Metode Numerik Arah Konjugasi

(1)

Metode Numerik Arah Konjugasi Algoritma Arah Konjugasi Contoh Penyelesaian Masalah Optimisasi dengan Arah Konjugasi

Penyelesaian Dengan Analitik Biografi Author

Metode Numerik Arah Konjugasi

Rukmono Budi Utomo, M.Sc. Prodi S1 Pendikan Matematika UMT email: [email protected]

(2)

Metode Numerik Arah Konjugasi

1 Metode Numerik Arah Konjugasi

2 Algoritma Arah Konjugasi

3 Contoh Penyelesaian Masalah Optimisasi dengan Arah Konjugasi

(3)

Penyelesaian Dengan Analitik Biografi Author Metode NumerikArah Konjugasi

Metode NumerikArah Konjugasi merupakan salah satu metode numerik yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah optimisasi, yakni menentukan nilaiX ={x1,x2} ∈R2 yang

meminimalkan atau memaksimalkanZ =F(X)

Metode untuk menyelesaikan masalah optimisasi ini juga dapat menggunakan metode aksial , Stepest Descent,Hooke and Jeeve atau Roosenberg

Tentu saja setiap metode numerik memilki algoritma yang berbeda dengan kecepatan tingkat efektivitas pencarian O

(Big Oh)yang berbeda serta tingkat kesalahan yang berbeda pula

(4)

(5)

(6)

Penyelesaian Dengan Analitik Biografi Author Algoritma Arah Konjugasi

AlgoritmaArah Konjugasi dapat dijelaskan sebagai berikut: Diberikan fungsi Z =F(x1,x2) dan akan ditentukan nilai

X ={x1.x2} yang meminimalkan atau memaksimumkan nilai

Z =F(x1,x2) tersebut

Ambil sembarang titik awalX1 ={x1,x2} ∈R2

Bentuk Metrik Hessian yakni H= " _∂_Z ∂x12 ∂Z ∂x2∂x1 ∂Z ∂x1∂x2 ∂Z ∂x22 #

Tetapkan arah pencarian d1= 1 0 ,d2= a b

(7)

(8)

(9)

(10)

lanjutan

dengand2=d1tHd2 dan sama denankan nol, serta bentuk

dk+1=dktHdk+1

tentukan λk =minZ(Xk+λkdk) danXk+1 =Xk +λkdk

Iterasi berhenti ketika norm||Xk+1−xk||< dengan >0

merupakan suatu konstanta positif yang menunjukkan kesalahan yang ditolerasnsi

(11)

lanjutan

dk+1=dktHdk+1

tentukan λk =minZ(Xk +λkdk) danXk+1 =Xk +λkdk

(12)

lanjutan

dk+1=dktHdk+1

tentukan λk =minZ(Xk +λkdk) danXk+1 =Xk +λkdk

(13)

Penyelesaian Dengan Analitik Biografi Author Contoh Penggunaan Arah Konjugasi

Tentukan nilaiX ={x1,x2}yang meminimalkan

Z(x1,x2) =−12x2+ 4x12+ 4x22−4x1x2 dengan menggunakan

metodeArah Konjugasi

solusi

Ambil sembarang titik awalX1 ={−1₂,1} ∈R2

Dibentuk metriks Hessian H = " ∂Z ∂x12 ∂Z ∂x2∂x1 ∂Z ∂x1∂x2 ∂Z ∂x22 # = 8 −4 −4 8

(14)

solusi

Dibentuk metriks Hessian H = " ∂Z ∂x12 ∂Z ∂x2∂x1 ∂Z ∂x1∂x2 ∂Z ∂x22 # = 8 −4 −4 8

(15)

solusi

Dibentuk metriks Hessian H = " _∂_Z ∂x12 ∂Z ∂x2∂x1 ∂Z ∂x1∂x2 ∂Z ∂x22 # = 8 −4 −4 8

(16)

solusi

Dibentuk metriks Hessian H = " _∂_Z ∂x12 ∂Z ∂x2∂x1 ∂Z ∂x1∂x2 ∂Z ∂x22 # = 8 −4 −4 8

(17)

Penyelesaian Dengan Analitik Biografi Author lanjutan d1= 1 0 d2=d1tHd2 0 = 1 0 8 −4 −4 8 a b 0 = 8a−4b⇔2a=b

ambil a= 1, b= 2, dengan demikian diperoleh d2 =

1 2

(18)

lanjutan

Nilai λ1 dapat ditentukan sebagai berikut

λ1= minZ X1+λ1d1 =Z 1₂,1 +λ1(1,0) =Z −1₂+λ1,1 dengan Z 1 2 +λ1,1 = 4λ12−8λ1−5

DerivatifkanZ(1₂,1) dan sama dengankan nol, sehingga diperoleh λ1 = 1. Berdasarkan hal tersebut

X2 =X1+λ1d1 = 1₂,1

(19)

lanjutan

Nilai λ1 dapat ditentukan sebagai berikut

λ1= minZ X1+λ1d1 =Z 1₂,1 +λ1(1,0) =Z −1₂+λ1,1 dengan Z 1 2 +λ1,1 = 4λ12−8λ1−5

DerivatifkanZ(1₂,1) dan sama dengankan nol, sehingga diperoleh λ1 = 1. Berdasarkan hal tersebut

X2 =X1+λ1d1 = 1₂,1

(20)

kanjutan

Karena ||X2−X1||= 1>0.01 =, maka iterasi dilanjutkan

Dengan langkah yang sama, diperoleh λ2 = 1₂ dan

X3 = (1,2). Berdasarkan hal tersebut

||X3−X2||=>0.01 =., dengan demikian iterasi dilanjutkan

Apabila iterasi diteruskan akan diperoleh nilai X4 ={1,2}

dengan||X4−X3||= 0<0.01 =,

Dengan demikian iterasi berhenti, sehingga nilai X yang meminimalkan fungsi Z dalam soal ini adalah X4={1,2}

Catatan

Perlu diperhatikan bahwa, karena ||∇Z(3₄,1₂)||= 0 hal ini mengindikasikan kesalahan perhitungan numerik eror = 0 yang mengindikasikan bahwa solusi numerik juga merupakan solusi analitiknya.

(21)

kanjutan

dengan||X4−X3||= 0<0.01 =,

Catatan

Perlu diperhatikan bahwa, karena ||∇Z(3₄,1₂)||= 0 hal ini mengindikasikan kesalahan perhitungan numerik eror = 0 yang mengindikasikan bahwa solusi numerik juga merupakan solusi analitiknya.

(22)

kanjutan

dengan||X4−X3||= 0<0.01 =,

Catatan

(23)

Penyelesaian Dengan Analitik Biografi Author Penyelesaian Dengan Analitik

DiketahuZ(x1,x2) =−12x2+ 4x12+ 4x22−4x1x2 dan akan

ditentukan nilaiX ={x1,x2} yang meminimumkan fungsi

Z =F(x1,x2) tersebut Solusi ∂Z ∂x1 = 8x1−4x2; ∂Z ∂x2 =−12 + 8x2−4x1 Karena ∂_XZ

1 = 0 dan juga kerena ∂Z X2 = 0, maka diperoleh x1 = 1 danx2 = 2 lebih lanjut ∂2Z ∂x12 = 4; ∂ 2_Z ∂x22 = 2

(24)

(25)

(26)

1 = 0 dan juga kerena ∂Z

X2 = 0, maka diperoleh x1 = 1 danx2 = 2

(27)

(28)

Penyelesaian Dengan Analitik Biografi Author lanjutan karena ∂_∂2_xZ2 1 = 8>0 dan ∂_∂2_xZ2 1 (∂_∂2_xZ2 1 )−(_∂∂_x_1∂2Z_x 2) 2 _{= 48}_>_{0, maka}

terbukti bahwa titik{1,2} merupakan titik yang meminimumkan fungsiZ ={x1,x2}dalam soal ini.

(29)

Sekilas Tentang Penulis

Rukmono Budi Utomo lahir di Tangerang, 26 September 1991 dan merupakan anak ke-2 dari 2 bersaudara. Penulis menamatkan sekolah antara lain:

S1 Matematika Undip (2013) S2 Matematika UGM (2015)

Saat ini penulis merupakan dosen di prodi pendidikan matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang (UMT) sekaligus

mahasiswa program Doktoral Matematika ITB. Kontak : 085741511571, email:[email protected]