bab 1persamaan dan pertidaksamaan

Teks penuh

(1)

Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 1 BAB 1

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN

Standar Kompetensi

Mahasiswa memahami konsep dasar sistem bilangan real (R) sebagai semesta untuk menentukan selesaian persamaan dan pertidaksamaan, dapat mengembangkan bentuk persamaan dan pertidaksamaan yang memuat harga mutlak serta menyatakan selesaian persamaan dan pertidaksamaan dengan metode interval.

Kompetensi Dasar

Setelah mempelajari pokok bahasan persamaan dan pertidaksamaan diharapkan mahasiswa:

1. Dapat menyatakan bilangan rasional b a

Q sebagai bentuk desimal berulang atau sebaliknya.

2. Dapat menentukan selesaian persamaan. 3. Dapat menentukan selesaian pertidaksamaan.

4. Dapat menetukan selesaian persamaan dan pertidaksamaan yang memuat harga mutlak.

Beberapa konsep yang dibahas dalam bab 1 adalah (1) sistem bilangan real, (2) persamaan dan pertidaksamaan, (3) nilai mutlak, (4) persamaan dan pertidaksamaan yang memuat nilai mutlak, dan (5) soal latihan.

1.1 Sistem Bilangan Real

(2)

Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 2

kapital A,B,C,D, dan seterusnya. Misal kita mendefinisikan suatu himpunan A dengan menyatakan secara jelas anggota-anggotanya yang terdiri dari a,b,c,d,e, himpunan A tersebut dapat ditulis dalam bentuk A{a,b,c,d,e} dengan masing-masing anggota himpunan A dipisahkan oleh tanda baca koma dan terdapat dua tanda kurung { }. Jika himpunan A mempunyai anggota banyaknya tak hingga maka unsur-unsurnya tidak ditulis semuanya akan tetapi cukup dituliskan beberapa anggotanya dan titik-titik sebanyak 3 atau 5 , Jika a adalah anggota himpunan A maka pernyataan tersebut ditulis dengan notasi aA dan dibaca a anggota A. Jika a bukan anggota himpunan A, maka dituliskan aAdan dibaca “a bukan anggota A. Jika suatu himpunan A tidak memiliki anggota, maka A disebut himpunan kosong, dan dinyatakan dengan notasi atau { }.

Himpunan sebagai telah disebutkan di atas, dalam penulisannya dapat dilakukan dengan dua metode, yaitu metode pencirian (notasi) dan metode perincian (tabulasi). Metode pencirian dilakukan dengan cara menuliskan syarat keanggotaan yang dimiliki oleh seluruh anggota suatu himpunan akan tetapi tidak dimiliki oleh unsur-unsur yang bukan anggota himpunan tersebut. ,

Contoh:

1) A{yybilangan primakurang dari 10} 2) B{xx faktor ganjil dari 21}

3) C {xx2 1, xbilangan prima} 4) D{xx faktor genapdari 21} 5) { 2 3 40}

x x x E

6) F {xx2 3x40} 7) G{xx42} 8) H {(x,y)x2  y2 4}

9) V {himpunankuasadari{1,2,3}}

Metode perincian dilakukan dengan cara mendaftar seluruh anggota himpunan yang memenuhi syarat dan ketentuan yang diberikan dalam suatu himpunan.

Contoh

(3)

Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 3

2) B{senin,selasa,rabu,kamis, jum'at,sabtu} 3) C{2,3,5,7,11,13,17,19,...}

4) D{merah,kuning,hijau} 5) E {0}

6) F {} 7) G {1,x}

8) H {(1,2),(2,3),(3,4),...} 9) V {,{1},{2},{1,2}}

Misal A dan B suatu himpunan, himpunan A disebut himpunan bagian himpunan B, ditulis dengan notasi AB, jika setiap anggota A merupakan anggota B. Kiranya tidaklah sulit untuk dipahami bahwa A untuk sebarang himpunan A. Jika setiap anggota himpunan anggota A juga merupakan anggota setiap himpunan

Bmaka dinotasikan dengan AB

Selanjutnya untuk memudahkan para pembaca dalam memahami konsep sistem bilangan real berikut ini diberikan beberapa bilangan dan himpunan bilangan yang pada bab-bab selanjutnya dalam buku ini sering ditemukan. Bilangan dan himpunan bilangan tersebut adalah:

1. Himpunan bilangan asli (Natural)

Himpunan bilangan asli biasanya dinotasikan dengan Ndan anggota-anggota bilangan asli adalah 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... sehingga N{1,2,3,4,5,6,...}

Bilangan asli tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian, artinya untuk setiap a, bilangan asli maka b (ab)dan (a.b)bilangan asli. Oleh karena itu, himpunan semua bilangan asli membentuk suatu sistem sistem bilangan asli.

2. Bilangan cacah (whole)

(4)

Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 4

3. Sistem bilangan asli bersama-sama dengan bilangan nol dan lawan dari bilangan-bilangan asli membentuk sistem bilangan-bilangan bulat, Bilangan bulat biasanya dinotasikan dengan Z yang anggota-anggotanya adalah ...-3, -2, -,1, 0, 1, 2, 3, ..., sehingga Z{...3,2,2,0,1,2,3,...}.

4. Bilangan pecahan atau bilangan rasional (quotient) biasanya dinyatakan dengan Q. Bilangan rasional adalah bilangan yang secara umum dinyatakan dengan

0 , ,

.  

a b Z b

b a Q

Contoh 1)

3 1  p

2)

11 2   q

3)

7 22 

r

Bilangan-bilangan rasional di atas, dapat dinyatakan dalam bilangan-bilangan desimal, yaitu

1) 0,33333333... 3

1

p

2) 0,285714285714285714... 11

2     q

3) 3,142857142857148... 7

22   r

(5)

Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 5

Contoh:

Ubahlah bilangan desimal berikut ini menjadi bentuk rasional  .a,bZ,b0 b

a Q

1. Tentukan bentuk rasional bilangan 0,12121212... Jawab

Bilangan 0,12121212...adalah bilangan desimal dengan 2 angka berulang yaitu angka 1 dan 2.

Karena banyaknya angka yang berulang pada bilangan 0,1,212121212... adalah 2 angka, kalikan bilangan 0,12121212... dengan bilangan 10 . 2

Misal x0,12121212..., sehingga diperoleh ...

212121212 ,

1 , 12 100x

Akibatnya 100xx(12,121212.12...)(0,12121212...)12 ...)

12121212 ,

0 ( ...) 12 . 121212 ,

12 (

10xx 

99 12

12 99

 

x x

Sehingga bentuk rasional dari bilangan 0,12121212... adalah 99 12

2. Tentukan bentuk rasional bilangan 1,412333333... Jawab

Bilangan 1,412333333...adalah bilangan desimal dengan 1 angka berulang yaitu angka 3.

Karena banyaknya angka yang berulang pada bilangan 1,412333333...adalah 1 angka, kalikan bilangan 1,412333333...dengan bilangan 10 . 1

Misal x1,4123333333..., sehingga diperoleh ...

12333333 ,

14 10x

Akibatnya 10xx(14,123333333...)(1,412333333...)

900 1271 9

71 , 12

71 , 12 9

 

x x

(6)

Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 6

3. Tentukan bentuk rasional bilangan 0,9826273273273... Jawab

Bilangan 0,9826273273273...adalah bilangan desimal dengan 3 angka berulang yaitu angka 2,7, dan 3.

Karena banyaknya angka yang berulang pada bilangan 0,9826273273273... adalah 3 angka, kalikan bilangan 0,9826273273273...dengan bilangan 10 . 3

Misal

x0,9826273273273... ... 3 5627327327 ,

982 1000x

Akibatnya 1000xx(982,56273273273...)(0,98256273273273...)

99900 98158017 999

58017 , 981

58017 , 981 999

  

  

x x

Sehingga bentuk rasional dari bilangan 0,9826273273273... adalah

99900 98158017 

4. Tentukan bentuk rasional bilangan 0,0543125431254312... Jawab

Bilangan 0,0543125431254312... adalah bilangan desimal dengan 4 angka berulang yaitu angka 5, 4, 3, 2, dan 1.

Karena banyaknya angka yang berulang pada bilangan 0,0543125431254312... adalah 4 angka, kalikan bilangan 0,0543125431254312...dengan bilangan 10 . 4 Misal

x0,0543154315431..., sehingga diperoleh ....

154315431 ,

543 10000x

Akibatnya 10000xx(543,154315431...)(0,0543154315431...)

99990 5421 9999

1 , 542

1 , 542 9999

 

x x

Sehingga bentuk rasional dari bilangan 0,0543154315431... adalah 99990

(7)

Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 7

5. Bilangan Irasional (

_

Q) atau disebut juga bilangan tidak rasional yaitu bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk  .a,bZ,b0

b a

Q . Karena bilangan

rasional dapat dinyatakan dengan bilangan desimal yang angka-angkanya berulang, maka bilangan irasional adalah bilangan desimal yang angka-angkanya tidak ada yang berulang. Bilangan irasional juga disebut dengan bilangan bentuk akar.

Persoalan dalam kehidupan sehari-hari sering dijumpai adanya bilangan-bilangan irasional. Contoh bilangan-bilangan irasional antara lain adalah 2 dan . Bilangan

2 adalah panjang sisi miring segitiga siku-siku dengan panjang sisi-sisi tegaknya masing-masing adalah 1. Perhatikan gambar berikut.

Gambar 1.1

Sedangkan bilangan merupakan hasil bagi antara keliling sebarang lingkaran dengan panjang garis tengah lingkaran tersebut. Perhatikan gambar berikut ini.

Gambar 1.2 2 1

1

1

d d2

1

l

2

l

 

2 2 1 1

d l d

(8)

Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 8

Contoh

1) 2 = 1,41421356237... 2) 3 = 1,73205080756... 3) 11 = 3,316625790355... 4) π = 3.14159265358979….

5) e = 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352…

Berdasarkan contoh di atas, tampak bilangan-bilangan dalam bentuk akar umumnya adalah bilangan desimal yang angka-angkanya tidak ada yang berulang. Sehingga bilangan akar juga disebut bilangan irasional. Dengan demikian apa yang selama ini dianggap sama yaitu

7 22

= tidaklah selalu benar. Karena 7 22

adalah bilangan rasional, sedangkan adalah bilangan irasional.

6. Himpunan semua bilangan irasional bersama-sama dengan bilangan rasional membentuk himpunan semua bilangan real (R), sehingga RNWZQQ Seperti telah diketahui, untuk menyatakan sebarang bilangan real seringkali digunakan cara desimal.

Contoh

Bilangan-bilangan

66 7 dan , 3 5 , 4 3

masing-masing dapat dinyatakan dalam desimal sebagai

0,75

 

, 1,666...

,dan 0,1060606.... Dapat ditunjukkan bahwa bentuk desimal bilangan-bilangan rasional adalah salah satu dari 2 tipe berikut:

i. berhenti ( dst. 8 1 , 2 5 , 4 3

), atau

ii. berulang beraturan ( ,dst. 66

7 , 3 5

).

Sifat-sifat Sistem Bilangan Real

Untuk sebarang a,b,c,d bilangan real berlaku sifat-sifat sebagai berikut: 1) Sifat komutatif

(9)

Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 9

3) Sifat distibutif perkalian terhadap penjumlahan a.(bc)(a.b)(a.c)

tak terdefinisikan.

(iii). 1 a a

, untuk setiap bilangan a0. 7) Hukum kanselasi

(i). Jika a.cb.c dan c0 maka ab.

8) Sifat pembagi nol

Jika a.b0 maka a0 atau b0.

Sifat-sifat terurut bilangan Real

(10)

Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 10

Prinsip urutan berkaitan dengan kepositipan dan ketaksamaan antara bilangan-bilangan real. Cara yang dapat dilakukan untuk melakukan sifat keterurutan adalah mengidentifikasi suatu subset khusus dari R dengan menggunakan gagasan “kepositipan”.

Definisi

Misalkan P himpunan bagian R dan P. Untuk selanjutnya P disebut bilangan real positip kuat, maka berlaku sifat-sifat berikut ini:

(1) Jika a,bP maka (ab)P (2) Jika a,bP maka (a.b)P

(3) Jika aR, maka tepat dari salah satu yang berikut dipenuhi aP,a 0,aP

Dua sifat yang pertama menjamin kesesuaian dari urutan dengan operasi penjumlahan dan perkalian secara berurutan. Sifat (3) biasanya disebut sifat trikotomi karena membagi R menjadi 3 jenis unsur yang berbeda. Dinyatakan bahwa {aaP} dari bilangan real negatip tidak mempunyai unsur persekutuan dengan P, dan selanjutnya himpunan R merupakan gabungan dari tiga himpunan yang saling asing. Definisi

1) Jika aP, kita mengatakan bahwa a adalah suatu bilangan real positip kuat (strictly positip) dan dituliskan dengan a0, Jika aP{0} , maka a disebut bilangan real tidak negatip dan dituliskan dalam bentuk a0.

2) Jika aP, kita mengatakan bahwa a adalah suatu bilangan real negatip kuat (strictly negatip) dan dituliskan dalam bentuk a0, Jika aP{0}, maka a disebut bilangan real tidak positip dan dituliskan dalam bentuk a0.

3) Jika a,bRdan jika abP maka dituliskan dalam bentuk ab atau ba. 4) ika a,bRdan jika abP{0} maka dituliskan dalam bentuk ab atau

a b .

Untuk kesepakatan bersama kita akan menuliskan abcyang berarti abdan c

(11)

Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 11 Teorema 1

Misalkan a,b,cR

1. Jika ab dan bc maka ac.

2. Tepat dari salah satu pernyataan berikut ini dipenuhi ab,ab,ab

3. Jika ab dan ab maka ab Bukti

1) abmaka menurut definisi ab0atau abP

c

b maka menurut definisi bc0 atau bcP

Karena abP dan bcP maka menurut definisi diperoleh (ab)  (bc) P

sehingga acP atau ac

2) Dengan sifat trikotomi dalam definisi, maka tepat salah satu dari yang berikut mungkin terjadi

0   b

a , atau ab  0 atau  (ab)  0sehingga ab atau

b

a  atau ab

3) Jika ab , maka ab  0 , sehingga dari bukti (b) kita dapatkan

P b

a   atau bcP yakni ab atau ba . Dalam kasus lainnya salah satu dari hipotesisi tersebut kontradiksi. Jadi haruslah ab

Teorema 2

1. Jika aR dan a  0 maka a2  0. 2. 1  0

3. Jika

n

N

maka n  0

Bukti

1. Dengan sifat trikotomi jika a  0 , maka aP atau aP. Jika aP maka dengan definisi kita mempunyai a2 a.a, untuk aP . Dengan cara yang sama Jika -a  P maka dengan definisi sebelumnya diperoleh bentuk

P a a

a    

 ) ( )( )

( 2 . Berdasarkan teorema sebelumnya berakibat bahwa:



2

) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) )(

(aa   aa    a . Akibatnya bahwa a 2  P . Jadi kita

(12)

Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 12

2. Karena 1(1)2, menurut bukti di atas akan menyebabkan bahwa 1 > 0.

3. Kita dapat menggunakan induksi matematika untuk membuktikan pernyataan ini. Pernyataan tersebut benar untuk n1 yakni 1 > 0. Selanjutnya kita anggap benar untuk nk, dengan k bilangan asli.

Karena 1 > 0 dan 1P, maka k1P, sehingga pernyataan di atas benar adanya dengan menggunakan definisi sebelumnya.

Teorema 3

Misalkan a,b,cR

1. Jika ab, maka acbc

2. Jika ab, dan bc maka acbd 3. Jika ab, c0 maka acbc

4. Jika ab, c0maka acbc 5. Jika a0maka 1 0

a

6. Jika a0 maka 1 0 a

Bukti teorema di atas dapat dijelaskan sebagai berikut:

1. Karena ab berarti menurut definisi sebelumnya ab0. Karena ab0 sehingga abP.

) ( ) ( )

(ababcc ) ( ) ( ) ( )

(abccacbc

Sehingga (ac)(bc)P. Dengan kata lain (ac)(bc)0 Karena (ac)(bc)0berarti (ac)(bc)

2. Karena ab dan cd berarti ab0dan cd 0. Hal ini berarti abP dan cdP.

Menurut definisi bilangan real positip kuat (1) diperoleh P

d c b

a )(  )

( . Dengan kata lain (ab)(cd)0, atau 0

) ( )

(abcd  sehingga berlaku (ab)(cd) 3. Karena ab dan cd berarti ab0dan cd 0.

Hal ini berarti abP dan cdP.

(13)

Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 13 P

c b a ) 

( . Dengan kata lain (acbc)P, atau 0

)

(acbc  sehingga berlaku acbc

4. Karena ab dan c0 berarti ab0dan c0atau (c)0. Hal ini berarti abP dan cP.

Menurut definisi bilangan real positip kuat (2) diperoleh P

c b

a )( )

( . Dengan kata lain (bcac)P, atau P

ac bc )

( sehingga berlaku bcac

5. Jika a0 maka a0(berdasarkan sifat trikotomi). Karena a0, berdasarkan sifat sebelumnya maka berlaku 1 0,

a Jika 0

1

a , berdasarkan teorema sebelumnya diperoleh 1 10

     

a

a .

Hal ini bertentangan dengan kenyataan bahwa 1 < 0. Jadi haruslah 0

1 a

6. Jika a0, maka a0 (berdasarkan sifat trikotomi). Karena a0, berdasarkan sifat sebelumnya maka maka berlaku 1 0,

a Jika 1 0

a , berdasarkan teorema sebelumnya diperoleh 0 1

1 

     

a a

Hal ini bertentangan dengan kenyataan bahwa 1 < 0. Jadi haruslah 1 0

a

Teorema 4

Jika a,bR, maka a

ab

b 2

1

Bukti.

Karena ab, maka dapat diperoleh aaabatau 2aab Demikian pula abmaka dapat diperoleh abbbatau ab2b Dari ketaksamaan 2aabdan ab2bdidapatkan

b b a

(14)

Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 14

b b b

a a

a    

 (2 )

2 1 ) ( 2 1 ) 2 ( 2 1

b b a

a  

 ( )

2 1

Akibat dari teorema di atas adalah:

jika aR dan a0 maka a (ab)b 2

1

Soal-soal

1) Misalkana,b,c,dR buktikan pernyataan berikut: a) Jika ab,bcmaka adbcacbd

b) Jika ab dan cd maka acbd

c) a2  b2  0 jika dan hanya jika a = 0 atau b = 0

2) Carilah bilangan a,b,c,dR yang memenuhi 0ab dan ad 0 dan berlaku

a) acbd b) acbd.

3) Tentukan bilangan real x, sedemikian sehingga: a) x2 3x4

b) 1x2 4

c) x

x  1

d) 7

2 1

x

e) 3

2

1

x

Garis Bilangan

(15)

Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 15

masing-masing titik di kanan O dan bilangan-bilangan 1,2,3,... dengan titik-titik di sebelah kiri O. Dengan membagi setiap segmen, maka dapat ditentukan lokasi untuk bilangan-bilangan , 2,

3 2 , 2 1

dst. Perhatikan gambar berikut.

      

Dengan cara demikian, maka setiap bilangan real menentukan tepat satu titik pada garis lurus dan sebaliknya setiap titik pada garis lurus menentukan tepat satu bilangan real. Oleh sebab itu, garis lurus sering disebut pula garis bilangan real.

1.2 Persamaan dan Pertidaksamaan

Istilah persamaan dan pertidaksamaan pada umumnya berhubungan dengan peubah atau variabel. Peubah adalah lambang yang digunakan untuk menyatakan sebarang anggota suatu himpunan. Jika anggotanya himpunan bilangan real maka perubahnya disebut peubah real. Selanjutnya yang dimaksud dengan peubah dalam persamaan dan pertidaksamaan yang akan dibahas dalam buku ini adalah peubah real.

Persamaan adalah kalimat terbuka dalam matematika yang memuat satu peubah atau lebih dengan tanda sama dengan (=).

Contoh 1) 2x34 2) x32x2 7 3) x2 3x40 4) 2 13

x x

5) 2

1 

x

x x

6) x4 8x0 7) z3 z2 z 0

8) (z4 6z312z2 8z)0

2 1 0 1 2 3

Gambar 1.3 2

(16)

Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 16

9) (z4 z2)0

10) (z4 6z3 13z2 12z4)0 11) (z6 9z4 24z2 16)0 12)

(

z

8

z

6

)

0

13) (z3 64)2 0

14)

z5 15z4 85z3225z2 274z120

0 15)

z

3

z

2

4

z

4

0

16) (z4 z)0

17) (z2 2z5)5 0 18) (z4 5z2 36)0

19)

z

5

5

z

4

7

z

3

z

2

8

z

4

0

20)

z

3

3

z

2

3

z

1

0

21) (z24z4)(z3) 0

Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka dalam matematika yang memuat satu peubah atau lebih dan tanda ketidaksamaan (<, >, , ).

Contoh 1) 2x34 2) x32x2 3 3) 2x3 2x2 5 4) x2 2x8

5) 0

2 3x

6) 2 13 x x

7) 2

1 

x

x x

8) 4

1

1

(17)

Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 17

Karena persamaan dan pertidaksamaan merupakan kalimat terbuka dan mempunyai peubah, maka peubah tersebut dapat ditentukan sehingga memenuhi persamaan atau pertidaksamaan dimaksud, sehingga persamaan atau pertidaksamaan mempunyai arti dan bernilai benar. Nilia peubah yang memenuhi persamaan atau pertidaksamaa disebut selesaian. Himpunan semua bilangan real yang merupakan selesaian dari suatu persamaan atau pertidaksamaan disebut himpunan selesaian. Sifat-sifat dan hukum dalam bilangan real R sangat membantu dalam menentukan selesaian persamaan atau pertidaksamaan yang diberikan.

Contoh

(18)

Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 18

Pertidaksamaan tipe lain mungkin lebih sulit diselesaikan dibandingkan pertidaksamaan-pertidaksamaan seperti pada contoh di atas.

Beberapa contoh diberikan sebagai berikut. 1) Tentukan selesaian x2 5x60

Jawab

Dengan memfaktorkan ruas kiri pertidaksamaan, maka diperoleh:

x2



x3

0

Telah diketahui bahwa hasil kali 2 bilangan real positif apabila ke dua faktor positif atau ke dua faktor negatif. Oleh karena itu,

(i). Jika ke dua faktor positif maka:

Selesaian pertidaksamaan di atas dapat pula diterangkan sebagai berikut: Ruas kiri pertidaksamaan bernilai nol jika x2 atau x3. Selanjutnya, ke dua bilangan ini membagi garis bilangan menjadi 3 bagian: x2,2 x3,dan x3.

     

0 2 3 4

(19)

Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 19

Gambar 1.4

Pada bagian x2, nilai (x2) dan (x3) keduanya nega tif, sehingga hasil kali keduanya positif. Pada segmen 2x3, (x2) bernilai positif sedangkan (x3) bernilai negatif. Akibatnya, hasil kali keduanya bernilai negatif. Terakhir, pada bagian

3 

x , (x2) dan (x3) masing-masing bernilai positif sehingga hasil kali keduanya juga positif. Rangkuman uraian di atas dapat dilihat pada Tabel berikut.

Tanda nilai

Kesimpulan 2

x x3 (x2)(x3) 2

x - - + Pertidaksamaan dipenuhi

3

2 x + - - Pertidaksamaan tidak dipenuhi

3 

x + + + Pertidaksaman dipenuhi

Jadi, selesaian pertidaksamaan adalah x2 atau x3.

Metode penyelesaian seperti pada contoh 1 di atas dapat pula diterapkan pada bentuk-bentuk pertidaksamaan yang memuat lebih dari 2 faktor maupun bentuk-bentuk pecahan.

2) x3 2x2 x11. Jawab

Apabila ke dua ruas pada pertidaksamaan di atas ditambah 1, maka diperoleh:

0 ) 2 )( 1 )( 1 (

0 2 2 2

3

    

   

x x x

x x x

Jika (x1)(x1)(x2)0, maka diperoleh: x1, x1,atau x2. Selanjutnya, perhatikan table berikut:

Nilai-nilai peubah x1,x1,x2 disebut titik kritis. Tanda nilai/nilai

Kesimpulan 1

x x1 x2 (x1)(x1)(x2) 1

 

(20)

Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 20 adalah dengan menggunakan garis bilangan

2

Dengan memilih satu titik sebarang disetiap interval diatas diperoleh: - - - + + + + + + + - - - + + + + + + +

(21)

Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 21

Tanda nilai/nilai

Kesimpulan

Pertidaksamaan tidak dipenuhi

Berdasarkan contoh di atas, bahwa tampak selesaian suatu persamaan berupa titik (diskrit), sedangkan selesaian pertidaksamaan berupa selang/interval (kontinu).

(22)

Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 22 1.3 Nilai Mutlak

Misal x suatu bilangan real, nilai mutlak x dinotasikan dengan x dan didefinisikan sebagai panjang atau jarak bilangan tersebut dari bilangan 0. Definisi Misal x real maka:

  

 

 

0 ,

0 ,

x untuk x

x untuk x

x

Bentuk lain dari definisi di atas adalah sebagai berikut:

2

x x  .

Contoh 8 8  ,

2 5 2 5

 , 3 3, 2 (2)2,

7 2 7 2 7

2

        

 dst.

Selanjutnya, sifat-sifat nilai mutlak diterangkan sebagai berikut.

Sifat-sifat Nilai Mutlak

1. Jika x,yR maka: a) x 0

b) x 0 x0 c) x.yx.y

d)  , asal y0 y

x y x

e) xyxy (Ketaksamaan segitiga) f) xyxy

Secara geometris, nilai mutlak xa dapat diartikan sebagai jarak dari a ke x. Sebagai contoh, jika x3 7 maka artinya x berjarak 7 unit di sebelah kanan atau di sebelah kiri 3 (lihat Gambar 1.15).

                 

4 3 10

(23)

Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 23

Jadi selesaian x3 7 adalah

4,10

.

Dengan mengingat nilai mutlak sebelumnya kiranya mudah dipahami sifat berikut:

Dengan cara yang sama

2

Tentukan selesaian pertidaksamaan yang memuat nilai mutlak di bawah ini: 1) Selesaikan 2x3 7.

(24)

Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 24

Selanjutnya, karena:

2

(25)

Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 25

Jadi selesaian pertidaksamaan adalah ,2

 

2,6 5

Tentukan selesaian dari pertidaksamaan a. x1 2x3

Jawab

Menurut sifat 4 di atas, maka: 3

Titik kritis pertidaksamaan adalah 3

Tentukan selesaian pertidakasamaan dibawah ini!

1. 4x52 2. 6x39x4 3. 3x52 5

/

(26)

Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 26

Untuk soal 22 – 24 tentukan x sehingga masing-masing pernyataan mempunyai arti.

22. 2x23x5 23.

disebut rata-rata aritmatika dari bilangan a dan b.

27. Jika 0ab maka tunjukkan bahwa aabb. Bilangan ab disebut rata-rata geometri dari bilangan a dan b. Tunjukkan pula bahwa rata-rata geometri dari bilangan a dan b kurang dari rata-rata aritmatikanya.

Figur

 Gambar 1.3
Gambar 1 3 . View in document p.15
Gambar 1.4
Gambar 1 4 . View in document p.19
 Gambar 1.5
Gambar 1 5 . View in document p.23

Referensi

Memperbarui...