RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
(RPP)
(RPP)
Nama Sekolah
Nama Sekolah : SMA Hang Tuah 5 : SMA Hang Tuah 5 SidoarjoSidoarjo Mata
Mata Pelajaran Pelajaran : : Matematika Matematika (Peminatan)(Peminatan) Kelas/Semester
Kelas/Semester : : X X / / 22 Materi
Materi Pokok Pokok : : Skalar Skalar dan dan Vektor Vektor serta serta Operasi Operasi Aljabar Aljabar VektorVektor Waktu
Waktu : : 3 3 × × 45 45 menitmenit
Kompetensi Inti Kompetensi Inti
1.
1. Menghayati dan mengamalkan ajaran agama Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya.yang dianutnya. 2.
2. Menunjukkan perilaku jujur, disiplin, tanggung jawab, peduli (gotong royong,Menunjukkan perilaku jujur, disiplin, tanggung jawab, peduli (gotong royong, kerjasama, toleran, damai), santun, responsif, dan pro-aktif sebagai bagian dari solusi kerjasama, toleran, damai), santun, responsif, dan pro-aktif sebagai bagian dari solusi atas berbagai permasalahan dalam berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial atas berbagai permasalahan dalam berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam serta menempatkan diri sebagai cermin
dan alam serta menempatkan diri sebagai cerminan bangsa dalam pergaulan dunia.an bangsa dalam pergaulan dunia. 3.
3. Memahami, menerapkan, menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, proseduralMemahami, menerapkan, menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, prosedural berdasarkan
berdasarkan rasa ingintahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, danrasa ingintahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora
humaniora dengan wawasan dengan wawasan kemanusiaan, kemanusiaan, kebangsaan, kebangsaan, kenegaraan, dan kenegaraan, dan peradabanperadaban terkait penyebab
terkait penyebab fenomena dan fenomena dan kejadian, serta kejadian, serta menerapkan pengetahuan menerapkan pengetahuan proseduralprosedural pada bidang
pada bidang kajian yang spkajian yang spesifik sesuai dengan esifik sesuai dengan bakat dan minatnybakat dan minatnya untuk a untuk memecahkanmemecahkan masalah.
masalah. 4.
4. Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait dengandengan pengembangan
pengembangan dari dari yang yang dipelajarinya dipelajarinya di di sekolah sekolah secara secara mandiri, mandiri, dan dan mampumampu menggunakan metoda sesuai kaidah keilmuan.
menggunakan metoda sesuai kaidah keilmuan.
Kompetensi Dasar dan
Kompetensi Dasar dan IndikatorIndikator 3.5
3.5 Menjelaskan vektor, operasi vektor, panjang vektor, sudut antar vektor dalam ruangMenjelaskan vektor, operasi vektor, panjang vektor, sudut antar vektor dalam ruang berdimensi dua (bidang) dan berdimensi tiga.
berdimensi dua (bidang) dan berdimensi tiga. Indikator:
Indikator: 3.5.1
3.5.1 Membedakan antara skalar dan vektor.Membedakan antara skalar dan vektor. 3.5.2
3.5.2 Menganalisis jumlah vektor.Menganalisis jumlah vektor. 3.5.3
3.5.3 Menganalisis selisih vektor.Menganalisis selisih vektor. 3.5.4
PERTEMUAN I PERTEMUAN I A.
A. Tujuan Tujuan PembelajPembelajaranaran
Setelah selesai melaksanakan kegiatan pembelajaran: Setelah selesai melaksanakan kegiatan pembelajaran: 1.
1. Siswa dapat membedakan antara skalar dan vektor.Siswa dapat membedakan antara skalar dan vektor. 2.
2. Siswa dapat menganalisis jumlah vektor.Siswa dapat menganalisis jumlah vektor. 3.
3. Siswa dapat menganalisis selisih vektor.Siswa dapat menganalisis selisih vektor. 4.
4. Siswa dapat menganalisis hasil kali skalar dengan vektor.Siswa dapat menganalisis hasil kali skalar dengan vektor. B.
B. Materi PembelajaranMateri Pembelajaran Materi Pokok Materi Pokok
Skalar dan Vektor serta Operasi Aljabar Vektor Skalar dan Vektor serta Operasi Aljabar Vektor Materi Prasyarat Materi Prasyarat Aljabar, geometri Aljabar, geometri Fakta Fakta 1.
1. Masalah kontekstual yang diselesaikan dengan sifat-sifat vektor.Masalah kontekstual yang diselesaikan dengan sifat-sifat vektor. 2.
2. Aplikasi fisika yang diselesaikan dengan menggunakan vektor.Aplikasi fisika yang diselesaikan dengan menggunakan vektor. 3.
3. Masalah kontekstual yang berkaitan dengan soal aplikasi vektor atau soal-sMasalah kontekstual yang berkaitan dengan soal aplikasi vektor atau soal-s oaloal seleksi masuk perguruan tinggi.
seleksi masuk perguruan tinggi. Konsep
Konsep 1.
1. Sifat-sifat operasi aljabar vektor.Sifat-sifat operasi aljabar vektor. 2.
2. Operasi perkalian skalar dua vektor.Operasi perkalian skalar dua vektor. Prinsip
Prinsip 1.
1. Definisi besaran skalar dan besaran vektor.Definisi besaran skalar dan besaran vektor. 2.
2. Definisi dua vektor yang sama.Definisi dua vektor yang sama. 3.
3. Besar vektor dalam bidang dan ruang.Besar vektor dalam bidang dan ruang. 4.
4. Segmen garis.Segmen garis. 5.
5. Definisi perkalian skalar dua vektor.Definisi perkalian skalar dua vektor. Prosedur
Prosedur 1.
1. Langkah-langkah menentukan besar vektor dalam bidang dan ruang.Langkah-langkah menentukan besar vektor dalam bidang dan ruang.
C.
C. Model / Metode PembelajaranModel / Metode Pembelajaran Pendekatan
Pendekatan pembelajaran pembelajaran : : Pendekatan Pendekatan saintifik saintifik (( scientific scientific)) Model
Model Pembelajaran Pembelajaran :: Discovery Learning Discovery Learning Metode
D. Kegiatan Pembelajaran
Kegiatan Deskripsi Kegiatan
Alokasi Waktu Pendahuluan Komunikasi
1. Guru mengucapkan salam dan mengarahkan siswa untuk memimpin doa
2. Guru mengecek kehadiran siswa dan meminta siswa untuk menyiapkan perlengkapan dan peralatan yang diperlukan, misalnya buku siswa.
Apersepsi
Guru memberikan gambaran tentang pentingnya
memahami Konsep vektordalam kehidupan sehari-hari. Motivasi
1. Mendorong rasa ingin tahu dan berpikir kritis, siswa diajak memecahkan masalah mengenai bagaimana menemukan Konsep vektor.
2. Guru menyampaikan tujuan pembelajaran yang ingin dicapai.
10 Menit
Inti Mengamati
Guru mengajukan/menunjukkan masalah kepada Siswa untuk diselesaikan/diskusikan dalam menemukan konsep vektor
Menanya
Guru meminta siswa untuk menanyakan tentang masalah atau Membuat pertanyaan mengenai konsep vektor
Mengeksplorasi
Siswa menyelesaikan masalah konsep vektor berdasarkan lembar kerja siswa yang diberikan guru.
Mengasosiasi
Siswa menganalisis dan membuat kategori dari unsur-unsur yang terdapat pada konsep vektor
Mengomunikasikan
Guru mengarahkan siswa untuk menghubungkan unsur-unsur yang sudah dikategorikan/ dikelompokkan sehingga dapat dibuat kesimpulan mengenai konsep vektor
Penutup 1. Guru meminta kepada siswa untuk menyimpulkan materi yang baru dipelajari
2. Guru memberikan tes kepada siswa 3. Guru memberikan tugas rumah (PR)
4. Guru menyampaikan arahan untuk pertemuan selanjutnya
5. Guru mengakhiri kegiatan belajar dengan memberikan pesan untuk tetap belajar dan meningkatkan sikap yang baik di rumah.
15 Menit
Alat / Media / Sumber Pembelajaran 1. White Board , Maker
2. Laptop, Proyektor, Media Presentasi 3. Sumber pembelajaran:
a. Buku Matematika peminatan kelas X untuk SMA penerbit Erlangga b. Buku Matematika peminatan kelas X untuk SMA penerbit Yrama Widya
c. Sumber buku lain, Internet dll.
Penilaian Hasil Belajar
No Aspek yang dinilai Teknik
Penilaian
Waktu Penilaian
1 Aspek sikap
a. Observasi perilaku :
Sikap rasa ingin tahu Sikap aktif/bekerjasama Sikap toleransi Pengamatan / Penskoran Selama pembelajaran dan saat diskusi
b. Penilaian diri
c. Penilaian antar peserta didik 2 Aspek Pengetahuan
a. Tes tertulis berupa uraian b. Tes lisan
Pada waktu kegiatan pembelajaran berlangsung yakni di awal, tengah dan pada akhir pembelajaran
c. Tugas
Berupa pekerjaan rumah (PR)
Penskoran Penyelesaian soal 3 Aspek Keterampilan a. Projek (LKS) b. Penilaian Fortofolio Pengamatan / Penskoran Penyelesaian tugas (baik individu maupun kelompok) dan saat diskusi Sidoarjo, 16 Juli 2018 Mengetahui,
Kepala SMA HANG TUAH 5 Sidoarjo Guru Mata Pelajaran
INSTRUMEN PENILAIAN HASIL BELAJAR 1. Instrumen Tes Tertulis
Soal
1. Diketahui
⃗
=
dan
=
,
jika⃗
=
Tentukan:a. Vektor
⃗
b. Vektor
c.
⃗
+
,⃗
- 2⃗
dengan menggunakan aljabar dan geometris. Jawaban dan pedoman penskoran.a.
⃗
=
=
x2 = 4 x =√ 4
x =±
2 Vektor⃗
=
=
±
= (
)
(Skor 20) b.⃗
=
=
y = 5 Vektor
=
= (
)
(Skor 20) c. Secara aljabar⃗
+
=(
)
+
(
)
=(
80
)
Secara Geometris (Skor 20) Secara aljabar
⃗
-
=(
)
-
(
)
=(
00
)
Secara Geometris (Skor 20) Secara aljabar2⃗
= 2(
)
=(
..
)
=(
80
)
Secara Geometris (Skor 20)⃗
⃗
⃗
⃗
LEMBAR PENGAMATAN PENILAIAN SIKAP
Nama Sekolah : SMAN 1 GARUT
Mata Pelajaran : Matematika (Peminatan) Kelas/Semester : X MIPA /1
Materi Pokok : Skalar dan Vektor serta Operasi Aljabar Vektor
Kompetensi Dasar :
2.1 Menunjukkan sikap senang, percaya diri, motivasi internal, sikap kritis, bekerjasama, jujur dan percaya diri serta responsif dalam menyelesaikan berbagai permasalahan nyata.
2.2 Memiliki rasa ingin tahu yang terbentuk dari pengalaman belajar dalam berinteraksi dengan lingkungan sosial dan alam
2.3 Berperilaku peduli, bersikap terbuka dan toleransi terhadap berbagai perbedaan di dalam masyarakat.
Indikator
2.1.1 Menunjukan sikap bekerjasama dalam menyelesaikan berbagai permasalahan nyata 2.2.1 Menunjukan sikap rasa ingin tahu yang terbentuk dari pengalaman belajar dalam
berinteraksi dengan lingkungan sosial dan alam
2.3.1 Menunjukan perilaku toleransi terhadap berbagai perbedaan di dalam masyarakat
Indikator penilaian rasa ingin tahu dapat disusun sebagai berikut:
K ri teria Skor I ndikator
Sangat Baik
(SB) 4 Selalu memiliki rasa ingin tahu yang terbentuk dari pengalaman belajar Baik (B) 3 Sering memiliki rasa ingin tahu yang terbentuk dari pengalaman belajar Cukup (C) 2 Kadang-kadang memiliki rasa ingin tahu yang terbentuk dari
pengalaman belajar
Kurang (K) 1 Tidak pernah memiliki rasa ingin tahu yang terbentuk dari pengalaman belajar
Indikator penilaian aktif/bekerjasama dapat disusun sebagai berikut:
K ri teria Skor I ndikator
Sangat Baik
(SB) 4 Selalu aktif dan bekerjasama dalam penyelesaian berbagai permasalahan Baik (B) 3 Sering aktif dan bekerjasama dalam penyelesaian berbagai
Kriteria Skor I ndikator
Cukup (C) 2 Kadang-kadang aktif dan bekerjasama dalam penyelesaian berbagai permasalahan
Kurang (K) 1 Tidak pernah aktif dan bekerjasama dalam penyelesaian berbagai permasalah
Indikator penilaian sikap toleransi dapat disusun sebagai berikut:
K ri teria Skor I ndikator
Sangat Baik
(SB) 4 Selalu bertoleransi terhadap berbagai perbedaan yang ada Baik (B) 3 Sering bertoleransi terhadap berbagai perbedaan yang ada
Cukup (C) 2 Kadang-kadang bertoleransi terhadap berbagai perbedaan yang ada Kurang (K) 1 Tidak pernah bertoleransi terhadap berbagai perbedaan yang ada
Bubuhkan tanda √
pada kolom-kolom sesuai hasil pengamatan.No Nama Siswa
X-MIPA 1
Sikap
Aktif Bekerjasama Toleran
SB B C K SB B C K SB B C K
1 ALDA ALIA LUSIANA
2 ALVENUS FILIFI
3 ANNISA FAUZIAH
4 ANNISA LILIS F
5 AZRIEL AKBAR RAHMAN
6 CHAMPERNIC T
7 DESVIRA SHABILA M
8 DILLA NUR FADILLAH
9 FARHAN NUGRAHA
10 ILA ASRI ASROFIATY
11 INDAH SARI NURJANAH
12 JANUAR HIDAYAT
13 KEVIN KHAEDAR N P
14 LUTFI SIDIQ
15 MARISKA AYUDIA
16 MOCH SAEFUL IRPAN
17 MOHAMMAD RIZKY M
18 MUHAMMAD RAMADHANI
19 NABILA ZAHRA S
20 NIKEN DWI CAROLINA P 21 NOVIANTI MAHARANI
22 QORI KHOIRUNNISA
23 REGINA MARTHATIANA
24 REKA PERMATASARI
25 RIZAL FIRDAUS
26 SANIA FEBRI YANTI V 27 SHILVIA OKTAFIANI 28 SITI ASIAH SYA'ADAH
29 SUKMA WIJAYA
30 SULTHON AHMAD AULA
31 SYIFFA FAUZYAH P
32 TIARA NURSYAMSA F
33 TRIKO JUAN HINMAN A
34 WIZNI A'DILA A'ZIZA
35 YASMIN NURLATIFAH P 36 YAYU FATIMATUNNISA Keterangan: SB : Sangat Baik B : Baik C : Cukup K : Kurang
LEMBAR PENGAMATAN PENILAIAN KETERAMPILAN
Nama Sekolah : SMAN 1 GARUT
Mata Pelajaran : Matematika (Peminatan) Kelas/Semester : X MIPA /1
Materi Pokok : Skalar dan Vektor serta Operasi Aljabar Vektor Waktu Pengamatan : KD 4.5
Kompetensi Dasar :
4.5 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan vektor, operasi vektor, panjang vektor, sudut antar vektor dalam ruang berdimensi dua (bidang) dan berdimensi tiga.
Indikator:
4.5.1 Memecahkan masalah kehidupan nyata menggunakan konsep vektor.
Indikator penilaian Keterampilan dapat disusun sebagai berikut:
Kriteri a
Skor
I ndikator
Sangat
Terampil (ST) 3
Sangat terampil jika menunjukkan adanya usaha untuk memodelkan dan memecahkan masalah nyata yang berkaitan dengan vektor
Terampil (T) 2 Terampil jika menunjukkan adanya usaha untuk memodelkan dan memecahkan masalah nyata yang berkaitan dengan vektor
Kurang
Terampil (KT) 1
Kurang Terampil jika menunjukkan adanya usaha untuk memodelkan dan memecahkan masalah nyata yang berkaitan dengan vektor
Bubuhkan tanda √pada kolom
-kolom sesuai hasil pengamatan.No Nama Siswa
X-MIPA
…
Keterampilan Memecahkan masalah kehidupan nyata menggunakan
konsep vektor KT T ST 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 Keterangan: KT : Kurang terampil T : Terampil ST : Sangat terampil
LEMBAR KERJA
Nama Sekolah : SMAN 1 GARUT
Mata Pelajaran : Matematika (Peminatan) Kelas/Semester : X / 1
Materi Pokok : Skalar dan Vektor serta Operasi Aljabar Vektor
Waktu : 45 menit
Kompetensi Dasar
3.5 Menjelaskan vektor, operasi vektor, panjang vektor, sudut antar vektor dalam ruang berdimensi dua (bidang) dan berdimensi tiga.
Indikator:
3.5.1 Membedakan antara skalar dan vektor. 3.5.2 Menganalisis jumlah vektor.
3.5.3 Menganalisis selisih vektor.
3.5.4 Menganalisis hasil kali skalar dengan vektor.
Kelompok : ______________________
Nama : 1. ____________________ 5. ______________________
2. ____________________ 6. ______________________ 3. ____________________ 7. ______________________ 4. ____________________ 8. ______________________
K erjakan kegiatan ini dengan teman sekelompok anda
1. Diketahui Titik A(3,-1), B(4,1). Jika AC= 3AB, tentukan
a. Tentukan vektor yang diwakili oleh garis berarah AB
b. Tentukan vektor yang diwakili oleh garis berarah AC
c. Tentukan koordinat C
d. Hitunglah panjang AB, dan panjang AC
2. Diketahui vektor a =
5 2 , b =
6 4 , a. 2a + b b. a–
½ b 3. Diketahui vektor a =
2 3 b =
4 7 1 a. 2 b b. 3a4. Tentukan nilai x dan y serta a dan b jika a = b a. a =
y 5 x , b=
3 y x x b. a =
1 2 4 , b =
1 y y x Penyelesaian 1. a. Titik A(3,-1), B(4,1) = A(
,
) , B( ... , ... ) Garis berarah̅ =
=
… −−
… − …
̅
=(
…
)
Jadi garis berarah̅ =
(
…
)
b. AC= 3ABAC= 3
(
…
)
AC=(
……
)
Jadi garis berarah AC
=
(
……
)
c. AC=
(
……
)
(
……
)
=
(
……
)
=
…
1
3 =
…
= ... + ...
= ... ... =
1
= ... + ...
= 5 Jadi koordinat C : C(
, …
) = C(…,5
) d. AB =(
…
)
Panjang AB=
| ̅|
| ̅| = …
+ …
| ̅| = √ …+ …
| ̅| = √ …
AC=(
……
)
Panjang AC=| ̅|
| ̅| = …
+ …
| ̅| = √ …+ …
| ̅| = √ …
Jadi,| ̅| = √ …
dan| ̅| = √ …
2. Vektor a =
5 2 , b =
6 4 a. 2⃗
+
= 2(
……
)
+(
…
)
=(
…−
)
b.⃗
-
=(
…
)
-
(
……
)
=(
……
)
3. Vektor a =
2 3 b =
4 7 1 a. 2⃗
= 2(
……
)
=(
…−
)
b. 3
= 31……
=……12
4. Nilai x dan y jika a = b a. a =
y 5 x , b=
3 y x x a = b5 =
y = ... +
3
x + y = 5 x + (...) = 5 x = ... Jadi,⃗
=5
=…5…
= +3
=……3
b. a =
1 2 4 , b=
1 y y x a = b 421 =
-y = ... +
1
y = ... x + y = 4 x + (...) = 4 x = ... Jadi,
= +
1
= ……1
Kunci Jawaban
No Penyelesaian Skor
1. a. Titik A(3,-1), B(4,1) = A(
,
) , B
,
) Garis berarah̅ =
=
−−
−
̅
=(
)
Jadi garis berarah
̅ =
(
)
b. AC= 3ABAC= 3
(
)
AC=(
)
Jadi garis berarah AC
=
(
)
c. AC=
(
)
(
)
=
(
)
=
3
1
3 =
3
= 3 + 3
= 6 6 =
1
= 6 + (-1)
= 5 Jadi koordinat C : C(
,
) = C(6,5
) d. AB =(
)
Panjang AB=| ̅|
10 10 10| ̅| = 1
+ 2
| ̅| = √ 1+4
| ̅| = √ 5
AC=(
)
Panjang AC=| ̅|
| ̅| = 3
+ 6
| ̅| = √ 9+36
| ̅| = √ 45
Jadi,| ̅| = √ 5
dan| ̅| = √ 45
10 2. Vektor⃗
=(
−
)
,
=(
)
a. 2⃗
+
= 2(
−
)
+(
)
=(
−0
)
+(
)
=
(
8−
)
b.⃗
-
=(
−
)
-
(
)
=(
−
)
-
(
)
=(
0−8
)
10 10 3. Vektor a =
2 3 b =
4 7 1 a. 2⃗
= 2(
−
)
=(
−
)
b. 3
= 3174
=32112
10 104.
Nilai x dan y jika
a = b a. a =
y 5 x , b=
3 y x x a = b5 =
+
3
y = 3 x + y = 5 x + (3) = 5 x = 5-3 x = 2 Jadi,⃗
=5
=253
= +3
=253
b. a =
1 2 4 , b=
1 y y x a = b 421 =
-y = 2 +
1
y = -2 x + y = 4 x + (-2) = 4 x = 4 + 2 x = 6 Jadi,
= +
1
= 421
10 10 Jumlah Skor 100BAHAN AJAR
Nama Sekolah : SMA Hang Tuah 5 Sidoarjo Mata Pelajaran : Matematika (Peminatan) Kelas/Semester : X / 2
Materi Pokok : Skalar dan Vektor serta Operasi Aljabar Vektor
Waktu : 3 × 45 menit
Kompetensi Dasar
3.5 Menjelaskan vektor, operasi vektor, panjang vektor, sudut antar vektor dalam ruang berdimensi dua (bidang) dan berdimensi tiga.
Indikator:
3.5.1 Membedakan antara skalar dan vektor. 3.5.2 Menganalisis jumlah vektor.
3.5.3 Menganalisis selisih vektor.
3.5.4 Menganalisis hasil kali skalar dengan vektor.
Pendahuluan
Bagi Anda yang telah mempelajari Fisika pasti pernah mendengar kata vektor. Vektor merupakan suatu besaran selain besaran skalar yang sudah Anda kenal dalam Fisika. Perbedaan kedua besaran ini adalah:
Skalar : Besaran yang hanya mempunyai nilai saja (menunjukkan suatu bilangan real tertentu). Contoh: suhu, massa, dan sebagainya.
Vektor : Besaran yang mempunyai besar (nilai) dan arah. Biasanya digunakan untuk menyelidiki gerak perpindahan, pergeseran, kecepatan, percepatan dan sebagainya. Secara geometris vektor dinyatakan sebagai ruas garis yang panjang dan arahnya tertentu.
OA adalah vektor a dengan titik pangkal O dan titik ujung A
Panjang OA menunjukan besar vektor a
Gambar 1 1. NOTASI VEKTOR
Suatu vektor biasa ditulis dengan menggunakan :
1. Huruf kecil yang dicetak tebal seperti : a, b, c, u, v, ... 2. Huruf kecil dengan tanda anak panah di atasnya seperti : a ,
b , c , u , v , .... A a O
Ada tiga cara menuliskan sebuah vektor, yaitu …
di R 3atau vektor dalam ruang
1. a =
a a a z y x 2. a = ( a x , ya ,za) 3. a = a x i + a y j + za kdi R 2 atau vektor pada bidang 1. a =
a a y x 2. a = ( a x , ya ) 3. a = a x i + a y j Contoh :⃗
=̅
; P = titik pangkal dan Q = titik ujung⃗
=
2. ALJABAR VEKTOR
Dua vektor dikatakan sama apabila panjang serta arahnya sama.
Jika vektor a =
2 1 a asama dengan vektor
b =
2 1 b b maka |a | = | b |(panjang vektor a = panjang vektor
b dan arah a = arah
b
2 1 a a =
2 1 b b a1= b1 dan a2 = b2 |a | : Panjang vektor a , | a | = a12 a22 Jika
3 2 1 a a a OA dan
3 2 1 b b b OB Maka
3 3 2 2 1 1 a b a b a bAB dan panjang panjangnya adalah
2 3 3 2 2 2 2 1 1 ) ( ) ( ) (b a b a b a AB Contoh:
1. Diketahui titik A(2,1) dan B(3,-4). Vektor
⃗
mewakili garis̅
, tentukan vektor⃗
dan panjang vektor⃗
. Jawab : Garis berarah Gambar 2 a b P Q⃗
̅ =
=
(
−−
−
)
̅
=(
−
)
Jadi garis berarah
̅ = ⃗ = (
−
)
Panjang vektor⃗
|⃗| =
+
=
1
+5
=√ 1+25
=√ 26
Jadi panjang vektor
⃗
adalah√ 26
.2. Vektor
=
dan
⃗
=
=
⃗
Maka
=
dan
=
vektor
=
(
)
dan
⃗
=
(
)
Invers jumlah suatu vektor a ditulis
–
a yaitu vektor yang panjangnya
sama dengan a tetapi arahnya berlawanan
Penjumlahan dan Pengurangan Vektor
Secara geometris penjumlahan vektor dapat ditentukan dengan aturan segitiga dan aturan jajaran genjang.
Jika vektor c adalah hasil penjumlahan
a dan
b , maka :
Dengan aturan poligon vektor c digambar dari titik pangkal vektor
a ke titik ujung vektor
b
setelah vektor
b digeser sehingga titik pangkalnya berimpit dengan ujung vektor a
a a Gambar 3 =
⃗
c
c
Dengan aturan jajaran genjang, vektor
b digeser
sehingga titik pangkalnya berimpit dengan titik pangkal vektor a vektor
c adalah diagonal
jajaran genjang yang dibentuk oleh vektor a dan
b dengan titik pangkalnya pada titik pangkal
vektor a dan
b .Penjumlahan dan pengurangan
vektor secara aljabar adalah penjumlahan dan pengurangan komponen-komponennya. 1. Misalkan a =
2 1 a a dan b =
2 1 b b maka : a + b =
2 2 1 1 b a b a dan a - b =
2 2 1 1 b a b a 2. Jika a = 1 a i + 2 a j + a3 k dan b = 1 b i + 2 b j + 3 b k maka a + b = 1 a i + a2 j + a3 k + 1 b i + 2 b j + b3 k =( 1 a + b1)i + ( 2 a + b2) j + (a3+ b3) k Contoh:1. Tentukan
⃗
+
jika⃗
=(
)
dan
=(
)
! Jawab :⃗
+
=
(
)
+
(
)
=
(
8
)
2. Tentukan
⃗
-
jika⃗
=(
)
dan
=(
)
! Jawab :⃗
-
=(
)
-
(
)
=
(
−
)
Gambar 4 a b i ii b aPerkalian vektor dengan skalar
Jika k adalah bilangan real yang positif, maka k. a adalah vektor yang arahnya sama
dengan a dan besarnya k. |
a | dan−k.
a adalah vektor yang arahnya berlawanan
dengan a dan besarnya k. |
a |
Perhatikan gambar berikut
a =
