-1)}2 _{+ 1}2 _{= 6}

B

Bo = 12 _{+ (-3)}2 _{+ 4}2 _{= 26 ; AoB = 2(1) + (-1)(-3) + 1(4) = 9}

B

A× =

4 3 -1

1 1 -2

k j i

= i(−4+3)− j(8−1)+k(−6+1) = - i – 7j – 5k

B

A× = 12+72+52 = 1+49+25 = 75

B

A× =

( )( ) ( )

AoA BoB − AoB2 _{= 6(26)}−₉2 _{= 75}

Aplikasi dari Hasil Kali Vektor

Menghitung Torsi / Momen

Dalam mekanika, momen atau torsi dari gaya F terhadap titik Q didefinisikan

sebagai : m=Fd dengan F

d = jarak (dalam arah ⊥) antara titik Q ke garis gaya F

d Q

d Q

F

L r

Jika: r = adalah vektor yang menghubungkan titik Q ke titik sembarang pada garis

Tentukan vektor momen dari gaya F terhadap titik O

Jawab :

c. Hasil Kali Skalar Tripel (Triple Scalar Product)

→ disebut hasil kali skalar tripel, karena hasilnya merupakan skalar.

Dalam hasil kali skalar tripel berlaku sifat :

1. A×BoC=

( )

B×C oA=

( )

C×A oB sehingga:

( )

A×B oC=Ao

( )

B×C

Nilai hasil kali ini hanya bergantung pada urutan siklus dari vektornya, letak tanda x

dan

o

nya tidak mempengaruhi hasilnya.

Jika urutan vektornya ditukar maka tandanya akan berubah.

Sehingga:

C A B C A B C B

A× o =− × o =− o ×

2. Hasil kali skalar tripel: A×BoC=0 bila dan hanya bila A,BdanC sebidang. Bukti :

a. A×BoC=0 ⇒ A,BdanC sebidang

Jika A×BoC=0 maka A×B⊥C atau salah satu dari A,BatauC vektor nol

Berarti:

i. Apabila salah satu dari A,BatauC vektor nol, maka pasti

C dan B ,

A sebidang

ii. Apabila A×B⊥C maka C bisa diletakkan sebidang dengan AdanB

sehingga A, B dan C sebidang

b. Jika A, B dan C sebidang ⇒ A×BoC=0

Jika A,BdanC sebidang, maka A×B⊥C sehingga A×BoC=0

Arti Geometris Dari A×BoC

Diberikan vektor A,B dan C G F

A = OA

B = OB C E

C = OC P θ B D θ _{C B}

B

A× = luas jajaran genjang OADB

C B

A× o = PoC = _{P Ccos}θ

θ cos

C = tinggi C di atas bidang OADB

Jadi A×BoC = volume bidang enam (paralel epipedum) OADB – CEFG yang

disusun oleh A,B dan C

Catatan :

Luas jajaran genjang OABC =

OB AA' = _{OB OAsin}θ _{= OB}×_OA

CONTOH :

Buktikan bahwa

( ) ( ) ( )

A+B o A+C × A+B =0 Bukti :

Misalkan A+B=u

A+C=v

Maka : uov×u = volume paralel epipedum dengan sisi-sisi u, v, u

Karena kedua sisinya merupakan vektor yang sama maka ketiga vektor tersebut

sebidang sehingga : uov×u_{= 0}

d. Hasil Kali Vektor Tripel (Triple Vector Product)

Hasil kali vektor tripel adalah :

( )

A×B ×C ; A×

( )

B×C

Tanda kurung diperlukan di sini karena nilai akan berubah jika letak kurungnya ditukar.

Misalkan :

(i × i) × j = 0 × j = 0 ≠ _{i × (i × j) = i × k = –j}

Sifat Hasil Kali Vektor Triple :

1. A×

( )

B×C ≠

( )

A×B ×C

A' B

C A

PENGGUNAAN VEKTOR DALAM GEOMETRI

a. Persamaan Garis

Dalam R3 _:

Andaikan ℓ sebuah garis yang melalui titik P1(x1,y1,z1) dan sejajar dengan sebuah vektor

v = Ai + Bj + Ck. Maka ℓ merupakan tempat kedudukan semua titik P(x,y,z) sedemikian

Persamaan standard garis yang melalui titik

y1, z1) dan paralel dengan v=Ai+Bj+Ck

Persamaan standardnya ditulis :

C

Tentukan persamaan garis melalui titik A ( 5,4,1) dan titik B (3, 1, 6)

Misalkan titik sembarang pada garis adalah P(x,y,z) dan titik tertentu yang terletak pada

garis diambil titik A(5,4,1) maka

Persamaan standard garis :

5

Persamaan parameter garis :

t

b. Persamaan Bidang

Vektor N ⊥ bidang W sehingga N disebut Vektor Normal dari bidang W

Jika N = Ai + Bj + Ck

1. Tentukan persamaan bidang yang melalui titik-titik P(3, 2,1) ; Q(4,1, 5) ; R(2, 4, 3).

bidang

∴ Persamaan bidang:

A(x – x1) + B(y – y1) + C(z – z1) = 0

10 (x – 3) – 6 (y – 2) + 1( z – 1) = 0

10x – 6y + z + 41 = 0

Persamaan bidang dapat juga ditulis sebagai :

dengan N = Ai + Bj + Ck

2. Tentukan persamaan bidang yang melalui titik T (4,1,-2) ; tegak lurus pada bidang

U = 2x + 3y + z = 8 dan tegak lurus pada bidang V = x – y + 3z = 0

Persamaan bidang W :

10(x – 4) – 5(y – 1) – 5(z + 2) = 0

10x – 5y – 5z – 45 = 0

2x – y – z = 9

c. Menentukan jarak titik terhadap suatu bidang

Diberikan sebuah titik P(r,s,t) yang berada di luar bidang V dengan persamaan bidang

V : Ax + By + Cz + D = 0

→ Normal bidang N = Ai + Bj + Ck v

Q(-D/A,0,0)

Q terletak pada bidang tersebut.

d. Persamaan Garis sebagai Perpotongan Dua Bidang

Diberikan bidang v dengan normal N v

Diberikan bidang w dengan normal N w

(W

Jika bidang V dan W berpotongan pada satu garis maka vektor arah garis tersebut akan ⊥

dengan Nv maupunN w

Sehingga jika vektor arah garis tersebut l, maka l=Nv×Nw

CONTOH :

Tentukan persamaan garis yang merupakan perpotongan bidang

2x + y – 2z = 5 dan 3x – 6y – 2z = 7

⇒

V = 2x + y – 2z = 5 → Nv = 2i + j – 2k

W = 3x + 6y – 2z = 5 → Nw = 3i + 6j – 2k

Vektor arah garis:

k

Ditentukan salah satu titik yang terletak pada perpotongan bidang :

Jadi titik (2, 0, -½ ) terletak pada garis potong 2 bidang.

Sehingga persamaan garis perpotongan kedua bidang :

15

e. Sudut Antara Garis dan Bidang