• Tidak ada hasil yang ditemukan

Ruang Vektor Vektor vektor Yang Tegak Lu

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2018

Membagikan "Ruang Vektor Vektor vektor Yang Tegak Lu"

Copied!
14
0
0

Teks penuh

(1)

Vektor-vektor Yang Tegak Lurus dan Vektor-vektor Yang Paralel

- Dua vektor A dan B saling tegak lurus atau A ⊥ B (yaitu cos θ = 0), jika B

Ao = 0 atau jika : Ax Bx + Ay By + Az Bz = 0

- Dua vektor A dan B saling paralel jika komponen-komponennya sebanding atau

jika :

z z

y y

x x

B A B A

B A

= =

Hasil Kali Skalar Untuk Menghitung Usaha

Dalam fisika, usaha = gaya × jarak perpindahan

Jika vektor gaya dan vektor jarak perpindahan tidak sejajar, maka :

Usaha = besarnya komponen gaya yang sejajar dengan arah perpindahan x besarnya

jarak

F v

W = F cosθ . d

v v

F v

= Fod

θ

d v

F cosθ v

komponen vektor gaya F yang sejajar dengan jarak perpindahan d

CONTOH :

Diketahui :

F = 2i + 2j – 4k adalah gaya yang bekerja pada benda yang bergerak dari titik (1,0,1)

ke titik (2,4,2)

Tentukan besarnya usaha yang dilakukan oleh gaya F

Jawab:

d F

W= o

d = (2–1)i + (4–0)j + (2–1)k = 2i + 4j + k

(2)

a. Hasil Kali Vektor (Cross Product / Vector Product )

Ditulis : A×B=C hasilnya berupa vektor

dengan A×B = A Bsinθ

Arah dari A×B ditentukan berdasarkan aturan tangan kanan atau sekrup putar kanan.

Sifat Hasil Kali Vektor :

1. A×B ≠B×A

A×B = – (B×A) anti komutatif 2. (k A ) × B = k(A×B) = A×k(B) 3. A × (B+C) = (A×B) + (A×C)

(A+B) × C = (A×C) + (B×C)

Dalam R3

Z i×i = i i sin0 = 0 dengan cara yang sama

i × i = j × j = k × k = 0

k i× j = i j sin90°=1 j Y j×k = j ksin90°=1 i k×i = k i sin90°=1 X

sehingga : i × j = k ; j × k = i ; k × i = j

j × i = -k ; k × j = -i ; i × k = -j

Jika : A = Axi + Ayj + Az k

B = Bxi + By j + Bzk

maka : A×B = (Ax i + Ay j + Azk) × (Bx i + By j + Bzk)

= (AyBz – AzBy) i – (AxBz – AzBx) j + (AxBy – AyBx) k C

A θ

C A

B

θ B

B

A

A B×

B

(3)

atau :

A×B =

z y x

z y x

B B B

A A A

k j i

dan

A×B = A Bsinθ=

( )( ) ( )

AoA BoB − AoB2

CONTOH :

A = 2i – j + k

B = i – 3j + 4k

A

Ao = 22 + (-1)2 + 12 = 6

B

Bo = 12 + (-3)2 + 42 = 26 ; AoB = 2(1) + (-1)(-3) + 1(4) = 9

B

A× =

4 3 -1

1 1 -2

k j i

= i(−4+3)− j(8−1)+k(−6+1) = - i – 7j – 5k

B

A× = 12+72+52 = 1+49+25 = 75

B

A× =

( )( ) ( )

AoA BoB − AoB2 = 6(26)92 = 75

Aplikasi dari Hasil Kali Vektor

Menghitung Torsi / Momen

Dalam mekanika, momen atau torsi dari gaya F terhadap titik Q didefinisikan

sebagai : m=Fd dengan F

d = jarak (dalam arah ⊥) antara titik Q ke garis gaya F

d Q

d Q

F

L r

(4)

Jika: r = adalah vektor yang menghubungkan titik Q ke titik sembarang pada garis

Tentukan vektor momen dari gaya F terhadap titik O

Jawab :

c. Hasil Kali Skalar Tripel (Triple Scalar Product)

(5)

→ disebut hasil kali skalar tripel, karena hasilnya merupakan skalar.

Dalam hasil kali skalar tripel berlaku sifat :

1. A×BoC=

( )

B×C oA=

( )

C×A oB sehingga:

( )

A×B oC=Ao

( )

B×C

Nilai hasil kali ini hanya bergantung pada urutan siklus dari vektornya, letak tanda x

dan

o

nya tidak mempengaruhi hasilnya.

Jika urutan vektornya ditukar maka tandanya akan berubah.

Sehingga:

C A B C A B C B

A× o =− × o =− o ×

2. Hasil kali skalar tripel: A×BoC=0 bila dan hanya bila A,BdanC sebidang. Bukti :

a. A×BoC=0 ⇒ A,BdanC sebidang

Jika A×BoC=0 maka A×B⊥C atau salah satu dari A,BatauC vektor nol

Berarti:

i. Apabila salah satu dari A,BatauC vektor nol, maka pasti

C dan B ,

A sebidang

ii. Apabila A×B⊥C maka C bisa diletakkan sebidang dengan AdanB

sehingga A, B dan C sebidang

b. Jika A, B dan C sebidang ⇒ A×BoC=0

Jika A,BdanC sebidang, maka A×B⊥C sehingga A×BoC=0

Arti Geometris Dari A×BoC

Diberikan vektor A,B dan C G F

A = OA

B = OB C E

C = OC P θ B D θ C B

(6)

B

A× = luas jajaran genjang OADB

C B

A× o = PoC = P Ccosθ

θ cos

C = tinggi C di atas bidang OADB

Jadi A×BoC = volume bidang enam (paralel epipedum) OADB – CEFG yang

disusun oleh A,B dan C

Catatan :

Luas jajaran genjang OABC =

OB AA' = OB OAsinθ = OB×OA

CONTOH :

Buktikan bahwa

( ) ( ) ( )

A+B o A+C × A+B =0 Bukti :

Misalkan A+B=u

A+C=v

Maka : uov×u = volume paralel epipedum dengan sisi-sisi u, v, u

Karena kedua sisinya merupakan vektor yang sama maka ketiga vektor tersebut

sebidang sehingga : uov×u= 0

d. Hasil Kali Vektor Tripel (Triple Vector Product)

Hasil kali vektor tripel adalah :

( )

A×B ×C ; A×

( )

B×C

Tanda kurung diperlukan di sini karena nilai akan berubah jika letak kurungnya ditukar.

Misalkan :

(i × i) × j = 0 × j = 0 i × (i × j) = i × k = –j

Sifat Hasil Kali Vektor Triple :

1. A×

( )

B×C ≠

( )

A×B ×C

A' B

C A

(7)
(8)
(9)

PENGGUNAAN VEKTOR DALAM GEOMETRI

a. Persamaan Garis

Dalam R3 :

Andaikan sebuah garis yang melalui titik P1(x1,y1,z1) dan sejajar dengan sebuah vektor

v = Ai + Bj + Ck. Maka merupakan tempat kedudukan semua titik P(x,y,z) sedemikian

Persamaan standard garis yang melalui titik

y1, z1) dan paralel dengan v=Ai+Bj+Ck

Persamaan standardnya ditulis :

C

Tentukan persamaan garis melalui titik A ( 5,4,1) dan titik B (3, 1, 6)

(10)

Misalkan titik sembarang pada garis adalah P(x,y,z) dan titik tertentu yang terletak pada

garis diambil titik A(5,4,1) maka

Persamaan standard garis :

5

Persamaan parameter garis :

t

b. Persamaan Bidang

Vektor N ⊥ bidang W sehingga N disebut Vektor Normal dari bidang W

Jika N = Ai + Bj + Ck

1. Tentukan persamaan bidang yang melalui titik-titik P(3, 2,1) ; Q(4,1, 5) ; R(2, 4, 3).

(11)

bidang

∴ Persamaan bidang:

A(x – x1) + B(y – y1) + C(z – z1) = 0

10 (x – 3) – 6 (y – 2) + 1( z – 1) = 0

10x – 6y + z + 41 = 0

Persamaan bidang dapat juga ditulis sebagai :

dengan N = Ai + Bj + Ck

2. Tentukan persamaan bidang yang melalui titik T (4,1,-2) ; tegak lurus pada bidang

U = 2x + 3y + z = 8 dan tegak lurus pada bidang V = x – y + 3z = 0

Persamaan bidang W :

10(x – 4) – 5(y – 1) – 5(z + 2) = 0

10x – 5y – 5z – 45 = 0

2x – y – z = 9

c. Menentukan jarak titik terhadap suatu bidang

Diberikan sebuah titik P(r,s,t) yang berada di luar bidang V dengan persamaan bidang

V : Ax + By + Cz + D = 0

→ Normal bidang N = Ai + Bj + Ck v

(12)

Q(-D/A,0,0)

Q terletak pada bidang tersebut.

(13)

d. Persamaan Garis sebagai Perpotongan Dua Bidang

Diberikan bidang v dengan normal N v

Diberikan bidang w dengan normal N w

(W

Jika bidang V dan W berpotongan pada satu garis maka vektor arah garis tersebut akan ⊥

dengan Nv maupunN w

Sehingga jika vektor arah garis tersebut l, maka l=NNw

CONTOH :

Tentukan persamaan garis yang merupakan perpotongan bidang

2x + y – 2z = 5 dan 3x – 6y – 2z = 7

V = 2x + y – 2z = 5 → Nv = 2i + j – 2k

W = 3x + 6y – 2z = 5 → Nw = 3i + 6j – 2k

Vektor arah garis:

k

Ditentukan salah satu titik yang terletak pada perpotongan bidang :

(14)

Jadi titik (2, 0, -½ ) terletak pada garis potong 2 bidang.

Sehingga persamaan garis perpotongan kedua bidang :

15

e. Sudut Antara Garis dan Bidang

Referensi

Dokumen terkait

Pengaruh Faktor Dukungan Keluarga dengan Pemberian ASI Eksklusif di Kecamatan Darussalam Kabupaten Aceh Besar .... Dukungan

Tempat kerja akan mengakibatkan gangguan keamanan dengan adanya risiko untuk terjadi injuri pada seseorang. Bahaya yang dapat ditimbulkan dari jenis pekerjaan dan tempat seseorang

(Advertising, Printing and Media) MNCN 25 Perusahaan Gas Negara (Persero) Tbk.. (Energy) PGAS 26 Tambang Batubara Bukit Asam

Apabila kredit yang disalurkan lancar maka pengembalian pokok pinjaman akan lancar yang diikuti dengan kenaikan pendapatan bunga lebih besar dari biaya bunga,

Dengan citra ( bitmap ) yang ditangkap webcam saat barang yang masuk terdeteksi sensor proximity , program flowstone dalam komputer akan mendeteksi warnanya dengan

Peserta dapat menyebutkan karakter rema ja yang sehat fisik, menta l, dan sosial untuk mendukung kualita s tumbuh kembang remaja?. Peserta dapat menyebut kan minimal 3

Kelimpahan dan jumlah jenis ikan pada Stasiun bervegetasi lamun (Wawatoe dan P. Wowonii) menunjukkan rata-rata yang relatif lebih tinggi dibandingkan Stasiun tanpa

Hasil pengamatan fisik daun menunjukkan bahwa daun manggis yang terdapat pada dua lokasi di wilayah Bandar Lampung memiliki bentuk ellips (skor 3) dengan nisbah ukuran panjang