Metode Bagi Dua ( Biseksi )

1

DISUSUN OLEH:

KELOMPOK

: 1 ( SATU )

NAMA

: TYAS NANDIA UTAMI ( 2010 121 184 )

NOVITA SARI ( 2010 121 197 )

DEWI LITA ( 2010 121 209 )

KELAS

: 6 E

PRODI

: PENDIDIKAN MATEMATIKA

DOSEN

: Malalina , S.Si, M.Pd

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS PGRI PALEMBANG

2

Metode Bagi Dua ( Biseksi )

Metode Bagi-Dua adalah algoritma pencarian akar pada sebuah interval. Interval tersebut membagi dua bagian, lalu memilih dari dua bagian ini dipilih bagian mana yang mengandung akar dan bagian yang tidak mengandung akar dibuang. Hal ini dilakukan berulang-ulang hingga diperoleh akar persamaan atau mendekati akar persamaan. Untuk menggunakan metode Bagi Dua, terlebih dahulu ditentukan batas bawah (a) dan batas (b) kemudian nilai tengahnya :

Dari nilai x ini perlu dilakukan pengecekan keberadaan akar .Secara sistematik suatu

range terdapat akar persamaan bila f (a) dan f (b) berlawanan tanda atau dituliskan :

Setelah diketahui dibagian mana terdapat akar, maka batas bawah dan batas atas diperbaharui sesuai dengan range yang mempunyai akar.Langkah – langkah dalam menjalan kan metode interval tengah, yaitu :

1). Pilih a sebagai batas bawah x sebagai batas atas untuk taksiran akar sehingga terjadi perubah tanda fungsi dalam selang interval tersebut.Atau periksa apakah benar bahwa

. < 0.

2). Taksiran nilai akar baru x diperoleh : =

3). Lakukan evaluasi berikut untuk menentukan dalam selang interval mana akar berada,

a) Jika . < 0 , maka = , =

b) Jika . > 0 , maka = , =

c) Jika . = 0 , maka diperoleh akar sama dengan , hentikan perhitungan.

Proses lelaran berhenti apabila tidak diketahui epsilon , maka lelaran akan berhenti pada

galat eror yang nilai akarnya terkecil, sedangkan apabila diketahui epsilon maka f (n) < .

= +

2

3

Metode ini berlaku ketika ingin memecahkan persamaan f(x) = 0 dengan f merupakan fungsi kontinyu.

Misalkan kita telah menentukan selang , sehingga < 0. Pada setiap kali lelaran. Selang , kita bagi dua di = , sehingga terdapat dua buah upaselang yang berukuran sama, yaitu selang , dan , sehingga yang diambil untuk lelaran berikutnya adalah upaselang yang memuat akar, bergantung pada apakah < 0 atau

< 0.

[a, b] Bagi dua di x = c

[a, c] [c, b]

f(a)f(c) < 0

ya tidak

selang baru: [a, c] selang baru: [a, b] [c, b]

Selang yang baru dibagi dua lagi dengan cara yang sama. Begitu seterusnya sampai ukuran selang yang baru sudah sangat kecil. Kondisi kondisi berhenti lelaran dapat dipilih salah satu dari tiga kriteria berikut:

1. Lebar selang baru |a-b| < .,yang dalam hal ini . adalah nilai toleransi lebar selang yang mengurung akar.

4

pengganti nilai 0.Dengan demikian menguji kesamaan f( c )= 0 dapat kita hampiri dengan

f(c ) < epsilon_mesin.

3. Galat relative hampiran akar:| (cbaru- clama)/cbaru | < ,yang dalam hal ini adalah galat

relatif hampiran yang diinginkan

Gambar 3.4 Proses pembagian selang [a, b] dengan metode bagidua

Kasus yang mungkin terjadi pada penggunaan metode bagi dua

1. Jumlah akar lebih dari Satu

Bila dalam buah akar [a,b] terdapat lebih dari satu akar (banyaknya akar ganjil ), hanya satu buah akar yang dapat ditemukan dan memuat hanya satu buah akar.

2. Akar ganda

Metode bagidua tidak berhasil menemukanakar ganda.Hal ini disebabkan karena tidak terdapat perbedaan tanda di ujung-ujung selang yang baru (Gambar 3.5)

Contoh: = − 3 = − 3 − 3 . Mempunyai dua akar yang sama, yaitu

= 3

Akar ganda

Gambar 3.4 Akar ganda

a

y = f(x)

b c2

c1

c0

5

3. Singularitasi

Pada titik singular,nilai fungsihnya tidak terdefinisi. Bila selang [a ,b ] mengandung titik singular,lelaran metode bagidua tidak pernah berhenti. Penyebabnya , metode bagidua menganggap titik singular sebagai akar karena lelaran cenderung konvergen.Yang sebenarnya,titik singular bukanlah akar,melainkan akar semu ( Gambar 3.6 )

Titik singular

Gamar 3.6 Fungsi singular

Cara mengatasinya: periksa nilai |f( b )-f( a ) |. Jika – konvergen ke nol,akar yang dicari pasti akar sejati,tetapi jika ! - ! divergen,akar yang dicari merupakan titik singular ( akar semu ). Pada setiap lelaran pada metode bagidua,kita mencatat bahwa selisih antara akar sejati dengan akar hampiran tidak pernah melebihi setengah panjang selang saat itu.Pernyataan ini dinyatakan dengan teorema berikut.

6

Berdasarkan diagram di atas jelaslah bahwa

&# − $& ≤

Yang dalam hal ini R adalah jumlah lelaran (jumlah pembagian selang) yang dibutuhkan untuk menjamin bahwa c adalah hampiran akar yang memiliki galat kurang dari .

Jadi, hampiran akarnya adalah x=0.605263 Jumlah lelaran yang dibutuhkan R > 6 & ).& )6 ...

6

7

>16.60964

Jadi, dibutuhkan minimal 17 kali lelaran (r=0 sampai dengan r=16), sesuai dengan jumlah lelaran pada tabel, agar galat akar hampiran kurang dari .

13

= 1,75 → 1,75 − 3 = 1,625

=1,71875 + 1,75

2 = 1,734375 → 1,734375 = 1,734375 − 3 = 0,008056

n

1 1 2 1,5 -0,75

2 1,5 2 1,75 0,0625 3 1,5 1,75 1,625 -0,35937 4 1,625 1,75 1,6875 -0,15234 5 1,6875 1,75 1,71875 -0,045898 6 1,71875 1,75 1,734375 0,008056

14

KESIMPULAN

Metode numerik merupakan salah satu alternatif pennyelesaian yang berupa hampiran yang penting dalam terapan praktis dimana para ilmuan sering kali menghadapi masalah-masalah yang aktual dan tidak dapat diselesaikan secara analitis. Masalah tersebut direduksi menjadi masalah pencarian akar persamaan. Dengan menggunakan metode belah dua.

Metode Bagi-Dua adalah algoritma pencarian akar pada sebuah interval. Interval tersebut membagi dua bagian, lalu memilih dari dua bagian ini dipilih bagian mana yang mengandung akar dan bagian yang tidak mengandung akar dibuang. Hal ini dilakukan berulang-ulang hingga diperoleh akar persamaan atau mendekati akar persamaan. Metode ini berlaku ketika ingin memecahkan persamaan f(x) = 0 dengan f merupakan fungsi kontinyu.Yang mempunyai langkah – langkah perhitungan sebagai berikut :

1). Pilih a sebagai batas bawah x sebagai batas atas untuk taksiran akar sehingga terjadi perubah tanda fungsi dalam selang interval tersebut.Atau periksa apakah benar bahwa

. < 0.

2). Taksiran nilai akar baru x diperoleh : =

3). Lakukan evaluasi berikut untuk menentukan dalam selang interval mana akar berada,

a) Jika . < 0 , maka = , =

b) Jika . > 0 , maka = , =

c) Jika . = 0 , maka diperoleh akar sama dengan , hentikan perhitungan.

15

Daftar Pustaka

Aimprof.2012.Metodebagidua.Online.TersediaPada:http://aimprof08.wordpress.com/2012/ 08/30/metode-bagi-dua-bisection-method/._{Diakses tanggal : 23 Febuari 2013}

Insani,Nur. 2012.Aplikasi Metode Bagi Dua Bisection.Online.Tersedia Pada :

http://staff.uny.ac.id/sites/default/files/penelitian/NurInsani,.Sc/AplikasiMetodeBag

iDuaBisectiondalamAnalisisPulangPokokNurInsani.pdf. Diakses pada tanggal : 23

Febuari 2013.