KONTRAK ASURANSI JIWA TERKAIT DENGAN EKUITAS

)) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( 1 * 1 * 1 ϕ ϕ ξ ϕ ϕ − − − − + − + = t t t t t t t C C S S V V (7) Karena portofolio tidak dipengaruhi oleh arus keluar masuknya modal sepanjang periode, maka biaya awal yang dikeluarkan persis sama dengan jumlah yang diinvestasikan pada

waktu 0. Dengan demikian nilai diskon pada waktu t menjadi ∑ = Δ + = t j j j t V S V 1 * 0( ) ) (ϕ ϕ ξ (8)

KONTRAK ASURANSI JIWA TERKAIT DENGAN EKUITAS

Menurut Bacinello (2006) perusahaan asuransi melakukan hedging tidak secara terpisah untuk setiap kontrak polis melainkan untuk keseluruhan portofolio. Masalah utama yang dihadapinya adalah bagaimana menentukan harga atau bagaimana

meng-hedge kontrak jika mengeluarkan kontrak

asuransi yang kompleks. Pada kontrak asuransi jiwa yang terkait dengan ekuitas, keuntungan yang didapatkan oleh pemegang polis pada akhir periode terkait dengan portofolio yang direkomendasikan. Dalam hal ini portofolio terbentuk dari kesatuan aset berupa saham. Misalkan St atau S melambangkan perkembangan dari harga saham pada waktu t, maka pembayaran yang dilakukan oleh perusahaan asuransi adalah sebesar f(S), jika pemegang polis tetap hidup pada waktu T. Fungsi f merupakan fungsi yang bergantung pada perkembangan harga saham, sebagai contoh, kontrak equity-linked murni hanya memiliki fungsi dari nilai terminal dari harga saham saja, yaitu

T

S S

f( )= ,

sedangkan equity-linked dengan garansi atau jaminan jika terjadi penurunan harga saham, memiliki fungsi sebagai berikut:

) , max( ) (S S K f = T (9)

dengan K merupakan garansi. Selain itu, masih banyak lagi ketergantungan yang kompleks pada kontrak seperti ini, contohnya terdapat return garansi tahunan. Misalkan

1 1 − − − j j j S S S

adalah return pada tahun ke-j pada aset S dan δj adalah garansi pada tahun ke-j, maka pembayaran yang dilakukan oleh pengasuransi menjadi ∏ = ₋ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − + ⋅ = T j _j j j j S S S K S f 1 ₁ 1_,1 1 max ) ( δ

Sebelumnya akan dianalisis terlebih dahulu kerugian yang akan dihadapi oleh pengasuransi. Notasikan Yt(n) sebagai angka

bertahan hidup pada waktu t dan portofolio mengandung n pemegang saham yang membeli kontrak dengan bentuk yang sama yaitu endowmen murni yang terkait dengan saham pada waktu 0. Jika setiap kontrak individu dibayarkan dengan premi tunggal pada waktu 0 senilai κ, maka nilai saat ini dari kerugian pengasuransi adalah nilai saat ini dari kontrak dikurangi oleh banyaknya premi asuransi yang telah dibayarkan pada waktu 0, yaitu κ δ _n e S f Y L n t T n = ( ) − − ) ( ₍₁₀₎

dengan _e−δt _{adalah faktor diskon.}

Peubah acak (n)

T

Y dan f(S) didefinisikan pada ruang ukuran peluang ( , , )Ω P di mana

P merupakan ukuran peluang dari sebaran bersama ( (n)

T

Y ,f(S)). Karena angka bertahan hidup dan perkembangan saham adalah bebas stokastik, maka nilai harapan dan varian dari kerugian pengasuransi adalah sebagai berikut:

κ κ δ δ n S f E Y E e n S f Y e E L E n T T n T T n − = − = − − )] ( [ ] [ ] ) ( [ ] [ ) ( ) ( (11) dan 2 ) ( 2 ) ( 2 2 ]) [ )]( ( [ ] [ ] ) ( [ ]] [ [ ] [ [ ] [ n T T n T T n n n Y E S f Var e Y Var S f E e S L E Var S L Var E L Var δ δ − − + = + = (12) Penurunan rumus untuk persamaan ini dapat dilihat pada Lampiran 3.

Kemudian notasikan fungsi bertahan hidup bagi seseorang yang berumur x sampai t tahun dalam notasi aktuaria standar sebagai berikut :

P[T1>t] = tpx (13) Asumsikan bahwa sisa waktu hidup T1,...,Tn ~ b.s.i dan 1{T1>T},...,1{Tn>T}~ b.s.i Bernoulli

yang dapat mencapai nilai 1 dengan peluang Tpx. Dengan asumsi tersebut dan berdasarkan Definisi 7 tentang b.s.i, maka persamaan dapat dibuat seperti di bawah ini:

x T T T n i T T n T p n T T nP E E Y E i i = > = = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = ∑ ∑ > = > ] [ ] 1 [ 1 ] [ 1 } { 1 { } ) ( (14) dan ) 1 ( ] 1 [ ] [ 1 { } ) ( x T x T n i T T n T p p n Var Y Var _i − = =∑ = > (15)

Dengan mensubtitusikan (14) dan (15) ke dalam persamaan (11) dan (12), berturut-turut, akan didapatkan hasil sebagai berikut:

(

κ

)

κ δ δ − = − = − − )] ( [ )] ( [ ] [ S f E e p n n S f E p n e L E T x T x T T n ₍₁₆₎ dan 2 2 2 2 )] ( [ ) 1 ( ] ) ( [ ] [ x T T x T x T T p n S f Var e p p n S f E e Ln Var δ δ − − + − = ₍₁₇₎

Nilai harapan dari present value kerugian akan sama dengan 0 jika dan hanya jika

)] ( [f S E e p T x T δ κ₌ − _.

Karena klaim pada kontrak asuransi jiwa ini tidak dapat direplikasi seluruhnya, maka untuk strategi yang pertama digunakan strategi superreplikasi. Strategi ini pada dasarnya menentukan bagaimana mendapatkan strategi self-financing ϕ' dengan C0(ϕ)=V0(ϕ) dan VT(ϕ')=H'≥H. Di mana C0(ϕ) merupakan biaya awal dan

) ( 0ϕ

V merupakan investasi awal (initial value). Sedangkan H merupakan present value

dari kontrak endowmen murni yang terkait dengan ekuitas yaitu H=YT f(ST)/BT, di mana harga saham S berdasarkan model Cox, Ross, Rubinstein yang didefinisikan oleh

1 ) 1 ( + − = t t t S S ρ , dengan ρ1,...,ρT adalah barisan dari peubah acak b.s.i dengan

} , { 1∈ a b

ρ dan 0<P(ρ1=b)<1; ρt adalah

return saham per unit selama interval waktu

] , 1 (t− t . *

t

S merupakan nilai diskon dari saham pada waktu t dengan proses harga diskon St St/Bt

*_{= di mana} t

t r

B =(1+ ) . Sehingga nilai diskon dari saham pada waktu t

dapat dituliskan dalam bentuk sebagai berikut

* * 1 1 (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) t t t t t t t t S S S S r r r ρ ρ − − + + = = = + + +

Syarat alami dalam parameter a, b, dan r

adalah −1<a<r<b, yaitu return saham pada setiap periode harus melebihi return

pada tabungan dengan kemungkinan positif dan sebaliknya (Moller, 2001).

Menurut Argesanu (2004), suatu pasar dapat dikatakan tidak memiliki kemungkinan

arbitrage jika dan hanya jika terdapat ukuran peluang _P* _{yang ekuivalen dengan P di mana}

proses harga diskon _S* _{adalah P}*

-martingale. Akan dibuktikan bahwa

*

S adalah martingale. Definisikan filtrasi {0,1,..., }

( )_{t t}∈ _T

=

 dengan _t =σ{ ,....,S₁ S_T} di mana  merupakan filtrasi yang terkait dengan perkembangan saham pada pasar dan

t diinterpretasikan sebagai informasi yang dihasilkan dari observasi saham S sampai pada waktu t. Dan filtrasi =( )t t∈_{{0,1,..., }}T dengan t =σ{ ,...., }Y₁ YT . Filtrasi  merupakan filtrasi yang mengandung informasi tentang pemegang polis, sedangkan

menginterpretasikan angka kematian yang dialami sampai pada waktu t. Definisikan

{0,1,..., } ( )t t∈ T =

 sebagai filtrasi tambahan

dengan = ∨ =σ( ∪ ) yang

mengartikan bahwa  meliputi semua informasi yang tersedia.

Proses harga diskon didefinisikan dalam ruang ukuran peluang (Ω, , P) dilengkapi dengan filtrasi . Diasumsikan proses harga (S, B) diadaptasi, untuk setiap t, St terukur dalam ( - measurable); B deterministik.

Diasumsikan terdapat ukuran peluang P*

dengan * 1 *_{( ) p} a b a r b P = − − = = ρ dan T ρ

ρ1,..., adalah b.s.i dibawah P*. Asumsi

b r

a< < menjamin 0_{< p}* _<1_{, sehingga p}*

adalah ukuran peluang yang ekuivalen dengan

P. Ukuran _P* _{disebut ukuran martingale}

ekuivalen. Akan dibuktikan bahwa proses harga saham yang telah didiskon, _S*_{, adalah} (,_P*_{)-martingale.} a b a r E E t t t ₋ − + = + = + )| ₋] 1 [ ] 1 1 [( * 1 * _{ρ ρ} r a p b p + = − + + = 1 ) 1 ( 1 * * Maka, * 1 1 * * 1 1 * * _{[(1 )| ]} 1 1 ] [ − − − − = + + = t t t t t t S E r S S E ρ ‚

Menurut Definisi 12 mengenai martingale

terbukti bahwa _S* _{merupakan (,P}*_)-

martingale. Teorema mengenai representasi

martingale berikut terkait dengan model CRR

yang digunakan. Teorema 1

Misalkan H sebagai peubah acak T

-measurable P*_{-integrable. Kemudian, (,P}*₎

-martingale. N yang didefinisikan oleh

*_{[ | ]} t t N =E H memberikan representasi khas berikut: ∑ = Δ + = t j j j t N S N 1 * 0 α

di mana

α

_j adalah j-1-measurable untuk setiap j.

Bukti teorema dapat dilihat pada Williams (1991).

Pembentukan harga pada strategi hedging

yang akan dibahas selanjutnya mengikuti teorema di atas.

Dalam strategi self-financing ϕ yang memiliki nilai terminal Vt(ϕ)=H, nilai awal

) ( 0 ϕ

V merupakan satu-satunya harga yang layak untuk H, dan V0(ϕ) disebut sebagai harga no-arbitrage dari H.

Dalam strategi superreplikasi, akan dicari klaim H' di mana klaim tersebut lebih besar dibandingkan dengan klaim yang sebenarnya. Misal, klaim H' yang diperoleh dengan mengganti sejumlah angka bertahan hidup pada waktu T menjadi n kontrak pemegang polis yang masuk pada waktu 0, yaitu

T T B S nf

H'= ( )/ . Klaim ini jelas lebih besar dibandingkan dengan klaim asli selama

n

YT ≤ . Sehingga strategi ϕ' yang mereplikasi klaim H' yang juga memenuhi

H H

VT(ϕ')= '≥ merupakan strategi superreplikasi untuk H.

Berdasarkan Teorema 1, nilai diskon dari portofolio tersebut dapat dituliskan dalam bentuk: * *_{[ | ] [} ( )_{| ]} ( ) [ ] T t t t T T T f S V E H E n B f S nE B ∗ ∗ = = = (18) ] ) ( [ T T B S f nE∗ _{merupakan strategi}

superreplikasi termurah, karena semua strategi superreplikasi yang lain membutuhkan

investasi awal yang melebihi [ ( )] T T B S f nE∗ .

Sehingga harga premi yang ditawarkan terlalu tinggi dan jika dipaksakan untuk menggunakan strategi ini, maka masih terdapat risiko yang belum tereliminasi, selain itu harga strategi superreplikasi yang sama dengan harga no-arbitrage untuk ( )T

T f S n

B ini jelas jauh lebih tinggi dibandingkan dengan harga klaim asli, sehingga strategi ini tidak terlihat sebagai alat yang tepat untuk

meng-hedge klaim asuransi jiwa yang terkait dengan saham di mana klaim bergantung pada tambahan sumber risiko yang bebas stokastik dengan pasar finansial.

Strategi yang kedua adalah pendekatan Brennan-Schwartz yang menyarankan untuk mengganti klaim asli dengan klaim

T T T f S B Y E H"= [ ] ( )/ , yaitu mengganti jumlah dari kemungkinan bertahan hidup yang tidak diketahui dengan jumlah yang diketahui.

"

H di sini merupakan opsi tipe Eropa dengan waktu konstan, oleh karena itu nilainya dapat dicapai dan di-hedge serta dapat dihargai unik. Berdasarkan Teorema 1 dan dengan proses yang sama dengan strategi sebelumnya, didapatkan harga no-arbitrage untuk H" yaitu E[YT]E∗[f(ST)/BT]. Nyatakan masalah harga dari H" bergantung pada H, yaitu calon harga dan calon strategi hedging

self-financing untuk H dapat menggunakan

harga dan strategi self-financing dari H". Proses pembentukkan harga klaim pada H" sangat rumit karena kontrak yang terkait dengan ekuitas dalam prakteknya sering kali melibatkan ketergantungan yang sangat kompleks pada saham atau indeks saham yang ada. Selain itu, pendekatan ini juga masih meninggalkan risiko bagi pengasuransi.

Strategi terakhir adalah strategi hedging

minimisasi risiko. Definisikan dua proses nilai, yaitu proses _πf _{yang terkait dengan} pasar finansial dan proses M yang terkait dengan portofolio dari asuransi jiwa. Dengan menggunakan Teorema 1 didapatkan harga diskon dari pembayaran f(ST) pada waktu t sebesar ∑ = Δ + = = t j j f j T T T T f t S B S f E B S f E 1 * * * ] ( [ ] | ) ( [ α π (19) dan proses M didefinisikan oleh:

*_{[ | ]}

t T t T t x t

yaitu nilai harapan bersyarat dari orang yang bertahan hidup pada waktu T; _T−_tp_x+_t adalah

peluang bersyarat dari kemungkinan bertahan hidup sampai waktu T. Catat bahwa M berfluktuasi secara khas dan MT = YT.

Berdasarkan kebebasan antara Y dan S, maka proses harga dapat ditulis sebagai berikut: t f t T T T T T T T T T t M Y E B S f E Y E B S f E B S f Y E V π = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ] | [ ) ( ] | [ ) ( ) ( * * * * * * (21) Sehingga 1 1 * 1 * * − − − = − − = ΔVt Vt Vt πtfMt πtf Mt 1 1 1 1 − − − − + − − = f _t t t f t t f t t f t M π M π M π M π ) ( ) ( − −1 −1+ − −1 = πtf πtf Mt πtf Mt Mt

Dan dengan menggunakan persamaan (19) didapatkan ΔVt* =Mt−1αtfΔSt*+πtfΔMt.

Proses Vt* =E*[H| t] jika dihubungkan dengan

P*_{-martingale akan mempunyai dekomposisi}

yang unik yaitu

H t t j j H j t V S L V = +∑ Δ + =1 * * 0 * _{ξ (22)}

Bukti dapat dilihat pada William (1991). Di mana _ξH _{dapat diperkirakan (yaitu}

H t

ξ adalah t−1-measurable) dan LH adalah

P*_{-martingale yang ortogonal dengan S}*_{, Oleh} karena itu, _{S L}* H_{juga P}* _{- martingale.}

Catat bahwa f t t

M −1α adalah ukuran t-1 dan proses _ξH _{didefinisikan oleh}

f t t H

t M α

ξ = −1 . Jika dapat ditunjukkan bahwa

∑ = Δ = t j j f j t M L 1

π adalah martingale, maka dekomposisi (22) telah terpenuhi dan akan didapatkan bentuk:

Untuk menunjukkan bahwa L adalah

martingale, berdasarkan kebebasan antar

 dan  , didapatkan

[

]

[

]

0 ] [ ] [ 1 1 * * 1 * 1 = ∨ Δ = Δ = Δ − − − − t t t f t t t f t t t M E E M E L E π π

karena M adalah martingale dan M bebas stokastik dari filtrasi  .

Dengan perhitungan yang sama, dapat ditunjukkan bahwa LS* _{juga martingale,} karena

( )

t t t t t t t t t t t L S S L S L S L S L LS Δ + Δ + Δ Δ = − = Δ − − − − * 1 * 1 * * 1 1 * *

maka, dapat ditunjukkan bahwa

[

]

0 ] | [ ] | ) ( [ | 1 * 1 * * 1 * 1 * * 1 * * = Δ − Δ = − Δ = Δ Δ − − − − − t t t t t t t t t t t t S L S L E S S L E S L E

Berdasarkan proses biaya yang telah didefinisikan sebelumnya, nyatakan masalah minimisasi sebagai fungsi dari (ξt+1,ηt) yaitu proses meminimumkan nilai harapan bersyarat di bawah ukuran martingale dari kuadrat biaya yang muncul selama interval waktu selanjutnya. ] | )) ( ) ( [( ) ( 2 1 * t t t t E C C r ϕ = + ϕ − ϕ (23)

Karena H diasumsikan T-measurable maka

H T T j j H j T V S L H E H = = +∑ Δ + =1 * * 0 *_{[ | ] ξ}

Nilai minimum untuk rt(ϕ) didapatkan dengan memilih strategi ξ~ dan η~ sehingga

) ~ (ϕ

C adalah martingale, yaitu ] | ) ~ ( [ ) ~ ( 1 * t t t E C C ϕ = + ϕ

Hal ini mengakibatkan proses V(ϕ~) juga

martingale. Karena VT(ϕ~)=H maka

H t t j j H j t V S L V = +∑ Δ + =1 * * 0 ) ~ (ϕ ξ (24)

Berdasarkan persamaan (4) maka didapatkan ~ * ~ * t t t t V ξ S η = − . Selanjutnya

masukkan persamaan (6) dan (24) ke dalam persamaan (23) untuk mendapatkan

(

)

_⎥⎦⎤ ⎢⎣ ⎡ _{− Δ +Δ} = _{+ +} *_{+ +1} 2 1 1 1 * ₍ ~ ₎ ) ~ ( H t t t H t t E S L r ϕ ξ ξ (25) ∑ ∑ = = − Δ + Δ + = t j j f j t j j f j j t V M S M V 1 1 * 1 * 0 * _{α π}

Karena 1 ~ + t ξ dan H t+1 ξ adalah t–measurable dan

[

1

]

0 * 1 *_{Δ Δ =} + + Ht t L S E , serta berdasarkan

keortogonalan dari S* _{dan L}H_{, persamaan (25)} dapat dituliskan ke dalam bentuk

(

)

(

)

(

)

] [ ] [ ~ ) ~ ( 2 1 * 2 * 1 * 2 1 1 t H t t t t H t t L E S E r + + + + Δ + Δ − = ξ ξ ϕ

Di mana akan minimal jika H t t ξ ξ~ = dan * * ~ t H t t V ξt S η = − .

Berdasarkan perhitungan tersebut maka didapatkan strategi minimisasi risiko untuk kontrak asuransi jiwa yang terkait dengan ekuitas adalah f t t t M α ξ = ₋₁ f t t x t T t p Y−1 −(−1) +(−1)α = (26) * ) 1 ( ) 1 ( 1 * ) 1 ( ) 1 ( 1 * * t f t t x t T t t x t T t f t t f t t x t T t t f t t t t S p Y p Y S p Y M S V _t α π α π ξ η − + − − − + − − + − − − − = − = − = (27) Dengan menuliskan kembali peluang

) 1 ( ) 1 (− + − −t x t T p sebagai 1px+(t−1)T−tpx+t, maka kerugian selama (t-1, t] adalah

) ( −11 +(−1) + − − = ΔLt πtfT tpx t Yt Yt px t

Persamaan tersebut menjelaskan bahwa kerugian pengasuransi adalah proporsional dengan faktor T t x t

f t − p +

π yang merupakan harga diskon opsi f(ST) pada waktu t dikali dengan peluang bertahan hidup T−tpx+t. Jumlah tersebut merepresentasikan cadangan yang layak pada waktu t untuk seorang pemegang polis yang hidup pada waktu t. Faktor kedua (Yt −Yt−11px+(t−1)) merupakan selisih nilai sebenarnya dari yang bertahan hidup dengan nilai harapan bersyarat yang dihitung pada t-1.

Menurut Moller (2001) strategi minimisasi risiko ini dapat menaksir besarnya risiko dari pengasuransi. Kebebasan antara _π f _{dan M di} bawah P* _{dan fakta bahwa perubahan ukuran} dari P ke P* _{tidak mempengaruhi distribusi} dari sisa waktu hidup, memberikan varian dari biaya sebagai berikut :

( )

( )

( )

∑ ∑ = = Δ = Δ = T t t f t T t t f t T M E E M E C Var 1 2 2 * 1 2 2 * * ] [ ] [ ] [ ] [ π π ϕ (28) T M

Δ dapat dikatakan berkaitan dengan peluang bertahan hidup. Hal ini dapat terlihat dari perhitungan berikut

[ ]

[

[

]

]

) 1 ( ] ] [ [ ]] [ [ ) 1 ( 1 1 1 1 2 − + + − − + − − − − = = Δ + Δ = Δ t x t x t T x T t t t x t T t t t t t p p p n F Y p Var E F M E Var F M Var E M E

di mana pada persamaan terakhir digunakan

YT| t-1 ~ binomial (Yt−1,1px+(t−1)). Varian (28) sebaiknya dibandingkan dengan total varian dari klaim H yang merupakan varian dari kerugian pengasuransi dengan tidak melakukan transaksi yang diberikan oleh persamaan berikut :

(29) Contoh

Nyatakan bahwa dalam satu tahun terjadi lima kali waktu perdagangan, misalkan

4 , 3 , 2 , 1 , 0 = k , sehingga T =4. Notasikan selang waktu antar perdagangan dengan

4 1 =

Δt , yaitu dalam satu tahun terbagi menjadi 4 periode dengan selang waktu antar periode adalah tiga bulan. Untuk memudahkan perhitungan, asumsikan bahwa sisa waktu bertahan hidup dari pemegang polis adalah bebas dan menyebar eksponen dengan tingkat hazard (bahaya) μ yang berbeda-beda. Sehingga peluang bertahan hidup dari pemegang polis adalah

) exp( k t px

k = −μ Δ untuk semua k (dan x). Misalkan nilai garansi dari kontrak adalah

T r S K ) 2 1 1 ( 0 + = dengan S0=100.

Peluang _p* _{adalah nilai peluang yang}

ekuivalen dengan peluang p. Dengan menggunakan persamaan kemungkinan risiko netral (risk neutral probabilities) akan didapatkan nilai dari _p*_.

46 . 0 25 . 0 115 . 0 ) 1 . 0 ( 15 . 0 ) 1 . 0 ( 015 . 0 * _{= =} − − − − = − − = a b a r p

Parameter yang digunakan dalam kasus ini adalah : t Δ ¼ T 4 0 S 100 K 103.0 2 * 2 * * ) ]( [ ) 1 ( ] ) [( ] / ) ( [ x T f T x T x T f T T T T p n Var p p n E B S f Y Var π π + − =

152.1 152.1 119.0 119.0 93.2 103.4 132.3 132.3 103.5 108.9 81.0 100.9 115.0 117.9 90.0 103.0 100.0 108.2 174.9 174.9 136.9 136.9 107.1 107.1 83.8 103.0 65.6 103.0 101.5 72.9 a -0.1 b 0.15 r 0.015 * p 0.46 p 0.50

dan dengan menggunakan model CRR, didapatkan perkembangan harga saham dan proses harga no-arbitrage (risk neutral

valuation) (Gambar 2). Perkembangan harga

saham (atas) menggunakan persamaan yang telah didefinisikan sebelumnya yaitu

1 ) 1 ( + − = _{t t} t S S ρ

Pada waktu k = 1, harga saham mengalami kenaikan menjadi 0 . 115 100 ) 15 . 0 1 ( ) 1 ( + ₁ = + = = k− u b S S

dan akan turun menjadi

90 100 ) 1 . 0 1 ( ) 1 ( + 1 = − = = _k− d a S S

Dengan meneruskan perhitungan diatas, akan didapatkan pohon binomial untuk perkembangan harga saham (gambar 2). Sedangkan proses harga no-arbitrage

menggunakan prinsip pada persamaan (1) dengan mengganti harga opsi dengan max(f(ST), K). Prinsip dalam perhitungan harga no-arbitrage adalah menghitung dari belakang dengan menggunakan pohon

Gambar 2. Pohon Binomial untuk perkembangan harga saham (atas) dan proses harga no-arbitrage untuk kontrak (bawah).

Gambar 3. Hedge untuk f(S_T)=max(S_T,K) (atas) dan strategi hedging minimisasi risiko untuk kontrak endowmen murni H untuk kasus satu orang pemegang polis yang bertahan hidup, dimana μ =1(bawah).

1.000 0.607 0.605 0.367 0.092 0.056 0.811 0.383 0.359 0.170 0.595 0.219 0.779 1.000 1.000 0.779 0.176 0.137 0.000 0.000

binomial yang telah dibentuk sebelumnya

(working backward through the tree). Untuk

k = 0, harga no-arbitrage didapatkan dari

* * 1 1 1 1 0 0 (1 ) (1 ) (0.46)117.9 (0.54)103.0 _108.2 (1 0.015) f f f p B p B B r π π π = + − + + = = +

Untuk mencari strategi hedging bagi opsi beli, gunakan proses harga no-arbitrage yang telah dihitung sebelumnya. Misalkan ϕ0(1) sebagai banyaknya aset bebas risiko pada waktu k=0

dan ϕ1(1) sebagai banyaknya saham yang dimiliki pada waktu k=0 dan dengan menggunakan proses harga

) 1 ( ) 1 ( ) (ϕ ϕ1 t tϕ0 t S B V = + sebelum didiskon,

akan didapatkan proses harga 9 . 117 ) 1 ( 015 . 1 ) 1 ( 115ϕ1 + ϕ0 = 0 . 103 ) 1 ( 015 . 1 ) 1 ( 90ϕ1 + ϕ0 =

Penyelesaian persamaan diatas, akan menghasilkan ϕ1=0.595 dan ϕ0= −48.72.

Dengan melanjutkan proses tersebut, akan dihasilkan proses hedging f ₁(t)

t ϕ α = untuk ) , max( ) (S S K f T = T (Gambar 3).

Berdasarkan persamaan (26) dan (27) maka akan didapatkan proses hedging untuk living

benefit. Untuk satu orang pemegang polis

akan didapatkan f x T (11)p (11) 1 1 α ξ = _{− − + − =e}−1(0.595)₌0.219

yaitu pada waktu k = 0 portofolio mengandung 0.219 saham dan

9 . 17 100 ) 219 . 0 ( ) 2 . 108 ( 1 * 1 1 * 0 0 = − = − =_{V ξ S e}− η

memiliki nilai pada tabungan sebesar 17.9. Pada waktu k=1 nilai tersebut akan berubah sesuai dengan nilai saham dan bergantung pada kemungkinan pemegang polis tetap hidup pada waktu tersebut. Jika pemegang polis tidak dapat bertahan sampai dengan k=1, maka ξ2 =0 dan η1=0. Jika ia tetap hidup pada waktu k=1, dan nilai saham meningkat (menjadi 115.0), maka ξ2 =0.383 dan 3/ 4

1 e 117.9 0.383 115.0 11.6 μ

η ₌ − _{− ⋅ = Cara}

yang sama dilakukan untuk mendapatkan proses hedge selanjutnya.

Dalam kasus kontrak seperti ini, persamaan (28) dan (29) dapat disederhanakan menjadi * * 2 1 2 [ ( )] ( [( ) ] (1 )) T _f T k k T t k t t Var C n E e μ μ eμ ϕ π = − Δ + Δ − Δ = ∑ − (30) dan, dengan H =YTf(ST)/BT, * * 2 * 2 2 [ ] [( ) ] (1 ) [ ] f T t T t T f T t T Var H E ne e Var n e μ μ μ π π − Δ − Δ − Δ = − + (31) Untuk menghitung *_{[ ( )]} T Var C ϕ digunakan harga no-arbitrage yang telah didiskon. Dengan menggunakan prinsip untuk mencari persamaan (3) sebelumnya dan dengan mengganti payoff opsi dengan harga no-arbitrage akan didapatkan harga no-arbitrage

yang telah didiskon pada waktu T = 1, 2, 3 dan 4 sebagai berikut:

Pada waktu T = 1: ] ) 1 ( [ ) 4 / 1 ( d u r _{pf p f} e f = − + − ₍₃₂₎ Pada waktu T = 2: ] ) 1 ( ) 1 ( 2 [ 2 2 2 2 ) 4 / 1 ( 2 d ud u r f p f p p f p e f − + − + = − (33) Pada waktu T = 3: ] ) 1 ( ) 1 ( 3 ) 1 ( 3 [ 3 3 2 2 3 3 ) 4 / 1 ( 2 2 2 d ud d u u r f p f p p f p p f p e f − + − + − + = − (34) Pada waktu T = 4: ] ) 1 ( ) 1 ( 4 ) 1 ( 6 ) 1 ( 4 [ 4 3 3 2 2 3 4 4 ) 4 / 1 ( 4 3 2 2 3 d ud d u d u u r f p f p p f p p f p p f p e f − + − + − + − + = − (35) Karena harga saham merupakan martingale, maka: f k f k E[π ₊₁| ]=π

Sehingga pada waktu T = 4 akan digunakan harga no-arbitrage pada waktu T = 3. Berikut merupakan hasil perhitungan *_{[ ( )]}

T

Var C ϕ

untuk beberapa nilai hazard yang berbeda dan dengan jumlah pemegang opsi yang berbeda:

Tabel 1. Hasil perhitungan *_{[ ( )]} T Var C ϕ n 0.1 1.02E+03 0.5 2.84E+03 1 1 2.78E+03 0.1 1.02E+04 0.5 2.84E+04 10 1 2.78E+04 0.1 1.02E+05 0.5 2.84E+05 100 1 2.78E+05

Tabel berikut memperlihatkan hasil perhitungan _{Var H}*_{[ ].}

μ *[ (_ϕ)] T

C Var

Tabel 2. Hasil perhitungan Var H*[ ] n

μ

_{Var H}*_{[ ]} 0,1 1,05E+03 0,5 2,90E+03 1 1 2,83E+03 0,1 1,06E+04 0,5 2,91E+04 10 1 2,83E+04 0,1 1,18E+05 0,5 2,96E+05 100 1 2,85E+05 Tabel 3. Rasio antara *_{[ ( )]}

T

Var C ϕ dan

Var H

*

[ ]

n μ Var C*[ T( )]ϕ *_{[ ]} Var H Rasio 0,1 1,02E+03 1,05E+03 0,973 0,5 2,84E+03 2,90E+03 0,978 1 1 2,78E+03 2,83E+03 0,983 0,1 1,02E+04 1,06E+04 0,962 0,5 2,84E+04 2,91E+04 0,977 10 1 2,78E+04 2,83E+04 0,982 0,1 1,02E+05 1,18E+05 0,862 0,5 2,84E+05 2,96E+05 0,958 100 1 2,78E+05 2,85E+05 0,975 Dapat terlihat dari tabel 3 diatas bahwa

rasio dari *

[ T( )]

Var C ϕ dan *

[ ] Var H bergantung pada jumlah pemegang polis dan nilai hazard (μ). Jika jumlah pemegang polis bertambah maka rasio akan berkurang, dan sebaliknya jika nilai hazard bertambah maka rasio juga akan bertambah. Ketergantungan terhadap μ dapat diinterpretasikan menjadi, jika μ meningkat, ketidakpastian terhadap

angka pemegang polis yang dapat bertahan hidup bertambah besar dibandingkan dengan ketidakpastian finansial. Sama halnya dengan pada saat jumlah pemegang polis (n) meningkat, bagian yang muncul dalam

*_{[ ]}

Var H yang proporsional terhadap n2 menjadi lebih dominan, oleh karena itu rasio menurun.

KESIMPULAN

Selain melakukan pendekatan finansial, perusahaan asuransi juga melakukan pendekatan fisik untuk mengurangi risiko yang ada, yaitu dengan mencari harga optimal dari kontrak yang diterbitkan. Terdapat tiga strategi yang biasa digunakan dalam mencari harga dari suatu kontrak asuransi jiwa yang terkait dengan ekuitas, dalam hal ini saham, yaitu superreplikasi, pendekatan Brennan-Schwartz dan minimisasi risiko. Dari ketiga strategi tersebut, strategi superreplikasi dan pendekatan Brennan-Schwartz bukanlah

strategi yang tepat untuk digunakan karena harga yang terbentuk terlalu tinggi, selain itu proses dalam pencarian harga tersebut dapat terbilang rumit. Strategi hedging yang dapat memberikan harga optimal bagi kontrak tersebut adalah strategi hedging minimisasi risiko.

Strategi minimisasi risiko memberikan dua proses nilai, yaitu nilai yang terkait dengan pasar finansial yang merupakan perkalian dari proses hedging yang telah dilakukan dengan nilai harapan bersyarat dari orang yang