Vektor Dalam Ruang Tiga Dimensi (R3)

ELLYSA

KALKULUS 3

VEKTOR PADA RUANG (R

³

)

VEKTOR PADA RUANG

 Vektor pada bidang dapat diperluas dengan memandang vektor tersebut pada ruang.

 Untuk setiap vektor a pada ruang dimensi 3 (R3) memiliki 3 komponen yaitu:

[a₁,a₂,a₃] = a₁i + a₂j + a₃k di mana,

i = [0,0,1] ; j = [0,1,0] ; k = [1,0,0]

yang merupakan vektor-vektor basis pada ruang dimensi 3.

VEKTOR PADA RUANG

 Panjang vektor a:

|a| =

 Hasil kali skalar vektor pada ruang adalah:

a . b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃

= |a||b|cos , dengan  =  (a , b)

 Sudut arah vektor a = a₁i + a₂j + a₃k adalah sudut antara vektor a dengan vektor basis i, j, k.

VEKTOR PADA RUANG







VEKTOR PADA RUANG Contoh Soal 1

Diketahui vektor a = 3i + 5j – k dan b = i – 4j + 2k a) Hitung perkalian skalar vektor a dan b

b) Hitung kosinus sudut vektor a dan b

VEKTOR PADA RUANG Penyelesaian Soal 1

a) a.b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃

= 3.1 + 5.(-4) + (-1).2 = 3 – 20 – 2 = - 19 b) Cos  = a.b

=

= -

PERSAMAAN BIDANG

 Cara yang mudah untuk memperoleh persamaan bidang adalah dengan menggunakan konsep vektor.

 Misalkan W adalah sebarang bidang dan P(x, y, z) sebarang titik di W. Pilih titik tetap Q(a, b, c) di W.

 Sebut vektor r = [(x-a), (y-b), (c-z)] dan n = [A, B, C]

vektor tetap tak nol yang tegak lurus bidang W, maka

PERSAMAAN BIDANG Contoh Soal 2

a) Cari persamaan bidang yang melalui (- 4, - 1, 2) dan tegak lurus n = [1, -5, 1]

b) Cari kosinus sudut antara bidang tersebut dengan bidang x – 2y + 7z = 5.

PERSAMAAN BIDANG Penyelesaian Soal 2

a) Persamaan bidangnya adalah:

1(x + 4) + (-5)(y + 1) + 1(z – 2) = 0 x + 4 – 5y – 5 + z – 2 = 0

x – 5y + z = 3

b) Vektor m = [1, -2, 7] adalah vektor yang tegak lurus pada bidang x – 2y + 7z = 5.

HASILKALI SILANG (CROSS-PRODUCT)

 Untuk setiap vektor a dan b pada ruang, perkalian silang kedua vektor tersebut didefinisikan sebagai berikut:

a x b = [a₂b₃ – a₃b₂, a₃b₁ – a₁b₃, a₁b₂ – a₂b₁]

 Secara alternatif a x b adalah determinan matriks

 Panjang vektor a x b diberikan oleh:

|a x b| = |a||b| sin θ, di mana θ adalah sudut terkecil antara vektor a dan vektor b.

HASILKALI SILANG (CROSS-PRODUCT) Contoh Soal 3

Diketahui a = [-1, 3, 5] dan b = [2, 1, -5].

Hitung a x b ?

HASILKALI SILANG (CROSS-PRODUCT) Penyelesaian Soal 3

SIFAT-SIFAT PERKALIAN SILANG

 Misalkan a, b, dan c vektor-vektor pada ruang.