KONSTRUKSI RUANG 2-NORM SEBAGAI LUASAN
YANG DIRENTANG OLEH DUA VEKTOR
Sadjidon
1, H. Gunawan
21Jurusan Matematika,2Departemen Matematika 1Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
2Institut Teknologi Bandung, Bandung 2[email protected]
Abstrak
Pada paper ini akan dikaji tentang pengkonstruk-sian ruang 2-norm yang didasari oleh sifat-sifat or-thogonalitas dari dua vektor sehingga diperoleh pen-definisikan ruang 2-norm, khususnya untuk ruang `2. Katakunci: Ruang `2, orthogonalitas, ruang 2-norm.
1. Pendahuluan
Ruang `
2yang dilengkapi dengan inner product hx, yi =
P
j
x
jy
j,
merupak-an rumerupak-ang inner product. Begitu juga rumerupak-ang `
2yang dilengkapi dengan
nor-ma kxk =
∞P
k=1|x
k|
2 12merupakan ruang Banach. Selanjutnya dual dari
ruang `
2yaitu himpunan dari semua fungsional linier kontinu pada ruang
`
2yang dinotasikan dengan `
2∗adalah ruang `
2juga. Jika f ∈ `
2∗,
maka f ∈ `
2dan dapat diinterpretasikan untuk f (x) =
P
j
x
jz
j= hx, zi,
dengan x ∈ `
2, z ∈ `
2∗= `
2.
Sekarang pandang S himpunan semua barisan bilangan real dan
meru-pakan ruang vektor atas field R. Setiap subruang vektor S juga merumeru-pakan
ruang barisan. Untuk X subruang S didefinisikan suatu fungsi bernilai real
k•, ..., •k pada X
nyang memenuhi sifat-sifat sebagai berikut :
1. kx
1, x
2, ..., x
nk = 0, jika dan hanya jika x
1, x
2, ..., x
ndependen linier
2. kx
1, x
2, ..., x
nk invarian terhadap permutasi
3. kx
1, x
2, ..., αx
nk = |α| kx
1, x
2, ..., x
nk untuk setiap α ∈ R
4. kx
1, x
2, ..., x
n−1, y + zk ≤ kx
1, x
2, ..., x
n−1, yk + kx
1, x
2, ..., x
n−1, zk
disebut norma pada X dan pasangan (X, k•, ..., •k) disebut ruang
n-norma.
Pada [2], [3] telah dikonstruksi dan dijabarkan tentang 2-norma, yang
disebut sebagai 2-norma standar, selanjutnya dengan memperhatikan
sifat-sifat orthogonalitas dari [1], [4], maka dikonstruksi 2-norma sehingga
dipe-roleh pendefinisian ruang 2-norm.
2. Ruang `
2dan n-norma Standarnya
Sebelum menjabarkan n-norma dijelaskan untuk 2-norma pada ruang `
2yang diberikan sebagai berikut :
kx, yk = Sup
(
hx, zi
hy, zi
hx, wi hy, wi
: z, w ∈ `
2, kzk , kwk ≤ 1
)
.
Selanjutnya dengan ketaksamaan Cauchy-Schwarz diperoleh
hx, zi hy, zi hx, wi hy, wi ≤ hx, xi hx, yi hy, xi hy, yi 1 2 hz, zi hz, wi hw, zi hw, wi 1 2 ≤ hx, xi hx, yi hy, xi hy, yi 1 2 .
Hasil ini menunjukkan bahwa hx, xi hx, yi hy, xi hy, yi 1 2
merupakan batas atas dari him-punan hx, zi hy, zi hx, wi hy, wi : z, w ∈ `2, kzk , kwk ≤ 1
dan ini berarti bahwa :
Sup hx, zi hy, zi hx, wi hy, wi : z, w ∈ `2, kzk , kwk ≤ 1 ≤ hx, xi hx, yi hy, xi hy, yi 1 2 (1) Selanjutnya untuk z = x kxk ; w = y−αx ky−αxk = y0
ky0k dengan z dan y0 orthogonal, juga
memenuhi kzk , kwk ≤ 1, maka diperoleh hx, zi hy, zi hx, wi hy, wi = D x,kxkx E Dy,kxkx E D x,kyy00k E D y,kyy00k E = hx, xi hy, xi hx, y0i hy, y0i kxk ky0k = hx, xi hy, xi hx, yi hy, yi kxk ky0k .
dengan menggunakan sifat-sifat determinan dan sifat-sifat inner product diperoleh juga bahwa hx, xi hy, xi hx, yi hy, yi 1 2 = hx, xi hy, xi hx, y0i hy, y0i 1 2 = hx, xi hy0, xi hx, y0i hy0, y0i 1 2 = kxk ky0k sehingga hx, zi hy, zi hx, wi hy, wi = kxk ky0k hx, xi hy, xi hy, xi hy, yi 1 2 kxk ky0k = hx, xi hy, xi hx, yi hy, yi 1 2 . Hasil ini menunjukkan bahwa
hx, xi hy, xi hx, yi hy, yi 1 2 = hx, zi hy, zi hx, wi hy, wi ≤ Sup hx, zi hy, zi hx, wi hy, wi : z, w ∈ `2, kzk , kwk ≤ 1 (2) Dengan demikian dari Persamaan (1) dan Persamaan (2) diperoleh 2-norma pada ruang `2 adalah kx, yk = Sup hx, zi hy, zi hx, wi hy, wi : z, w ∈ `2, kzk , kwk ≤ 1 = hx, xi hx, yi hy, xi hy, yi 1 2
dan 2-Norma kx, yk tidak lain adalah luasan yang direntang oleh vektor-vektor x dan y. Selanjutnya akan dijabarkan untuk n-normanya dalam ruang `2 yang dikenal sebagai ruang inner product dengan inner product hx, yi =P
j
xjyj, dapat dilengkapi dengan n-normanya
kx1, x2, ..., xnk = hx1, x1i ... hx1, xni .. .. .. hxn, x1i ... hxn, xni 1 2
merupakan ruang n-norma standar sehingga ruang `2 merupakan ruang n-norma. Khususnya jika n = 2 , maka 2-norma standar untuk ruang `2 adalah :
kx, yk = hx, xi hx, yi hy, xi hy, yi 1 2 .
Untuk n-norma pada ruang `p khususnya ruang `2, penjabarannya dan pengem-bangannya dalam [2].
Sekarang akan dijabarkan n-norma pada ruang `2 menurut pendefinisian [1] dengan n-norma nya sebagai berikut :
kx1, ..., xnk = Sup f1(x1) ... f1(xn) .. ... .. fn(x1) ... fn(xn) : f1, ..., fn∈ `2 ∗ = `2, kf1k , ..., kfnk ≤ 1
atau dapat dituliskan kx1, ..., xnk = Sup hx1, z1i ... hx1, zni .. ... .. hxn, z1i ... hxn, zni : z1, ..., zn ∈ `2, kz1k , ..., kznk ≤ 1 .
Selanjutnya dengan ketaksamaan Cauchy-Schwarz didapatkan hx1, z1i ... hx1, zni .. ... .. hxn, z1i ... hxn, zni ≤ hx1, x1i ... hx1, xni .. ... .. hxn, x1i ... hxn, xni 1 2 hz1, z1i ... hz1, zni .. ... .. hzn, z1i ... hzn, zni 1 2 . ≤ hx1, x1i ... hx1, xni .. ... .. hxn, x1i ... hxn, xni 1 2
ini menunjukkan hx1, x1i ... hx1, xni .. ... .. hxn, x1i ... hxn, xni 1 2
batas atas dari himpunan
hx1, z1i ... hx1, zni .. ... .. hxn, z1i ... hxn, zni : z1, ..., zn∈ `2, kz1k , ..., kznk ≤ 1 berarti bahwa kx1, ..., xnk = Sup f1(x1) ... f1(xn) .. ... .. fn(x1) ... fn(xn) : f1, ..., fn∈ `2 ∗ = `2, kf1k , ..., kfnk ≤ 1 ≤ hx1, x1i ... hx1, xni .. ... .. hxn, x1i ... hxn, xni 1 2 .
Selanjutnya untuk {z1, z2, ..., zn} yang merupakan hasil proses orthonormalisasi Gram-Schmidt terhadap {x1, x2, ..., xn}, juga memenuhi kz1k , kz2k , ..., kznk = 1, maka diperoleh hx1, z1i ... hx1, zni .. ... .. hxn, z1i ... hxn, zni = hx1, x1i ... hx1, xni .. ... .. hxn, x1i ... hxn, xni 1 2
Hasil ini menunjukkan bahwa hx1, x1i ... hx1, xni .. ... .. hxn, x1i ... hxn, xni 1 2 = hx1, z1i ... hx1, zni .. ... .. hxn, z1i ... hzn, zni ≤ Sup hx1, z1i ... hx1, zni .. ... .. hxn, z1i ... hxn, zni : z1, ..., zn∈ `2, kz1k , ..., kznk ≤ 1
Dengan demikian dapat diperoleh
kx1, ..., xnk = Sup ( hx1, z1i ... hx1, zni .. ... .. hxn, z1i ... hxn, zni : z1, ..., zn∈ `2, kz1k , ..., kznk ≤ 1 ) = hx1, x1i ... hx1, xni .. ... .. hxn, x1i ... hxn, xni 1 2
Sekarang diberikan fungsional linier pada `2 × `2yang diberikan f (u) = ∞ X k=1 x1k+ x2k wk = hx1, wi + hx2, wi dengan u = (x1, x2) ∈ `2 × `2 dan w ∈ `2 ∗
= `2 dan kuk = kx1k + kx2k Maka 2-Norma pada ruang `2 × `2 didefinisikan menurut [1] dapat disajikan dengan
ku, vk = Sup f (u) f (v) f (v) g(v) , f, g ∈ `2∗ = `2, kf k , kgk ≤ 1
dengan u = (x1, x2) , v = (y1, y2). Sehingga dapat dituliskan dengan
ku, vk = Sup hx1+ x2, wi hy1+ y2, wi hx1+ x2, zi hy1+ y2, zi , w, z ∈ `2∗ = `2, kwk , kzk ≤ 1 . Selanjutnya dengan ketaksamaan Cauchy-Schwarz diperoleh
hx1+ x2, wi hy1+ y2, wi hx1+ x2, zi hy1+ y2, zi ≤ kx1, y1k+ kx1, y2k +kx2, y1k +kx2, y2k = kuk kvk Hasil ini menunjukkan bahwa kuk kvk batas atas dari himpunan
hx1+ x2, wi hy1+ y2, wi hx1+ x2, zi hy1+ y2, zi , w, z ∈ `2∗ = `2, kwk , kzk ≤ 1 dengan demikian ku, vk = Sup hx1+ x2, wi hy1+ y2, wi hx1+ x2, zi hy1+ y2, zi , w, z ∈ `2∗ = `2, kwk , kzk ≤ 1 ≤ kuk kvk
Dari hasil yang dijabarkan diatas tentang 2-norma pada `2× `2dapat dilanjutkan 2-norma untuk ruang `2n
= `2×...× `2. Untuk itu dalam `2× `2apakah suatu luasan yang dibentang dari jumlahan vektor yaitu (x1+ x2) dan (y1+ y2), begitu juga dalam `2n = `2× ... × `2.apakah luasan yang dibentang oleh jumlahan dari vektor.
Pustaka
[1] C.R. Diminnie, A New Orthogonality Relation for Normed Linear Spaces, Math.Nachr.114 (197-203), 1983.
[2] H. Gunawan dan M. Mashadi, On n-normed spaces, Int.J.Math.Sci, (to ap-pear).
[3] H. Gunawan, The space of p-Summable sequences and its natural n-Norm, Bull.Austral.Math.Soc, Vol.64(137-147), 2001.
[4] J.R Partington, Orthogonality in Normed Spaces, Bull.Austral.Math.Soc.33 (449-455), 1986.
[5] Kreyszig, Introductory Fuctional Analysis with Applications, John Wiley and Son. Inc, 1978.
