Ruang Vektor
Kartika Firdausy – UAD
blog.uad.ac.id/kartikaf
2
Syarat agar V disebut sebagai ruang vektor
1. Jika vektor – vektor u , v ∈V , maka vektor u + v ∈V 2. u + v = v + u
3. u + ( v + w ) = ( u + v ) + w
4. Ada 0 ∈V sehingga 0 + u = u + 0 untuk semua u ∈V , 0 : vektor nol
5. Untuk setiap u ∈V terdapat – u ∈V sehingga u + (– u ) = 0 6. Untuk sembarang skalar k , jika u ∈V maka ku ∈V
7. k ( u + v ) = k u + k v , k sembarang skalar 8. (k + l) u = k u + l u , k dan l skalar
3
Contoh ruang vektor :
1. V adalah himpunan vektor euclidis dengan operasi standar
(operasi penjumlahan dan operasi perkalian dengan skalar ) Notasi: Rn.
2. V adalah himpunan polinom pangkat n dengan operasi standar Bentuk umum polinom orde – n
pn(x) = a0 + a1x +… + anxn
qn(x) = b0+ b1x +… + bnxn
Operasi standar pada polinom orde – n
pn(x) + qn(x) = a0+ b0+ (a1+ b1)x +… + (an+ bn)xn
k pn= ka0+ ka1x +… + kanxn
Notasi: Pn
3. V adalah himpunan matriks berukuran mxn dengan operasi standar ( penjumlahan matriks dan perkalian matriks dengan skalar ) Notasi: Mmn
Sub–ruang vektor
Diketahui V ruang vektor dan U subhimpunan V.
U dikatakan sub–ruang dari V jika memenuhi dua
syarat berikut :
1. Jika u ,v
∈
U maka u + v
∈
U
5
Kombinasi linier
Vektor v dikatakan merupakan kombinasi
linier dari vektor – vektor v
1,
v
2,…,v
nbila
v bisa dinyatakan sebagai :
v = k
1v
1+ k
2v
2+…+ k
nv
n,
k
1,k
2,…,k
nadalah skalar
6
Contoh
Diketahui a = ( 1,2 ) , b = ( –2,–3 ) dan c = ( 1,3 )
7
Contoh
Tunjukkan bahwa v =(3,9,-4,-2)
merupakan kombinasi linier
u
1= (1,-2,0,3), u
2= (2,3,0,-1) dan u
3= (2,-1,2,1)
Jawab:
Bila v merupakan kombinasi linier dari u
1, u
2, dan u
3maka dapat ditentukan x, y dan z sehingga:
v = xu
1+ yu
2+ zu
3(3,9,-4,-2) = x(1,-2,0,3)+ y(2,3,0,-1) + z (2,-1,2,1)
(3,9,-4,-2) = (1x,-2x, 0x, 3x)+ (2y,3y,0y,-1y) +
(2 z,-1z,2z,1z)
(3,9,-4,-2) = (x+2y+2z, -2x+3y-z, 2z, 3x-y+z)
Diperoleh persamaan:
9
Penyelesaian:
x =1, y = 3 dan z = -2
Jadi v = u
1+ 3u
2– 2u
3Jika sistem persamaan di atas tidak
memiliki penyelesaian maka v tidak
dapat dinyatakan sebagai kombinasi
linier dari u
1, u
2, dan u
31 0
Diketahui V ruang vektor
dan S = { s
1, s
2,…, s
n
}
s
1, s
2,…, s
n∈
V
S dikatakan
membangun/merentang
V
bila untuk setiap v
∈
V,
v merupakan kombinasi linier dari S ,yaitu :
v = k
1s
1+ k
2s
2+…+ k
ns
n1 1
Contoh
Apakah u = ( 1,2,3 ) , v = ( 2,4,6 )
dan w = ( 3,4,7 ) membangun R
3Kebebasan Linier
Vektor – vektor di S dikatakan
bebas linier
(linearly independent)
jika persamaan
0 = k
1s
1+k
2s
2+…+ k
ns
n1 3
Contoh
Diketahui u = ( 1,2 ) , v = ( 2,2 ) , w = ( 1,3 )
a. Apakah u , v dan w membangun R
2?
b. Apakah u , v dan w bebas linier ?
1 4
Basis dan Dimensi
Misalkan V ruang vektor dan S = { s
1, s
2,…, s
n}.
S disebut basis dari V bila memenuhi dua syarat ,
yaitu :
1. S bebas linier
2. S membangun V
Basis dari suatu ruang vektor tidak harus tunggal
tetapi bisa lebih dari satu.
Ada dua macam basis yang kita kenal yaitu
1 5
Contoh basis standar :
1. S = { e1, e2,…, en} , dengan e1, e2,…, en∈Rn
e1= ( 1,0,…,0) ,e2= ( 0,1,0,…,0 ),…,en= ( 0,0,…,1 ) merupakan basis standar dari Rn
2. S = { 1, x, x2…,xn } merupakan basis standar untuk P
merupakan basis standar untuk M22
1 7
Basis ruang baris dan basis ruang kolom
Suatu matriks berukuran mxn dapat dipandang sebagai susunan bilangan yang tersusun dari bilangan dalam kolom 1 sampai kolom n atau dalam baris 1 sampai baris m.
a11 a12 … a1n
a21 a22 ... a2n
: : : am1 am1 ... amn
Jika A =
Maka A tersusun atas vektor –vektor baris r i
dengan r i= (ai1,ai2,…,ain) atau bisa juga dikatakan A tersusun atas vektor – vektor kolom c j= (c1j,c2j,…,cmj}
dengan i = 1,2,…,m dan j =1,2,…,n
Subruang Rnyang dibangun oleh vektor– vektor baris disebut
ruang baris dari A
Subruang Rm yang dibangun oleh vektor– vektor kolom disebut
1 9
