Mata
Mata Kuliah Kuliah : : Pemodelan Pemodelan dan dan Metode Metode NumerikNumerik Dosen
Dosen : : Dr. Dr. Hj.Ejah Hj.Ejah Umraeni Umraeni Salam, Salam, ST. ST. MTMT
Penerapan Metode Bagi-Dua (
Penerapan Metode Bagi-Dua (Bisection)Bisection) pada Analisis Pulang-Pokokpada Analisis Pulang-Pokok ((BB rreeaak k EE vveenn))
Ikhsan Hidayat Ikhsan Hidayat D
D 32 32 17 17 1 1 2323
Jurusan Teknik Elektro Jurusan Teknik Elektro
Program Pasca Sarjana Fakultas Teknik Program Pasca Sarjana Fakultas Teknik
Universitas H
Universitas Hasanuddinasanuddin Makassar
Makassar 2 17 2 17
1.
1. PendahuluanPendahuluan
Persoalan dalam mencari akar persamaan sering dijumpai dalam berbagai masalah-masalah Persoalan dalam mencari akar persamaan sering dijumpai dalam berbagai masalah-masalah rekayasa yang nyata seperti di bidang ekonomi dan teknik. Metode numerik penting untuk rekayasa yang nyata seperti di bidang ekonomi dan teknik. Metode numerik penting untuk terapan praktis karena para ilmuwan seringkali menghadapi masalah-masalah yang tidak dapat terapan praktis karena para ilmuwan seringkali menghadapi masalah-masalah yang tidak dapat didekati dengan menggunakan metode-metode analitis. Untuk kasus-kasus tersebut adalah didekati dengan menggunakan metode-metode analitis. Untuk kasus-kasus tersebut adalah cocok untuk mengimplementasikan suatu penyelesaian numerik. Salah satu contoh masalah cocok untuk mengimplementasikan suatu penyelesaian numerik. Salah satu contoh masalah rekayasa yang nyata di bidang ekonomi yang memerlukan penyelesaian numerik adalah rekayasa yang nyata di bidang ekonomi yang memerlukan penyelesaian numerik adalah ”masalah pulang
”masalah pulang-- pokok”. pokok”. Masalah pulang-pokok dipergunakan untuk menentukan titik pada Masalah pulang-pokok dipergunakan untuk menentukan titik pada mana dua pilihan alternatif setara. Makalah ini mengemukakan penyelesaian masalah tersebut mana dua pilihan alternatif setara. Makalah ini mengemukakan penyelesaian masalah tersebut dengan menggunakan salah satu metode numerik atau pendekatan hampiran yaitu metode dengan menggunakan salah satu metode numerik atau pendekatan hampiran yaitu metode bagi-dua.
dua.
Dalam matematika terapan sering ditemui masalah untuk mencari penyelesaian persamaan Dalam matematika terapan sering ditemui masalah untuk mencari penyelesaian persamaan yang berbentuk
yang berbentuk f f (( x x)) == 0 , dimana persamaan0 , dimana persamaan f (x) f (x) dapat berbentuk sebagai persamaan aljabar, dapat berbentuk sebagai persamaan aljabar,
persamaan
persamaan transenden transenden atau atau persamaan persamaan campuran. campuran. Nilai-nilaiNilai-nilai x x yang memenuhi disebut akaryang memenuhi disebut akar persamaan. Persoalan
persamaan. Persoalan dalam mencari akar pdalam mencari akar persamaan ini serersamaan ini sering juga ing juga dijumpai dalam berbdijumpai dalam berbagaiagai masalah-masalah rekayasa yang nyata seperti di bidang ekonomi dan teknik. Sebelum masalah-masalah rekayasa yang nyata seperti di bidang ekonomi dan teknik. Sebelum ditemukannya komputer digital, terdapat sejumlah cara untuk mencari akar-akar persamaan ditemukannya komputer digital, terdapat sejumlah cara untuk mencari akar-akar persamaan seperti rumus kuadrat. Untuk beberapa kasus, akar-akar dapat diperoleh secara analitis, yakni seperti rumus kuadrat. Untuk beberapa kasus, akar-akar dapat diperoleh secara analitis, yakni penyelesaian
penyelesaian yang dihasilkan yang dihasilkan akan memenuhakan memenuhi i persamaan persamaan semula secara semula secara eksak. Namun eksak. Namun masihmasih ada banyak lagi yang kelihatannya sederhana seperti
ada banyak lagi yang kelihatannya sederhana seperti f (x)= f (x)=ee – – x x
–
– x xtetapi tidak dapat diselesaikantetapi tidak dapat diselesaikan secara analitis. Dalam kasus demikian salah satu alternatif penyelesaiannya adalah dengan secara analitis. Dalam kasus demikian salah satu alternatif penyelesaiannya adalah dengan metode numerik, khususnya yang paling tepat metode-metode iterasi numeris. Dengan metode metode numerik, khususnya yang paling tepat metode-metode iterasi numeris. Dengan metode numerik penyelesaian yang dihasilkan berupa hampiran. Metode ini sangat penting dalam numerik penyelesaian yang dihasilkan berupa hampiran. Metode ini sangat penting dalam terapan praktis karena para ilmuwan seringkali menghadapi masalah-masalah yang aktual dan terapan praktis karena para ilmuwan seringkali menghadapi masalah-masalah yang aktual dan tidak dapat diselesaikan secara analitis.
tidak dapat diselesaikan secara analitis. 2.
2. Metode Bagi-Dua (Metode Bagi-Dua (BB iisesectctiioonn))
Metode bagi dua adalah algoritma pencarian akar pada sebuah interval. Interval Metode bagi dua adalah algoritma pencarian akar pada sebuah interval. Interval tersebut membagi dua bagian, l
tersebut membagi dua bagian, lalu memilih alu memilih dari dua bagian manaydari dua bagian manayang mengandung akar danang mengandung akar dan bagian
bagian yang yang tidak tidak mengandung mengandung akar akar dibuang. dibuang. Hal Hal ini ini dilakukan dilakukan berulang-ulaberulang-ulang ng hinggahingga diperoleh akar persamaan atau mendekati akar persamaan. Metode ini berlaku ketika ingin diperoleh akar persamaan atau mendekati akar persamaan. Metode ini berlaku ketika ingin memecahkan persamaan
Gambar 1. Prosedur Metode Bisection : Gambar 1. Prosedur Metode Bisection :
Misal dijamin bahwa f(x) adalah fungsi kontinyu pada interval (a,b) dan f(a) f (b) < 0. Ini Misal dijamin bahwa f(x) adalah fungsi kontinyu pada interval (a,b) dan f(a) f (b) < 0. Ini artinya bahwa f(x)paling tidak harus memiliki akar pada interval [a,b]. Kemudian defenisikan artinya bahwa f(x)paling tidak harus memiliki akar pada interval [a,b]. Kemudian defenisikan titik tengah pada interval [a,b] yaitu c =
titik tengah pada interval [a,b] yaitu c =
2 2 b b a a
Dari sini kita memperoleh dua subinterval yaitu [a,c] dan [c,b]. Dari sini kita memperoleh dua subinterval yaitu [a,c] dan [c,b]. Setelah itu cek apakah f(a) f(c) < 0 atau f
Setelah itu cek apakah f(a) f(c) < 0 atau f(b) f (c) < (b) f (c) < 0? Jika f(a) f(b) < 0 0? Jika f(a) f(b) < 0 maka b = c (artinyamaka b = c (artinya titik b digantikan oleh titik c yang berfungsi sebagai titik b pada literasi berikutnya), jika tidak titik b digantikan oleh titik c yang berfungsi sebagai titik b pada literasi berikutnya), jika tidak maka a = c. Dari iterasi pertama kita memperoleh interval [a, b] yang baru dan titik tengah c maka a = c. Dari iterasi pertama kita memperoleh interval [a, b] yang baru dan titik tengah c yang baru. Kemudian lakukan pengecekan lagi seperti sebelumnya untuk memperoleh error yang baru. Kemudian lakukan pengecekan lagi seperti sebelumnya untuk memperoleh error yang cukup kecil.
yang cukup kecil.
A. Alogaritma Metode Bisection A. Alogaritma Metode Bisection Langkah 1 :
Langkah 1 :
Pilih taksiran nilai
Pilih taksiran nilai aa sebagai batas bawah interval dan taksiran nilai sebagai batas bawah interval dan taksiran nilai bb sebagai batas sebagai batas atas interval. Jika terpenuhi kondisi :
atas interval. Jika terpenuhi kondisi :
•• f(a) f(a) x x f(b) f(b) < < 0 0 ; ; maka maka ada ada akar akar dalam dalam interval, interval, selanjutnya selanjutnya ke ke langkah langkah 2.2. •• f(a) f(a) x x f(b) f(b) > > 0 0 ; ; maka maka tidak tidak ada ada akar akar dalam dalam intervalinterval. . Geser Geser posisi posisi interval.interval. •• f(a) f(a) x x f(b) f(b) = = 0 0 ; ; maka maka a a dan dan b, b, salah salah satu satu merupakan merupakan akar.akar.
Langkah 2 : Langkah 2 :
Taksiran akar yang pertama
Langkah 3 : Langkah 3 :
Evaluasi keberadaan akar, apakah dalam subinterval pertama (antara a dan c ) atau Evaluasi keberadaan akar, apakah dalam subinterval pertama (antara a dan c ) atau dalam subinterval kedua (antara c dan b).
dalam subinterval kedua (antara c dan b). Jika diperoleh :
Jika diperoleh : f(a) x f(c) < 0
f(a) x f(c) < 0 ; akar berada dalam ; akar berada dalam subinterval pertama, maka b = c. subinterval pertama, maka b = c. selanjutnya ke langkah 4.selanjutnya ke langkah 4. f(a) x
f(a) x f(c) > 0 f(c) > 0 ; akar berada ; akar berada dalam subinterval ke dalam subinterval ke dua, maka a dua, maka a = c. = c. Selanjutnya ke langkah 4.Selanjutnya ke langkah 4. f(a)
f(a) x x f(c) f(c) = = 0 0 ; ; c c adalah adalah akar.akar. Langkah 4 :
Langkah 4 :
Kembali ke langkah 2 dan proses hingga langkah 3. Kembali ke langkah 2 dan proses hingga langkah 3. B. Program Matlab 2012b
B. Program Matlab 2012b
Dengan bantuan komputer, langkah-langkah metode numeric dari alogaritma Dengan bantuan komputer, langkah-langkah metode numeric dari alogaritma diformulasikan menjadi suatu program.
diformulasikan menjadi suatu program. Berikut ini Berikut ini adalah program MAadalah program MATLAB TLAB mencari akarmencari akar--akar persamaan
C . Uji Program C . Uji Program 1.
1. Program Program akan akan diuji diuji untuk untuk persamaan f(x) persamaan f(x) = = xx22 – – x x – – 6 = 0 6 = 0 a. Cara analitik (pemaktoran) :
a. Cara analitik (pemaktoran) : x x22 - x - x – – 6 = 0 6 = 0 (x + 2) (x (x + 2) (x – – 3) = 0 3) = 0 x x11= = -2 -2 atau atau xx22 = 3 = 3
jadi secara analiti
jadi secara analitik/ pemaktoran diperoleh akar k/ pemaktoran diperoleh akar xx11= = -2 -2 atau atau xx 2 2 = 3 = 3
b. Mencari akar secara nu
b. Mencari akar secara numerik dengan Metode Bisemerik dengan Metode Bisection dengan ction dengan Program Matlab 2012.bProgram Matlab 2012.b Petunjuk :
Petunjuk : 1.
1. Ketik Ketik nama nama file file faktorial_ikhsan faktorial_ikhsan pada pada jendela jendela command command window,window, 2.
2. Masukkan Masukkan persamaan persamaan (huruf(hurufxx kecil) = x^2-x-6 kecil) = x^2-x-6 3.
3. Masukkan Masukkan batas batas bawah bawah a a = = -3-3 4.
4. Masukkan Masukkan batas batas atas atas b b = = 22
Perhatikan output program, seperti gambar berikut : Perhatikan output program, seperti gambar berikut :
dari hasil keluaran program terlihat bahwa salah satu akar persamaan diatas adalah -2, untuk dari hasil keluaran program terlihat bahwa salah satu akar persamaan diatas adalah -2, untuk mengetahui akar yang lain masukkan nilai batas atas dan batas bawah yang lain.
mengetahui akar yang lain masukkan nilai batas atas dan batas bawah yang lain.
2. Hasil
2. Hasil keluaran program benar, maka akan keluaran program benar, maka akan diuji lagi untuk persamaan diuji lagi untuk persamaan berikut :berikut : a. a. f(x) f(x) = = xx33 – – x x – – 6 = 0 6 = 0 b. b. f(x) = xf(x) = x2.52.5 – – x x – – 6 = 0 6 = 0 Uji program : Uji program : a. Akar Persamaan f(x) = x a. Akar Persamaan f(x) = x33 – – x x – – 6 = 0 6 = 0 Petunjuk : Petunjuk : 1.
1. Ketik Ketik nama nama file file faktorial_ikhsan pada faktorial_ikhsan pada jendela command jendela command window,window, 2.
2. Masukkan persamaan Masukkan persamaan (huruf x (huruf x kecil): kecil): x^3-x-6x^3-x-6 3.
3. Masukkan batas Masukkan batas bawah bawah a = a = -1-1 4.
4. Masukkan batas Masukkan batas atas atas b b = = 33 5.
5. Perhatikan output Perhatikan output program, program, seperti gseperti gambar ambar berikutberikut a.
keluaran program terlihat akar persamaannya adalah 2 keluaran program terlihat akar persamaannya adalah 2 b. Output program akar pe
akar persamaannya adalah 2,3355 akar persamaannya adalah 2,3355
D. Masalah Pulang-Pokok D. Masalah Pulang-Pokok
Praktek rekayasa di bidang ekonomi baik yang mensyaratkan bahwa semua proyek, produksi, Praktek rekayasa di bidang ekonomi baik yang mensyaratkan bahwa semua proyek, produksi, dan perencanaan harus didekati dengan cara yang biaya yang efektif. Seorang ilmuwan yang dan perencanaan harus didekati dengan cara yang biaya yang efektif. Seorang ilmuwan yang terlatih baik haruslah menguasai analisa biaya. Masalah ini dinamakan
terlatih baik haruslah menguasai analisa biaya. Masalah ini dinamakan ”masalah pulang”masalah pulang -- pokok”.
pokok”. Masalah Masalah ini ini dipergunakan dipergunakan untuk meuntuk menentukan nentukan titik titik pada pada manamana dua pilihan alternatif dua pilihan alternatif setara. Pilihan-pilihan demikian dihadapi dalam semua bidang rekayasa. Walaupun terlihat setara. Pilihan-pilihan demikian dihadapi dalam semua bidang rekayasa. Walaupun terlihat sederhana namun akan sangat rumit apabila masalah tersebut tidak dapat diselesaikan secara sederhana namun akan sangat rumit apabila masalah tersebut tidak dapat diselesaikan secara analitis atau manual. Salah satu alternatif penyelesaian masalah ini adalah dengan metode analitis atau manual. Salah satu alternatif penyelesaian masalah ini adalah dengan metode numerik. Berikut salah satu contoh penerapan Metode
Bagi-numerik. Berikut salah satu contoh penerapan Metode Bagi-Dua dalam penyelesaian ”Dua dalam penyelesaian ”masalahmasalah
Tabel 1 Biaya dan keuntungan untuk dua komputer pribadi. Tanda negatif menunjukkan biaya Tabel 1 Biaya dan keuntungan untuk dua komputer pribadi. Tanda negatif menunjukkan biaya atau kerugian, sedangkan tanda positif menunjukkan keuntungan.
atau kerugian, sedangkan tanda positif menunjukkan keuntungan.
Asumsi seorang karyawan X sedang mempertimbangkan untuk membeli salah satu dari dua Asumsi seorang karyawan X sedang mempertimbangkan untuk membeli salah satu dari dua komputer pribadi ”Pentium” dan ”AMD”. Ta
komputer pribadi ”Pentium” dan ”AMD”. Taksiran biaya dan keuntungan untuk ksiran biaya dan keuntungan untuk tiap komputer tiap komputer ditunjukkan pada tabel 1. Jika saat ini dana dapat dipinjam dengan tingkat bunga 20% (
ditunjukkan pada tabel 1. Jika saat ini dana dapat dipinjam dengan tingkat bunga 20% (ii =0,20 =0,20 ), berapa lama mesin-mesin harus dimiliki sehingga mesinmesin tersebut akan mempunyai nilai ), berapa lama mesin-mesin harus dimiliki sehingga mesinmesin tersebut akan mempunyai nilai setara? Dengan kata lain, berapa lama titik pulang-pokoknya jika diukur dalam tahun?
setara? Dengan kata lain, berapa lama titik pulang-pokoknya jika diukur dalam tahun?
Seperti umumnya dalam masalah ekonomi, X mempunyai suatu campuran biaya sekarang dan Seperti umumnya dalam masalah ekonomi, X mempunyai suatu campuran biaya sekarang dan mendatang. Misalnya, pembelian mesin Pentium menyangkut pengeluaran awal $3000. Selain mendatang. Misalnya, pembelian mesin Pentium menyangkut pengeluaran awal $3000. Selain dari biaya pengeluaran satu kali ini harus pula dikeluarkan uang setiap tahun untuk merawat dari biaya pengeluaran satu kali ini harus pula dikeluarkan uang setiap tahun untuk merawat mesin. Karena biaya yang demikian cenderung bertambah seiring dengan makin tuanya mesin. Karena biaya yang demikian cenderung bertambah seiring dengan makin tuanya komputer, maka biaya perawatan dianggap bertambah secara linier terhadap waktu. Misalnya komputer, maka biaya perawatan dianggap bertambah secara linier terhadap waktu. Misalnya setelah 10 tahun diperlukan $2000 tiap tahun untuk menjaga agar mesin dalam kondisi kerja. setelah 10 tahun diperlukan $2000 tiap tahun untuk menjaga agar mesin dalam kondisi kerja. Akhirnya di samping biaya-bia
Akhirnya di samping biaya-biaya tersebut, X akan juga akan menarik manfaat dengan memilikiya tersebut, X akan juga akan menarik manfaat dengan memiliki komputer tersebut. Keuntungan tahunan dan kenikmatan yang diperoleh dari Pentium dicirikan komputer tersebut. Keuntungan tahunan dan kenikmatan yang diperoleh dari Pentium dicirikan oleh suatu pendapatan tahunan sebesar $1000 tiap tahun.
oleh suatu pendapatan tahunan sebesar $1000 tiap tahun.
Agar dapat mempertimbangkan dua pilihan ini, biaya-biaya ini harus dikonversi ke ukuran Agar dapat mempertimbangkan dua pilihan ini, biaya-biaya ini harus dikonversi ke ukuran yang dapat dibandingkan. Satu cara untuk melakukan ini adalah dengan mengungkapkan yang dapat dibandingkan. Satu cara untuk melakukan ini adalah dengan mengungkapkan semua biaya individual sebagai pembayaran tahunan yang setara, yakni nilai dollar tahunan semua biaya individual sebagai pembayaran tahunan yang setara, yakni nilai dollar tahunan yang setara selama rentang hidup komputer. K
yang setara selama rentang hidup komputer. Keuntungan dan kenikmeuntungan dan kenikmatan tahunan sudah dalamatan tahunan sudah dalam bentuk
bentuk ini. ini. Rumus Rumus ekonomi ekonomi tersedia tersedia untuk untuk mengungkapkan mengungkapkan biaya-biabiaya-biaya ya pembelian pembelian dandan perawatan den
perawatan dengan cara yang serupa. Misalgan cara yang serupa. Misalnya, biaya pembelianya, biaya pembelian awal dapat ditran awal dapat ditransformasikannsformasikan ke dalam serangkaian pembayaran tahunan seragam dengan rumus.
ke dalam serangkaian pembayaran tahunan seragam dengan rumus.
(1) (1)
dimana A
dimana A p p adalah besarnya pembayaran tahunan (adalah besarnya pembayaran tahunan (annual payment annual payment ),), P P biaya biaya pembelian,pembelian, ii
tingkat bunga, dan
tingkat bunga, dannn banyaknya tahun [1]. Yang artinya bahwa X bersedia meminjam uang banyaknya tahun [1]. Yang artinya bahwa X bersedia meminjam uang P P sejumlah untuk membeli komputer dan setuju untuk mengembalikannya dalam
sejumlah untuk membeli komputer dan setuju untuk mengembalikannya dalamnn pembayaran pembayaran tahunan dengan suku bunga i. Misalnya, pembayaran awal untuk Pentium adalah $-3000, tahunan dengan suku bunga i. Misalnya, pembayaran awal untuk Pentium adalah $-3000, dimana tanda negative menunjukkan kerugian bagi X. Jika tingkat bunga adalah 20 persen ( dimana tanda negative menunjukkan kerugian bagi X. Jika tingkat bunga adalah 20 persen (ii
=
= 0,20 ) maka0,20 ) maka
(2) (2) Misal jika pembayaran awal harus disebar selama 10 tahun (
Misal jika pembayaran awal harus disebar selama 10 tahun ( nn == 10), maka rumus ini dapat10), maka rumus ini dapat
dipakai untuk menghitung bahwa pembayaran tahunan yang setara adalah $-715,57 tiap tahun. dipakai untuk menghitung bahwa pembayaran tahunan yang setara adalah $-715,57 tiap tahun. Di bidang ekonomi, pembayaran/biaya perawatan yang bertambah pada suatu laju konstanta G Di bidang ekonomi, pembayaran/biaya perawatan yang bertambah pada suatu laju konstanta G menurut pertambahan waktu dinamakan dinamakan
menurut pertambahan waktu dinamakan dinamakanderet hitung gradienderet hitung gradien. Konversi deret yang. Konversi deret yang demikian menjadi laju tahunan
demikian menjadi laju tahunan A Amm dapat dilaksanakan dengan rumus ekonomi dapat dilaksanakan dengan rumus ekonomi
(3) (3) Dimana G adalah laju hitung pertambahan perawatan [1]. Persamaan (3) mentransformasikan Dimana G adalah laju hitung pertambahan perawatan [1]. Persamaan (3) mentransformasikan biaya perawat
biaya perawatan yang an yang terus menterus meningkat ke ingkat ke dalam sedalam serangkaian rangkaian pembayaran tahpembayaran tahunan unan tetap yangtetap yang setara. Persamaan-persamaan ini dapat digabungkan untuk mengungkapkan nilai tiap setara. Persamaan-persamaan ini dapat digabungkan untuk mengungkapkan nilai tiap komputer dalam bentuk serangkaian pembayaran yang seragam. Misalnya untuk Pentium, dari komputer dalam bentuk serangkaian pembayaran yang seragam. Misalnya untuk Pentium, dari persamaan (2) dan (
persamaan (2) dan (3) diperoleh3) diperoleh
(4) (4) Harga total = - biaya pembelian
Harga total = - biaya pembelian – – biaya pemeliharaan + keuntungan/laba biaya pemeliharaan + keuntungan/laba Dimana A
Dimana Att menyatakan nilai total tahunan. Persamaan ini dapat disederhanakan menjadi menyatakan nilai total tahunan. Persamaan ini dapat disederhanakan menjadi
(5) (5)
Dengan mensubstitusikan
Dengan mensubstitusikan n = n = 22 ke dalam persamaan (5) akan memberikan hasil yang jika X ke dalam persamaan (5) akan memberikan hasil yang jika X memutuskan untuk membuang Pentium setelah memilikinya selama hanya 2 tahun, maka X memutuskan untuk membuang Pentium setelah memilikinya selama hanya 2 tahun, maka X akan menghabiskan biaya sebesar $1055 tiap tahun. Jika komputer dibuang setelah 10 tahun akan menghabiskan biaya sebesar $1055 tiap tahun. Jika komputer dibuang setelah 10 tahun ((n = 10n = 10 ), persamaan (5) m), persamaan (5) memberi indikasi bahwa biayanya akan sebesar $30 emberi indikasi bahwa biayanya akan sebesar $30 tiap tahun.tiap tahun.
Serupa untuk AMD, berdasar persamaan (4), persamaan untuk nilai tahunan dapat Serupa untuk AMD, berdasar persamaan (4), persamaan untuk nilai tahunan dapat dikembangkan seperti dalam
dikembangkan seperti dalam
(6) (6)
Nilai-nilai untuk pe
Nilai-nilai untuk persamaan (6) untukrsamaan (6) untuknn == 2 dan2 dan nn == 10 adalah $-2568 dan $+146110 adalah $-2568 dan $+1461
tiap tahun. Jadi walaupun AMD lebih mahal berdasarkan jangka pendek, jika dimiliki cukup tiap tahun. Jadi walaupun AMD lebih mahal berdasarkan jangka pendek, jika dimiliki cukup lama, tidak hanya akan lebih hemat biaya tetapi sebenarnya akan menghasilkan uang untuk X. lama, tidak hanya akan lebih hemat biaya tetapi sebenarnya akan menghasilkan uang untuk X. Identifikasi titik tempat dua komputer mempunyai nilai setara menunjukkan kapan Pentium Identifikasi titik tempat dua komputer mempunyai nilai setara menunjukkan kapan Pentium menjadi pilihan yang lebih baik. Secara grafis, titik tersebut berpadanan dengan perpotongan menjadi pilihan yang lebih baik. Secara grafis, titik tersebut berpadanan dengan perpotongan dua kurva dalam Gambar 2.
dua kurva dalam Gambar 2.
Gambar 2. Gambar 2.
Dari sudut matematis, titik pulang-pokok (titik impas
Dari sudut matematis, titik pulang-pokok (titik impas – break even – break even) adalah nilai) adalah nilai nn dimanadimana persamaan (5) dan (6
(7) (7) Dengan membawa semua suku persamaan ini ke satu ruas, persamaan (7) direduksi menjadi Dengan membawa semua suku persamaan ini ke satu ruas, persamaan (7) direduksi menjadi pencarian akar da
pencarian akar dariri
(8) (8) Akar-akar persamaan (8) tidak dapat ditentukan secara analitis. Di lain pihak pembayaran Akar-akar persamaan (8) tidak dapat ditentukan secara analitis. Di lain pihak pembayaran tahunan yang setara mudah dihitung untuk suatu
tahunan yang setara mudah dihitung untuk suatu nn yang diberikan. Jadi, masalah iniyang diberikan. Jadi, masalah ini penciptakan kebu
penciptakan kebutuhan untuk pendetuhan untuk pendekatan numerik.katan numerik. E.Penyelesaian dengan Metod
E.Penyelesaian dengan Metode Bagi e Bagi DuaDua (Bisection)(Bisection) Akar-akar persamaan (8) dapat dihitu
Akar-akar persamaan (8) dapat dihitung dengan salah satu metode numerik yang cukup dikenang dengan salah satu metode numerik yang cukup dikenall yaitu Metode Bagi-Dua, yang pendekatannya dapat diterapkan dengan usaha yang minimal. yaitu Metode Bagi-Dua, yang pendekatannya dapat diterapkan dengan usaha yang minimal. Berdasarkan Gambar 2 diketahui bahwa akarnya berada antara
Berdasarkan Gambar 2 diketahui bahwa akarnya berada antaran =n = 2 dan2 dan n =n = 10 . Nilai-nilai 10 . Nilai-nilai ini menyediakan nilai-nilai pemulai untuk Metode Bagi- Dua.
ini menyediakan nilai-nilai pemulai untuk Metode Bagi- Dua.
Ambil
Ambil aa == 2 ,2 , bb == 10 dan epsilon = 0.001. Berdasar (8) maka10 dan epsilon = 0.001. Berdasar (8) maka
Iterasi 1 Iterasi 1
Sehingga,
Sehingga, f f ((aa).). f f ((cc))== ((−−1513,63)(1191,88)1513,63)(1191,88)<< 00
Berarti
Iterasi 2 Iterasi 2
Sehingga,
Sehingga, f f ((aa).). f f ((cc))== ((−−1513,63)(487,1)1513,63)(487,1)<< 00
Berarti
Berarti bb ::== cc, atau ujung kanan selang digeser menjadi, atau ujung kanan selang digeser menjadibb = 4.= 4.
Iterasi 3 Iterasi 3
Sehingga,
Sehingga, f f ((aa).). f f ((cc))== ((−−1513,63)(1513,63)(−−191,2)191,2)>> 00
Berarti
Berarti aa ::== cc, atau ujung kiri selang digeser menjadi, atau ujung kiri selang digeser menjadiaa = 3.= 3.
Iterasi 4 Iterasi 4
Sehingga,
Sehingga, f f ((aa).). f f ((cc))== ((−−191,2)(2072,65)191,2)(2072,65)<< 00
Berarti
Berarti bb ::== cc, atau ujung kanan selang digeser menjadi, atau ujung kanan selang digeser menjadibb = 3,5.= 3,5.
Pembagiduaan selang dapat diulang sampai 18 iterasi untuk memberikan suatu hasil hampiran Pembagiduaan selang dapat diulang sampai 18 iterasi untuk memberikan suatu hasil hampiran yang halus/akurat dengan epsilon sebesar 0,001. Titik pulang-pokok terjadi pada tahun yang halus/akurat dengan epsilon sebesar 0,001. Titik pulang-pokok terjadi pada tahunnn ==
3,23 . Hasil ini dapat diperiksa dengan mensubstitusi kembali ke persamaan (8) 3,23 . Hasil ini dapat diperiksa dengan mensubstitusi kembali ke persamaan (8) bahwa
bahwa f f(3,23)(3,23) ≅≅ 0.0.
Pensubstitusian
Pensubstitusian nn == 3,23 ke dalam persamaan (3.5) atau persamaan (3.6) akan memberikan3,23 ke dalam persamaan (3.5) atau persamaan (3.6) akan memberikan hasil bahwa pada titik pulang-pokok kedua komputer tersebut memerlukan biaya sekitar $542 hasil bahwa pada titik pulang-pokok kedua komputer tersebut memerlukan biaya sekitar $542 tiap tahun. Di luar titik ini AMD mejadi akan lebih hemat biaya. Akibatnya jika X bermaksud tiap tahun. Di luar titik ini AMD mejadi akan lebih hemat biaya. Akibatnya jika X bermaksud memiliki mesin komputer selama lebih dari 3,23 tahun, maka lebih baik membeli AMD. memiliki mesin komputer selama lebih dari 3,23 tahun, maka lebih baik membeli AMD.
3. Ciri-ciri
3. Ciri-ciri penyelesapenyelesaian Numerik bila ian Numerik bila dibanddibanding ing dengan penyelesaian Analitik yaitu :dengan penyelesaian Analitik yaitu : 1.
1. Adanya proses perhitungan yang berulang-ulang (iteratif).Adanya proses perhitungan yang berulang-ulang (iteratif). 2.
2. Memerlukan alat bantu komputer.Memerlukan alat bantu komputer. 3.
3. Memerlukan pemodelan matematis dari situasi yang nyata.Memerlukan pemodelan matematis dari situasi yang nyata. 4.
4. Penyediaan input dan data yang cukup bagi pemodelan.Penyediaan input dan data yang cukup bagi pemodelan. 5.
5. Pembuatan algoritma dan penulisan program.Pembuatan algoritma dan penulisan program. 6.
6. Jawaban-jawaban yang diperoleh berupa jawaban (nilai) pendekatan, sehinggaJawaban-jawaban yang diperoleh berupa jawaban (nilai) pendekatan, sehingga memiliki tingkat kesalahan/error (namun mempunyai tingkat ketelitian yang bisa memiliki tingkat kesalahan/error (namun mempunyai tingkat ketelitian yang bisa diterima/valid)
4. Kesimpulan 4. Kesimpulan
Metode numerik merupakan salah satu alternatif metode penyelesaian yang berupa hampiran Metode numerik merupakan salah satu alternatif metode penyelesaian yang berupa hampiran dan penting dalam terapan praktis dimana para ilmuwan seringkali menghadapi dan penting dalam terapan praktis dimana para ilmuwan seringkali menghadapi masalah-masalah yang aktual dan tidak dapat diselesaikan secara analit
masalah yang aktual dan tidak dapat diselesaikan secara analitis. Di bidang ekonomi, salah satuis. Di bidang ekonomi, salah satu penerapan
penerapan metode metode numerik numerik ini ini adalah adalah pada pada penyelesaipenyelesaian an masalah masalah pulang-pokok. pulang-pokok. MasalahMasalah untuk menentukan titik pada mana dua pilihan alternatif setara ini sebelumnya dikonversi ke untuk menentukan titik pada mana dua pilihan alternatif setara ini sebelumnya dikonversi ke suatu ukuran yang dapat dibandingkan dan akhirnya masalah tersebut direduksi menjadi suatu ukuran yang dapat dibandingkan dan akhirnya masalah tersebut direduksi menjadi masalah pencarian akar persamaan. Dengan menggunakan salah satu metode yaitu Metode masalah pencarian akar persamaan. Dengan menggunakan salah satu metode yaitu Metode Bagi-Dua, penyelesaian dapat diperoleh dengan melalui 18 iterasi. Sehingga dapat disimpulkan Bagi-Dua, penyelesaian dapat diperoleh dengan melalui 18 iterasi. Sehingga dapat disimpulkan alternatif pilihan mana yang lebih baik diambil.
