*
PENENTUAN NILAI TOTAL KETIDAKTERATURAN SISI GRAF WEB Nasrah Munir1*), Nurdin2), Jusmawati3)
1Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Hasanuddin
Jln. Perintis Kemerdekaan, Makassar, Indonesia, Kode Pos 90245
THE TOTAL EDGE IRREGULARITY STRENGTH OF WEB GRAPH Nasrah Munir1*), Nurdin2), Jusmawati3)
1
Departement of Mathematic, Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Hasanuddin University Perintis Kemerdekaan Street, Makassar, Indonesia, Post Code 90245
ABSTRAK
Pelabelan- total tidak teratur sisi dari suatu graf G adalah pelabelan titik dan sisi pada G dengan range {1, 2, 3,..., } sedemikian sehingga setiap sisi mempunyai bobot yang berbeda. Nilai total ketidakteraturan sisi dari G adalah bilangan bulat positif terkecil sedemikian sehingga G mempunyai suatu pelabelan- total tidak teratur sisi. Pada skripsi ini telah ditentukan nilai total ketidakteraturan sisi pada graf web, yang dinotasikan dengan . Berdasarkan hasil
penelitian diperoleh bahwa nilai total ketidakteraturan sisi pada graf web adalah sebagai berikut :
Kata Kunci : Graf web, Pelabelan total tidak teratur sisi, Nilai total ketidakteraturan sisi.
ABSTRACT
The total edge irregular -labeling of a graph G is a labeling of vertex and edge on G with range {1, 2, 3,..., } such that each edge has a different weight. The total edge irregularity strength of G is the smallest positive integer such that G
has a irregular -labeling. In this essay we determined the total edge irregularity strength on the web graph, denoted by . The results obtained that the total edge irregularity strength on the web graph, as follows :
Keywords : Web graph, Total edge irregular labelling, Total edge irregularity strength.
I. PENDAHULUAN
Teori graf pertama kali diperkenalkan oleh Leonhard Euler pada tahun 1736 sebagai upaya pemecahan masalah jembatan Konigsberg. Masalah yang muncul dari jembatan Konigsberg adalah mungkin tidaknya melalui ketujuh buah jembatan itu masing-masing tepat satu kali, dan kembali lagi ke kota semula. Euler mempresentasikan kota dengan titik (vertex) dan jembatan dinyatakan dengan sisi (edge). Dengan menggunakan model tersebut, Euler berkesimpulan bahwa tidak mungkin seseorang dapat melalui ketujuh jembatan tersebut masing-masing satu kali dan kembali lagi ke kota semula.
Pelabelan graf merupakan salah satu topik dalam teori graf yang semakin berkembang, baik secara teoritis maupun dalam aplikasi. Objek kajiannya berupa graf yang secara umum dipresentasikan oleh titik dan sisi serta himpunan bagian bilangan cacah yang disebut label. Pertama kali diperkenalkan oleh Sadlacek (1964), kemudian Stewart (1966), Kotzig dan Rosa (1970).
Pelabelan graf didefinisikan sebagai pemetaan yang membawa elemen-elemen graf ke bilangan-bilangan bulat positif atau tidak negatif menurut W.D Wallis (2001). Konsep pelabelan tidak teratur pertama kali diperkenalkan oleh Chartrand dkk. pada tahun 1986. Kemudian pada tahun 2007, Baca dkk mengembangkan pelabelan tidak teratur menjadi pelabelan total tidak teratur sisi (edge irregular total labelling) dan pelabelan total tidak teratur titik (vertex irregular total labelling).
Ba a, dkk. (2007) memberikan batas bawah dan batas atas nilai total ketidakteraturan sisi dari sebarang graf sebagai berikut. Misal adalah suatu graf, adalah banyaknya sisi di , maka .
II. TINJAUAN PUSTAKA A. Jenis Graf
Jenis graf yang dibahas pada tugas akhir ini antara lain graf lingkaran, graf roda, graf helm, dan graf web. Sebelum membahas mengenai graf web, akan dibahas terlebih dahulu mengenai graf lingkaran. Graf lingkaran adalah graf terhubung yang semua titiknya berderajat 2. Graf lingkaran dengan n titik dinotasikan dengan .
Graf roda adalah suatu graf yang dibentuk dari graf lingkaran dengan menambahkan satu titik pusat , dimana bertetangga dengan semua titik pada graf lingkaran.
Gambar 1. Contoh graf lingkaran (a), graf roda (b), graf helm (c), dan grah web (d)
Graf helm adalah graf roda dengan siklus yang memiliki sisi pendat yang dilekatkan pada tiap simpul pada siklus tersebut.
Graf web adalah graf yang diperoleh dengan menghubungkan titik-titik daun pada graf helm membentuk lingkaran dan menambahkan sisi pendat ke setiap titik pada lingkaran luar. Dimana dan .
a)
b)
c)
*
B. Pelabelan Total Tidak Teratur Sisi
Misalkan adalah suatu graf da n merupakan suatu pelabelan total pada . Bobot sisi atas pelabelan tersebut didefinisikan sebagai jumlah label sisi dan label kedua titik ujung , yaitu
.
Nilai total ketidakteraturan sisi (total edge irregularity strength) dari , dinotasikan dengan , adalah bilangan bulat positif terkecil sedemikian sehingga mempunyai suatu pelabelan tidak teratur sisi.
III. ANALISIS DAN PEMBAHASAN Pada bagian ini akan di uraikan nilai total ketidakteraturan sisi pada graf web.
Teorema 3
Misalkan adalah suatu graf web dengan dan , maka
Tahap 1 : Membuktikan bahwa
Bukti : Misalkan adalah graf web dengan dan , maka dan bobot suatu sisi
untuk suatu pelabelan total adalah . Dengan demikian, diperoleh bobot sisi terkecil dan bobot sisi terbesar . Karena , maka label terbesar yang digunakan, sebut , adalah
Dengan demikian, diperoleh
Tahap 2 : Membuktikan bahwa
Bukti : Untuk membuktikan hal tersebut akan dikonstruksi suatu pelabelan total tidak teratur sisi pada .
Sebelumnya, telah didefinisikan himpunan titik dan himpunan sisi graf web . Misalkan .
Selanjutnya akan didefinisikan pelabelan total pada sebagai berikut:
Untuk dan Untuk Untuk dan
Untuk Untuk dan Selanjutnya bobot setiap sisi berbeda
untuk Untuk dan Untuk Untuk dan
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa label terbesar yang digunakan adalah . Berdasarkan fungsi pelabelan total yang didefinisikan sebelumnya diperoleh bahwa :
Untuk , maka Untuk , maka Untuk
*
Untuk , dan , maka
Untuk dan
Untuk dan
Untuk , dan , maka
Untuk , dan , maka
Karena itu memiliki suatu pelabelan- total tidak teratur sisi, dimana .
Dengan demikian, diperoleh
Karena dan , maka
IV. KESIMPULAN
Dengan menggunakan pelabelan total tidak teratur sisi pada graf maka diperoleh nilai total ketidakteraturan sisi graf adalah
DAFTAR PUSTAKA
Ahmad A. 2012. On the Total Edge Irregularity Strength of Zigzag Graphs. Australian Journal of Combinatorics. 54: 141-149.
Ba a, M., Jendrol’, S., Miller, M., dan Ryan, J. 2007. On Irregular Total Labelings. Discreate Mathematics, 307: 1378-1388.
Bondy J.A. and U.S.R. Murty. 1976 Graph Theory with Applications. Elsevier science Publishing Company Inc, New York.
Chartrand., Gary. 1986. Introductory Graph Theory. Dover Publications Inc, New York.
Gross, J. L., Yellen, J. 2006. Graph Theory and Its Applications (second edition). Chapman & Hall/CRC Taylor & Francis Group, New York.
Indriati D., Widodo., I.E. Wijayanti., K.A. Sugeng. Kekuatan Tak Regular Sisi Total pada Graf Web dan 2-copynya. Makalah dipresentasikan pada Konferensi Nasional Matematika XVI di Unpad, Jatinegara, Jawa Barat, tanggal 3-6 Juli 2012.
Javaid, I., Shokat, S. 2008. On the Partition Dimension of Some Wheel Related Graphs. Journal of Prime Research in Mathematics. 4:154-164
Kotzig A., and Rosa A. 1970. Magic Valuations of Finite Graphs. Canadian Mathematical Bulleting. 13: 451323. Nurdin. 2013. The vertex and edge Irregular Total Labeling of an Amalgamation of two Isomorphic Cycles. World
Academy of Science, 7: 1905-1908.
Pfender F. 2010. Total Edge Irregularity Strength of Large Graphs. Electronic Journal. 1-14 <http://arxiv.org/abs/1006.4501V1>
Rajasingh I., Rajan B., Arockiamary S.Teresa. 2012. Total Edge Irregularity Strength of Butterfly Networks. International Journal of Computer Applications, 49: 20-22.
Samraeni R. 2014. Penentuan Nilai Ketidakteraturan dan Nilai Total Ketidakteraturan Titik pada Graf Web .
Skripsi. UNHAS.
Stewart B.M. 1966. Magic Graphs. Canadian Journal of Mathematics.18: 1031-1059
Siddiqui M.K., Ahmad A., Nadeem M.F., Bashir Y. 2013. Total Edge Irregularity Strength of the Disjoint Union of Sun Graphs.International Journal of Mathematics and Soft Computing. 3: 21-27.
