Matriks Ruang Vektor Umum

Matriks & Ruang Vektor

Ruang Vektor

Umum

Start

Ruang Vektor Umum

Misalkan dan k, l ∈ Riil

V dinamakan ruang vektor jika terpenuhi aksioma : 1. V tertutup terhadap operasi penjumlahan

Untuk setiap

2. 3.

4. Terdapat sehingga untuk setiap

berlaku

5. Untuk setiap terdapat sehingga

V

w

v

u

,

,

∈

V v

u + ∈

maka

,

v

V

u

∈

=

+

v

u

v +u

(

v w

) (

u v

)

w

u + + = + +

u u u +0=0+ =

V

∈

0 u∈V

V

u∈

( )

−u

( ) ( )

− = − + =0

+ u u u

4 6. V tertutup thd operasi perkalian dengan skalar.

Untuk setiap dan k ∈ Riil maka

7. 8. 9.

10.

V

u∈

k

u

∈

V

(

u v

)

ku kv

k + = +

(

k+l

)

u = ku +lu

( ) ( ) ( )

lu l ku kl u

k = =

u u = . 1

5

Ruang Euclides orde n

Operasi-Operasi pada ruang vektor Euclides: • Penjumlahan

• Perkalian dengan skalar Riil sebarang (k)

• Perkalian Titik (Euclidean inner product)

• Panjang vektor didefinisikan oleh :

• Jarak antara dua vektor didefinisikan oleh :

(

u v u v un vn

)

v

u+ = 1 + 1, 2 + 2,..., +

(

ku ku kun

)

u

k = ₁, ₂,...,

n nv u v

u v u v

u • = _{1 1} + _{2 2} +...+

(_{u u})12

u = •

( )

u v u v

d , = − ( ) ( 2 2)2 ( )2

2 1

1 v u v ... un vn

u − + − + + −

=

2 2

2 2

1 u ... un

u + + +

6 Contoh :

Diketahui dan

Tentukan panjang vektor dan jarak antara kedua vektor tersebut

Jawab:

Panjang vektor :

Jarak kedua vektor

(

1,1, 2, 3

)

=

u v =

(

2, 2,1,1

)

( )

u v u v

d , = −

(

_{u u}

)

12

u = • = 12+12+22+32 = 15

10 1 1 2

22+ 2+ 2+ 2 =

=

v

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 1 3 1 2 2 1 2

1− + − + − + −

=

( ) ( )

7

2 1 1

12 2 2 2 =

+ + − + − =

SubRuang (subspace)

Misalkan W merupakan subhimpunan dari sebuah ruang vektor V

W dinamakan subruang (subspace) V jika W juga merupakan ruang vektor

yang tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar.

Syarat W disebut subruang dari V adalah : 1. W ≠ { }

2. W ⊆ V

3. Jika maka

4. Jika dan

u

,

v

∈

W

k∈ Riil maka

u

+

v

∈

W

W

06/06/2015 7:35 8 Contoh :

Tunjukkan bahwa himpunan W yang berisi semua

matriks orde 2x2 dimana setiap unsur diagonalnya adalah nol merupakan subruang dari ruang vektor matriks 2x2

Jawab :

2. Jelas bahwa W ⊆ M_{2 x 2}

3. Ambil sembarang matriks A, B ∈ W Tulis

dan

maka 0

0 0 0

1. O _∈W

    

=

W

≠

{ }

   

 

=

0 0

2 1

a a

A _

  

 

=

0 0

2 1 b

b B

06/06/2015 7:35 9

Perhatikan bahwa :

Ini menunjukan bahwa

4. Ambil sembarang matriks A∈ W dan k ∈ Riil maka

Ini menunjukan bahwa

Jadi, W merupakan Subruang dari M_{2 x 2}

   

 

+

+ =

   

 

+

   

 

= +

0 0

0 0

0 0

2 2

1 1

2 1

2 1

b a

b a

b b

a a B

A

W B A+ ∈

W ka

ka

kA _∈

  

 

=

0 0

2 1

06/06/2015 7:35 10 Contoh :

Periksa apakah himpunan D yang berisi semua matriks orde 2x2 yang determinan-nya nol,

merupakan subruang dari ruang vektor M_{2 x 2}

Jawab :

     

=

0 0

b a A

     

=

a b

B 0 0

Ambil sembarang matriks A, B ∈ W Pilih a ≠ b :

, jelas bahwa det (A) = 0

, jelas bahwa det (A) = 0

B

A

+

_

  

 

a b

b a Perhatikan bahwa :

=

Jadi D bukan merupakan subruang

karena tidak tertutup terhadap operasi penjumlahan

Karena a ≠ b

06/06/2015 7:35 12 u

1

v v₂ v_n

n

n

v

k

v

k

v

k

u

=

₁

₁

+

₂

₂

+

...

+

Kombinasi Linear

Sebuah vektor dinamakan kombinasi linear

dari vektor – vektor

, , … ,

jika vektor – vektor tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk :

dimana k₁, k₂, …, k_n adalah skalar Riil.

06/06/2015 7:35 13

Contoh

u

v

a

b

c

Misal = (2, 4, 0), dan

Apakah vektor berikut merupakan kombinasi linear dari vektor–vektor di atas

= (4, 2, 6)

c. = (0, 0, 0)

adalah vektor-vektor di R3_.

= (1, –1, 3)

06/06/2015 7:35 14 sehingga kesamaan tersebut dipenuhi.

Ini dapat ditulis menjadi:

Jawab :

dengan OBE (Operasi Baris Elementer), diperoleh:

06/06/2015 7:35 16

ini dapat ditulis menjadi:

06/06/2015 7:35 17

dengan OBE dapat kita peroleh :

Baris terakhir pada matriks ini menunjukkan bahwa

SPL tersebut adalah tidak konsisten

(tidak mempunyai solusi).

Jadi, tidak ada nilai k1 dan k2 yang memenuhi

06/06/2015 7:35 18 c. Dengan memilih k₁ = 0 dan k₂ = 0,

maka dapat ditulis c

v k u

k1r+ 2r = r

artinya vektor nol merupakan kombinasi linear dari vektor apapun.

1

v

2 v

3

v

Himpunan vektor

dikatakan membangun suatu ruang vektor V

jika setiap vektor pada V selalu dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor–vektor di S.

= (1, 1, 2),

= (1, 0, 1), dan

= (2, 1, 3)

Membangun dan Bebas Linear

{

v v vn

}

S = ₁, ₂,...,

Contoh :

Tentukan apakah

06/06/2015 7:35 20

  

 

  

 

=

  

 

  

 

  

 

  

 

3 2 1

3 2 1

3 1 2

1 0 1

2 1 1

u u u

k k k

Jawab :

Misalkan:

.

Tulis :

.

Sehingga dapat ditulis dalam bentuk : Ambil sembarang vektor di R2

3 3 2 2 1

1v k v k v

k

u = + +

  

 

  

 

=

3 2 1

u u u u

06/06/2015 7:35 21

Syarat agar dapat dikatakan kombinasi linear, maka

SPL tersebut harus mempunyai solusi (konsisten)

Dengan OBE diperoleh :

haruslah u₃ – u₂ – u₁ = 0

Agar SPL itu konsisten

Ini kontradiksi dengan pengambilan vektor sembarang (unsur–unsurnya bebas, tak bersyarat)

Dengan demikian vektor – vektor tersebut

tidak membangun R3

  

 

  

 

=

  

 

  

 

  

 

  

 

3 2 1

3 2 1

3 1 2

1 0 1

2 1 1

u u u

06/06/2015 7:35 22

{

u

u

u

n

}

S

=

₁

,

₂

,...,

Misalkan

0 ...

1 2 1

1u +k u + +knun = k

0

1 =

k k₂ =0

k

_n

=

0

S dikatakan bebas linear (linearly independent)

hanya mempunyai satu solusi (tunggal), yakni

,...,

adalah himpunan vektor di ruang vektor V

JIKA SPL homogen :

,

Jika solusinya tidak tunggal

(Bergantung linear /linearly dependent)

maka S kita namakan himpunan tak bebas linear

Bebas Linear

(

−1, 3, 2

)

=

u a =

(

1,1,−1

)

0 2 1

r r r

= +k a u k

  

 

  

  =      

  

 

  

 

− 0

0 0

1 2

1 3

1 1

-2 1

k k

Diketahui dan

Apakah saling bebas linear di R3

Tulis

atau

Contoh :

06/06/2015 7:35 24

dengan demikian diperoleh solusi tunggal yaitu : k₁ = 0, dan k₂ = 0.

Apakah ketiga vektor diatas saling bebas linear R3

Contoh :

06/06/2015 7:35 26 ~

0 1 0

0 4 0

2 1 1

  

 

  



 − −

  

 

  



 − −

0 0 0

0 1 0

2 1 1

c b a, ,

dengan OBE diperoleh :

Ini menunjukan bahwa

k₁, k₂, k₃ mrp solusi tak hingga banyak

adalah vektor-vektor yang bergantung linear

Jadi

  

 

  

 

− −

− −

4 1 2

6 1 3

2 1 1

  

 

  

 

3 2 1

k k k

  

 

  

 

0 0 0

=

Basis dan Dimensi

Jika V adalah sembarang ruang vektor dan S = { ū1, ū2, … , ūn} merupakan

himpunan berhingga dari vektor–vektor di V,

maka S dinamakan basis bagi V jika kedua syarat berikut dipenuhi :

06/06/2015 7:35 28

Contoh :

Tunjukkan bahwa himpunan matriks berikut :

merupakan basis bagi matriks berukuran 2 x 2

Jawab :

Tulis kombinasi linear :

atau

dengan menyamakan setiap unsur pada kedua matriks, diperoleh SPL :

06/06/2015 7:35 30 Karena M bebas linear dan membangun M_{2 x 2}

maka M merupakan basis bagi M_{2 x 2}. Ingat…

Basis untuk setiap ruang vektor adalah tidak tunggal.

Contoh :

Untuk ruang vektor dari M_{2 x 2}, himpunan matriks :

  

  

                       

1 0

0 0 , 0 1

0 0 , 0 0

1 0 , 0 0

0 1

juga merupakan basisnya.

  

 

  

 

− − − − − =

1 2 2 1

1 3 2 1

1 1 2 1

A Vektor baris

Vektor kolom Misalkan matriks :

dengan melakukan OBE diperoleh :

06/06/2015 7:35 32 matriks A mempunyai basis ruang kolom yaitu :

    

    

  

 

  

 −

  

 

  

 −

2 3 1 , 1 1 1

basis ruang baris diperoleh dengan cara, Mentranspose-kan terlebih dahulu matriks A, lakukan OBE pada At_{, sehingga diperoleh :}

    

 

    

 

− − − − − =

1 2 1 3 1

1

2 2 2

1 1 1

A

06/06/2015 7:35 33

Kolom-kolom pada matriks hasil OBE yang memiliki satu utama berseseuaian dengan matriks asal (A). Ini berarti,

matriks A tersebut mempunyai basis ruang baris :

      

      

    

 

    

 

−

    

 

    

 

− − −

1 3 2 1

,

1 1 2 1

Dimensi basis ruang baris = ruang kolom dinamakan rank.