METODE NUMERIK ROSENBERG DENGAN ARAH PENCARIAN TERMODIFIKASI PENAMBAHAN KONSTANTA l k

Vol. 6, No. 1, Januari 2017, hal. 47-59 P-ISSN: 2301-9891

METODE NUMERIK ROSENBERG DENGAN ARAH PENCARIAN

TERMODIFIKASI PENAMBAHAN KONSTANTA

lk

UNTUK

BEBERAPA NILAI

0 l_k 1

Rukmono Budi Utomo

Pendidikan Matematika, FKIP, Universitas Muhammadiyah Tangerang Email: rukmono.budi.u@mail.ugm.ac.id

Abstrak

Makalah ini mengkaji teori metode numerik Rosenberg n variabel dengan arah pencarian termodifikasi. Arah pencarian termodifikasi di sini merupakan penambahan kostanta l_kuntuk beberapa nilai l_kantara 0 sampai dengan 1 dengan k 1, 2,..,n pada metode Rosenberg biasa. Penelitian dilakukan dengan memahami terlebih dahulu metode Rosenberg, kemudian memodifikasi arah pencariannya untuk menentukan solusi numerik dari suatu permasalahan optimisasi. Pada makalah ini turut disertakan contoh perhitungan numerik antara metode Rosenberg dan Metode Rosenberg termodifikasi beserta analisis perhitungannya.

Kata kunci: Metode Rosenberg, Arah Pencarian, Metode Rosenberg Termodifikasi

Pendahuluan

Tidak selamanya permasalahan matematis khususnya pada model optimisasi dapat diselesaikan dengan metode analitik. Terkadang pada kondisi tertentu, solusi analitik dari permasalahan matematis tersebut tidak dapat ditemukan sehingga diperlukan metode numerik. Metode Analitik merupakan metode penyelesaian model matematika dengan rumus-rumus aljabar yang telah baku atau lazim[1] sedangkan metode numerik merupakan metode hampiran atau pedekatan. Karena metode numerik merupakan metode pendekatan atau hampiran, maka solusi yang dihasilkan bukanlah nilai sesungguhnya, namun merupakan solusi yang cukup dekat dengan solusi aslinya atau analitik. Apabila berbicara mengenai solusi hampiran atau pendekatan maka erat kaitannya dengan seberapa akurat solusi numerik yang diperoleh dengan solusi analitik, dengan demikian pembicaraan mengarah pada seberapa besar kesalahan atau eror yang dapat ditoleransi.

Masalah optimisasi berdasarkan jumlah kelinearannya dibagi atas 2 bagian, yakni linear dan nonlinear, sedangkan berdasarkan jumlah variabel bebasnya masalah optimisasi dibagi atas 2 bagian pula yakni 1 variabel bebas dan banyak variable bebas[2]. Banyak sekali metode

untuk menyelesaikan masalah optimisasi dengan 1 variabel bebas dapat menggunakan metode Golden Rasio, Fibonacci, Biseksi, Dichotomus, Secant dll[3]. Lebih lanjut, untuk menyelesaikan masalah optimisasi dengan lebih dari 1 variabel bebas dapat digunakan metode numerik seperti Aksial, Hook and Jeeves, Arah Konjugasi, Steepest Descent dan Rosenberg[4]. Masing-masing metode numerik memiliki kecepatan pencarian solusi  (Big Oh) yang berbeda-beda bergantung pada algoritma dari metode tersebut[5].

Dalam Makalah ini penulis mengkaji dan mengembangkan metode Rosenberg dari sisi arah pencarian direction yakni dengan cara menambahkan konstanta l untuk beberapa nilai _k l_k dari nol sampai satu. Penelitian ini bertujuan untuk melihat solusi numerik dari suatu permasalahan optimisasi dengan menggunakan metode Rosenberg termodifikasi serta membandingkannya dengan metode Rosenberg biasa. Analisis perhitungan disajikan sebagai pelengkap untuk menyimpulkan metode yang lebih cepat dalam mencari solusi permasalahan optimisasi diantara metode Rosenberg biasa dan yang telah termodifikasi.

Tinjauan Teoritis

1. Ruang Vektor

Definisi 1.1

Himpunan tak kosong V merupakan ruang vektor apabila x y z V, ,  dan a b, R

sedemikian hingga memenuhi aksioma-aksioma sebagai berikut:[6] i. x y V

ii. x  y y x

iii.



xy



  z x



yz



iv. terdapat 0 V sedemikian hingga 0   V V 0 0 v. terdapat  x V sedemikian hingga x  

 

x 0 vi. ax V vii. a x



y



axaydan



a b x



ax bx viii.

 

ab xa bx

 

ix. 1xx Contoh 1.1 n

Definisi 1.2

Diberikan X Y, dua buah vektor. Sembarang bilangan riil ||X ||dinamakan norm dari X apabila memenuhi aksioma-aksioma sebagai berikut

i. |X|| 0 ii. |aX|| 0 X 0 iii. ||aX || | ||| a X ||,aR iv. |X Y|| || X ||||Y|| Contoh 1.2 2 2 2 1 2

||X || x ,  x ... x_n merupakan Norm yang selanjutya dikenal dengan Norm Euclid

Definisi 1.3

Himpunan bagian W dari V disebut ruang bagian dari V jika W ruang vektor dengan operasi jumlah dan kali sama seperti V

Definisi 1.4

Misalkan X , 1 i_i  m vektor-vektor di V maka X disebut kombinasi linear dari vektor-vektor X jika _i 1 m i i i X a X  



Definisi 1.5

VektorX , 1 i_i  m anggota-anggota V disebut tak bebas linear jika dan hanya jika terhadap bilangan-bilangan riil tak semuanya nol sedemikian hingga



a X_{i i} 0. Apabila pembuat nol hanyaa_i 0, maka vektor-vektor tersebut dikatakan bebas linear

Definisi 1.6

Diberikan 2 vektor X Y, dengan X { ,x x_{1 2},...,x_n}dan Y { ,y y_{1 2},...,y_n} i. X Y jika dan hanya jika x_i y_i  i i, 1, 2,...,n

ii. X Yjika dan hanya jika x_i y_i i i, 1, 2,...,n iii. X Y jika dan hanya jika x_i y_i  i i, 1, 2,...,n

2. Bentuk Kuadratik Dan Titik Ekstrim

Definisi 2.1 2 2 2 11 1 2 2 12 1 2 1,3 1 3 23 2 3 ( ) 2 ... ... ... nn n F X c x c x c x c x x c x x c x x         

denganc_ijR,1 i , jn disebut fungsi bentuk kuadratik dengan n variabel x x₁, ₂,...,x _n Perlu dicatat bahwa bentuk kuadratik selalu dapat dibawa ke dalam bentuk

( ) _{ij i j} t

F X 



a X X  X AXdengan A merupakan metrik simetris dan X (X X₁, ₂)t

Contoh 2.1

2 2

1 1 2

F x x ,F₂ x x_{1 2}, dan F₃ x x_{1 2} x₂2 x x_{1 3}merupakan dua contoh fungsi ynag berbentuk kuadratik.

Definisi 2.2

Bentuk kuadratik X AXt disebut positif (negatif) definit jika X AXt  ( )0untuk semua 0

X  dan terdapat sekurangnya satu vektor tak nol sedemikian hingga X AXt 0. Apabila tidak memenuhi keduanya, maka bentuk kuadratik tersebut dikatakan indefinite

Teorema 2.1

Suatu matriks A dikatakan

i. Positif definit jika dan hanya jika _i 0 ii. Negatif definit jika dan hanya jika _i 0 iii. Positif semi definit jika dan hanya jika _i 0

iv. Negatif semi definit jika dan hanya jika _i 0

dengan _i merupakan nilai-nilai eigen dari matriks A dan ketidaksamaan dicapai untuk sekurang-kurangnya satu j. Lebih lanjut apabila _itidak memenuhi i,ii,iii,iv maka matriks

A disebut indefinite

Definisi 2.3

Fungsi F x( )dikatakan memiliki minimum global di x dalam S jika ₀ f x( ) f x( )₀

Definisi 2.4

Fungsi F x( )dikatakan memiliki minimum lokal (relatif) di x dalam S jika terdapat sekitar ₀

 dari x sedemikian hingga ₀ f x( ) f x( )₀ untuk setiap x di dalam persekitaran tersebut.

Definisi 2.5

Misalkan F dan semua turunannya, F F', '',...,menerus di dalam selang

 

a b Misalkan , [ , ]

x a b , maka dapat didefinisikan deret Taylor sebagai berikut:

''_{( )}

' 2

3 2

( ) ( ) ( ) F x ( )

Definisi 2.6

Deret Taylor untuk fungsi F X( ) dengan X { ,x x_{1 2},...,x_n}didefinisikan sebagai

'

( )

3 2

( ) ( ) ( ) X ( )( )

F X  x F X F X X   H X  x  dengan ₃merupakan suku berderajat besar, dan ( )

H X metrik Hessian yang didefinisikan sebagai

2 2 2 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 .. . . . n n n n n F F F x x x x x F F F H x x x x x F F F x x x x x   _   _{  }    _{  }      _   _ _{   }       _   _{  }   

Syarat perlu agar X merupakan titik ekstrim dari fungsi F X( )adalah F X( )0 ,

1 2 ( ) , ,..., n F F F F X x x x      _{  }      3. Metode Rosenberg

Metode Rosenberg merupakan salah satu metode numerik yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah optimisasi baik dengan atau tanpa kendala dengan n variabel bebas disamping metode lainnya seperti aksial, Hooke and Jeeves, Stepest Descent dan Arah konjugasi. Terdapat beberapa kesamaan metode ini dengan metode lainnya, diantaranya adalah memulai dari nilai awal X { ,x x_{1 2},.,x_n}Rndan penentuan kriteria iterasi berhenti, yakni ketika ||X_kX_k1|| seperti halnya, metode Hook and Jeeves dan metode arah konjugasi dengan 0merupakan sebarang konstanta positif yang merepresentasikan kesalahan atau eror yang dapat ditoleransi[8],

Perbedaan metode Rosenberg dengan metode lainnya terletak pada arah pencarian direction. Sebagai contoh pada metode aksial dan hooke and jeeves, arah pencarian atau direction ditetapkan sebagai d₁



1,0,0,...,0 ,d



₂



0,1,0,...,0 ,...,d



_n



0,0,0,...,1



.Lebih lanjut Arah pencarian pada metode steepest descent dan arah konjugasi masing-masing didefinisikan sebagai

( )

k k

d  Z X dand_k (d_k1)tHd_kdengan Zmerupakan gradient fungsi objektif Z yang hendak dimaksimalkan atau diminimumkan dan H adalah metrik Hessian dengan

Definisi 3.1

Suatu masalah optimisasi nonlinear tanpa kendala dedefinisikan sebagai Minimalkan ZF X( ),F R: n R

Fungsi Z F X( )merupakan fungsi tujuan yang hendak diminimumkan nilainya, kemudian himpunan X yang meminimalkan Z F X( )disebut penyelesaian optimal.

Algoritma Rosenberg

Diberikan Z F X( )F x x( ,_{2 2},.,x_n)dan akan ditentukan X { ,x x_{1 2},.,x_n}yang meminimalkan fungsi F X( ) tersebut}

i. Ambil X₁{ ,x x_{1 2},.,x_n}Rn titik sembarang titik awal dan 0suatu konstanta positif yang menyatakan besarnya kesalahan eror yang ditolerasnsi.

ii. Arah pencarian d₁



a a₁, ,...,₂ a_n



dan d₂



b b₁, ,...,₂ b_n



sedangkan untuk d , _k k3ganjil arah pencarian didefinisikan sebagai _{ }

1, ,.,2 || || k k n k b d a a a b   dengan



1, 2,...,



n n a a a R dan 1 1 k k k k k b  d  





dan d_k1genap arah pencariannya didefinisikan sebagai





k 1 1 1

d   a , an n ...,| a | , 0 lk 1 dengan kata lain d1 d3, d2 d4 dan seterusnya

iii. Tentukan _kdengan cara _k minZ X( _k _kX_k)dan nilai X_k1 X_kd_k iv. Iterasi berhenti ketika norm||X_k1X_k||

Metode Penelitian

Metode untuk melakukan penelitian ini adalah studi literatur, yakni dengan membaca dan memahami konsep teori metode numerik untuk menyelesaikan masalah optimisasi khususnya Rosenberg. Buku yang digunakan untuk melakukan penelitian ini antara lain buku-buku seperti, an introduction to optimization karya Edwin K.P.Chong dan Stanislaw H Zak, theory of multiobjective optimization karya Yoshikazu Sawaragi, Hirotaka Nakayama dan Tetsuzo Tanino, nonlinear programming theory and algorithm karya Mochtar S Bazaraa, Hanif D Sherali dan C.M Shetty, an introduction to model building karya Wayne L Winston, dan metode numerik karya Rinaldi Munir. Setelah memahami metode numerik Rosenberg, dikembangkan metode numerik yang baru turunan dari Rosenberg yakni dengan memodifikasi arah pencariannya menambahkan konstanta 0 l_k 1. Kemudian disusun algoritma Rosenberg yang baru hasil modifikasi arah pencarian. Terakhir dilakukan simulasi

perhitungan mencari solusi numerik dari masalah optimisasi 2 variabel dengan cara Rosenberg dan Rosenberg termodifikasi.

Hasil dan Pembahasan

Berdasarkan algoritma Rosenberg, akan dikembangkan suatu metode baru yang merupakan turunan dari metode Rosenberg, yang disebut metode numerik Rosenberg termodifikasi yakni dengan menambahkan l pada arah pencarian dengan 0_k  l_k 1.

Algoritma Rosenberg Termodifikasi

Diberikan fungsi Z F X( )F x x( ,_{2 2},.,x_n)dan akan ditentukan X { ,x x_{1 2},.,x_n}yang meminimalkan fungsi F X( ) tersebut}

i. Ambil X₁{ ,x x_{1 2},.,x_n}Rn titik sembarang titik awal dan 0suatu konstanta positif yang menyatakan besarnya kesalahan eror yang ditolerasnsi.

ii. Arah pencarian d1



a a1, ,...,2 an



dan d2



b b1, ,...,2 bn



sedangkan untuk d , k k3ganjil arah pencarian didefinisikan sebagai



1, ,.,2



|| || k k n k b d a a a b   dengan



a a₁, ₂,...,a_n



Rn dan 1 1 k k k k k k b l d  





dan d_k1genap arah pencariannya didefinisikan sebagai d_{k 1} 



a , a_{n n}₁...,| a |₁



, 0 lk 1dengan kata lain d1d3,

2 4

d d dan seterusnya

iii. Tentukan _kdengan cara _k minZ X( _k _kX_k)dan nilai X_k1 X_kd_k iv. Iterasi berhenti ketika norm ||X_k1X_k||

a. Simulasi Numerik

Contoh 1

Tentukan nilai X { , }x x_{1 2} yang meminimalkan Z x x( ,_{1 2})2x₁2 x₂2 3x₁x₂ dengan menggunakan metode Rosenberg dengan toleransi kesalahan 0.03

Solusi I Rosenberg

Ambil sembarang titik awal X₁{0,1}R2dengan arah pencarian d₁

 

1, 0 dan d₂ 

 

0,1 . Nilai ₁dapat dicari dengan ₁ minZ X( ₁₁X₁)serta derivatifkan Z( ,1)₁ dan sama

dengankan nol, sehingga diperoleh 1

3 4

  . Berdasarkan hal tersebut _{2 1 1 1} 3,1 4 X  X d      Karena norm 2 1 3 || || 0.03 4

X X    maka iterasi dilanjutkan. Dengan cara serupa diperoleh ₂ 1 2    dan ₃ 3 1, 4 2 X     dengan norm 3 2 1 | || 0.03 2 X X    jadi iterasi dilanjutkan . Untuk mencari X diperlukan ₄ d dan nilai dengan menggunakan ₃ 1

1 1 || || b d b 

dengan b₁_{1 1}d ₂d₂ sehingga diperoleh ₃ 3 , 2

13 13

d    

 . Berdasarkan hal tersebut

4

3 1 , 4 2

X   _

  dengan||X3X2|| 0 0.03   . Karena ||X3X2|| 0 0.03   maka iterasi berhenti

sehigga solusi numerik X yang meminimumkan Z F X( )adalah 3 1, 4 2

 

 

 .

Perlu diperhatikan bahwa karena norm X dan ₄ X sama dengan nol, maka dalam hal ini ₃ solusi numerik juga sebagai solusi analitik.

Solusi II Rosenberg Termodifikasi

Proses serupa dengan metode Rosenberg sampai dengan nilai ₃ 3 1, 4 2 X   _  . Untuk mencari 4 X diperlukan d dengan₃ 1 3 1 1 || || b d d d

  . Nilai b dicari dengan ₁ b₁l_{1 1 1}d l₂₂d₂ dengan

1, 2 [0,1]

l l  dan diambil sampel 0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1. Hasil perhitungan b dengan beberapa ₁

nilai l dan ₁ l ₂ disajikan sebagai berikut:

Tabel 1. Perhitungan nilai b₁

1 b 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0  0, 0 0, 0.1  0, 0.25  0, 0.12  0, 0.4  0, 0.5  0.2 0.15, 0  0.15, 0.1  0.15, 0.2  0.15, 0.3  0.15, 0.4  0.15, 0.5  0.4 0.3, 0  0.3, 0.1  0.3, 0.2  0.3, 0.3  0.3, 0.4  0.3, 0.5  0.6 0.45, 0  0.45, 0.1  0.45, 0.2  0.45, 0.3  0.45, 0.4  0.45, 0.5  0.8 0.6, 0  0.6, 0.1  0.6, 0.2  0.6, 0.3  0.6, 0.4  0.6, 0.5  1 0.75, 0  0.75, 0.1  0.75, 0.2  0.75, 0.3  0.75, 0.4  0.75, 0.5 

Selanjutnya perhitungan nilai d untuk nilai ₁ l dan ₁ l diatas disajikian dalam tabel sebagai ₂ berikut

Tabel 2. Perhitungan nilai d₁

1 d 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0  0, 0 0, 0.1  0, 0.1  0, 0.1  0, 0.1  0, 0.5  0.2  1, 0 0.833, 0.555  0.6, 0.8  0.477, 0.895  0.351, 0.936  0.287, 0.905  0.4  1, 0 0.689, 0.229  0.833, 0.555  0.707, 0.707  0.6, 0.8  0.514, 0.857  0.6  1, 0 0.987, 0.217  0.914, 0.406  0.833, 0.555  0.747, 0.664  0.669, 0.744  0.8

 

1, 0 0.986, 0.164  0.949, 0.316  0.895, 0.477  0.932, 0.554  0.768, 0.640  1

 

1, 0 0.992, 0.132  0.966, 0.257  0.929, 0.371  0.882, 0.470  0.832, 0.554 

Berdasarkan perhitungan nilai d1d3 diatas selanjutnya perhitungan nilai 3 untuk nilai l1

dan l diatas disajikian dalam tabel sebagai berikut ₂

Tabel 3. Perhitungan nilai ₃

3  0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0 0 0 0 0 0 0.2 0 0 0 0 0 0 0.4 0 0 0 0 0 0 0.6 0 0 0 0 0 0 0.8 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

Tabel perhitungan diatas untuk nilai d berapapun nilai ₃ l dan ₁ l nilai ₂ ₃adalah 0, sehingga

nilai ₄ 1 2 3 , 4 X   

  dengan ||X4X3|| 0  . Hal ini dikarenakan nilai 3

1 2 3 , 4 X     telah

mengindikasikan bahwa nilai X₄  X₃ dengan kata lain nilai numerik sama dengan nilai analitiknya.

Contoh 2

Pandang kembali contoh 1

Kali ini akan coba diambill sembarang titik awal X₁ { 1,1}R2dengan arah pencarian

 

1 1, 0

d  dan d₂ 

 

0,1 serta 0.03

nilai ₁ dapat dicari dengan ₁ minZ X( ₁₁X₁) serta derivatifkan Z( ,1)₁ dan sama dengankan nol, sehingga diperoleh ₁ 7

4

  . Berdasarkan hal tersebut _{2 1 1 1} 3,1 4

X  X d   

  Karena norm ||X₂ X₁|| 1.658 0.03 maka iterasi dilanjutkan.Dengan cara serupa diperoleh 2 1 2    dan ₃ 3 1, 4 2 X      dengan norm 3 2 1 || || 0.03 2 X X    , jadi iterasi

dilanjutkan .Dengan melihat bahwa nilai ₃ 3 1, 4 2 X   

 hal ini mengindikasikan nilai juga

3 1 , 4 2

 

 

  dengan demikian solusi ini sama seperti contoh 3.1.

Lebih lanjut apabila diambil X₁{0,1}R2dengan arah pencarian d₁

 

1, 1 dan

 

2 1,1 d  serta 0.03 diperoleh 1 2 3   dan _{2 1 1 1} 2 1, 3 3 X X d   _  dengan norm 2 1

||X X || 0.942 0.03 .Dengan cara serupa diperoleh 2

1 9   dan ₃ 7 4, 9 9 X   _  dengan 3 2

||X X || 0.471 .Lebih lanjut akan diperoleh ₃  0.046dengan X₄ 



0.739, 0.470



dengan ||X₄X₃|| 0.00210.0460.03. Iterasi dilanjutkan dan didapatkan

4 0.027

  serta X5 



0.754, 0.491



dengan||X5X4|| 0.000666 0.025 0.03  .

Kemudian Apabila dikerjakan dengan metode Rosenberg termodifikasi langkah sama sampai dengan ₃ 7 4,

9 9 X   

 , kemudian untuk memperoleh X akan dicari terlebih dahulu nilai 4 b , 1

dan hasil perhitungannya disajikan sebagai berikut

Tabel 4. Perhitungan nilai b₁

1

b 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0  0, 0 0.022, 0.022  0.044, 0.044  0.066, 0.066  0.088, 0.088  0.111, 0.111  0.2 0.133, 0.133  0.155, 0.111  0.177, 0.888  0.2, 0.666  0.022, 0.044  0.244, 0.022  0.4 0.266, 0.266  0.288, 0.244  0.311, 0.222  0.333, 0.2  0.355, 0.177  0.377, 0.155 

Selanjutnya perhitungan nilai d untuk nilai ₁ l dan 1 l diatas disajikian dalam tabel sebagai 2

berikut

Tabel 5. Perhitungan nilai b₁

1 d 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0  0, 0 0.707, 0.707  0.707, 0.707  0.707, 0.707  0.707, 0.707  0.707, 0.707  0.2 0.707, 0.707  0.813, 0.582  0.195, 0.980  0.287, 0.957  0.980, 0.194  0.995, 0.089  0.4 0.707, 0.707  0.762, 0.646  0.813, 0.580  0.857, 0.514  0.894, 0.466  0.924, 0.380  0.6 0.707, 0.707  0.745, 0.666  0.781, 0.624  0.813, 0.581  0.843, 0.537  0.871, 0.490  0.8 0.707, 0.707  0.735, 0.677  0.763, 0.645  0.789, 0.613  0.813, 0.580  0.836, 0.548  1 0.707, 0.707  0.730, 0.683  0.752, 0.658  0.773, 0.633  0.794, 0.607  0.813, 0.581 

Berdasarkan perhitungan nilai d1 d3 diatas perhitungan nilai 3 untuk nilai l dan 1 l diatas 2

disajikan dalam tabel sebagai berikut

Tabel 6. Perhitungan nilai ₃

3  0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0 -0.052 -0.052 -0.052 -0.052 -0.052 0.2 -0.052 -0.046 -0.062 -0.063 -0.033 -0.031 0.4 -0.052 -0.049 -0.046 -0.043 -0.013 -0.039 0.6 -0.052 -0.051 -0.048 -0.046 -0.044 -0.043 0.8 -0.052 -0.051 -0.049 -0.048 -0.046 -0.045 1 -0.052 -0.051 -0.050 -0.048 -0.047 -0.046

Berdasarkan tabel 6 ₃di atas, maka nilai X dapat dicari dan hasilnya disajikan dalam tabel ₄ 6 dibawah ini

Tabel 7. Perhitungan nilai X₄

4 X 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0

 

7₉,4₉ 0.741, 0.481  0.741, 0.481  0.741, 0.481  0.741, 0.481  0.741, 0.481  0.2 0.741, 0.481  0.740, 0.471  0.765, 0.505  0.759, 0.504  0.745, 0.450  0.746, 0.447  0.6 0.4, 0.4  0.422, 0.377  0.444, 0.355  0.466, 0.333  0.488, 0.311  0.511, 0.288  0.8 0.533, 0.533  0.555, 0.511  0.577, 0.488  0.6, 0.466  0.622, 0.444  0.644, 0.422  1 0.666, 0.666  0.688, 0.644  0.711, 0.622  0.733, 0.6  0.755, 0.577  0.777, 0.555 

0.4 0.741, 0.481  0.740, 0.476  0.740, 0.471  0.740, 0.466  0.766, 0.438  0.741, 0.459  0.6 0.741, 0.481  0.739, 0.478  0.740, 0.474  0.740, 0.471  0.740, 0.468  0.740, 0.465  0.8 0.741, 0.481  0.740, 0.478  0.740, 0.476  0.739, 0.473  0.740, 0.471  0.740, 0.469  1 0.741, 0.481  0.740, 0.479  0.740, 0.477  0.740, 0.474  0.740, 0.472  0.777, 0.471 

dengan norm disajikan dalam tabel berikut:

Tabel 8. Perhitungan nilai norm

4 3 X X ₀ 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0 0.051 0.051 0.051 0.051 0.051 0.2 0.051 0.046 0.061 0.019 0.033 0.031 0.4 0.051 0.049 0.046 0.043 0.013 0.039 0.6 0.051 0.051 0.047 0.046 0.044 0.043 0.8 0.051 0.050 0.049 0.048 0.046 0.045 1 0.051 0.051 0.049 0.048 0.047 0.026

Apabila diambil  0.03 , maka nilai X yang memenuhi adalah ₄



0.759, 0.504 dan





0.777, 0.471 dengan masing-masng norm adalah 0.019 dan 0.026.



Simpulan dan Saran

Dalam metode Rosenberg, arah pencarian ditetapkan arah pencarian d₁ ( ,a a_{1 2},...,a_n)dan

1 2

2 ( , ,..., n)

d  b b b sedangkan untuk d , _k k3ganjil arah pencarian didefinisikan sebagai

1 2 ( , ,., ) || || k k n k b d a a a b   dengan ( ,a a_{1 2},.,a_n)Rn dan 1 1 k k k k k b  d  





sedangkan untuk metode Rosenberg termodifikasi 1 1 k k k k k k b l  d  





dan d_k1genap arah pencariannya didefinisikan sebagai dk 1 



a , an n1 ...,| a |



, 0 lk 1. Namun apabila, diambil arah pencarian









1 1, 0, 0, , 0 , 2 0,1, 0, , 0

d  d  metode numerik akan menghasilkan metode analitik dan

dalam hal ini metode Rosenberg akan identic dengan Rosenberg termodifikasi, Lebih lanjut untuk arah pencarian lain hasilnya tidak selau identic dengan solusi analitik seperti terlihat pada contoh 2. Pada contoh 2, solusi numeric yang dihasilkan adalah



0.759, 0.504 atau





0.777, 0.471 sedangkan nilai analitiknya adalah



3 1, 4 2

 

 

dikarenakan dalam Rosenberg diambil arah pencarian d₁ 

   

1, 1  1, 0 dan

   

2 1,1 1, 0

d   . Namun dalam pengerjaannya metode Rosenberg termodifikasi lebih baik dari Rosenberg biasa karena cukup melakukan perhitungan sampai X dibandikan metode ₄

Rosenberg yang harus dihitung sampai X ₅

Daftar Pustaka

[1], [2] Munir, Rinaldi. 2008. Metode numerik. Bandung: Informatika

[3],[4],[5], K.P.Chong,, Edwin..2001. An Introduction to Optimization. USA: John Wiley & Sons, Inc.

[6] Anton, Howard. 1991. Aljabar Linier. Penerjemah. Silaban Pantur. Jakarta: Erlangga [7] Sawaragi, Yoshikazu. 1985. Theory of multiobjective optimization. London: Academic

Press Inc.

[8]Bazaraa. S. Mochtar. 2006. Nonlinear Programming Theory and Algorithms. London: Willey Interscience