4.2. Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga

4.2. Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga

Sebenarnya pengertian vektor pada bidang diamensi dua sama halnya pengertian vektor dalam ruang dimensi tiga, jika vektor pada bisang mempunyai dua komponen, maka vektor dalam ruang mempunyai tiga komponen. Yaitu ;

Dimana

i ,

,

j

k

merupakan vektor satuan atau vektor basis pada arah ketiga sumbu, atau

i

vektor satuan searah sumbu-

x

,

j

vektor satuan searah sumbu-

y

dan

k

_{vektor satuan searah dengan}

sumbu-z

Panjang vektor

u

ditunjukan oleh

u

yang merupakan rumus jarak yaitu : 2 3 2 2 2 1

u

u

u

u







secara koordinat dimensi tiga digambarkan seperti Gambar 4.12

Jika diketahui dua vektor

u



u

₁

,

u

₂

,

u

₃ dan

v



v

₁

,

v

₂

,

v

₃ maka yang disebut Hasil Kali Titik didefinisikan sebagai berikut :

Z X Y

i

k

j

u

Gambar 4.12. Vektor dalam Ruang Diamensi Tiga

k

u

j

u

i

u

u

u

u

u



₁

,

₂

,

₃



₁



₂



₃

Tentukan sudut



ABC

jika

A





1

,



2

,

3



,

B





2

,

4

,



6



dan



5

,



3

,

2





C

dan Gamarkan

Jika digamabar sebagai berikut :

Misalkan vektor

u

adalah vektor yang titik asalnya di titik

B

dan titik ujungnya di titik

A

atau vektor

BA

 dan vektor

v

adalah vektor yang titik asalnya di titik

B

dan titik ujungnya di titik

C

atau vektor

BC

 , maka vektor

u

dan

v

dapat ditentukan sebagai berikut.

.





(

1



2

),

(



2



4

),

(

3



(



6

))





1

,



6

,

9



u

BA

.





(

5



2

),

(



3



4

),

(

2



(



6

))



3

,



7

,

8



v

BC



v

u

v

u

Cos











2

,

4

,



6





B



C





5

,



3

,

2







1

,



2

,

3





A



.



Contoh 4.13 :

Penyelesaian 4.13 :



Cos

v

u

v

u





3 3 2 2 1 1

v

u

v

u

v

u

v

u











2 2 2



2 2 2



8

)

7

(

3

9

)

6

(

)

1

(

)

8

)(

9

(

)

7

)(

6

(

)

3

)(

1

(





























Cos



1

36

81



9

49

64



72

42

3



















Cos

  

118

122

111





Cos



10

,

863



11

,

045



111





Cos

925

,

0

9818

,

119

111

_





Cos

0

31

,

22





4.2.1. Sudut dan Kosinus Arah

Jika diketahui suatu vektor yaitu vektor

u

, sudut yang tak nol antara vektor

u

dengan vektor satuan yang searah dengan sumbu koordinat yaitu

i

,

j

dan

k

disebut sudut-sudut arah vektor

u

, jika sudut-sudut tersebut dilambangkan dengan ,  dan , jika vektor

u

dinyatakan sebagai

u



u

₁

i



u

₂

j



u

₃

k

, maka sudut-sudut itu dinyatakan sebagai , dan dimana secara rumus diberikan :

u

u

i

u

ui

Cos







1

u

u

j

u

uj

Cos







2

u

u

k

u

uk

Cos







3

Berlaku juga

Cos

2





Cos

2





Cos

2





1

seperti Gambar 4.13



Diketahui vektor

u



2

i



3

j



4

k

tentukan sudut-sudut arah untuk vektor

u

Diketahui vektor

u



2

i



3

j



4

k

, maka

29

16

9

4

4

3

2

2



2



2











u



29

2





Cos



29

3





Cos



29

4





Cos

Gambar 4.13. Sudut-Sudut Arah Vektor

k

j

u

i

Z X Y

Contoh 4.14 :

Penyelesaian 4.14 :

4.2.2. Bidang Dibentuk Oleh Vektor

Untuk melukiskan sebuah bidang ada beberapa cara, salah satunya dengan menggunakan bahasa vektor atau dengan menggunakan bantuan vektor, misalkan

n



A

,

B

,

C

adalah sebuah vektor yang tak nol dan

P

₁



x

₁

,

y

₁

,

z

₁



_{adalah titik tetap, jika koordinat}

P



x

,

y

,

z



yang memenuhi persamaan ₁





0



n

P

P

adalah sebuah bidang yang melalui 1

P

dan tegak lurus

n

, seperti pada Gambar 4.14

karena vektor

n



A

,

B

,

C

tegak lurus dengan vektor

P

1

P

atau

0

1







n

P

P

atau : 

x



x

₁

,

y



y

₁

,

z



z

₁



A

,

B

,

C



0



A



x



x

₁

 



B

y



y

₁

 



C

z



z

₁





0

Sehingga secara umum jika diketahui sebuah vektor

n



A

,

B

,

C

yang tegak lurus pada sebuah bidang di titik

P

₁



x

₁

,

y

₁

,

z

₁



, maka persamaan bidang dapat ditentukan yaitu :

C

B

A

n



,

,





1 1 1



1

x

,

y

,

z

P

P



x

,

y



,

z



1 1 1 1

P

x

x

,

y

y

,

z

z

P









Bidang Gambar 4.14. Bidang Melalui titik P1



x



x

₁

 



B

y



y

₁

 



C

z



z

₁





0

A

Tentukan persamaan bidang yang melalui titik

P



2

,

4

,

3



dan tegak lurus dengan vektor

n



4

,

3

,

6

Diketahui titik

P



2

,

4

,

3



sehingga didapat nilai

x

₁



2

,

y

₁



4

, dan

3

1



z

serta vektor

n



4

,

3

,

6

sehingga didapat nilai

A



4

,

B



3

, dan

C



6

, karena rumus untuk menentukan persamaan bidang adalah

A



x



x

1

 



B

y



y

1

 



C

z



z

1





0

, maka :



A



x



x

₁

 



B

y



y

₁

 



C

z



z

₁





0



4



x



2

 



3

y



4

 



6

z



3





0



4

x



8



3

y



12



6

z



18



0



4

x



3

y



6

z



38

Tentukan persamaan bidang yang melalui titik

P





4

,

2

,



3



dan tegak lurus dengan vektor

n



2

i



6

j



4

k

Diketahui titik

P





4

,

2

,



3



sehingga didapat nilai

x

₁





4

,

y

₁



2

, dan

z

₁





3

serta vektor

n



2

i



6

j



4

k

sehingga didapat nilai

2



A

,

B



6

, dan

C





4

, karena rumus untuk menentukan persamaan bidang adalah

A



x



x

₁

 



B

y



y

₁

 



C

z



z

₁





0

, maka :



A



x



x

₁

 



B

y



y

₁

 



C

z



z

₁





0



2



x



 



4

 



6

y



2





4



z



 



3





0



2

x



8



6

y



12



4

z



12



0



2

x



6

y



4

z



16

Contoh 4.15 :

Penyelesaian 4.15 :

Contoh 4.16 :

Penyelesaian 4.16 :

4.2.3. Jarak Titik Ke Bidang

Jika diberikan suatu titik

P



x

₀

,

y

₀

,

z

₀



dan sebuah bidang yang mempunyai persamaan

Ax



By



Cz



D

, maka jika

L

menyatakan suatu jarak dari titik tertentu ke suatu bidang, maka jarak itu dinyatakan dengan rumus :

Pandang sebuah bidang seperti Gambar 4.15

Misalkan titik



x

₁

,

y

₁

,

z

₁



terletak pada bidang datar, andaikan



x

0

x

1

,

y

0

y

1

,

z

0

z

1



m









adalah vektor dari titik



x

₁

,

y

₁

,

z

₁



ke titik



x

₀

,

y

₀

,

z

₀



.

C

B

A

n



,

,

adalah vektor yang tegak lurus terhadap bidang yang diberikan, maka bilangan

L

adalah proyeksi vektor

m

pada

n

, maka diperoleh : 

n

n

m

m

L



cos











 

 



2 2 2 1 0 1 0 1 0

C

B

A

z

z

C

y

y

B

x

x

A

L

















2 2 2 0 0 0

C

B

A

D

Cz

By

Ax

L













L



x

0

,

y

0

,

z

0





x

₁

,

y

₁

,

z

₁



 

m



C

B

A

n



,

,

 2 2 2 1 0 1 0 1 0

C

B

A

Cz

Cz

By

By

Ax

Ax

L























2 2 2 1 1 1 0 0 0

C

B

A

Cz

By

Ax

Cz

By

Ax

L

















 2 2 2 0 0 0

C

B

A

D

Cz

By

Ax

L













karena titik



x

₁

,

y

₁

,

z

₁



terletak pada bidang, maka

Ax

₁



By

₁



Cz

₁



D

Tentukan jarak titik

P





4

,

2

,



3



ke bidang

3

x



4

y



5

z



9

Dari bidang datar

3

x



4

y



5

z



9

diketahui nilai

A



3

,

B





4

,

5



C

, dan

D



9

, dari titik

P





4

,

2

,



3



diketahui nilai

x

₁





4

,

2

1



y

, dan

z

₁





3

, maka jarak titik

P





4

,

2

,



3



ke bidang

9

5

4

3

x



y



z



adalah :  2 2 2 0 0 0

C

B

A

D

Cz

By

Ax

L













 2 2 2

5

)

4

(

3

9

)

3

)(

5

(

)

2

)(

4

(

)

4

)(

3

(





















L



25

16

9

9

15

8

12















L



50

41



L

Contoh 4.17 :

Penyelesaian 4.17 :

4.2.4. Dua Bidang Sejajar

Diketahui ada dua buah bidang yang masing-masing mempunyai persamaan

A

₁

x



B

₁

y



C

₁

z



D

₁ dan

A

₂

x



B

₂

y



C

₂

z



D

₂ kedua bidang dikatakan sejajar jika :

2 1

A

A



,

B

₁



B

₂,

C

₁



C

₂ dan

D

₁



D

₂, Catatan :

 Suatu titik

P



a

,

b

,

c



dikatakan terletak pada bidang 1

1 1

1

x

B

y

C

z

D

A







jika

A

₁

 

a



B

₁

 

b



C

₁

 

c



D

₁

 Suatu titik

P



a

,

b

,

c



dikatakan terletak pada bidang 2

2 2

2

x

B

y

C

z

D

A







_jika

A

₂

 

a



B

₂

 

b



C

₂

 

c



D

₂

Diketahui sebuah bidang dengan persamaan

3

x



4

y



2

z



8

, tentukan sebuah bidang yang melalui titik

P



2

,

2

,

2



dan sejajar dengan bidang

3

x



4

y



2

z



8

Diketahui bidang dengan persamaan

3

x



4

y



2

z



8

, maka bidang yang sejajar dengan bidang

3

x



4

y



2

z



8

adalah

2

2

4

3

x



y



z



D

, karena bidang yang sejajar dengan bidang

8

2

4

3

x



y



z



melalui titik

P



2

,

2

,

2



, maka diperoleh nilai

D

₂ yaitu



3

x



4

y



2

z



D

₂



3

     

2



4

2



2

2



D

₂



6



8



4



D

₂



D

₂



10

Sehingga persamaan bidang yang sejajar dengan bidang

8

2

4

3

x



y



z



dan melalui titik

P



2

,

2

,

2



adalah

3

x



4

y



2

z



10

Contoh 4.18 :

Diketahui dua bidang sejajar yaitu bidang I :

5

x



3

y



4

z



12

, dan bidang II :

5

x



3

y



4

z



4

, berapa jarak kedua bidang yang sejajar itu

Jika kita ilustrasikan dengan gambar, sebagai berikut :

Untuk menentukan jarak kedua bidang itu atau

L

, maka kita harus menentukan sebuah titik

P



a

,

b

,

c



yang terletak pada bidang II, caranya adalah :



5

x



3

y



4

z



4

jika kita beri nilai

x



1

dan

y



1

, maka diperoleh : 

5

   

1



3

1



4

z



4



5



3



4

z



4



8



4

z



4





4

z





4



z



1

Sehingga diperoleh titik yang terletak pada bidang

5

x



3

y



4

z



4

yaitu

P

 

1

,

1

,

1

, dan untuk mengetahui jarak kedua bidang kita gunakan jarak sebuah titik ke bidang, dalam hal ini kita tentukan jaraka titik

P



1

,

1

,



1



ke bidang I yaitu

5

x



3

y



4

z



12

dengan menggunakan rumus : 2 2 2 0 0 0

C

B

A

D

Cz

By

Ax

L













Contoh 4.19 :

Penyelesaian 4.19 :

12

4

3

5

:

x



y



z



I

Bid

4

4

3

5

:

x



y



z



II

Bid

L



a

b

c





P

,

,

 2 2 2 0 0 0

C

B

A

D

Cz

By

Ax

L















     

 

2 2 2

4

3

5

12

1

4

1

3

1

5















L



16

9

25

12

4

3

5













L



50

8





L



50

8



L

Sehingga diperoleh jarak bidang I :

5

x



3

y



4

z



12

ke bidang II :

4

4

3

5

x



y



z



adalah

50

8

4.2.5. Dua Bidang Tegak Lurus

Jika diketahui dua bidang yaitu bidang I

A

₁

x



B

₁

y



C

₁

z



D

₁ dan bidang II

A

₂

x



B

₂

y



C

₂

z



D

₂, dua bidang tersebut dikatakan tegak lurus seperti Gambar 4.16

1 1 1 1

x

B

y

C

z

D

A







2 2 2 2

x

B

y

C

z

D

A







2 2 2

,

B

,

C

A

m



1 1 1

,

B

,

C

A

n



Dari Gambar 4.16 dapat diketahui, bahwa vektor

n



A

₁

,

B

₁

,

C

₁

adalah vektor yang tegak lurus bidang I

A

₁

x



B

₁

y



C

₁

z



D

₁, sedangkan vektor

m



A

₂

,

B

₂

,

C

₂ adalah vektor yang tegak lurus bidang II

A

₂

x



B

₂

y



C

₂

z



D

₂, bidang I dikatakan tegak lurus bidang II jika vektor

n



A

₁

,

B

₁

,

C

₁ tegak lurus vektor

2 2 2

,

B

,

C

A

m



, dua buah vektor

n



A

₁

,

B

₁

,

C

₁ dan vektor 2

2 2

,

B

,

C

A

m



dikatakan tegak lurus jika

n



m



0

atau

0

2 1 2 1 2 1

A



B

B



C

C



A

Diketahui dua buah bidang yaitu bidang I dengan persamaan

7

2

3

2

x



y



z



dan bidang II dengan persamaan

x



2

y



2

z



9

apakah kedua bidang tersebut tegak lurus ?

Diketahui bidang I

2

x



3

y



2

z



7

maka vektor yang tegak lurus bidang I adalah

n



2

,

3

,

2

, bidang II

x



2

y



2

z



9

maka vektor yang tegak lurus bidang II adalah

m



1

,



2

,

2

, dua bidang tersebut dikatakan saling tegak lurus jika

n



m



0

, maka :



n



m



0



A

₁

A

₂



B

₁

B

₂



C

₁

C

₂



0



        

2

1



3



2



2

2



0



2



6



4



0



0



0

Karena

n



m



0

artinya vektor

n



2

,

3

,

2

saling tegak lurus dengan vektor

m



1

,



2

,

2

, akibatnya bidang I

2

x



3

y



2

z



7

tegak lurus bidang II

x



2

y



2

z



9

Contoh 4.20 :

Diketahui dua buah bidang yaitu bidang I dengan persamaan

9

4

3

x



y



z



dan bidang II dengan persamaan



2

x



by



2

z



12

tentukan nilai

b

agar kedua bidang itu tegak lurus

Diketahui bidang I

3

x



4

y



z



9

maka vektor yang tegak lurus

bidang I adalah

n



3

,



4

,

1

dan bidang II



2

x



by



2

z



12

maka vektor yang tegak lurus bidang II adalah

m





2 b

,

,

2

, agar kedua bidang itu tegak lurus, maka haruslah kedua vektor

n



3

,



4

,

1

dan

2

,

,

2 b

m





juga harus tegak lurus, vektor

n



3

,



4

,

1

tegak lurus vektor

m





2 b

,

,

2

jika

n



m



0



n



m



0



A

₁

A

₂



B

₁

B

₂



C

₁

C

₂



0



        

3



2





4

b



1

2



0





6



4

b



2



0





4



4

b



0





4

b



4



b





1

Sehingga agar bidang I

3

x



4

y



z



9

tegak lurus bidang II

12

2

2









x

by

z

, maka nilai

b





1

Contoh 4.20 :

Penyelesaian 4.20 :

4.2.6. Soal-Soal Latihan

A. Untuk tiap pasangan titik

P

₁ dan

P

₂ dibawah ini, berikan sketsa ruas garis berarah

P

₁

P

₂dan kemudian tulis vektornya dalam bentuk

ai



bj



ck

1.

P

₁



1

,

2

,

3



dan

P

₂



4

,

5

,

1



2.

P

₁





1

,

3

,



3



dan

P

₂





2

,

4

,

1



3.

P

₁



0

,

2

,

0



dan

P

₂

 

1

,

1

,

1

4.

P

1





2

,



1

,



3



dan

P

2





4

,

0

,

2



B. Tentukan sudut antara vektor

m

dan vektor

n

di bawah ini 1.

m



4

,



3

,



2

dan

n





1

,

2

,

5

2.

m



2

,



4

,



1

dan

n



2

,



2

,

3

3.

m



1

,

3

,



3

dan

n



1

,



2

,

1

4.

m



2

i



3

j



5

k

dan

n



i



j



k

C. Tentukan Persamaan Bidang yang melalui titik

P

dan tegak lurus vektor

n

1.

P



1

,



1

,

5



dan

n



2

i



2

j



3

k

2.

P



2

,

1

,

3



dan

n



3

i



2

j



k

3.

P



1

,



1

,

1



dan

n



i



4

j



2

k

4.

P



3

,



1

,



5



dan

n





2

i



3

j



2

k

D. Tentukan Persamaan Bidang yang Melalui titik

P

dan Sejajar dengan bidang

Ax



By



Cz



D

1.

P



1

,



1

,

1



dan bidang



2

x



4

y



2

z



3

2.

P





1

,

2

,



3



dan bidang

2

x



4

y



z



6

3.

P





4

,



1

,

2



dan bidang

2

x



3

y



4

z



0

E. Tentukan Jarak Titik

P

ke Bidang

Ax



By



Cz



D

1.

P



1

,



1

,

2



dan bidang

x



3

y



z



7

2.

P



2

,

6

,

3



dan bidang



3

x



2

y



z



9

F. Tentukan Jarak Bidang-Bidang Sejajar Berikut 1.



3

x



2

y



z



9

dan bidang

6

x



4

y



2

z



19

4.3. Hasil Kali Silang (Cross Product)

Sudah kita ketahui bahwa hasilkali titik dari dua buah vektor 3

2 1

,

u

,

u

u

u



dan vektor

v



v

₁

,

v

₂

,

v

₃ adalah sebuah scalar yaitu melalui rumus :

Lain halnya dengan hasilkali silang (cross product) yang menghasilkan sebuah vektor, jika diketahui dua buah vektor

u



u

₁

,

u

₂

,

u

₃ dan

3 2 1

,

v

,

v

v

v



maka yang disebut hasil kali silang dirumuskan sebagai berikut :

Untuk memperlancar pembahasan hasilkali silang, kita ingat kembali cara menghitung Determinan, misalnya :

1. Determinan 2x2

Misal diketahui determinan A dengan orde 2x2 yaitu :

bc

ad

d

c

b

a

A







2. Determinan 3x3

Misalkan diketahui determinan A dengan orde 3x3 yaitu :

3 2 1 3 2 1 3 2 1

c

c

c

b

b

b

a

a

a

A



2 1 2 1 3 3 1 3 1 2 3 2 3 2 1

c

c

b

b

a

c

c

b

b

a

c

c

b

b

a







3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 3 2 1 3 2 1 3 2 1 2 3 2 1 3 2 1 3 2 1 1

c

c

c

b

b

b

a

a

a

a

c

c

c

b

b

b

a

a

a

a

c

c

c

b

b

b

a

a

a

a







3

3

2

2

1

1

v

u

v

u

v

u

v

u









1

2

2

1

3

1

1

3

2

3

3

2

v

u

v

,

u

v

u

v

,

u

v

u

v

u

uxv









Sehingga jika kita identikan dimana

u



u

₁

,

u

₂

,

u

₃ dan 3 2 1

,

v

,

v

v

v



maka : 3 2 1 3 2 1

v

v

v

u

u

u

k

j

i

uxv



k

v

v

u

u

j

v

v

u

u

i

v

v

u

u

2 1 2 1 3 1 3 1 3 2 3 2

_

_





u

2

v

3



u

3

v

2

 

i



u

1

v

3



u

3

v

1

 

j



u

1

v

2



u

2

v

1



k





u

2

v

3



u

3

v

2

 

i



u

3

v

1



u

1

v

3

 

j



u

1

v

2



u

2

v

1



k



1 2 2 1 3 1 1 3 2 3 3 2

v

u

v

,

u

v

u

v

,

u

v

u

v

u

uxv









Jika kita menukar

uxv

menjadi

vxu

maka komponen vektor

u

menempati baris ke tiga dan komponen vektor

v

menempati baris ke dua, yaitu : 3 2 1 3 2 1

u

u

u

v

v

v

k

j

i

vxu



k

u

u

v

v

j

u

u

v

v

i

u

u

v

v

2 1 2 1 3 1 3 1 3 2 3 2

_

_





v

₂

u

₃



v

₃

u

₂

 

i



v

₁

u

₃



v

₃

u

₁

 

j



v

₁

u

₂



v

₂

u

₁



k





v

₂

u

₃



v

₃

u

₂

 

i



v

₃

u

₁



v

₁

u

₃

 

j



v

₁

u

₂



v

₂

u

₁



k



1 2 2 1 3 1 1 3 2 3 3 2

u

v

u

,

v

u

v

u

,

v

u

v

u

v

vxu









Misalkan

u



1

,



2

,



1

dan

v





2

,

4

,

1

tentukan

u



v

dan

v



u



1

4

2

1

2

1











k

j

i

v

u

Contoh 4.21 :

Penyelesaian 4.21 :

k

j

i

4

2

2

1

1

2

1

1

1

4

1

2





















(



2

)(

1

)



(

4

)(



1

)

 

i



(

1

)(

1

)



(



2

)(



1

)

 

j



(

1

)(

4

)



(



2

)(



2

)



k







2



4

 

i



1



2

 

j



4



4



k



u



v



2

i



j



0

k



1

2

1

1

4

2











k

j

i

u

v

k

j

i

2

1

4

2

1

1

1

2

1

2

1

4





















(

4

)(



1

)



(



2

)(

1

)

 

i



(



2

)(



1

)



(

1

)(

1

)

 

j



(



2

)(



2

)



(

1

)(

4

)



k







4



2

 

i



2



1

 

j



4



4



k



v



u





2

i



j



0

k

4.3.1. Tafsiran Geometri u x v

Arti dari hasil kali silang juga perlu digambarkan secara geometri untuk memperjelas.

Teorema A :

Andaikan

u

dan

v

vektor-vektor dalam ruang dimensi tiga dan



sudut antara mereka, maka :

1.

u



 

uxv



0



v



 

uxv

berarti

uxv

tegak lurus terhadap u dan v

2. u, v dan

uxv

membentuk suatu system tangan kanan rangkap tiga

Bukti :

Misalkan diketahui dua buah vektor yaitu

u



u

₁

,

u

₂

,

u

₃ dan 3

2 1

,

v

,

v

v

v



maka sesuai dengan rumus hasilkali silang didapat 1 2 2 1 3 1 1 3 2 3 3 2

v

u

v

,

u

v

u

v

,

u

v

u

v

u

uxv









, sehingga diperoleh :



u



 

uxv



u

1



u

2

v

3



u

3

v

2





u

2



u

3

v

1



u

1

v

3





u

3



u

1

v

2



u

2

v

1



1 2 3 2 1 3 3 1 2 1 3 2 2 3 1 3 2 1

u

v

u

u

v

u

u

v

u

u

v

u

u

v

u

u

v

u













1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1

u

v

u

u

v

u

u

v

u

u

v

u

u

v

u

u

v

u













1 3 2 1 3 2 2 3 1 2 3 1 3 2 1 3 2 1

u

v

u

u

v

u

u

v

u

u

v

u

u

v

u

u

v

u













u



 

uxv



0

Artinya vektor

uxv

tegak lurus terhadap vektor

u

Teorema B :

Dua vektor

u

dan

v

dalam ruang dimensi tiga adalah sejajar jika dan hanya jika u x v = 0

Penerapan dari hasil kali silang kedua vector salah satunya adalah untuk menentukan persamaan bidang yang melalui tiga titik yang tidak segaris.

Misalkan diketahui tiga titik yaitu

A



a

₁

,

a

₂

,

a

₃



,

B



b

₁

,

b

₂

,

b

₃



dan



c

1

,

c

2

,

c

3



C

, dari ketiga titik tersebut dapat diketahui dua buah vektor yaitu vektor

AB



b

₁



a

₁

,

b

₂



a

₂

,

b

₃



a

₃

  dan vektor 3 3 2 2 1 1

a

,

c

a

,

c

a

c

AC









  . Vektor

AB

AC





pi



qj



rk

























 

adalah vektor yang melalui titik



a

1

,

a

2

,

a

3



A

dan tegak lurus bidang yang memuat titik

A



a

₁

,

a

₂

,

a

₃



,



b

1

,

b

2

,

b

3



B

dan

C



c

₁

,

c

₂

,

c

₃



, maka bidang yang memuat tiga titik



a

1

,

a

2

,

a

3



A

,

B



b

₁

,

b

₂

,

b

₃



dan

C



c

₁

,

c

₂

,

c

₃



mempunyai persamaan :



x



a

1

 



q

y



a

2

 



r

z



a

3





0

Tentukan persamaan bidang yang melalui tiga titik

P

₁



1

,



2

,

3



, titik



4

,

1

,

2



2



P

dan titik

P

3





2

,



3

,

0



Misalkan vector

u



P

₂

P

₁dan

v



P

₂

P

₃sehingga kita dapat menentukan vector

u

dan vector

v

yaitu :





_{2 1}





1



4

 

,



2



1

 

,

3



(



2

)







3

,



3

,

5

   

P

P

u

k

j

i

P

P

u



_{2 1}





3



3



5

    



_{2 3}







2



4

 

,



3



1

)

 

,

0



(



2

)







6

,



4

,

2

   

P

P

v

k

j

i

P

P

v



_{2 3}





6



4



2

    Diperoleh :

2

4

6

5

3

3











k

j

i

uxv

k

j

i

4

6

3

3

2

6

5

3

2

4

5

3































 















(

3

)(

2

)

(

4

)(

5

)

i

(

3

)(

2

)

(

6

)(

5

)

j



(



3

)(



4

)



(



6

)(



3

)



k





6



20

 

i





6



30

 

j



12



18



k



k

j

i

24

6

14







Sehingga bidang yang melalui titik

P

₂



4

,

1

,



2



dengan normal

k

j

i

24

6

14





mempunyai persamaan :





₁

 





₁

 





₁





0



A

x

x

B

y

y

C

z

z



4



24



1

 

6

2



0

14















x

y

z

0

12

6

24

24

56

14















x

y

z

0

12

24

56

6

24

14















x

y

z

44

6

24

14









x

y

z

Contoh 4.22 :

Penyelesaian 4.22 :

Atau dapat juga ditentukan dengan mengambil titik

P

₁



1

,



2

,

3



karena titik

P

₁ juga terletak pada bidang dengan normal

14

i



24

j



6

k

mempunyai persamaan :





₁

 





₁

 





₁





0



A

x

x

B

y

y

C

z

z



1



24



2

 

6

3



0

14















x

y

z

0

18

6

48

24

14

14















x

y

z

0

18

48

14

6

24

14















x

y

z

44

6

24

14









x

y

z

Perlihatkan bahwa luas jajaran genjang yang dibentuk oleh vector 

u

 dan 

v

 sebagai sisi berdampingan adalah

u .

.

x

v

Jika kita gambarkan secara geometri, maka sebagai berikut :

Karena luas jajaran genjang itu adalah

Luas



alas

.

x

.

tinggi

dimana

v

alas

.



dan

tinggi

.



u

Sin



sehingga Luas jajaran genjang itu adalah :



Sin

u

v

L



dan karena

u

.

x

.

v



u

v

Sin



, maka terbukti bahwa luas jajaran genjang di atas adalah

L



u

.

x

.

v



Sin

u

v

u

Contoh 4.23 :

Penyelesaian 4.23 :

Sebuah jajaran genjang yang dibentuk dari dua buah vektor

k

j

i

u



3



2



dan vektor

v



4

i



2

j



3

k

adalah

Diketahui vektor

u



3

i



2

j



k

dan

v



4

i



2

j



3

k

, maka

u



v





3

2

4

1

2

3









k

j

i

v

u



u

v

i

j

k

2

4

2

3

3

4

1

3

3

2

1

2



















u



v





6



2

 

i





9



4

 

j



6



8



k



u



v



4

i



13

j



14

k

Luas jajaran genjang adalah

L



u



v



L



u



v

 2

 

2 2

14

13

4









L



L



16



169



196



L



381

Contoh 4.24 :

Penyelesaian 4.24 :

4.3.2. Soal-Soal Latihan

A. Dikebrikan

u





3

i



2

j



2

k

,

v



i



4

j



3

k

dan

k

j

i

w



2





4

tentukan : 1.

uxv

2.

ux

(

v



w

)

3.

u



(vxw

)

4.

ux

(vxw

)

B. Tentukan vector satuan yang tegak lurus terhadap bidang yang dibentuk oleh tiga titik yaitu :

1.

A





1

,

2

,

0



,

B



5

,



1

,

3



dan

C



4

,

0

,



2



2.

A



0

,



1

,

5



,

B



2

,

2

,

2



dan

C





3

,



4

,

1



C. Tentukan Luas Jajaran Genjang yang dibentuk dari vector A dan B sebagai dua sisi yang berdampingan

1.

A





2

i



j



4

k

dan

B



4

i



2

j



5

k

2.

A



2

i



5

j



2

k

dan

B



3

i



3

j



6

k

D. Tentukan Luas segitiga yang dibentuk dari tiga titik A, B dan C yaitu :

1.

A



3

,

2

,



1



,

B



2

,

4

,

6



dan

C





1

,

2

,

7



2.

A





1

,

2

,

1



,

B



0

,

3

,

0



dan

C



4

,

5

,

6



E. Tentukan persamaan bidang yang melalui tiga titik A, B dan C yaitu

1.

A



2

,

5

,

6



,

B



1

,



1

,

2



dan

C



4

,

0

,

6



2.

A





1

,



2

,



3



,

B



4

,



2

,

1



dan

C



5

,

1

,

6

