■ Ruang Vektor 1
Vektor-vektor Yang Tegak Lurus dan Vektor-vektor Yang Paralel
- Dua vektor A dan B saling tegak lurus atau A ⊥ B (yaitu cos θ = 0), jika B
Ao = 0 atau jika : Ax Bx + Ay By + Az Bz = 0
- Dua vektor A dan B saling paralel jika komponen-komponennya sebanding atau
jika : z z y y x x B A B A B A = =
Hasil Kali Skalar Untuk Menghitung Usaha
Dalam fisika, usaha = gaya × jarak perpindahan
Jika vektor gaya dan vektor jarak perpindahan tidak sejajar, maka :
Usaha = besarnya komponen gaya yang sejajar dengan arah perpindahan x besarnya jarak F v W = F cosθ . d v v F v = Fod θ d v F cosθ v
komponen vektor gaya F yang sejajar dengan jarak perpindahan d
CONTOH : Diketahui :
F = 2i + 2j – 4k adalah gaya yang bekerja pada benda yang bergerak dari titik (1,0,1) ke titik (2,4,2)
Tentukan besarnya usaha yang dilakukan oleh gaya F Jawab: d F W= o d = (2–1)i + (4–0)j + (2–1)k = 2i + 4j + k W = (2i + 2j – 4k )
o
(2i + 4j + k) = 4 + 8 – 4 = 8 satuan usaha■ Ruang Vektor 2
a. Hasil Kali Vektor (Cross Product / Vector Product )
Ditulis : A×B=C hasilnya berupa vektor
dengan A×B = A Bsinθ
Arah dari A×B ditentukan berdasarkan aturan tangan kanan atau sekrup putar kanan.
Sifat Hasil Kali Vektor :
1. A×B ≠B×A A×B = – (B×A) anti komutatif 2. (k A ) × B = k(A×B) = A×k(B) 3. A × (B+C) = (A×B) + (A×C) (A+B) × C = (A×C) + (B×C) Dalam R3 Z i×i = i i sin0 = 0 dengan cara yang sama i × i = j × j = k × k = 0 k i× j = i j sin90°=1 j Y j×k = j ksin90°=1 i k×i = k i sin90°=1 X sehingga : i × j = k ; j × k = i ; k × i = j j × i = -k ; k × j = -i ; i × k = -j Jika : A = Axi + Ayj + Az k B = Bxi + By j + Bzk maka : A×B = (Ax i + Ay j + Azk) × (Bx i + By j + Bzk) = (AyBz – AzBy) i – (AxBz – AzBx) j + (AxBy – AyBx) k C A θ C A B θ B B A A B× B A×
■ Ruang Vektor 3 atau : A×B = z y x z y x B B B A A A k j i dan A×B = A Bsinθ=
( )( ) ( )
AoA BoB − AoB2 CONTOH : A = 2i – j + k B = i – 3j + 4k A Ao = 22 + (-1)2 + 12 = 6 B Bo = 12 + (-3)2 + 42 = 26 ; AoB = 2(1) + (-1)(-3) + 1(4) = 9 B A× = 4 3 -1 1 1 -2 k j i = i(−4+3)− j(8−1)+k(−6+1) = - i – 7j – 5k B A× = 12+72+52 = 1+49+25 = 75 B A× =( )( ) ( )
AoA BoB − AoB2 = 6(26)−92 = 75Aplikasi dari Hasil Kali Vektor
Menghitung Torsi / Momen
Dalam mekanika, momen atau torsi dari gaya F terhadap titik Q didefinisikan sebagai : m=Fd dengan F
d = jarak (dalam arah ⊥) antara titik Q ke garis gaya F
d Q d Q F L r θ θ
■ Ruang Vektor 4
Jika: r = adalah vektor yang menghubungkan titik Q ke titik sembarang pada garis gaya F
Maka d = rsinθ ; θ = sudut antara r dengan F dan m= F rsinθ= F×r
Jika m= M , maka M = F×r = vektor momen dari gaya F terhadap titik Q
CONTOH :
Tentukan vektor momen dari gaya F terhadap titik O
Jawab : F = (4 – 2) i + (–2 –1) j + 0k = 2i – 3j + 0k r = (2 – 0) i + (1 – 0) j + 0k = 2i + j + 0k k k j i k j i 8 6) (2 (0) (0) 0 1 2 0 3 -2 r x F M= = = − + + = m = M= 64 =8
c. Hasil Kali Skalar Tripel (Triple Scalar Product)
Jika : A = Ax i + Ay j + Az k B = Bx i + By j + Bz k C = Cx i + Cy j + Cz k B x A = k j i B B A A B B A A B B A A y x y x z x z x z y z y − + C B x A o = z y x y x y z x z x x z y z y C B B A A C B B A A C B B A A − + = z y x z y x z y x C C C B B B A A A ' y r F '
'
'
x 0 (2,1) (4,-2)■
Ruang Vektor 5
→ disebut hasil kali skalar tripel, karena hasilnya merupakan skalar.
Dalam hasil kali skalar tripel berlaku sifat : 1. A×BoC=
( )
B×C oA=( )
C×A oBsehingga:
( )
A×B oC=Ao( )
B×CNilai hasil kali ini hanya bergantung pada urutan siklus dari vektornya, letak tanda x
dan
o
nya tidak mempengaruhi hasilnya.Jika urutan vektornya ditukar maka tandanya akan berubah. Sehingga: C A B C A B C B A× o =− × o =− o ×
2. Hasil kali skalar tripel: A×BoC=0 bila dan hanya bila A,BdanC sebidang. Bukti :
a. A×BoC=0 ⇒ A,BdanC sebidang
Jika A×BoC=0 maka A×B⊥C atau salah satu dari A,BatauC vektor nol
Berarti:
i. Apabila salah satu dari A,BatauC vektor nol, maka pasti C
dan B ,
A sebidang
ii. Apabila A×B⊥C maka C bisa diletakkan sebidang dengan AdanB
sehingga A, B dan C sebidang
b. Jika A, B dan C sebidang ⇒ A×BoC=0
Jika A,BdanC sebidang, maka A×B⊥C sehingga A×BoC=0
Arti Geometris Dari A×BoC
Diberikan vektor A,B dan C G F A = OA B = OB C E C = OC P θ B D θ C B P=A×B O A A
■ Ruang Vektor 6
B
A× = luas jajaran genjang OADB C
B
A× o = PoC = P Ccosθ
θ cos
C = tinggi C di atas bidang OADB
Jadi A×BoC = volume bidang enam (paralel epipedum) OADB – CEFG yang
disusun oleh A,B dan C
Catatan :
Luas jajaran genjang OABC = OB AA' = OB OAsinθ = OB×OA CONTOH : Buktikan bahwa
( ) ( ) ( )
A+B o A+C × A+B =0 Bukti : Misalkan A+B=u A+C=vMaka : uov×u = volume paralel epipedum dengan sisi-sisi u, v, u
Karena kedua sisinya merupakan vektor yang sama maka ketiga vektor tersebut sebidang sehingga : uov×u= 0
d. Hasil Kali Vektor Tripel (Triple Vector Product)
Hasil kali vektor tripel adalah :
( )
A×B ×C ; A×( )
B×CTanda kurung diperlukan di sini karena nilai akan berubah jika letak kurungnya ditukar. Misalkan :
(i × i) × j = 0 × j = 0 ≠ i × (i × j) = i × k = –j
Sifat Hasil Kali Vektor Triple :
1. A×
( )
B×C ≠( )
A×B ×CA' B
C A
■
Ruang Vektor 7
2. A×( )
B×C =( )
AoCB–( )
AoB C( )
A×B ×C =( ) ( )
AoCB−BoC A CONTOH : 1. Jika: A = 2i + 2j – k B = i - j + k C = 3i + j – 2k Hitung :( )
A×B ×C ; A×( )
B×C Jawab : a. 1 1 1 1 2 2 B x A − − = k j i = i(2−1)− j(2+1)+k(−2−2) = i – 3 j – 4k 2 1 3 4 3 1 C x ) B x A ( − − − = k j i = i(6+4)− j(−2+12)+k(1+9)=
10i – 10j + 10k Atau :( )
A×B ×C =( ) ( )
AoCB−BoC A = (6 + 2 + 2)(i - j + k) – (3 -1 -2)( 2i + 2j – k) = 10 (i - j + k) = 10i – 10j + 10k b. 2 1 3 1 1 1 C B − − = × k j i =i(2−1)− j(−2−3)+k(1+3)= i+5j+4k 4 5 1 1 2 2 ) C B ( x A × = − k j i =i(8+5)− j(8+1)+k(10−2) =13i−9j+8kAtau :
A×
( )
B×C =( )
AoCB–( )
AoB C = (6 + 2 + 2)(i - j + k) – (2 – 2 – 1)(3i + j – 2k) = 10 (i - j + k) + (3i + j – 2k) = 13i −9j+8k 2. Buktikan : A×[A×(A×B)]=(AoA)(B×A) Bukti : Misalkan A×B=C Maka A×[A×(A×B)] = A×( )
A×C =( ) ( )
AoC A− AoA C =(
AoA×B) ( )( )
A− AoA A×B = 0( ) ( )( )
A − AoA A×B■
Ruang Vektor 8
= −
( )( )
AoA A×B =( )( )
AoA B×A■ Ruang Vektor 9
PENGGUNAAN VEKTOR DALAM GEOMETRI
a. Persamaan Garis
Dalam R3 :
Andaikan ℓ sebuah garis yang melalui titik P1(x1,y1,z1) dan sejajar dengan sebuah vektor
v = Ai + Bj + Ck. Maka ℓ merupakan tempat kedudukan semua titik P(x,y,z) sedemikian
hingga P1P sejajar dengan v
Jadi titik P(x,y,z) terletak pada garis ℓ bila dan hanya bila P1P = vt dengan t adalah suatu skalar. Atau : (x – x1)i + (y – y1) j + (z – z1) k = t (Ai + Bj + Ck) = t Ai + t Bj + t Ck Ini berarti : = − = − = − C t z z B t y y A t x x 1 1 1 C t z z B t y y A t x x 1 1 1 + == + + =
Persamaan parameter garis yang melalui titik P1(x1,y1,z1) dan paralel dengan vektor v . Atau:
Persamaan standard garis yang melalui titik
y1, z1) dan paralel dengan v=Ai+Bj+Ck (x1,
Dalam hal ini v = Ai + Bj + Ck disebut vektor arah garis ℓ , dan A, B, C merupakan bilangan arah garis.
Jika salah satu dari A, B dan C nol
Misalkan A = 0 maka x – x1 = 0 → x = x1 Persamaan standardnya ditulis :
C z z B y y− 1 = − 1 ; dan x = x1 CONTOH :
Tentukan persamaan garis melalui titik A ( 5,4,1) dan titik B (3, 1, 6) ⇒
Vektor arah garis v = AB = –2i – 3j + 5k t = C z z B y y A x x 1 1 − 1 = − = − P1(x1,y1,z1) P(x,y,z) l Ck Bj Ai V = + +
■ Ruang Vektor 10
Misalkan titik sembarang pada garis adalah P(x,y,z) dan titik tertentu yang terletak pada garis diambil titik A(5,4,1) maka
Persamaan standard garis :
5 1 z 3 4 y 2 5 x − = − − = − − Atau : 3 4 y 2 5 x − − = − − ⇒
3x – 2y – 7 = 0 ∴ Persamaan standard garis :
5 1 z 3 4 y − = − − ⇒ 5y – 3z – 17 = 0 0 17 z 3 y 5 0 7 y 2 x 3 = − − = − −
Persamaan parameter garis :
t 5 1 z t 3 4 y t 2 5 x + = − = − = b. Persamaan Bidang
Vektor N ⊥ bidang W sehingga N disebut Vektor Normal dari bidang W
Jika N = Ai + Bj + Ck
PQ = (x – x1) i + (y – y1) j + (z – z1) k → PQ terletak pada bidang W
Sehingga PQ ⊥ N ⇒ NoPQ=0
Atau :
→ Persamaan bidang melalui titik (x1, y1, z1) dengan normal bidang N = Ai + Bj + Ck
CONTOH :
1. Tentukan persamaan bidang yang melalui titik-titik P(3, 2,1) ; Q(4,1, 5) ; R(2, 4, 3). ⇒
Dalam R2 :
Jika suatu garis mempunyai gradien (bilangan/tangen arah) = m
maka vektor arah garis ℓ = i + mj
A(x – x1) + B(y – y1) + C(z – z1) = 0 ) z , y , P(x1 1 1 z) y, Q(x,
N
W)
■
Ruang Vektor
11 bidang pada terletak PR dan PQ vektor 2 2 PR 4 PQ + + − == i− +j k k j i k j i k j i + = = × = 10 -6 2 2 1 4 1 1 PR PQ N -∴ Persamaan bidang: A(x – x1) + B(y – y1) + C(z – z1) = 0 10 (x – 3) – 6 (y – 2) + 1( z – 1) = 0 10x – 6y + z + 41 = 0Persamaan bidang dapat juga ditulis sebagai :
dengan N = Ai + Bj + Ck
2. Tentukan persamaan bidang yang melalui titik T (4,1,-2) ; tegak lurus pada bidang
U = 2x + 3y + z = 8 dan tegak lurus pada bidang V = x – y + 3z = 0
⇒ U : 2x + 3y + z = 8 → N = 2i + 3 j + k U
V : x – y + 3z = 0 → N = i – j + 3k V
Dicari bidang W yang ⊥ bidang U dan V, berarti N w ⊥ N dan u N V Atau k j i k j i 5 -5 10 3 1 1 1 3 2 N N Nw = u× v= = − -Persamaan bidang W : 10(x – 4) – 5(y – 1) – 5(z + 2) = 0 10x – 5y – 5z – 45 = 0 2x – y – z = 9
c. Menentukan jarak titik terhadap suatu bidang
Diberikan sebuah titik P(r,s,t) yang berada di luar bidang V dengan persamaan bidang V : Ax + By + Cz + D = 0
→ Normal bidang N = Ai + Bj + Ck v
■
Ruang Vektor
12 Q(-D/A,0,0) Jika A ≠ 0 ⇒ Titik − ;0;0 A DQ terletak pada bidang tersebut.
k j i s t A D r QP k + + + = = P(r,s,t) N θ k d
θ = sudut antara N dan k
sehingga d= kcosθ N k N d d N cos k N k No = θ = ⇒ = o sehingga : 2 2 2 C B A Ct Bs A D r A d + + + + + = atau 2 2 2 C B A D Ct Bs Ar d + + + + +
= Jarak titik P(r,s,t) ke bidang : Ax + By + Cz + D = 0
CONTOH :
Tentukan jarak P(5,5,4) ke bidang ABC jika A = (2,4,2) ; B = (6,4,3) ; C = (0,5,1) ⇒ AC = -2i + j + k AB = 4i + k Normal bidang N=AB×AC = k j i k j i 2 4 1 1 2 1 0 4 + + − = − −
Persamaan bidang ABC :
–(x – 0) + 2 (y – 5) + 4 (z – 1) = 0 –x + 2y + 4z – 14 = 0
■
Ruang Vektor
13 21 14 6 ! 10 5 16 4 1 14 ) 4 ( 4 ) 5 ( 2 ) 5 ( 1 d d = − + + − + + − + + − = = = 21 7d. Persamaan Garis sebagai Perpotongan Dua Bidang
Diberikan bidang v dengan normal N v
Diberikan bidang w dengan normal N w
(W V) N v l N w
Jika bidang V dan W berpotongan pada satu garis maka vektor arah garis tersebut akan ⊥
dengan Nv maupunN w
Sehingga jika vektor arah garis tersebut l, maka l=Nv×Nw
CONTOH :
Tentukan persamaan garis yang merupakan perpotongan bidang 2x + y – 2z = 5 dan 3x – 6y – 2z = 7
⇒
V = 2x + y – 2z = 5 → Nv = 2i + j – 2k
W = 3x + 6y – 2z = 5 → Nw = 3i + 6j – 2k
Vektor arah garis:
k j i k j i 14 2 15 2 6 3 2 1 2 N N L v w =− − − − − − = × =
Ditentukan salah satu titik yang terletak pada perpotongan bidang : (i) 2x + y + 2z = 5 (ii) 3x – 6y – 2z = 7 –––––––––––– – –x + 7y = –2 Misalkan diambil : y = 0 → – x = –2 → x = 2 (i). 2(2) + 0 – 2z = 5 → –2z = 5 – 4 → z = – ½
■
Ruang Vektor
14Jadi titik (2, 0, -½ ) terletak pada garis potong 2 bidang. Sehingga persamaan garis perpotongan kedua bidang :
15 z 2 0 y 14 2 x 12 − + = − − = − −
e. Sudut Antara Garis dan Bidang
Jika :
l l=ai+bj+ck→vektorarahgaris
0 D Ck By Ax V bidang normal C B A N= i+ j+ k→ = + + + = l N v) θ
φ
θ cos = l l o N N = ) c b a )( C B A ( Cc Bb Aa 2 2 2 2 2 2+ + + + + + sin φ = sin (90 – θ) = cosθ = ) c b a )( C B A ( Cc Bb Aa 2 2 2 2 2 2+ + + + + +Sehingga sudut antara garis dengan vektor arah l=ai +bj+ck dengan bidang V dengan
normal bidang Nv =Ai+Bj+Ck adalah
) c b a )( C B A ( Cc Bb Aa arcsin 2 2 2 2 2 2 + + + + + + = φ