Metode Numerik. Muhtadin, ST. MT. Metode Numerik. By : Muhtadin

(1)

Metode Numerik. By : Muhtadin

Metode Numerik

(2)

• Intro

– Rencana Pembelajaran – Ketentuan Penilaian

• Deret Taylor & McLaurin • Analisis Galat

Agenda

(3)

Metode Numerik & Teknik Komputasi - Intro

(4)

Mahasiswa memiliki pengetahuan dan mampu menggunakan pendekatan numerik dan berbagai algoritma untuk menyelesaikan mengenai

berbagai macam persoalan dalam bidang rekayasa.

Kompetensi :

 Mahasiswa mampu menjelaskan dan menggunakan metode-metode numerik untuk menyelesaikan persoalan yang sulit diselesaikan dengan cara analitik.

 Mahasiswa mampu menjelaskan dan menggunakan algoritma-algoritma dalam menyelesaikan persoalan sorting, searching, dan optimasi.

4

(5)

Pokok Bahasan

 Deret Taylor, algoritma rekursi, analisis galat dan kompleksitas komputasi.

 Mencari solusi untuk persamaan linier dan non linier.

 Pencocokan kurva dengan metode regresi dan interpolasi.  Turunan dan integrasi numerik.

 Penyelesaian persamaan differensial biasa dan persamaan differensial parsial.

 Optimasi numerik.

(6)

Pustaka Utama :

1. Munir R., “Metode Numerik”, Informatika Bandung, 2005

Prasyarat :

Pemrograman Komputer dan Kalkulus I.

(7)

Perlu belajar metode numerik ?

• Persoalan / permasalahan dalam bidang science hampir selalu

melibatkan “MODEL MATEMATIKA“

• Kebanyakan dari Model tersebut sangat kompleks

– Sulit untuk dipecahkan

– Sangat sulit atau bahkan tidak mungkin menggunakan

metode analitis untuk menghasilkan “Hasil Exact“.

• Metode Analitis adalah metode untuk memecahkan model

matematis menggunakan aljabar umum

(8)

Metode Numerik menggunakan Komputer

• Metode numerik: operasi aritmatis, mudah namun

memerlukan proses panjang

– Menyebabkan perhitungan yang

lambat

dan rawan

terhadap

human errors

.

• Perlu menggunakan

Mesin Komputer

.

• Bahasa pemrograman tingkat tinggi : PASCAL, C, Python,etc.

Aplikasi komersial : MATLAB, MAPLE, etc.

(9)

ANALYTIC VS NUMERIC

(10)

(11)

• Sesuai Hukum kedua Newton • Model Matematika :

11

(12)

• Seseorang mencoba Bungee-Jumping dengan berat 68.1 Kg. Hitunglah kecepatan untuk 12 detik pertama, dengan koefisien hambatan 0.25 kg/m

12

(13)

Metode Numerik. By : Muhtadin 13

(14)

(15)

• Seseorang mencoba Bungee-Jumping dengan berat 68.1 Kg. Hitunglah kecepatan untuk 12 detik pertama, dengan koefisien hambatan 0.25 kg/m. Hitung kecepatan setiap selang 2 detik

t=2

t=4

15

(16)

(17)

• Akurasi mengacu pada seberapa dekat nilai dihitung dan diukur sesuai dengan nilai sebenarnya

• Presisi mengacu pada seberapa dekat nilai-nilai dihitung atau diukur secara individu sesuai dengan satu dan lainnya

17

(18)

Teorema Pendekatan

 Pada umumnya fungsi-fungsi yang bentuknya kompleks dapat disederhanakan menjadi fungsi hampiran / pendekatan

– Biasanya dalam bentuk polinomial

 Perhitungan dengan menggunakan fungsi yang sesungguhnya akan didapatkan hasil solusi eksak (solusi sejati)

 Perhitungan dengan menggunakan fungsi hampiran / pendekatan akan didapatkan hasil solusi hampiran (solusi pendekatan)

 Hubungan antara nilai eksak dengan nilai hampiran dapat diberikan dalam bentuk kesalahan absolut dan kesalahan relatif

– Kesalahan Absolut : Ee = p – p*

– Kesalahan Relatif : ε = (Ea / p) x 100%

• Untuk kasus-kasus yang tidak diketahui nilai eksaknya, biasanya iterasi dihentikan ketika memenuhi syarat :

(19)

Contoh Soal

 Pengukuran panjang jembatan dan pensil memberikan hasil 9999 cm dan 9 cm. Apabila panjang yang benar (eksak) berturut-turut adalah 10.000 cm dan 10 cm, hitung kesalahan absolut dan relatif :

Jawab :  Kesalahan absolut : – Jembatan = 1 cm. – Pensil = 1 cm.  Kesalahan relatif : – Jembatan = 0.01 % – Pensil = 10 % 19

(20)

ERROR ANALYSIS

Error Pembulatan

(21)

• Karena kita memiliki 10 jari tangan dan 10 jari kaki, maka Representasi angka yang familier bagi kita adalah base-10 ( desimal)

• Terdiri dari angka 0 s/d 9, dan gabungannya untuk menyatakan angka yang lebih besar

• Setiap digit, memiliki nilai yang berbeda tergantung posisinya • Contoh angka : 8642.9 

21

(22)

• Menggunakan binary atau base-2 • Contoh 101.1₂ 

• Representasi integer pada komputer, biasanya menggunakan 1 bit sebagai penanda, contoh 173 :

Representasi pada komputer 16 bit :

22

(23)

• Representasi floating point pada base-10

dengan s = significand (mantissa), b = basis, e = exponent (pangkat) Contoh, Representasi base-10 dengan menggunakan 5-digit:

dengan s₀ dan s₁ adalah penanda, d₀ adalah magnitude dari pangkat, d₁ dan d₂ adalah magnitude dari significant digit

23

(24)

• Contoh 1 : Representasi

pada komputasi 5 bit adalah :

atau 0.031 maka error pembulatannya adalah :

• Contoh 2 : Representasi adalah :

error pembulatannya :

24

(25)

Deret Taylor & McLaurin

(26)

Overview

– Polynomial – Deret Taylor – Deret MacLaurin 26

(27)

Deret Taylor

• Metode Numerik: Pendekatan menggunakan polynomial

error.

• Jika x

₀

= 0  Deret MacLaurin.

27

Jika f dan semua fungsi turunannya (f’, f’’, f’’’,…) kontinyu pada interval [a, b], maka f(x) dapat diperluas dalam deret Taylor :

Definisi : ... ) ( ! ) ( ... ) ( '' ! 2 ) ( ) ( ' ! 1 ) ( ) ( ) ( ₀ 0 ( ) ₀ 2 0 0 0 0          f x m x x x f x x x f x x x f x f m m

(28)

• Pendekatan f(x) = sin(x) menggunakan deret taylor disekitar x

₀

= 1. Dengan asumsi x – 1 = h;

• Pendekatan sin(x), e

x

_{, cos(x) menggunakan Deret McLaurin.}

28 ... ) 1 cos( 6 ) 1 sin( 2 ) 1 cos( ) 1 sin( ) sin( 3 2      h h h x

...

!

6 !

4 !

2

1 )

cos(

...

!

4 !

3 !

2

1 ...

!

5 !

3 )

sin(

6 4 2 4 3 2 5 3





















x

e

x

(29)

Contoh Deret Taylor

• Cari Deret Taylor dari fungsi f(x) = sin(x) dengan titik pusat pada x = 0!

(30)

• Deret Taylornya

• Polinomial Taylor

(31)

Contoh Deret Taylor

Contoh soal

Hitung sin 5 menggunakan deret taylor

Jawab :

Sin x =

Karena 360 = 2rad, maka 1 rad = 180/  = 57,295

Jadi 5= 5 / 57,295 = 0,087266

Masukkan kedalam deret tailor sinus.

(32)

Contoh Deret Taylor

(33)

Contoh Deret Taylor

• Deret Taylornya :

• Polinomial Taylor

(34)

Contoh Deret Taylor

(35)

Deret Taylor yang Terpotong

• Kita tidak dapat menentukan semua deret Taylor –

Tak berhingga !

• Kita bisa memutuskan untuk membuat perkiraan dari

sebuah fungsi hingga n (derajat) tertentu yang tidak

tak terhingga;

• Kita sebut sebagai Truncated Taylor Series.

(36)

Deret Taylor yang Terpotong

Untuk menemukan suku ke n order perpotongan deret

Taylor

36

!

)

(

)

(

!

2 )

(

)

(

)

)(

(

)

(

)

(

0 0 ) ( 2 0 0 0 0 0

n

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

n n





















(37)

Contoh - Deret Taylor yang Terpotong

• Temukan deret taylor hingga order 3 dari fungsi berikut ini :

• Dengan titik pusat pada

37

)

2 cos(

)

(

x

f



4

0





x

(38)

Contoh - Deret Taylor yang Terpotong

• Untuk pendekatan hingga order 3 :

• Oleh karena itu kita perlu untuk menentukan

turunan fungsi hingga turunan ketiga dari titik pusat.

38

!

3 )

(

)

(

!

2 )

(

)

(

)

)(

(

)

(

)

(

3 0 0 2 0 0 0 0 0

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f





















(39)

Contoh - Deret Taylor yang Terpotong

39

8

2 sin

8

4 )

2 sin(

8 )

(

0

2 cos

4

4 )

2 cos(

4 )

(

2

2 sin

2

4 )

2 sin(

2 )

(

0

2 cos

4 )

2 cos(

)

(



















































































































































f

x

f

x

f

x

f

x

f

(40)

Contoh - Deret Taylor yang Terpotong

40

!

3

4

8 !

2

4

0

4

2

0 )

(

!

3 )

(

)

(

!

2 )

(

)

(

)

)(

(

)

(

)

(

3 2 3 0 0 2 0 0 0 0 0













_

















_

















_































x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

3

4

3

4

2 )

(











 













 







f

x



x



(41)

• Diketahui suatu fungsi 𝑓 𝑥 = 𝑥3 _{− 10𝑥}2 _{+ 5,}

– Dengan menggunakan deret taylor order nol, satu, dua dan tiga;

perkirakan fungsi tersebut pada titik x_i+1= 5 berdasarkan fungsi pada titik x_i =0.

– Bandingkan dengan nilai eksak untuk x = 5

– Berapakah nilai relative true error dari nilai hasil perkiraan dengan nilai eksaknya?

41

(42)

TERIMA KASIH