Logika Matematika
Tautologi dan Ekuivalen Logis
(#4)
AMIK-STMIK Jayanusa ©2009
Mengevaluasi Validitas Argumen
• Sebelum mengevaluasi validitas suatu argumen maka terlebih dahulu harus membentuk pernyataan-pernyataan menjadi ekspresi logika.
Contoh 4.1
Jika Anda mengambil mata kuliah logika matematika, dan jika anda tidak memahami tautologi maka Anda tidak lulus.
• Untuk membuktikan validitasnya, berilah variabel proposisional yang relevan, misal:
A = Anda mengambil mata kuliah logika matematika B = Anda memahami tautologi
Mengevaluasi Validitas Argumen
• Dengan demikian bentuk ekspresi logikanya berupa proposisi majemuk seperti berikut:
• Tabel Kebenaran dari ekspresi logika di atas adalah
A
B
C
A B C B C A B (A B) → ¬C F F F T T F T F F T T F F T F T F F T F T F T T F F F T T F F T T T T T F T T F T F T T F F T F T
Mengevaluasi Validitas Argumen
• Tabel kebenaran dari ekspresi yang terdiri atas n variabel akan mempunyai 2n baris.
Contoh 4.2
Barang-barang yang dibeli di toko ini dapat dikembalikan, hanya jika berada dalam kondisi yang baik, dan hanya jika pembeli membawa bukti pembeliannya.
Mengubah menjadi variabel proposisional: A = Barang-barang dapat dikembalikan B = Barang-barang dalam kondisi baik
C = Pembeli membawa bukti pembeliannya Jadi, ekspresi logikanya adalah:
A →(BΛC)
Mengevaluasi Validitas Argumen
• Sebagai bantuan, kita dapat menggunakan cara heuristik (heuristic) berikut:
1. Ambil pernyataan-pernyataan yang pendek, tanpa kata “dan”, “atau”, “jika…maka…”, “…jika dan hanya jika…”, pada pernyataan tersebut yang bisa dijawab benar atau salah.
2. Ubahlah pernyataan-pernyataan yang pendek tersebut dengan variabel-variabel proposisional.
3. Rangkailah variabel-variabel proposisional dengan perangkai yang relevan.
4. Bentuklah menjadi proposisi majemuk jika memungkinkan dengan memberi tanda kurung biasa yang tepat.
Mengevaluasi Validitas Argumen
Contoh 4.3
Jika Badu belajar rajin dan sehat, maka Badu lulus ujian, atau jika Badu tidak belajar rajin dan tidak sehat, maka Badu tidak lulus ujian
Langkah 1
Menentukan proposisi-proposisi yang tepat (1) Badu belajar rajin
(2) Badu sehat
(3) Badu lulus ujian Langkah 2
Mengganti proposisi dengan variabel proposisi A = Badu belajar rajin
B = Badu sehat
Mengevaluasi Validitas Argumen
Langkah 3
Perangkai yang relevan adalah implikasi (→), negasi (¬), dan (Λ), dan terakhir atau (V).
Langkah 4
Ubah menjadi ekspresi logika berupa proposisi majemuk: ((A Λ B) → C) V ((¬A Λ ¬B)→¬C)
• Untuk suatu argumen yang terdiri dari banyak pernyataan – pernyataan yang diikuti satu pernyataan berupa kesimpulan, maka validitasnya ditentukan dari hasil Tabel Kebenaran yang menyimpulkan bahwa premis-premis dari argumen harus benar sehingga kesimpulan yang diambil dari premis-premis tersebut harus benar.
Tautologi
• Argumen yang dibuktikan validitasnya dengan Tabel Kebenaran harus menunjukkan nilai benar. Jika hasil benar, maka argumen valid, jika tidak maka sebaliknya. Jika pada Tabel Kebenaran untuk semua pasangan nilai variabel-variabel proposisional yang ada bernilai benar atau T maka disebut tautologi.
Contoh 4.4
(AΛB)→(CV(¬B→¬C))
Tautologi
• Jadi, ekspresi logika di atas adalah tautologi karena pada tabel kebenaran semua pasangan menghasilkan nilai T. A B C ¬B ¬C AΛB ¬B→¬C C V (¬B→¬C) (AΛB) →(C V (¬B→¬C)) F F F T T F T T T F F T T F F F T T F T F F T F T T T F T T F F F T T T T F F T T F T T T T F T T F F F T T T T F F T T T T T T T T F F T T T T
Tautologi
Contoh 4.5
1. Apakah (A V ¬A) adalah tautologi?
• Jadi (A V ¬A) adalah tautologi, dan disebut dengan nama excluded middle law.
1. Apakah ¬(AΛB)VB adalah tautologi?
Tautologi dan Ekuivalen Logis 10
A ¬A A V ¬A
F T T
T F T
A B AΛB ¬(AΛB) ¬(AΛB)VB F F F T T
F T F T T T F F T T T T T F T
Tautologi
• Tautologi juga dapat ditulis dengan simbol Ŧ (suatu
metasymbol, bukan perangkai logika) sehingga pada ekspresi logika di atas akan ditulis:
Ŧ ¬(AΛB)VB Contoh 4.6
• Jika Tono pergi kuliah, maka Tini juga pergi kuliah. Jika Siska tidur, maka Tini pergi kuliah. Dengan demikian, jika Tono pergi kuliah atau Siska tidur, mak Tini pergi kuliah. Diubah ke variabel proposisional:
A = Tono pergi kuliah B = Tini pergi kuliah C = Siska tidur
Tautologi
• Diubah menjadi ekspresi logika yang terdiri dari premis-premis dan kesimpulan. Ekspresi logika 1 dan 2 adalah premis-premis, sedangkan ekspresi logika 3 adalah kesimpulan.
(1) A → B (premis) (2) C → B (premis)
(3) (AVC) → B (kesimpulan) Selanjutnya dapat ditulis berikut
((A→B)Λ(C→B))→((AVC)→B) atau
Tautologi
• Tabel Kebenaran dari ekspresi logika tersebut:
• Jika tabel kebenaran menunjukkan hasil tautologi, maka argumen tersebut valid. Dalam logika, tautologi dapat ditulis T atau 1 saja. Jadi, jika A adalah tautologi, maka A = T atau A = 1.
A B C A→B C→B (A→B)Λ(C→B) A V C (A V C) → B ((A→B)Λ(C→B))→((AVC)→B)
F F F T T T F T T F F T T F F T F T F T F T T T F T T F T T T T T T T T T F F F T F T F T T F T F F F T F T T T F T T T T T T T T T T T T T T T
Kontradiksi
Definisi: Suatu ekspresi logika yang selalu bernilai salah di dalam tabel kebenarannya, tanpa memedulikan nilai kebenaran dari proposisi-proposisi yang berada di dalamnya, disebut kontradiksi.
Contoh 4.7
1. A Λ ¬A, tabel kebenarannya adalah:
A ¬A A Λ ¬A
F T F
Kontradiksi
2. ((AVB)Λ¬A)Λ¬B
Tabel kebenaran dari ekspresi ini adalah:
• Kontradiksi dapat ditulis F atau 0 saja. Oleh karena itu, jika A adalah kontradiksi, maka A = F atau A = 0.
A B ¬A ¬B AVB (AVB)Λ¬A ((AVB)Λ¬A)Λ¬B F F T T F F F
F T T F T T F T F F T T F F T T F F T F F
Contingent
Definisi
Suatu ekspresi logika yang mempunyai nilai benar dan salah di dalam tabel kebenarannya, tanpa memedulikan nilai kebenaran dari proposisi-proposisi yang berada di dalamnya, disebut
contingent.
Contoh 4.7
((A→B)Λ(¬B→C))→(¬C→A)
Contingent
• Argumen tetap dianggap tidak valid karena bukan tautologi
A B C ¬B ¬C A→B ¬B →C ¬C →A (A→B)Λ(¬B →C) (A→B)Λ(¬B →C) →¬C→A
F F F T T T F F F T F F T T F T T T T T F T F F T T T F T F F T T F F T T T T T T F F T T F F T F T T F T T F F T T F T T T F F T T T T T T T T T F F T T T T T
Pemanfaatan Tautologi
• Ada beberapa hal penting yang diakibatkan oleh tautologi, yakni:
1. Implikasi secara logis. Misalnya, A dan B adalah dua buah ekspresi logika, maka jika dikatakan A secara logis mengimplementasikan B dapat ditulis dengan 2. Ekuivalen secara logis. Misalnya, A dan B adalah dua
buah ekspresi logika, maka jika dikatakan A ekuivalen secara logis dengan B, dapat ditulis dengan .
Di sini disyaratkan , jika dan hanya jika A↔B adalah tautologi.
B
A
B
A
B
A
Pemanfaatan Tautologi
• Perlu diingatkan bahwa ada dua jenis implikasi, yaitu: 1. Implikasi material, contoh A → B. Di sini berlaku
aturan tabel kebenaran untuk implikasi.
2. Implikasi logis, contoh . Di sini secara mudah dapat dibaca “menyebabkan”. Sebagai contoh jika A = T, maka A pasti tautologi; jika A = F, maka A pasti kontradiksi. Jika , maka A pasti tautologi; dan jika , maka A pasti kontradiksi.
B
A
A
T
A
F
Ekuivalen Logis
Definisi. Proposisi A dan B disebut ekuivalen secara logis jika A ↔ B adalah tautologi. Notasi atau simbol A Ξ B menandakan bahwa A dan B adalah ekuivalen secara logis. Proposisi dapat diganti dengan ekspresi logika berupa proposisi majemuk.
• Tabel kebenaran merupakan alat untuk membuktikan kebenaran ekuivalen secara logis. Kesimpulan diambil berdasarkan hasil dari tabel kebenaran tersebut.
Contoh 4.8
(1) Dewi sangat cantik dan peramah (2) Dewi peramah dan sangat cantik
Ekuivalen Logis
Kedua pernyataan di atas, tanpa dipikir panjang, akan dikatakan ekuivalen atau sama saja. Bentuk ekspresi logikanya:
A = Dewi sangat cantik. B = Dewi peramah
Maka ekspresi logika tersebut adalah: (1) A Λ B
(2) B Λ A
Ekuivalen Logis
Contoh 4.9
(1) Badu tidak pandai, atau dia tidak jujur.
(2) Adalah tidak benar jika Badu pandai dan jujur. Kita berikan variabel proposisional berikut:
A = Badu pandai B = Badu jujur
Kedua pernyataan tersebut menjadi (1) ¬A V ¬B (2) ¬(A Λ B)) A B A Λ B B Λ A (A Λ B) ↔ (B Λ A) F F F F T F T F F T T F F F T T T T T T
Ekuivalen Logis
Tabel kebenaran dari ekspresi logika di atas adalah
• Karena (¬AV¬B) ↔ ¬(AΛB) adalah Tautologi maka (¬AV¬B) Ξ ¬(AΛB)
Hukum-hukum Logika Proposisional
A B ¬A ¬B A Λ B ¬AV¬B ¬(AΛB) (¬AV¬B) ↔ ¬(AΛB) F F T T F T T T
F T T F F T T T T F F T F T T T T T F F T F F T
Ekuivalen Logis Nama
A Λ 1 Ξ A Hukum Identitas Λ A V 0 Ξ A Hukum identitas V A V 1 Ξ 1 Hukum Dominasi V
Ekuivalen Logis
Ekuivalen Logis Nama A V ¬A Ξ 1 Tautologi
A Λ ¬A Ξ 0 Hukum Kontradiksi A V A Ξ A Hukum Idempoten A Λ A Ξ A Hukum Dominasi Λ
¬¬A Ξ A Hukum Negasi Ganda A Λ B Ξ B Λ A Hukum Komutatif A V B Ξ B V A Hukum Komutatif (A Λ B) Λ C Ξ A Λ (B Λ C) Hukum Asosiatif (A V B) V C Ξ A V (B V C) Hukum Asosiatif A Λ (B V C) Ξ (AΛB)V(AΛC) Hukum Distributif
Ekuivalen Logis
Ekuivalen Logis Nama A Λ (A V B) Ξ A Absorpsi A V (A Λ B) Ξ A Absorpsi A Λ (¬A V B) Ξ A Λ B Absorpsi A V (¬A Λ B) Ξ A V B Absorpsi
¬(A Λ B) Ξ ¬A V ¬B Hukum De Morgan ¬(A V B) Ξ ¬A Λ ¬B Hukum De Morgan (A Λ B) V (A Λ ¬B) Ξ A
A → B Ξ ¬A V B A → B Ξ ¬(A Λ ¬B) A ↔ B Ξ (AΛB)V(¬AΛ¬B) A ↔ B Ξ (A → B)Λ(B→A)
Ekuivalen Logis
Ekuivalen Logis Nama (A Λ B) V (A Λ ¬B) Ξ A
(A V B) Λ (A V ¬B) Ξ A (A Λ B) V (¬A Λ B) Ξ B (A V B) Λ (¬A V B) Ξ B
Latihan Bab 4
1. Tentukan apakah dari ekspresi-ekspresi logika berikut ini termasuk tautologi, kontradiksi, atau contingent: a. A → (B→A) b. (B→A)→A c. ¬¬A→A d.(¬A→¬B)→(B→A) e. (A→(B→C)→(A→B)→(A→C)) f. (AΛ(A→B))→B g. ((A→B)↔(¬AVB)) h. ((A→B)Λ(B→C))→(A→C) i. ((A↔B)↔(AΛB)V(¬AΛ¬B))
Latihan Bab 4
j. (BΛ(A→B)→A)
k. ¬(AV(BΛC))↔((AVB)Λ(AVC)) l. (¬A→¬B)Λ(¬¬A→¬B)→B
2. Buktikan hukum-hukum logika yaitu: a. Silogisme Hipotesis
b. Silogisme Disjungtif c. Modus Ponens
d. Modus Tollens
3. Perhatikan dengan seksama argumen (disebut destructive
dilemma) berikut ini. Apakah argumen tersebut valid atau
tidak:
Jika Badu senang, maka Siti senang, dan jika Badu sedih, maka Siti sedih. Siti tidak senang atau tidak sedih.
Dengan demikian, Badu tidak senang atau Badu tidak
Latihan Bab 4
4. Buktikan bahwa ekspresi-ekspresi logika berikut ini ekuivalen dengan menggunakan tabel kebenaran: a. ¬A↔B Ξ (¬AVB) Λ (¬BVA)
b. A→(¬A→B) Ξ 1 c. (AV¬B)→C Ξ (¬AΛB)VC d. A→(B→C) Ξ (A→B)→C e. A→B Ξ ¬(AΛ¬B) f. ¬(¬(AΛB)) Ξ 0 g. ((AΛ(B→C)Λ(A→(B→¬C)))→A )Ξ 1
