METODE NUMERIK ARAH KONJUGASI

METODE NUMERIK

ARAH KONJUGASI

14 Mei 2016

Diajukan untuk Memenuh Tugas Ujian Akhir Semester Mata kuliah Metode Numerik

Dosen Pengampu

Bapak Rukmono Budi Utomo,M.Sc

Nur Aliyah 1384202043

6A1

Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan

Universitas Muhammadiyah Tangerang

KATA PENGANTAR

Puji syukur kita panjatkan kehadirat Allah SWT karena atas limpahan rahmat serta petunjuk-Nya, maka pembuatan Makalah Metode Numerik tentang Arah Konjugasi ini bisa terselesaikan dengan ketentuan waktu yang diberikan. Di-samping itu juga, saya selaku penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Rukmono Budi Utomo,M.Sc selaku pembimbing kami serta teman-teman yang berpartisipasi dan memberikan dorongan sehingga makalah ini bisa selesai.

Saya selaku penulis menyadari bahwa makalah ini masih banyak kekura-ngannya atau belum sesuai dengan apa yang kita inginkan bersama, namun saya sudah berusaha semaksimal mungkin agar makalah ini bisa terselaikan.

Untuk itu, dengan masih banyaknya kekurangan terhadap isi makalah ini, saya dari penulis atau penyusun makalah ini sangat mengharapakan saran dan kritikan yang besifat membangun untuk penyempurnaan makalah ini agar bisa sesuai keinginan kita bersama dan dapat bermanfaat untuk kita semua serta bisa dijadikan sebagai pedoman untuk kedepannya.

Tangerang, 14 Mei 2016

DAFTAR ISI Kata Pengantar ... 2 Daftar Isi ... 3 BAB I PENDAHULUAN ... 4 1. Latar Belakang... 4 2. Rumusan Masalah ... 5 3. Tujuan ... 5 BAB II PEMBAHASAN ... 6

4. Pengertian Metode Arah Konjugasi ... 6

5. Algoritma Arah Konjugasi ... 6

6. Contoh Soal ... 7

7. Menggunakan Metode Analitik ... 13

BAB III PENUTUP ... 15

8. Kesimpulan ... 15

9. Saran ... 15

BAB I PENDAHULUAN

1

Latar Belakang

Dalam sejarah perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi, matematika me-megang peranan yang sangat penting untuk memecahkan berbagai permasalah-an secara kupermasalah-antitatif. Optimasi sebagai salah satu cabpermasalah-ang dalam matematika se-ring digunakan sebagai acuan untuk menyelesaikan permasalahan-permasalahan di bidang ekonomi, teknik, dan lainnya. Dengan optimasi maka permasalahan-permasalahan yang ada dapat di prediksi dan dicari permasalahan-permasalahannya yang optimal.

Secara umum optimasi dikategorikan menjadi 2 bagian, yaitu optimasi de-ngan kendala dan optimasi tanpa kendala. Optimasi dede-ngan kendala adalah pe-nyelesaian permasalahan untuk mendapatkan pepe-nyelesaian yang optimal dengan memperhatikan faktor-faktor pembatas yang harus dipenuhi, melalui tahapan-tahapan perhitungan tertentu. Sedangkan optimasi tanpa kendala adalah pe-nyelesaian masalah tanpa adanya faktor pembatas yang mempengaruhi proses perhitungan sampai penyelesaian optimal tercapai. Penyelesaian optimal dapat diartikan sebagai penyelesaian yang minimal maupun penyelesaian yang mak-simal. Pada prinsipnya mencari nilai maksimal suatu fungsi f(x) sama artinya dengan mencari nilai maksimal dari negatif fungsi f(x).

Pada makalah ini akan dibahas permasalahan optimasi tanpa kendala (untuk kasus dengan kendala diubah menjadi permasalahan tanpa kendala), dan untuk kasus meminimalkan serta fungsinya merupakan fungsi konveks.

Dalam meminimalkan fungsi nonlinier multivariable f(x) tanpa kendala yaitu dengan mencari vektor

x = (x1, x2, ..., xn)

sehingga fungsi f(x) minimal. Apabila penyelesaiannya dapat di usahakan secara analitik tentu akan mempermudah memperoleh penyelesaiannya yang optimal, karena penyelesaian eksaknya didapatkan. Tetapi untuk berbagai per-soalan hal ini tidak selalu mudah dilakukan sehingga perlu diupayakan penye-lesaian secara numerik yang mendekati penyepenye-lesaian eksak.

Ada beberapa pendekatan secara numerik untuk mencari nilai minimum suatu fungsi nonlinier multivariable f(x). Pada makalah ini akan dibahas pen-dekatan secara numerik menggunakan metode arah konjugasi. Metode arah konjugasi merupakan metode untuk meminimumkan atau memaksimumkan su-atu fungsi . Untuk mendapatkan kekonvergenan yang lebih cepat, maka selain menggunakan arah penurunan tercuram juga menggunakan arah yang saling konjugat. Metode arah konjugasi menggunakan arah pencarian yang saling or-togonal serta selalu diperbaharui pada setiap langkah iterasi, sehingga pada setiap iterasi akan bergerak maju menuju penyelesaian yang optimal.

Sebagian besar pembahasan melibatkan operasi vektor dalam bentuk ma-triks sehingga diasumsikan operasi mama-triks yang meliputi jumlah dua mama-triks, hasil kali matriks dengan suatu skalar dan perkalian dua matriks terdefinisi.

2

Rumusan Masalah

• Apa yang dimaksud dengan metode numerik arah konjugasi ? • Bagaimana algoritma dalam arah konjugasi ?

• Bagaimana cara menyelesaikan persoalan numerik dengan menggunakan arah konjugasi ?

• Bagaimana cara menyelesaikan persoalan numerik dengan analitik dalam menggunakan arah konjugasi ?

3

Tujuan

• Untuk menambah pengetahuan mengenai berbagai metode yang dapat digunakan dalam persoalan numerik

• Dapat melatih mahasiswa dalam menganalisis permasalahan-permasalahan numerik

• Untuk menyelesaikan tugas pengganti UAS pada mata kuliah metode nu-merik

BAB I PEMBAHASAN

4

Pengertian Metode Arah Konjugasi

Metode Numerik Arah Konjugasi Merupakan salah satu metode numerik yang digunakan untuk menyelesaikan masalah optimisasi. Dan langkah-langkah da-lam menyelesaikan masalah optmisasi tersebut berbeda dengan metode nu-merik lainnya, yaitu Diberikan Z=F (x1,x2),kemudian menentukan nilai X =

(x1,x2)∈R2yang meminimalkan atau memaksimalkan Z=F {X} atau Z=F (x1,x2)

Kemudian Metode Arah Konjugasi lebih baik dari pada metode Steepest Descent, tetapi tidak juga dengan metode Newton. Seperti yang dilihat dari metode Steepest Descent dan metode Newton, faktor penting dalam efisiensi su-atu metode pencarian berulang adalah arah pencarian pada setiap iterasi.Untuk fungsi kuadrat n variabel

f (x) = 1 2x

T

Qx − xTb, x ∈ Rn, Q = QT > 0,

Arah pencarian terbaik disebut dengan arah Q-Konjugat. Pada dasarnya dua arah d(1) dan d(2) di Rn dikatakan Q- Konjugat jika d(1)TQd(2)=0

Metode arah konjugasi dapat dilihat sebagai penengah antara metode Stee-pest Descent dan metode Newton. Metode Arah konjugasi memiliki sifat sebagai berikut.

• Memecahkan persamaan kuadrat dari n variabel dalam n langkah • Dalam algoritma arah konjugasi, memerlukan matriks Hessian

• Tidak ada matriks invers dan tidak ada penyimpanan n x n matriks di-perlukan

5

Algoritma Arah konjugasi

• Diberikan fungsi Z=F (x1,x2), kemudianakan ditentukan nilai X = (x1,x2)

yang akan meminimalkan atau memaksimumkan nilai Z=F (x1,x2)

• Kemudian ambil Sembarang titik awal X1 = (x1,x2)∈R2

• Kemudaian Bentuk Matriks Hessian yakni

H = " ∂z ∂x2 1 ∂z ∂x1∂x2 ∂z ∂x2∂x1 ∂z ∂x2 2 #

dengan ∂2_f ∂x2 1 = ∂ 2_f ∂x1∂x2 = ∂ ∂x1  ∂f ∂x1  ∂2_f ∂x1∂x2 = ∂ ∂x1  ∂f ∂x2  ∂2f ∂x2∂x1 = ∂ ∂x2  ∂f ∂x1 

• Kemudian tetapkan arah pencarian

d1=  1 0  , d2=  a b 

• kemudian dengan d2=d1THd2 dan d2=0 lalu lakukan untuk dkT−1Hdk

atau dk+1=dkTHdk+1Dengan dkT = Transpos dk

Contoh : dk =      a1 a2 .. . an      ; dT_k =h _a 1 a2 ... an i

• kemudian tentukan λk = min Z (Xk + λkdk) dan Xk+1= Xk + λkdk

• Iterasi berhenti ketika norm

Xk − Xk−1

< ε, ε > 0 sembarang konstanta. Contoh :

k( a1, b1) − (a2, b2)k =

q

(a1, a2)2− (b1− b2)2

6

Contoh Soal

Diberikan suatu fungsi f (x) = 3x12+2x22+4x1x2 - 6x1 - 8x2 + 6 dengan titik

awal X1 = (1,1) dan ε = 0, 01. Dengan menggunakan metode Arah Konjugasi,

tentukan pembuat minimum fungsi tersebut.

Penyelesaian Iterasi 1

• Diketahui f (x) = 3x12+2x22+4x1x2- 6x1 - 8x2 + 6

• Ambil sembarang titik awal X1 = (x1,x2)∈R2 yaitu X1 = (1,1) dengan

• Kemudian dibentuk matriks Hessian H = " ∂z ∂x2 1 ∂z ∂x1∂x2 ∂z ∂x2∂x1 ∂z ∂x2 2 # H =  6 4 4 4 

• Kemudian Tentukan arah pencarian pada d1dan d2 , sebagai berikut

d1=  1 0  , d2=   a b   d2= dT1.H.d2 = 1 0    6 4 4 4    a b  = 6 4   a b  = 0 = 6a + 4b = 0 = 6a = −4b 3a = −2b

Ambil a=2 dan b=-3 dengan demikian diperoleh

d2=

 2 −3



• Kemudian hitung λ1 = min Z (X1+ λ1d1) sebagai berikut:

λ1= min Z(x1+ λ1d1)

λ1= min Z((1, 1) + λ1(1, 0))

λ1= min Z((1, 1) + (λ1, 0)

Subtitusikan Z(λ1+ 1,1) pada persamaan awal, sehingga menjadi : Z(λ1+ 1, 1) = 3x21+ 2x22+ 4x1x2− 6x1− 8x2+ 6 = 3(λ1+ 1)2+ 2(1)2+ 4(λ1+ 1)(1) − 6(λ1+ 1) − 8(1) + 6 = 3(λ12+ 2λ1+ 1) + 2 + 4(λ1+ 1) − 6λ1− 6 − 8 + 6 = 3λ12+ 6λ1+ 3 + 2 + 4λ1+ 4 − 6λ1− 6 − 8 + 6 = 3λ12+ 4λ1+ 1

Carilah turunan dari persamaan yang diperoleh dan samadenganka nol , agar diperoleh λ1

dz

dλ1 = 6λ1+ 4 = 0

6λ1= −4

λ1= −2₃

• Telah diperoleh λ1= - 2₃. maka akan dicari nilai X2

X2= X1+ λ1d1 = ( 1, 1 ) + −2₃
1, 0
= ( 1, 1 ) + −2 3, 0
= 1₃, 1
Diperoleh X2=  1 3, 1 

Kemudian di subtitusikan, sebagai beriku : X2− X1 = 1₃, 1
− (1, 1) = q 1 3− 1
2 + (1 − 1)2 = q −2 3
2 + 02 = q 4 9 =2 3 = 0, 67

Iterasi Dilanjutkan karena 0, 67 > ε ⇒ 0, 67 > 0, 01 Iterasi 2 Diketahui : X2=  1 3, 1 

• Kemudian hitung λ2 = min Z (X2+ λ2d2) sebagai berikut:

λ2= min Z(X2+ λ2d2)

λ2= min Z((1/3, 1) + λ2(2, −3))

λ2= min Z((1/3, 1) + (2λ2, −3λ2)

λ2= min Z(2λ2+ 1/3, 1 − 3λ2)

Subtitusikan Z(2λ2+1/3,1−3λ2) pada persamaan awal, sehingga menjadi:

Z = 2λ2+ 1/3, 1 − 3λ2
= 3x12+ 2x22+ 4x1x2− 6x1− 8x2+ 6 = 3(2λ2+ 1/3)2+ 2(1 − 3λ2)2+ 4(2λ2+ 1/3)(1 − 3λ2) − 6(2λ2+ 1/3) − 8(1 − 3λ2) + 6 = 3(4λ22+ 4/3λ2+ 1/9) + 2(1 − 6λ2+ 9λ22) + 4(2λ2− 6λ22+ 1/3 − λ2) − 6(2λ2+ 1/3) −8(1 − 3λ2) + 6 = (12λ22+ 4λ2+ 1/3) + (2 − 12λ2+ 18λ22) + (8λ2− 24λ22+ 4/3 − 4λ2) − (12λ2+ 2) −(8 − 24λ2) + 6 = 12λ22+ 4λ2+ 1/3 + 2 − 12λ2+ 18λ22+ 8λ2− 24λ22+ 4/3 − 4λ2− 12λ2− 2 − 8 + 24λ2+ 6 = 6λ22+ 8λ2− 1/3

Carilah turunan dari persamaan yang diperoleh dan samadengankan nol, agar diperoleh nilai λ2

dz

dλ2 = 12λ2+ 8 = 0

12λ2= −8

• Telah diperoleh λ2= - 2₃. maka akan dicari nilai X3 X3= X2+ λ2d2 = 1₃, 1
+ −2₃
(2, −3) = 1₃, 1
+ −4₃, 2
= ( −1, 3) Diperoleh X3= (−1, 3)

Kemudian Di subtitusikan, sebagai berikut : X2− X1 = (−1, 3) − 1₃, 1
= q −1 −1 3
2 + (3 − 1)2 = q −4 3
2 + 22 =q16₉ + 4 = q 52 9 = 2, 4

Iterasi Dilanjutkan karena

2, 4 > ε ⇒ 2, 4 > 0, 01

Iterasi 3

Diketahui :

X3= (−1, 3)

• Kemudian hitung λ3 = min Z (X3+ λ3d3) sebagai berikut:

λ3= min Z(X3+ λ3d3)

λ3= min Z((−1, 3) + λ3(1, 0))

λ3= min Z((−1, 3) + (λ3, 0)

Subtitusikan Z(λ3−1, 3) pada persamaan awal, sehingga menjadi: Z λ3−1, 3
= 3x12+ 2x22+ 4x1x2− 6x1− 8x2+ 6 = 3(λ3−1)2+ 2(3)2+ 4(λ3−1)(3) − 6(λ3−1) − 8(3) + 6 = 3(λ32− 2λ3+ 1) + 18 + 4(3λ3− 3) − (6λ3− 6) − 24 + 6 = 3λ32− 6λ3+ 3 + 18 + 12λ3− 12 − 6λ3+ 6 − 24 + 6 = 3λ32− 3

Carilah turunan dari persamaan yang diperoleh dan samadengankan nol, agar diperoleh nilai λ3.

dz

dλ3 = 6λ3= 0

λ3= 0

• Telah diperoleh λ3= 0. maka akan dicari nilai X4

X4= X3+ λ3d3 = ((−1, 3) + 0(4, 0)) = ((−1, 3) + (0, 0)) = (−1, 3) Diperoleh X4= (−1, 3)

Kemudian di subtitusikan sehingga menjadi X4− X3 = k(−1, 3) − (−1, 3)k = q (−1 + 1)2+ (3 − 3)2 =√02_{+ 0}2 =√0 = 0

7

Menggunakan Metode Analitik

• Dengan konsep Arah Konjugasi yang telah dijelaskan di atas, maka per-hitungan dapat diselesaikan dengan Metode Analitik

Diketahui suatu fungsi f (x) = 3x12+2x22+4x1x2 - 6x1- 8x2 + 6

• Carilah turunan pertama terhadap x1 ∂f dx1 = 6x1+ 4x2− 6 = 0 → 6x1= 6 − 4x2 → x1= 6−4x₆ 2 → x1= 1 −2₃x2 Sehingga ⇒ ∂ 2_f dx1 = 6

• Carilah turunan pertama terhadap x2 ∂f dx2 = 4x2+ 4x1− 8 = 0 → 4x2+ 4 1 −2₃x2
− 8 = 0 → 4x2−8₃x2− 4 = 0 → 4 3x2= 4 x2= 3 Sehingga ⇒ ∂ 2_f dx2 = 4

• Kemudian kita cari x1

Karena x2 telah diketahui x2=3, maka kita sibtitusikan terhadap

x1= 1 − 2 3x2 sehingga x1= 1 −2₃x2 x1= 1 −2₃(3) x1= 1 − 2 x1= −1

• Kemudian Cek apakah terbukti nila x1=−1 dan x2=3 meminimumkan

fungsi f (x) = 3x12+2x22+4x1x2 - 6x1- 8x2 + 6 atau tidak. ∂2f dx1 × ∂2f dx2 −  ∂2f dx1dx2  > _dx∂f 1 × ∂f dx2 = 6 × 4 − (4)2 = 24 − 16 = 8 = 8 > 0

Terlihat bahwa terbukti nila x1=−1 dan x2=3 meminumumkan fungsi

BAB III PENUTUP

8

Kesimpulan

Metode Numerik Arah Konjugasi Merupakan salah satu metode numerik yang digunakan untuk menyelesaikan masalah optimisasi. Dan langkah-langkah da-lam menyelesaikan masalah optmisasi tersebut berbeda dengan metode nu-merik lainnya, yaitu Diberikan Z=F (x1,x2),kemudian menentukan nilai X =

(x1,x2)∈R2yang meminimalkan atau memaksimalkan Z=F {X} atau Z=F (x1,x2)

Kemudian Metode Arah Konjugasi lebih baik dari pada metode Steepest Descent, tetapi tidak juga dengan metode Newton. Seperti yang dilihat dari metode Steepest Descent dan metode Newton, faktor penting dalam efisiensi su-atu metode pencarian berulang adalah arah pencarian pada setiap iterasi.Untuk fungsi kuadrat n variabel

f (x) = 1 2x

T_{Qx − x}T_{b, x ∈ R}n_{, Q = Q}T _{> 0,}

Arah pencarian terbaik disebut dengan arah Q-Konjugat. Pada dasarnya dua arah d(1) _{dan d}(2) _{di R}n _{dikatakan Q- Konjugat jika d}(1)T_Qd(2)₌₀

9

Saran

sebaiknya sebelum menyelesaikan permasalahan numerik menggunakan metode arah konjugat kita harus lebih dulu memahami metode numerik Steepest De-scent karena algoritma arah konjugasi turunan dari metode Steepest DeDe-scent.

DAFTAR PUSTAKA

Chong, Edwin. kChong, Edwin. K.P. 2001.Chong, Edwin. K.P. 2001. An Introduction To Optimization. A Wiley Interscience Publication, John Wiley end Sons INC: Newyork