Document - ALJBR - STMIK EL RAHMA 3 Ruangvektorbaru

BAB III

RUANG VEKTOR R2 _{DAN R}3

Bab ini membahas pengertian dan operasi vektor-vektor. Selain operasi aljabar dibahas pula operasi hasil kali titik dan hasil kali silang dari vektor-vektor.

Tujuan Instruksional Khusus : Setelah mempelajari materi ini diharapkan mahasiswa dapat :

1. Menentukan basis pada ruang Euclid R2 _{dan R}3_.

2. Menentukan hasil operasi vektor pada ruang Euclid R2 _{dan R}3_.

3.1. Operasi Aljabar Vektor

Sebelum membahas operasi aljabar vektor, terlebih dahulu akan diingatkan kembali pengertian vektor dan skalar.

Vektor adalah segmen garis yang mempunyai arah dan panjang. Secara geometris vektor digambarkan dengan anak panah yang mempunyai pangkal dan ujung.

Vektor-vektor yang mempunyai arah dan panjang yang sama dikatakan ekivalen.

B

Definisi : Jika v dan w adalah dua vektor sebarang maka v + w, disebut jumlah vektor v dan w, diperoleh sebagai berikut : letakkan vektor w sehingga titik awal w berimpit dengan titik akhir dari v, maka vektor v + w dinyatakan oleh panah dari titik awal v ke titik ujung w.

Vektor yang panjangnya nol dinamakan vektor nol dan dinyatakan dengan 0. Penjumlahan dengan vektor nol didefinisikan

0 + v ₌ v _{+ 0 =} v

Jika v sebarang vektor tak nol, maka −v (negatif v) adalah vektor yang mempunyai besaran sama seperti v tetapi arahnya berlawanan dengan v.

Pengurangan dua vektor didefinisikan sebagai penjumlahan dengan negatif vektor.

v − w = v + (− w)

Vektor-vektor ekivalen

w+v v+w

w

w

v v

w v

Definisi : Perkalian vektor tak nol v dengan skalar (bilangan real tak nol)

k didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya k kali panjang v

dan arahnya sama dengan arah v jika k > 0, dan berlawanan arah dengan arah v jika k < 0.

Vektor pada Bidang (R2₎

Misalkan v suatu vektor pada bidang, titik awal v diletakkan pada pusat sistem koordinat, dan titik ujung v terletak pada koordinat (v1, v2),

maka (v1, v2) dinamakan komponen dari v. Dalam hal ini ditulis

v = (v1, v2).

Secara geometri v1 menyatakan komponen pada sumbu x dan v2

menyatakan komponen pada sumbu y.

w-v v-w

w -w

w

-v v

v

−v ∑

v

Negatif vektor Pengurangan vektor

-3v 2v

−v

2 1

v v

Jika v = (v1, v2) dan w = (w1, w2) adalah vektor-vektor pada bidang (R2),

maka v ekivalen dengan w jika dan hanya jika v1 = w1 dan v2 = w2 .

Jika v = (v1, v2) dan w = (w1, w2), maka berlaku

1. v + w = (v1+w1, v2+w2)

2. k v = (kv1, kv2) dengan k suatu skalar

Contoh : Misalkan v = (−2, 1) dan w = (1, 3), maka

v + w = (−2, 1) + (1, 3) = (−2+1, 1+3) = (−1, 4) 2v = 2(−2, 1) = (2.(−2), 2.1) = (−4, 2)

v − w = (−2, 1) − (1, 3) = (−2−1, 1−3) = (−3, −2) w − v = (1, 3) − (−2, 1) = (1−(−2), 3−1) = (3, 2)

Kadang-kadang vektor diletakkan sedemikian sehingga titik awalnya tidak terletak pada pusat koordinat. Misalkan titik awalnya adalah P1(x1,y1) dan titik ujungnya adalah P2(x2,y2) maka

) ,

( _{2 1 2 1}

2

1P x x y y

P = − − . Komponen P₁P₂ didapat dengan mengurangkan v-w

w-v 2v

v+w

w v

koordinat tititk awal dari koordinat titik ujung. Jika dijelaskan dengan gambar, didapat pula

)

v didefinisikan sebagai 2

tersebut didefinisikan sebagai norm dari vektor P1P2, yaitu

Vektor pada Ruang (R3₎

Misalkan v suatu vektor pada ruang (R3_{), maka komponen dari v}

adalah (v1, v2, v3) yang secara geometri v1 menyatakan komponen pada

sumbu x dan v2 menyatakan komponen pada sumbu y dan v3menyatakan

komponen pada sumbu z.

Jika v = (v1, v2, v3) dan w = (w1, w2, w3), maka

(norm) w didefinisikan sebagai

Jarak di antara titik P1(2, 1, 0) dan P2(4, −3, 1) adalah

21 1 16 4 0

1 1 3 2

4− 2 + − − 2 + − 2 = + + =

= ( ) ( ) ( )

d

Kaidah dasar ilmu hitung vektor akan ditunjukkan di dalam teorema berikut ini.

Teorema : Jika u, v dan w adalah vektor-vektor di dalam R2 _{atau R}3 _{dan k ,}

l adalah skalar, maka hubungan yang berikut akan berlaku. 1. u + v = v + u

2. (u + v) + w = u + (v + w)

3. u + __0=

__

0+ u = u

4. u + (-u) = __0

3.2. Perkalian Titik pada Vektor

Perkalian titik atau dot product dan sifat-sifat ilmu hitung dari perkalian ini akan diberikan dalam definisi berikut : Yang dimaksud sudut antara vektor u dan v adalah sudut yang dibentuk antara vektor u dan v yang telah dialokasikan sehingga titik asal keduanya berimpit. Definisi : Jika u dan v adalah vektor-vektor di dalam R2 _{atau R}3 _dan θ

adalah sudut di antara u dan v (0 §q § p), maka perkalian titik (dot product) atau perkalian dalam Eucliden antara u dan v, dinotasikan dengan u.v didefinisikan dengan

Dari definisi tersebut, jika u = 0 atau v = 0 maka jelas u.v = 0.

Misalkan OP = u = (u1, u2, u3) dan OQ = v = (v1, v2, v3)

vektor-vektor tak nol di R3

Pandang segitiga OPQ. Menurut hukum kosinus pada segitiga, tentu

berlaku

O

q v

u _Q(v

1, v2, v3) P(u1, u2,u3)

y x

z

θ

kali titik, persamaan (*) di atas dapat ditulis sebagai

)

v , dengan penyerdehanaan akan

diperoleh kedua vektor tersebut, maka

θ adalah sudut siku-siku jika hanya jika u.v = 0

Jika sudut antara vektor u dan v siku-siku maka dikatakan bahwa kedua vektor itu orthogonal dan dituliskan u⊥v. Jadi vektor u dan v akan orthogonal jika u.v = 0.

Teorema : Misalkan u, v, dan w adalah vektor-vektor di dalam R2 _{atau R}3

dan k adalah skalar, maka

a. u.v = v.u

b. u.(v + w) = u.v + u.w c. k(u.v) = (ku).v = u.(kv)

d. v.v > 0 jika v ∫ 0 dan v.v = 0 jika v = 0

Adakalanya kita perlu menyatakan suatu vektor u ke dalam bentuk jumlahan dua suku, yang satu sejajar vektor tak nol p sedang yang lain tegak lurus terhadap p. Keadaan vektor u dan dua vektor jumlahannya dapat digambarkan sebagai berikut.

Kita dapat melihat bahwa w2= u - w1

sehingga kita peroleh w2

w1 p

w1+ w2 = w1 + (u - w1) = u

Dalam hal ini vektor w1 dinamakan proyeksi orthogonal u pada p atau disebut pula komponen vektor u sepanjang p, dinotasikan dengan proypu. Vektor w2 dinamakan komponen vektor u yang orthogonal terhadap p. Karena w2= u - w1 maka w2= u - proypu.

Teorema : Misalkan u dan v adalah vektor-vektor di dalam R2 _{atau R}3 _dan

k adalah skalar, maka

proyvu v v u.v

2

= dan u - proyvu v v u.v u

2

− =

Pada R3_{, misalkan i, j, dan k menyatakan vektor satuan siku-siku}

berturut-turut pada komponen x, y, dan z yaitu i = (1,0,0), j = (0,1,0), dan k = (0,0,1). Dapat dilihat bahwa i⊥j, j⊥k, dan k⊥i serta berlaku

1 = =

= j k

i . Dengan vektor satuan ini, setiap vektor dalam R3 _dapat

dinyatakan sebagai jumlahan dari perkalian skalar dengan vektor i, j, dan k.

3.3. Perkalian Silang pada Vektor

Pada sub bab di atas telah dibahas operasi perkalian dua vektor yang hasilnya berupa skalar, pada sub bab ini akan dibahas operasi perkalian dua vektor yang hasilnya berupa vektor.

Definisi : Misalkan u = (u1, u2, u3) dan v = (v1, v2, v3) vektor-vektor di R3.

Hasil kali silang dari u dan v, dinotasikan dalam u ä v adalah vektor yang didefinisikan sebagai

u ä v = (u2v3- u3v2, u3v1 - u1v3, u1v2 - u2v1)

Hubungan hasil kali titik dan hasil kali silang diberikan dalam teorema berikut.

Teorema : Jika u dan v adalah vektor-vektor di R3_{, maka}

a. u.(uäv) = 0 b. v.(uäv) = 0

c. u×v2 = u2 v 2−(u.v)2 (Identitas Lagrange)

Sifat-sifat perkalian silang didefinisikan sebagai berikut.

Teorema : Jika u, v dan w adalah vektor-vektor di R3_{, k sebarang skalar,}

a. uäv =-(väu)

Secara sama akan diperoleh pula jäk = i, käi = j

jäi =-k, käj =-i, iäk =-j iäi = jäj = käk = 0

Oleh karena itu hasil kali silang u dan v dapat dinyatakan pula sebagai :

3

2

sehingga diperoleh

θ =

×v u v sin

u

Jika digambarkan, v sinθ adalah tinggi jajaran genjang dengan sisi u dan

v. Ini berarti u×v menyatakan luas jajaran genjang tersebut.

3.4. Kombinasi linear dan kebebasan linear

Pada sub bab-sub bab di atas, kita telah membahas vektor-vektor di R2 _{dan R}3 _{berikut beberapa operasinya. Vektor-vektor di R}2 _{dapat kita}

nyatakan dalam bentuk 2-tupel (v1, v2) sedangkan vektor-vektor di R3 kita

nyatakan dalam bentuk 3-tupel (v1, v2, v3) dengan v1, v2, dan v3 adalah

... ,vn masing-masing adalah bilangan real. Himpunan semua vektor

berbentuk n-tupel ini dinamakan ruang-n dan dinyatakan dengan Rn_.

Dengan perumuman ini, operasi penjumlahan, perkalian skalar, dan hasil kali dalam didefinisikan secara sama seperti pada R2 _{dan R}3_.

Jika u = (u1, u2, ... , un) dan v = (v1, v2, ... , vn) vektor-vektor di Rn dan k

skalar, maka

• u + v = (u1+v1, u2+v2, … , un+vn)

• k v = (kv1, kv2, ... , kvn)

•

u.v

=

u

₁

v

₁

+

u

₂

v

₂

+

K

+

u

_n

v

_n

• 2 2

2 2

1 u un

u + + +

= K

u

Kita perhatikan bahwa operasi yang berlaku padaRn _{di atas, merupakan}

perumuman operasi yang sama yang berlaku pada R2 _{dan R}3

_.

_{Kita dapat}

menunjukkan bahwa sifat-sifat yang berlaku pada R2 dan R3 terkait

dengan operasi di atas juga berlaku pada Rn

_.

Sekarang kita akan memperumum vektor beserta himpunan penghimpunnya dalam suatu sistem, yang akan berlaku tidak hanya pada

R2

_,

_R3

_,

_danRn_{tetapi juga pada sistem yang lain.}

skalar (bilangan real). Jika untuk setiap u, v, dan w elemen pada V dan k, l sebarang skalar berlaku aksioma-aksioma :

1. u + v œ V 2. u + v = v + u

3. u + (v + w) = (u + v) + w

4. Ada 0 œ V sehingga u + 0 = 0 + u = u untuk setiap u œ V. 5. untuk setiap u œ V ada -u œ V, disebut negatif u, sehingga u +

(-u) = (-u) + u = 0

6. k u œ V untuk setiap skalar k 7. (k +l) u = k u + l u

8. k(u + v) = k u + k v 9. k(l u) = (kl) u 10.1 u = u

maka V kita sebut sebagai ruang vektor. Dalam hal ini elemen V kita sebut sebagai vektor.

Elemen 0 pada aksioma 4 kita sebut vektor nol. Aksioma 1 dan 6 menunjukkan bahwa penjumlahan dua vektor dan perkalaian skalar

dengan vektor menghasilkan suatu vektor.

Contoh :

b. Himpunan titik-titik pada sebuah garis yang melalui titik asal pada R2

akan membentuk ruang vektor.

c. Himpunan titik-titik pada R2 _{yang terletak pada kuadran pertama}

bukanlah ruang vektor.

d.Himpunan semua matriks berukuran 2x2 dengan elemen bilangan real, ditulis M2x2(R), merupakan ruang vektor.

Sifat penting vektor diberikan pada teorema berikut.

Teorema : Milakan u elemen suatu ruang vektor V dan k sebarang skalar, maka berlaku :

a. 0u = 0 b. k 0 = 0 c. (-1)u =-u

d. Jika k u = 0 maka k = 0 atau u = 0

Kadang-kadang untuk suatu keperluan, kita mengambil suatu himpunan bagian dari suatu himpunan yang masih memiliki kaidah-kaidah seperti yang berlaku pada himpunannya. Hal ini juga terjadi pada ruang vektor.

perkalian skalar seperti yang didefinisikan pada V maka W disebut ruang bagian (subspace) dari V.

Dengan definisi tersebut untuk menunjukkan apakah suatu himpunan bagian dari suatu ruang vektor merupakan ruang bagian, kita harus memeriksa apakah ke sepuluh aksioma ruang vektor juga berlaku pada himpunan bagian tersebut. Akan tetapi pada kenyataannya ada aksioma-aksioma yang otomatis berlaku pada ruang bagian karena aksioma-aksioma tersebut ”diwarisi” dari himpunannya. Aksioma tersebut adalah aksioma

2, 3, 7, 8, 9, dan 10. sehingga yang harus dibuktikan tinggal aksioma 1, 4, 5, dan 6. Teorema berikut memberikan cara lebih singkat karena aksioma 4 dan 5 dapat pula dihilangkan.

Teorema : Misalkan W himpunan bagian dari ruang vektor V. Himpunan bagian W merupakan ruang bagian dari V jika hanya jika memenuhi:

a. Jika u, v œ V maka u + v œ V

b. Jika u œ V dan k sebarang skalar maka k u œ V

Dua kondisi di atas menyatakan bahwa W tertutup di bawah operasi penjumlahan dan tertutup di bawah operasi perkalian skalar.

Definisi : Vektor w dikatakan sebagai kombinasi linear (linear combination) _{dari vektor-vektor v1, v2 , … , vn jika w dapat} dinyatakan dalam bentuk

w = k1v1 + k 2v2 … + k nvn

dengan k i , i=1,2,…,n adalah skalar-skalar.

Definisi : Vektor-vektor v1, v2 , … , vn dikatakan merentang ruang vektor

V jika setiap vektor dalam V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor v1, v2 , … , vn, ditulis V = span{ v1,v2 ,…, vn}.

Definisi : Jika S = { v1,v2 ,…, vn} adalah himpunan vektor-vektor, maka

persamaan

k1v1 + k 2v2 … + k nvn= 0

mempunyai paling sedikit satu penyelesaian yaitu k1 = 0, k 2= 0, … , k n = 0

Jika ini merupakan satu-satunya penyelesaian maka S dinamakan himpunan bebas linear (linear independent). Jika ada pemecahan lain maka S dinamakan himpunan bergantung linear / himpunan tak bebas linear (linear dependent).

Dengan kata lain S = { v1,v2 ,…, vn} himpunan bebas linear jika

k1v1 + k 2v2 … + k nvn= 0

mengakibatkan k1 = 0, k 2= 0, … , k n = 0.

Sedangkan S = { v1,v2 ,…, vn} himpunan tak bebas linear jika

k1v1 + k 2v2 … + k nvn= 0

dan terdapat i=1,2,...,n dengan k i∫ 0.

Definisi : Misalkan V suatu ruang vektor dan S = { v1,v2 ,…, vn} himpunan

a. S bebas linear b. S merentang V

Ruang vektor V dikatakan berdimensi hingga (finite dimensional) jika V memuat himpunan berhingga vektor-vektor yang merupakan basis. Jika tidak ada himpunan seperti ini maka V dikatakan berdimensi tak hingga (infinite dimensional).

TUGAS RUMAH

Materi : Perkalian Silang.

1. Jika u = (-1,-1,-1) dan v = (2,0,2), carilah sebuah vektor yang ortogonal kepada ke dua vektor u dan v.

2. Carilah luas segitiga yang mempunyai titik-titik sudut P(2,0,-3), Q(1,4,5) dan R(7,2,9).

3. Misalkan u = (-1,3,2) dan w = (1,1,-1), carilah semua vektor x yang memenuhi u x x = w.

4. Buktikan bahwa (u + kv) x v = u x v.

Materi : Ruang Vektor .