• Tidak ada hasil yang ditemukan

Vektor-vektor Yang Tegak Lurus dan Vektor-vektor Yang Paralel

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Membagikan "Vektor-vektor Yang Tegak Lurus dan Vektor-vektor Yang Paralel"

Copied!
14
0
0

Teks penuh

(1)

■ Ruang Vektor 1

Vektor-vektor Yang Tegak Lurus dan Vektor-vektor Yang Paralel

- Dua vektor A dan B saling tegak lurus atau A ⊥ B (yaitu cos θ = 0), jika B

Ao = 0 atau jika : Ax Bx + Ay By + Az Bz = 0

- Dua vektor A dan B saling paralel jika komponen-komponennya sebanding atau

jika : z z y y x x B A B A B A = =

Hasil Kali Skalar Untuk Menghitung Usaha

Dalam fisika, usaha = gaya × jarak perpindahan

Jika vektor gaya dan vektor jarak perpindahan tidak sejajar, maka :

Usaha = besarnya komponen gaya yang sejajar dengan arah perpindahan x besarnya jarak F v W = F cosθ . d v v F v = Fod θ d v F cosθ v

komponen vektor gaya F yang sejajar dengan jarak perpindahan d

CONTOH : Diketahui :

F = 2i + 2j – 4k adalah gaya yang bekerja pada benda yang bergerak dari titik (1,0,1) ke titik (2,4,2)

Tentukan besarnya usaha yang dilakukan oleh gaya F Jawab: d F W= o d = (2–1)i + (4–0)j + (2–1)k = 2i + 4j + k W = (2i + 2j – 4k )

o

(2i + 4j + k) = 4 + 8 – 4 = 8 satuan usaha

(2)

■ Ruang Vektor 2

a. Hasil Kali Vektor (Cross Product / Vector Product )

Ditulis : A×B=C hasilnya berupa vektor

dengan A×B = A Bsinθ

Arah dari A×B ditentukan berdasarkan aturan tangan kanan atau sekrup putar kanan.

Sifat Hasil Kali Vektor :

1. A×B ≠B×A A×B = – (B×A) anti komutatif 2. (k A ) × B = k(A×B) = A×k(B) 3. A × (B+C) = (A×B) + (A×C) (A+B) × C = (A×C) + (B×C) Dalam R3 Z i×i = i i sin0 = 0 dengan cara yang sama i × i = j × j = k × k = 0 k i× j = i j sin90°=1 j Y j×k = j ksin90°=1 i k×i = k i sin90°=1 X sehingga : i × j = k ; j × k = i ; k × i = j j × i = -k ; k × j = -i ; i × k = -j Jika : A = Axi + Ayj + Az k B = Bxi + By j + Bzk maka : A×B = (Ax i + Ay j + Azk) × (Bx i + By j + Bzk) = (AyBz – AzBy) i – (AxBz – AzBx) j + (AxBy – AyBx) k C A θ C A B θ B B A A B× B A×

(3)

■ Ruang Vektor 3 atau : A×B = z y x z y x B B B A A A k j i dan A×B = A Bsinθ=

( )( ) ( )

AoA BoB − AoB2 CONTOH : A = 2i – j + k B = i – 3j + 4k A Ao = 22 + (-1)2 + 12 = 6 B Bo = 12 + (-3)2 + 42 = 26 ; AoB = 2(1) + (-1)(-3) + 1(4) = 9 B A× = 4 3 -1 1 1 -2 k j i = i(−4+3)− j(8−1)+k(−6+1) = - i – 7j – 5k B A× = 12+72+52 = 1+49+25 = 75 B A× =

( )( ) ( )

AoA BoB − AoB2 = 6(26)92 = 75

Aplikasi dari Hasil Kali Vektor

Menghitung Torsi / Momen

Dalam mekanika, momen atau torsi dari gaya F terhadap titik Q didefinisikan sebagai : m=Fd dengan F

d = jarak (dalam arah ⊥) antara titik Q ke garis gaya F

d Q d Q F L r θ θ

(4)

■ Ruang Vektor 4

Jika: r = adalah vektor yang menghubungkan titik Q ke titik sembarang pada garis gaya F

Maka d = rsinθ ; θ = sudut antara r dengan F dan m= F rsinθ= F×r

Jika m= M , maka M = F×r = vektor momen dari gaya F terhadap titik Q

CONTOH :

Tentukan vektor momen dari gaya F terhadap titik O

Jawab : F = (4 – 2) i + (–2 –1) j + 0k = 2i – 3j + 0k r = (2 – 0) i + (1 – 0) j + 0k = 2i + j + 0k k k j i k j i 8 6) (2 (0) (0) 0 1 2 0 3 -2 r x F M= = = − + + = m = M= 64 =8

c. Hasil Kali Skalar Tripel (Triple Scalar Product)

Jika : A = Ax i + Ay j + Az k B = Bx i + By j + Bz k C = Cx i + Cy j + Cz k B x A = k j i B B A A B B A A B B A A y x y x z x z x z y z y − + C B x A o = z y x y x y z x z x x z y z y C B B A A C B B A A C B B A A − + = z y x z y x z y x C C C B B B A A A ' y r F '

'

'

x 0 (2,1) (4,-2)

(5)

Ruang Vektor 5

→ disebut hasil kali skalar tripel, karena hasilnya merupakan skalar.

Dalam hasil kali skalar tripel berlaku sifat : 1. A×BoC=

( )

B×C oA=

( )

C×A oB

sehingga:

( )

A×B oC=Ao

( )

B×C

Nilai hasil kali ini hanya bergantung pada urutan siklus dari vektornya, letak tanda x

dan

o

nya tidak mempengaruhi hasilnya.

Jika urutan vektornya ditukar maka tandanya akan berubah. Sehingga: C A B C A B C B A× o =− × o =− o ×

2. Hasil kali skalar tripel: A×BoC=0 bila dan hanya bila A,BdanC sebidang. Bukti :

a. A×BoC=0 ⇒ A,BdanC sebidang

Jika A×BoC=0 maka A×B⊥C atau salah satu dari A,BatauC vektor nol

Berarti:

i. Apabila salah satu dari A,BatauC vektor nol, maka pasti C

dan B ,

A sebidang

ii. Apabila A×B⊥C maka C bisa diletakkan sebidang dengan AdanB

sehingga A, B dan C sebidang

b. Jika A, B dan C sebidang ⇒ A×BoC=0

Jika A,BdanC sebidang, maka A×B⊥C sehingga A×BoC=0

Arti Geometris Dari A×BoC

Diberikan vektor A,B dan C G F A = OA B = OB C E C = OC P θ B D θ C B P=A×B O A A

(6)

■ Ruang Vektor 6

B

A× = luas jajaran genjang OADB C

B

A× o = PoC = P Ccosθ

θ cos

C = tinggi C di atas bidang OADB

Jadi A×BoC = volume bidang enam (paralel epipedum) OADB – CEFG yang

disusun oleh A,B dan C

Catatan :

Luas jajaran genjang OABC = OB AA' = OB OAsinθ = OB×OA CONTOH : Buktikan bahwa

( ) ( ) ( )

A+B o A+C × A+B =0 Bukti : Misalkan A+B=u A+C=v

Maka : uov×u = volume paralel epipedum dengan sisi-sisi u, v, u

Karena kedua sisinya merupakan vektor yang sama maka ketiga vektor tersebut sebidang sehingga : uov×u= 0

d. Hasil Kali Vektor Tripel (Triple Vector Product)

Hasil kali vektor tripel adalah :

( )

A×B ×C ; A×

( )

B×C

Tanda kurung diperlukan di sini karena nilai akan berubah jika letak kurungnya ditukar. Misalkan :

(i × i) × j = 0 × j = 0 i × (i × j) = i × k = –j

Sifat Hasil Kali Vektor Triple :

1. A×

( )

B×C ≠

( )

A×B ×C

A' B

C A

(7)

Ruang Vektor 7

2. A×

( )

B×C =

( )

AoCB

( )

AoB C

( )

A×B ×C =

( ) ( )

AoCB−BoC A CONTOH : 1. Jika: A = 2i + 2j – k B = i - j + k C = 3i + j – 2k Hitung :

( )

A×B ×C ; A×

( )

B×C Jawab : a. 1 1 1 1 2 2 B x A − − = k j i = i(2−1)− j(2+1)+k(−2−2) = i – 3 j – 4k 2 1 3 4 3 1 C x ) B x A ( − − − = k j i = i(6+4)− j(−2+12)+k(1+9)

=

10i – 10j + 10k Atau :

( )

A×B ×C =

( ) ( )

AoCB−BoC A = (6 + 2 + 2)(i - j + k) – (3 -1 -2)( 2i + 2j – k) = 10 (i - j + k) = 10i – 10j + 10k b. 2 1 3 1 1 1 C B − − = × k j i =i(2−1)− j(−2−3)+k(1+3)= i+5j+4k 4 5 1 1 2 2 ) C B ( x A × = − k j i =i(8+5)− j(8+1)+k(10−2) =13i−9j+8k

Atau :

( )

B×C =

( )

AoCB–

( )

AoB C = (6 + 2 + 2)(i - j + k) – (2 – 2 – 1)(3i + j – 2k) = 10 (i - j + k) + (3i + j – 2k) = 13i −9j+8k 2. Buktikan : A×[A×(A×B)]=(AoA)(B×A) Bukti : Misalkan A×B=C Maka A×[A×(A×B)] = A×

( )

A×C =

( ) ( )

AoC A− AoA C =

(

AoA×B

) ( )( )

A− AoA A×B = 0

( ) ( )( )

A − AoA A×B

(8)

Ruang Vektor 8

= −

( )( )

AoA A×B =

( )( )

AoA B×A

(9)

■ Ruang Vektor 9

PENGGUNAAN VEKTOR DALAM GEOMETRI

a. Persamaan Garis

Dalam R3 :

Andaikan sebuah garis yang melalui titik P1(x1,y1,z1) dan sejajar dengan sebuah vektor

v = Ai + Bj + Ck. Maka merupakan tempat kedudukan semua titik P(x,y,z) sedemikian

hingga P1P sejajar dengan v

Jadi titik P(x,y,z) terletak pada garis bila dan hanya bila P1P = vt dengan t adalah suatu skalar. Atau : (x – x1)i + (y – y1) j + (z – z1) k = t (Ai + Bj + Ck) = t Ai + t Bj + t Ck Ini berarti :     = − = − = − C t z z B t y y A t x x 1 1 1 C t z z B t y y A t x x 1 1 1 + == + + =

Persamaan parameter garis yang melalui titik P1(x1,y1,z1) dan paralel dengan vektor v . Atau:

Persamaan standard garis yang melalui titik

y1, z1) dan paralel dengan v=Ai+Bj+Ck (x1,

Dalam hal ini v = Ai + Bj + Ck disebut vektor arah garis , dan A, B, C merupakan bilangan arah garis.

Jika salah satu dari A, B dan C nol

Misalkan A = 0 maka x – x1 = 0 → x = x1 Persamaan standardnya ditulis :

C z z B y y− 1 = − 1 ; dan x = x1 CONTOH :

Tentukan persamaan garis melalui titik A ( 5,4,1) dan titik B (3, 1, 6) ⇒

Vektor arah garis v = AB = –2i – 3j + 5k t = C z z B y y A x x 1 11 = − = − P1(x1,y1,z1) P(x,y,z) l Ck Bj Ai V = + +

(10)

■ Ruang Vektor 10

Misalkan titik sembarang pada garis adalah P(x,y,z) dan titik tertentu yang terletak pada garis diambil titik A(5,4,1) maka

Persamaan standard garis :

5 1 z 3 4 y 2 5 x − = − − = − − Atau : 3 4 y 2 5 x − − = − −

3x – 2y – 7 = 0 ∴ Persamaan standard garis :

5 1 z 3 4 y − = − − 5y – 3z – 17 = 0 0 17 z 3 y 5 0 7 y 2 x 3 = − − = − −

Persamaan parameter garis :

t 5 1 z t 3 4 y t 2 5 x + = − = − = b. Persamaan Bidang

Vektor N ⊥ bidang W sehingga N disebut Vektor Normal dari bidang W

Jika N = Ai + Bj + Ck

PQ = (x – x1) i + (y – y1) j + (z – z1) k → PQ terletak pada bidang W

Sehingga PQ ⊥ N ⇒ NoPQ=0

Atau :

→ Persamaan bidang melalui titik (x1, y1, z1) dengan normal bidang N = Ai + Bj + Ck

CONTOH :

1. Tentukan persamaan bidang yang melalui titik-titik P(3, 2,1) ; Q(4,1, 5) ; R(2, 4, 3). ⇒

Dalam R2 :

Jika suatu garis mempunyai gradien (bilangan/tangen arah) = m

maka vektor arah garis = i + mj

A(x – x1) + B(y – y1) + C(z – z1) = 0 ) z , y , P(x1 1 1 z) y, Q(x,

N

W

)

(11)

Ruang Vektor

11 bidang pada terletak PR dan PQ vektor 2 2 PR 4 PQ    + + − == i− +j k k j i k j i k j i + = = × = 10 -6 2 2 1 4 1 1 PR PQ N -∴ Persamaan bidang: A(x – x1) + B(y – y1) + C(z – z1) = 0 10 (x – 3) – 6 (y – 2) + 1( z – 1) = 0 10x – 6y + z + 41 = 0

Persamaan bidang dapat juga ditulis sebagai :

dengan N = Ai + Bj + Ck

2. Tentukan persamaan bidang yang melalui titik T (4,1,-2) ; tegak lurus pada bidang

U = 2x + 3y + z = 8 dan tegak lurus pada bidang V = x – y + 3z = 0

⇒ U : 2x + 3y + z = 8 → N = 2i + 3 j + k U

V : x – y + 3z = 0 → N = i – j + 3k V

Dicari bidang W yang ⊥ bidang U dan V, berarti N w ⊥ N dan u N V Atau k j i k j i 5 -5 10 3 1 1 1 3 2 N N Nw = u× v= = − -Persamaan bidang W : 10(x – 4) – 5(y – 1) – 5(z + 2) = 0 10x – 5y – 5z – 45 = 0 2x – y – z = 9

c. Menentukan jarak titik terhadap suatu bidang

Diberikan sebuah titik P(r,s,t) yang berada di luar bidang V dengan persamaan bidang V : Ax + By + Cz + D = 0

→ Normal bidang N = Ai + Bj + Ck v

(12)

Ruang Vektor

12 Q(-D/A,0,0) Jika A ≠ 0 ⇒ Titik       − ;0;0 A D

Q terletak pada bidang tersebut.

k j i s t A D r QP k  + +      + = = P(r,s,t) N θ k d

θ = sudut antara N dan k

sehingga d= kcosθ N k N d d N cos k N k No = θ = ⇒ = o sehingga : 2 2 2 C B A Ct Bs A D r A d + + + +       + = atau 2 2 2 C B A D Ct Bs Ar d + + + + +

= Jarak titik P(r,s,t) ke bidang : Ax + By + Cz + D = 0

CONTOH :

Tentukan jarak P(5,5,4) ke bidang ABC jika A = (2,4,2) ; B = (6,4,3) ; C = (0,5,1) ⇒ AC = -2i + j + k AB = 4i + k Normal bidang N=AB×AC = k j i k j i 2 4 1 1 2 1 0 4 + + − = − −

Persamaan bidang ABC :

–(x – 0) + 2 (y – 5) + 4 (z – 1) = 0 –x + 2y + 4z – 14 = 0

(13)

Ruang Vektor

13 21 14 6 ! 10 5 16 4 1 14 ) 4 ( 4 ) 5 ( 2 ) 5 ( 1 d d = − + + − + + − + + − = = = 21 7

d. Persamaan Garis sebagai Perpotongan Dua Bidang

Diberikan bidang v dengan normal N v

Diberikan bidang w dengan normal N w

(W V) N v l N w

Jika bidang V dan W berpotongan pada satu garis maka vektor arah garis tersebut akan ⊥

dengan Nv maupunN w

Sehingga jika vektor arah garis tersebut l, maka l=NNw

CONTOH :

Tentukan persamaan garis yang merupakan perpotongan bidang 2x + y – 2z = 5 dan 3x – 6y – 2z = 7

V = 2x + y – 2z = 5 → Nv = 2i + j – 2k

W = 3x + 6y – 2z = 5 → Nw = 3i + 6j – 2k

Vektor arah garis:

k j i k j i 14 2 15 2 6 3 2 1 2 N N L v w =− − − − − − = × =

Ditentukan salah satu titik yang terletak pada perpotongan bidang : (i) 2x + y + 2z = 5 (ii) 3x – 6y – 2z = 7 –––––––––––– – –x + 7y = –2 Misalkan diambil : y = 0 → – x = –2 → x = 2 (i). 2(2) + 0 – 2z = 5 → –2z = 5 – 4 → z = – ½

(14)

Ruang Vektor

14

Jadi titik (2, 0, -½ ) terletak pada garis potong 2 bidang. Sehingga persamaan garis perpotongan kedua bidang :

15 z 2 0 y 14 2 x 12 − + = − − = − −

e. Sudut Antara Garis dan Bidang

Jika :

l l=ai+bj+ckvektorarahgaris

0 D Ck By Ax V bidang normal C B A N= i+ j+ k→ = + + + = l N v) θ

φ

θ cos = l l o N N = ) c b a )( C B A ( Cc Bb Aa 2 2 2 2 2 2+ + + + + + sin φ = sin (90 – θ) = cosθ = ) c b a )( C B A ( Cc Bb Aa 2 2 2 2 2 2+ + + + + +

Sehingga sudut antara garis dengan vektor arah l=ai +bj+ck dengan bidang V dengan

normal bidang Nv =Ai+Bj+Ck adalah

) c b a )( C B A ( Cc Bb Aa arcsin 2 2 2 2 2 2 + + + + + + = φ

Referensi

Dokumen terkait

Untuk mendukung modul admisi akan diberikan form-form inputan data master, seperti data master dokter, data master poliklinik, data master pasien (untuk melakukan

The Implementation of Improving Students Vocabulary Mastery Through the Use of Wall Charts of Eleventh Grade Students of SMK 17 Agustus Bangsri Jepara in the Second Meeting

Teori belajar based on mechanical and model' sering digunakan dalam pendidikan anak di sekolah, sementara itu hari belajar based on an arganistic model digunakan

Adanya bahan ajar berbasis web dengan pendekatan saintifik diharapkan dapat membantu para guru dan siswa dalam kegiatan belajar mengajar, sehingga peneliti

Collaboration diagram juga menggambarkan interaksi antar objek seperti sequence diagram, tetapi lebih menekankan pada peran masing-masing.. objek dan bukan pada waktu

bentuk segitiga yang terjadi. Terlihat bahwa sisi-sisi penyiku kedua segitiga sama persis, namun bagaimana dengan sisi miringnya? Dengan mencermati secara seksama,

Dua buah vektor pada R 3 mempunyai posisi saling tegak lurus apabila sudut yang dibentuk oleh kedua vektor besarnya 90°.!. Tentukan hasil operasi

Setelah mendengarkan dongeng yang disajikan melalui google meet, peserta didik mampu memahami isi teks berkaitan dengan kehidupan sosial di sekolah.. Setelah