Vektor-vektor Yang Tegak Lurus dan Vektor-vektor Yang Paralel

14  20  Download (0)

Teks penuh

(1)

■ Ruang Vektor 1

Vektor-vektor Yang Tegak Lurus dan Vektor-vektor Yang Paralel

- Dua vektor A dan B saling tegak lurus atau A ⊥ B (yaitu cos θ = 0), jika B

Ao = 0 atau jika : Ax Bx + Ay By + Az Bz = 0

- Dua vektor A dan B saling paralel jika komponen-komponennya sebanding atau

jika : z z y y x x B A B A B A = =

Hasil Kali Skalar Untuk Menghitung Usaha

Dalam fisika, usaha = gaya × jarak perpindahan

Jika vektor gaya dan vektor jarak perpindahan tidak sejajar, maka :

Usaha = besarnya komponen gaya yang sejajar dengan arah perpindahan x besarnya jarak F v W = F cosθ . d v v F v = Fod θ d v F cosθ v

komponen vektor gaya F yang sejajar dengan jarak perpindahan d

CONTOH : Diketahui :

F = 2i + 2j – 4k adalah gaya yang bekerja pada benda yang bergerak dari titik (1,0,1) ke titik (2,4,2)

Tentukan besarnya usaha yang dilakukan oleh gaya F Jawab: d F W= o d = (2–1)i + (4–0)j + (2–1)k = 2i + 4j + k W = (2i + 2j – 4k )

o

(2i + 4j + k) = 4 + 8 – 4 = 8 satuan usaha

(2)

■ Ruang Vektor 2

a. Hasil Kali Vektor (Cross Product / Vector Product )

Ditulis : A×B=C hasilnya berupa vektor

dengan A×B = A Bsinθ

Arah dari A×B ditentukan berdasarkan aturan tangan kanan atau sekrup putar kanan.

Sifat Hasil Kali Vektor :

1. A×B ≠B×A A×B = – (B×A) anti komutatif 2. (k A ) × B = k(A×B) = A×k(B) 3. A × (B+C) = (A×B) + (A×C) (A+B) × C = (A×C) + (B×C) Dalam R3 Z i×i = i i sin0 = 0 dengan cara yang sama i × i = j × j = k × k = 0 k i× j = i j sin90°=1 j Y j×k = j ksin90°=1 i k×i = k i sin90°=1 X sehingga : i × j = k ; j × k = i ; k × i = j j × i = -k ; k × j = -i ; i × k = -j Jika : A = Axi + Ayj + Az k B = Bxi + By j + Bzk maka : A×B = (Ax i + Ay j + Azk) × (Bx i + By j + Bzk) = (AyBz – AzBy) i – (AxBz – AzBx) j + (AxBy – AyBx) k C A θ C A B θ B B A A B× B A×

(3)

■ Ruang Vektor 3 atau : A×B = z y x z y x B B B A A A k j i dan A×B = A Bsinθ=

( )( ) ( )

AoA BoB − AoB2 CONTOH : A = 2i – j + k B = i – 3j + 4k A Ao = 22 + (-1)2 + 12 = 6 B Bo = 12 + (-3)2 + 42 = 26 ; AoB = 2(1) + (-1)(-3) + 1(4) = 9 B A× = 4 3 -1 1 1 -2 k j i = i(−4+3)− j(8−1)+k(−6+1) = - i – 7j – 5k B A× = 12+72+52 = 1+49+25 = 75 B A× =

( )( ) ( )

AoA BoB − AoB2 = 6(26)92 = 75

Aplikasi dari Hasil Kali Vektor

Menghitung Torsi / Momen

Dalam mekanika, momen atau torsi dari gaya F terhadap titik Q didefinisikan sebagai : m=Fd dengan F

d = jarak (dalam arah ⊥) antara titik Q ke garis gaya F

d Q d Q F L r θ θ

(4)

■ Ruang Vektor 4

Jika: r = adalah vektor yang menghubungkan titik Q ke titik sembarang pada garis gaya F

Maka d = rsinθ ; θ = sudut antara r dengan F dan m= F rsinθ= F×r

Jika m= M , maka M = F×r = vektor momen dari gaya F terhadap titik Q

CONTOH :

Tentukan vektor momen dari gaya F terhadap titik O

Jawab : F = (4 – 2) i + (–2 –1) j + 0k = 2i – 3j + 0k r = (2 – 0) i + (1 – 0) j + 0k = 2i + j + 0k k k j i k j i 8 6) (2 (0) (0) 0 1 2 0 3 -2 r x F M= = = − + + = m = M= 64 =8

c. Hasil Kali Skalar Tripel (Triple Scalar Product)

Jika : A = Ax i + Ay j + Az k B = Bx i + By j + Bz k C = Cx i + Cy j + Cz k B x A = k j i B B A A B B A A B B A A y x y x z x z x z y z y − + C B x A o = z y x y x y z x z x x z y z y C B B A A C B B A A C B B A A − + = z y x z y x z y x C C C B B B A A A ' y r F '

'

'

x 0 (2,1) (4,-2)

(5)

Ruang Vektor 5

→ disebut hasil kali skalar tripel, karena hasilnya merupakan skalar.

Dalam hasil kali skalar tripel berlaku sifat : 1. A×BoC=

( )

B×C oA=

( )

C×A oB

sehingga:

( )

A×B oC=Ao

( )

B×C

Nilai hasil kali ini hanya bergantung pada urutan siklus dari vektornya, letak tanda x

dan

o

nya tidak mempengaruhi hasilnya.

Jika urutan vektornya ditukar maka tandanya akan berubah. Sehingga: C A B C A B C B A× o =− × o =− o ×

2. Hasil kali skalar tripel: A×BoC=0 bila dan hanya bila A,BdanC sebidang. Bukti :

a. A×BoC=0 ⇒ A,BdanC sebidang

Jika A×BoC=0 maka A×B⊥C atau salah satu dari A,BatauC vektor nol

Berarti:

i. Apabila salah satu dari A,BatauC vektor nol, maka pasti C

dan B ,

A sebidang

ii. Apabila A×B⊥C maka C bisa diletakkan sebidang dengan AdanB

sehingga A, B dan C sebidang

b. Jika A, B dan C sebidang ⇒ A×BoC=0

Jika A,BdanC sebidang, maka A×B⊥C sehingga A×BoC=0

Arti Geometris Dari A×BoC

Diberikan vektor A,B dan C G F A = OA B = OB C E C = OC P θ B D θ C B P=A×B O A A

(6)

■ Ruang Vektor 6

B

A× = luas jajaran genjang OADB C

B

A× o = PoC = P Ccosθ

θ cos

C = tinggi C di atas bidang OADB

Jadi A×BoC = volume bidang enam (paralel epipedum) OADB – CEFG yang

disusun oleh A,B dan C

Catatan :

Luas jajaran genjang OABC = OB AA' = OB OAsinθ = OB×OA CONTOH : Buktikan bahwa

( ) ( ) ( )

A+B o A+C × A+B =0 Bukti : Misalkan A+B=u A+C=v

Maka : uov×u = volume paralel epipedum dengan sisi-sisi u, v, u

Karena kedua sisinya merupakan vektor yang sama maka ketiga vektor tersebut sebidang sehingga : uov×u= 0

d. Hasil Kali Vektor Tripel (Triple Vector Product)

Hasil kali vektor tripel adalah :

( )

A×B ×C ; A×

( )

B×C

Tanda kurung diperlukan di sini karena nilai akan berubah jika letak kurungnya ditukar. Misalkan :

(i × i) × j = 0 × j = 0 i × (i × j) = i × k = –j

Sifat Hasil Kali Vektor Triple :

1. A×

( )

B×C ≠

( )

A×B ×C

A' B

C A

(7)

Ruang Vektor 7

2. A×

( )

B×C =

( )

AoCB

( )

AoB C

( )

A×B ×C =

( ) ( )

AoCB−BoC A CONTOH : 1. Jika: A = 2i + 2j – k B = i - j + k C = 3i + j – 2k Hitung :

( )

A×B ×C ; A×

( )

B×C Jawab : a. 1 1 1 1 2 2 B x A − − = k j i = i(2−1)− j(2+1)+k(−2−2) = i – 3 j – 4k 2 1 3 4 3 1 C x ) B x A ( − − − = k j i = i(6+4)− j(−2+12)+k(1+9)

=

10i – 10j + 10k Atau :

( )

A×B ×C =

( ) ( )

AoCB−BoC A = (6 + 2 + 2)(i - j + k) – (3 -1 -2)( 2i + 2j – k) = 10 (i - j + k) = 10i – 10j + 10k b. 2 1 3 1 1 1 C B − − = × k j i =i(2−1)− j(−2−3)+k(1+3)= i+5j+4k 4 5 1 1 2 2 ) C B ( x A × = − k j i =i(8+5)− j(8+1)+k(10−2) =13i−9j+8k

Atau :

( )

B×C =

( )

AoCB–

( )

AoB C = (6 + 2 + 2)(i - j + k) – (2 – 2 – 1)(3i + j – 2k) = 10 (i - j + k) + (3i + j – 2k) = 13i −9j+8k 2. Buktikan : A×[A×(A×B)]=(AoA)(B×A) Bukti : Misalkan A×B=C Maka A×[A×(A×B)] = A×

( )

A×C =

( ) ( )

AoC A− AoA C =

(

AoA×B

) ( )( )

A− AoA A×B = 0

( ) ( )( )

A − AoA A×B

(8)

Ruang Vektor 8

= −

( )( )

AoA A×B =

( )( )

AoA B×A

(9)

■ Ruang Vektor 9

PENGGUNAAN VEKTOR DALAM GEOMETRI

a. Persamaan Garis

Dalam R3 :

Andaikan sebuah garis yang melalui titik P1(x1,y1,z1) dan sejajar dengan sebuah vektor

v = Ai + Bj + Ck. Maka merupakan tempat kedudukan semua titik P(x,y,z) sedemikian

hingga P1P sejajar dengan v

Jadi titik P(x,y,z) terletak pada garis bila dan hanya bila P1P = vt dengan t adalah suatu skalar. Atau : (x – x1)i + (y – y1) j + (z – z1) k = t (Ai + Bj + Ck) = t Ai + t Bj + t Ck Ini berarti :     = − = − = − C t z z B t y y A t x x 1 1 1 C t z z B t y y A t x x 1 1 1 + == + + =

Persamaan parameter garis yang melalui titik P1(x1,y1,z1) dan paralel dengan vektor v . Atau:

Persamaan standard garis yang melalui titik

y1, z1) dan paralel dengan v=Ai+Bj+Ck (x1,

Dalam hal ini v = Ai + Bj + Ck disebut vektor arah garis , dan A, B, C merupakan bilangan arah garis.

Jika salah satu dari A, B dan C nol

Misalkan A = 0 maka x – x1 = 0 → x = x1 Persamaan standardnya ditulis :

C z z B y y− 1 = − 1 ; dan x = x1 CONTOH :

Tentukan persamaan garis melalui titik A ( 5,4,1) dan titik B (3, 1, 6) ⇒

Vektor arah garis v = AB = –2i – 3j + 5k t = C z z B y y A x x 1 11 = − = − P1(x1,y1,z1) P(x,y,z) l Ck Bj Ai V = + +

(10)

■ Ruang Vektor 10

Misalkan titik sembarang pada garis adalah P(x,y,z) dan titik tertentu yang terletak pada garis diambil titik A(5,4,1) maka

Persamaan standard garis :

5 1 z 3 4 y 2 5 x − = − − = − − Atau : 3 4 y 2 5 x − − = − −

3x – 2y – 7 = 0 ∴ Persamaan standard garis :

5 1 z 3 4 y − = − − 5y – 3z – 17 = 0 0 17 z 3 y 5 0 7 y 2 x 3 = − − = − −

Persamaan parameter garis :

t 5 1 z t 3 4 y t 2 5 x + = − = − = b. Persamaan Bidang

Vektor N ⊥ bidang W sehingga N disebut Vektor Normal dari bidang W

Jika N = Ai + Bj + Ck

PQ = (x – x1) i + (y – y1) j + (z – z1) k → PQ terletak pada bidang W

Sehingga PQ ⊥ N ⇒ NoPQ=0

Atau :

→ Persamaan bidang melalui titik (x1, y1, z1) dengan normal bidang N = Ai + Bj + Ck

CONTOH :

1. Tentukan persamaan bidang yang melalui titik-titik P(3, 2,1) ; Q(4,1, 5) ; R(2, 4, 3). ⇒

Dalam R2 :

Jika suatu garis mempunyai gradien (bilangan/tangen arah) = m

maka vektor arah garis = i + mj

A(x – x1) + B(y – y1) + C(z – z1) = 0 ) z , y , P(x1 1 1 z) y, Q(x,

N

W

)

(11)

Ruang Vektor

11 bidang pada terletak PR dan PQ vektor 2 2 PR 4 PQ    + + − == i− +j k k j i k j i k j i + = = × = 10 -6 2 2 1 4 1 1 PR PQ N -∴ Persamaan bidang: A(x – x1) + B(y – y1) + C(z – z1) = 0 10 (x – 3) – 6 (y – 2) + 1( z – 1) = 0 10x – 6y + z + 41 = 0

Persamaan bidang dapat juga ditulis sebagai :

dengan N = Ai + Bj + Ck

2. Tentukan persamaan bidang yang melalui titik T (4,1,-2) ; tegak lurus pada bidang

U = 2x + 3y + z = 8 dan tegak lurus pada bidang V = x – y + 3z = 0

⇒ U : 2x + 3y + z = 8 → N = 2i + 3 j + k U

V : x – y + 3z = 0 → N = i – j + 3k V

Dicari bidang W yang ⊥ bidang U dan V, berarti N w ⊥ N dan u N V Atau k j i k j i 5 -5 10 3 1 1 1 3 2 N N Nw = u× v= = − -Persamaan bidang W : 10(x – 4) – 5(y – 1) – 5(z + 2) = 0 10x – 5y – 5z – 45 = 0 2x – y – z = 9

c. Menentukan jarak titik terhadap suatu bidang

Diberikan sebuah titik P(r,s,t) yang berada di luar bidang V dengan persamaan bidang V : Ax + By + Cz + D = 0

→ Normal bidang N = Ai + Bj + Ck v

(12)

Ruang Vektor

12 Q(-D/A,0,0) Jika A ≠ 0 ⇒ Titik       − ;0;0 A D

Q terletak pada bidang tersebut.

k j i s t A D r QP k  + +      + = = P(r,s,t) N θ k d

θ = sudut antara N dan k

sehingga d= kcosθ N k N d d N cos k N k No = θ = ⇒ = o sehingga : 2 2 2 C B A Ct Bs A D r A d + + + +       + = atau 2 2 2 C B A D Ct Bs Ar d + + + + +

= Jarak titik P(r,s,t) ke bidang : Ax + By + Cz + D = 0

CONTOH :

Tentukan jarak P(5,5,4) ke bidang ABC jika A = (2,4,2) ; B = (6,4,3) ; C = (0,5,1) ⇒ AC = -2i + j + k AB = 4i + k Normal bidang N=AB×AC = k j i k j i 2 4 1 1 2 1 0 4 + + − = − −

Persamaan bidang ABC :

–(x – 0) + 2 (y – 5) + 4 (z – 1) = 0 –x + 2y + 4z – 14 = 0

(13)

Ruang Vektor

13 21 14 6 ! 10 5 16 4 1 14 ) 4 ( 4 ) 5 ( 2 ) 5 ( 1 d d = − + + − + + − + + − = = = 21 7

d. Persamaan Garis sebagai Perpotongan Dua Bidang

Diberikan bidang v dengan normal N v

Diberikan bidang w dengan normal N w

(W V) N v l N w

Jika bidang V dan W berpotongan pada satu garis maka vektor arah garis tersebut akan ⊥

dengan Nv maupunN w

Sehingga jika vektor arah garis tersebut l, maka l=NNw

CONTOH :

Tentukan persamaan garis yang merupakan perpotongan bidang 2x + y – 2z = 5 dan 3x – 6y – 2z = 7

V = 2x + y – 2z = 5 → Nv = 2i + j – 2k

W = 3x + 6y – 2z = 5 → Nw = 3i + 6j – 2k

Vektor arah garis:

k j i k j i 14 2 15 2 6 3 2 1 2 N N L v w =− − − − − − = × =

Ditentukan salah satu titik yang terletak pada perpotongan bidang : (i) 2x + y + 2z = 5 (ii) 3x – 6y – 2z = 7 –––––––––––– – –x + 7y = –2 Misalkan diambil : y = 0 → – x = –2 → x = 2 (i). 2(2) + 0 – 2z = 5 → –2z = 5 – 4 → z = – ½

(14)

Ruang Vektor

14

Jadi titik (2, 0, -½ ) terletak pada garis potong 2 bidang. Sehingga persamaan garis perpotongan kedua bidang :

15 z 2 0 y 14 2 x 12 − + = − − = − −

e. Sudut Antara Garis dan Bidang

Jika :

l l=ai+bj+ckvektorarahgaris

0 D Ck By Ax V bidang normal C B A N= i+ j+ k→ = + + + = l N v) θ

φ

θ cos = l l o N N = ) c b a )( C B A ( Cc Bb Aa 2 2 2 2 2 2+ + + + + + sin φ = sin (90 – θ) = cosθ = ) c b a )( C B A ( Cc Bb Aa 2 2 2 2 2 2+ + + + + +

Sehingga sudut antara garis dengan vektor arah l=ai +bj+ck dengan bidang V dengan

normal bidang Nv =Ai+Bj+Ck adalah

) c b a )( C B A ( Cc Bb Aa arcsin 2 2 2 2 2 2 + + + + + + = φ

Figur

Memperbarui...

Referensi

Memperbarui...

Related subjects :