Metode eliminasi Gauss-Jordan untuk sistem persamaan linier

(1)

aa1111 aa1212 aa1313 xx11 bb11 aa2121 aa2222 aa2323 xx22 = = bb22 aa3131 aa3232 aa3333 xx33 bb33

atau dapat ditulis secara disingkat sebagai

atau dapat ditulis secara disingkat sebagai berikut:berikut:

aa1111 aa1212 aa1313 bb11 aa2121 aa2222 aa2323 bb22 aa3131 aa3232 aa3333 bb33

•

• Metode eliminasi Gauss-Jordan bertujuan untuk mengubah matriks A menjadiMetode eliminasi Gauss-Jordan bertujuan untuk mengubah matriks A menjadi matriks diagonal, di mana semua elemen pada diagonal matriks bernilai 1, matriks diagonal, di mana semua elemen pada diagonal matriks bernilai 1, sedangkan elemen lainnya semuanya bernilai nol, sehingga bentuk ma

sedangkan elemen lainnya semuanya bernilai nol, sehingga bentuk ma triksnyatriksnya adalah seperti berikut:

adalah seperti berikut: •

• Metode eliminasi Gauss bertujuan untuk mengubah matriks A Metode eliminasi Gauss bertujuan untuk mengubah matriks A menjadi matriksmenjadi matriks segitiga atas, yaitu berbentuk:

segitiga atas, yaitu berbentuk:

1 0 0 b 1 0 0 b11 0 1 0 b 0 1 0 b22 0 0 1 b 0 0 1 b33

(2)

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions!

Start Free Trial

Cancel Anytime.

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions!

Start Free Trial

(3)

•

• Metode eliminasi Gauss-Jordan dilakukan dgn cara:Metode eliminasi Gauss-Jordan dilakukan dgn cara:



 Tahap 1a. Bagilah semua elemen di baris 1 dengan aTahap 1a. Bagilah semua elemen di baris 1 dengan a1111..



 R1R1barubaru= R1/a= R1/a1111



 Tahap 1b. Eliminasi (nol-kan) nilai aTahap 1b. Eliminasi (nol-kan) nilai a2121,a,a3131dengan cara:dengan cara:



 R2R2barubaru= R2 – (a= R2 – (a2121 /a /a1111).R1).R1



















Catatan: Catatan:



 R1 berarti setiap elemen pada baris ke-1, yaitu:R1 berarti setiap elemen pada baris ke-1, yaitu: -- aa1111, a, a1212, a, a1313, b, b11





 Sampai pada tahap ini Sampai pada tahap ini matriks akan berbentuk seperti berikut:matriks akan berbentuk seperti berikut:

1 0 0 b 1 0 0 b11 0 1 0 b 0 1 0 b22 0 0 1 b 0 0 1 b33 

 Matriks di atas jika Matriks di atas jika dinyatakan dalam bentuk persamaan linier adalah:dinyatakan dalam bentuk persamaan linier adalah: 1.x 1.x11 + 0.x+ 0.x22 + 0.x+ 0.x33 = b= b11 0.x 0.x11 + 1.x+ 1.x22 + 0.x+ 0.x33 = b= b22 0.x 0.x11+ 0.x+ 0.x22 + 1.x+ 1.x33 = b= b33 atau atau x x = b= b

(4)

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions!

Start Free Trial

(5)

METODE ELIMINASI GAUSS-JORDAN METODE ELIMINASI GAUSS-JORDAN

(untuk sistem linier dengan 4 variabel) (untuk sistem linier dengan 4 variabel)

•

• Penjelasan step-by-step metode eliminasi Gauss-Jordan untuk sistemPenjelasan step-by-step metode eliminasi Gauss-Jordan untuk sistem

persamaan linier dengan 4 variabel persamaan linier dengan 4 variabel

•

• Jika diketahui sistem persamaan linier:Jika diketahui sistem persamaan linier:

aa1111xx11+ aa+ 1212 xx22 + + aa1313xx33+ + aa1414xx44 = b= b11 aa2121xx11+ aa+ 2222 xx22 + + aa2323xx33+ + aa2424xx44 = b= b22 aa3131xx11+ aa+ 3232xx22 + + aa3333xx33+ + aa3434xx44= b= b33 aa4141xx11+ aa+ 4242xx22 + + aa4343xx33+ + aa4444xx44= b= b44 maka dapat dituliskan sebagai perkalian matriks

maka dapat dituliskan sebagai perkalian matriks Ax = b Ax = b_{yang berbentuk:}_{yang berbentuk:}

aa1111 aa1212 aa1313 aa1414 xx11 bb11 aa2121 aa2222 aa2323 aa2424 xx22 = = bb22 aa3131 aa3232 aa3333 aa3434 xx33 bb33 aa4141 aa4242 aa4343 aa4444 xx44 bb44

atau dapat ditulis secara disingkat sebagai

atau dapat ditulis secara disingkat sebagai berikut:berikut:

aa1111 aa1212 aa1313 aa1414 bb11 aa2121 aa2222 aa2323 aa2424 bb22 aa3131 aa3232 aa3333 aa3434 bb33 aa4141 aa4242 aa4343 aa4444 bb44

•

• Metode eliminasi Gauss-Jordan bertujuan untuk mengubah matriks A menjadiMetode eliminasi Gauss-Jordan bertujuan untuk mengubah matriks A menjadi

matriks diagonal, di mana semua elemen pada diagonal matriks bernilai 1, matriks diagonal, di mana semua elemen pada diagonal matriks bernilai 1, sedangkan elemen lainnya semuanya bernilai nol, sehingga bentuk ma

sedangkan elemen lainnya semuanya bernilai nol, sehingga bentuk ma triksnyatriksnya adalah seperti berikut:

adalah seperti berikut:

1 0 0 0 b 1 0 0 0 b11 0 1 0 0 b 0 1 0 0 b22 0 0 1 0 b 0 0 1 0 b33 0 0 0 1 b 0 0 0 1 b44

(6)

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions!

Start Free Trial

(7)

•

• Metode eliminasi Gauss-Jordan dilakukan dgn cara:Metode eliminasi Gauss-Jordan dilakukan dgn cara:



 Tahap 1a. Bagilah semua elemen di baris 1 dengan aTahap 1a. Bagilah semua elemen di baris 1 dengan a1111.. 

 R1R1barubaru= R1/a= R1/a1111 

 Tahap 1b. Eliminasi (nol-kan) nilai aTahap 1b. Eliminasi (nol-kan) nilai a2121,a,a3131, a, a4141dengan cara:dengan cara: 

 R2R2barubaru= R2 – (a= R2 – (a2121 /a /a1111).R1).R1 

 R4R4barubaru= R4 – (a= R4 – (a4141 /a /a1111).R1).R1 

 Tahap 2b. Eliminasi (nol-kan) nilai aTahap 2b. Eliminasi (nol-kan) nilai a1212,a,a3232,a,a4242dengan cara:dengan cara: 

 R3R3barubaru= R3 – (a= R3 – (a3434 /a /a4444).R4).R4 Catatan:

Catatan: 

 R1 berarti setiap elemen pada baris ke-1, yaitu:R1 berarti setiap elemen pada baris ke-1, yaitu: -- aa1111, a, a1212, a, a1313, a, a1414, b, b11





 Sampai pada tahap ini Sampai pada tahap ini matriks akan berbentuk seperti berikut:matriks akan berbentuk seperti berikut:

1 0 0 0 b

(8)

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions!

Start Free Trial

(9)



 Matriks di atas jika Matriks di atas jika dinyatakan dalam bentuk persamaan linier adalah:dinyatakan dalam bentuk persamaan linier adalah: 1.x 1.x11 + 0.x+ 0.x22 + 0.x+ 0.x33+ 0.x+ 0.x44= b= b11 0.x 0.x11 + 1.x+ 1.x22 + 0.x+ 0.x33+ 0.x+ 0.x44= b= b22 0.x 0.x11+ 0.x+ 0.x22 + 1.x+ 1.x33+ 0.x+ 0.x44= b= b33 0.x 0.x11+ 0.x+ 0.x22 + 0.x+ 0.x33+ 1.x+ 1.x44= b= b44 atau atau x x11= b= b11 x x22= b= b22 x x33= b= b33 x x44= b= b44 

(10)

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions!

Start Free Trial

(11)

CONTOH PERHITUNGAN METODE ELIMINASI GAUSS-JORDAN: CONTOH PERHITUNGAN METODE ELIMINASI GAUSS-JORDAN:

Diketahui sistem persamaan linier berikut: Diketahui sistem persamaan linier berikut:

x x11 + 2x+ 2x22+ 3x+ 3x33+ 4x+ 4x44= 9= 9 2x 2x11+ 3x+ 3x22+ 4x+ 4x33+ x+ x44= 3= 3 3x 3x11+ 4x+ 4x22+ x+ x33+ 2x+ 2x44= 9= 9 4x 4x11+ x+ x22+ 2x+ 2x33+ 3x+ 3x44= -1= -1

Maka dapat dituliskan sebagai berikut: Maka dapat dituliskan sebagai berikut:

1 2 3 4 9 1 2 3 4 9 2 3 4 1 3 2 3 4 1 3 3 4 1 2 9 3 4 1 2 9 4 1 2 3 -1 4 1 2 3 -1 • • Tahap 1Tahap 1 

  R1R1barubaru= R1/1= R1/1 Menghasilkan matriks: Menghasilkan matriks: 1 2 3 4 9 1 2 3 4 9 2 3 4 1 3 2 3 4 1 3 3 4 1 2 9 3 4 1 2 9 4 1 2 3 -1 4 1 2 3 -1 

 Tahap 1b. Eliminasi (nol-kan) nilai aTahap 1b. Eliminasi (nol-kan) nilai a2121,a,a3131, a, a4141dengan cara:dengan cara:



 R2R2barubaru= R2 – (a= R2 – (a2121 /a /a1111).R1, maka R2).R1, maka R2barubaru= R2 – (2/1).R1= R2 – (2/1).R1



Menghasilkan matriks: Menghasilkan matriks: 1 2 3 4 9 1 2 3 4 9 0 0 -1 -1 -2 -2 -7 -7 -15-15 0 0 -2 -2 -8 -8 -10 -10 -18-18 0 0 -7 -7 -10 -10 -13 -13 -37-37 



 R2R2barubaru= R2/(-1)= R2/(-1)

Menghasilkan matriks: Menghasilkan matriks:

(12)

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions!

Start Free Trial

(13)

Start Free Trial

Cancel Anytime.



 R1R1barubaru= R1 – (a= R1 – (a1212 /a /a2222).R2, maka R1).R2, maka R1barubaru= R1 – (2/1).R2= R1 – (2/1).R2 

 R3R3barubaru= R3 – (a= R3 – (a3232 /a /a2222).R2, maka R3).R2, maka R3barubaru= R3 – (-2/1).R2= R3 – (-2/1).R2 

 R4R4barubaru= R4 – (a= R4 – (a4242 /a /a2222).R2, maka R4).R2, maka R4barubaru= R4 – (-7/1).R2= R4 – (-7/1).R2 Menghasilkan matriks: Menghasilkan matriks: 1 1 0 0 -1 -1 -10 -10 -21-21 0 1 2 7 15 0 1 2 7 15 0 0 0 0 -4 -4 4 4 1212 0 0 0 0 4 4 36 36 6868 

 Tahap 3a. Bagilah semua elemen di baris 3 dengan aTahap 3a. Bagilah semua elemen di baris 3 dengan a3333..   R3 = R3/(-4)R3 = R3/(-4) Menghasilkan matriks: Menghasilkan matriks: 1 1 0 0 -1 -1 -10 -10 -21-21 0 1 2 7 15 0 1 2 7 15 0 0 0 0 1 1 -1 -1 -3-3 0 0 0 0 4 4 36 36 6868 

 R4R4barubaru= R4 – (a= R4 – (a4343 /a /a3333).R3, maka R4).R3, maka R4barubaru= R4 – (4/1).R3= R4 – (4/1).R3 Menghasilkan matriks: Menghasilkan matriks: 1 1 0 0 0 0 -11 -11 -24-24 0 1 0 9 21 0 1 0 9 21

(14)

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions!

Start Free Trial

Cancel Anytime.

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions!

Start Free Trial

Cancel Anytime.



 R3R3barubaru= R3 – (a= R3 – (a3434 /a /a4444).R4, maka R3).R4, maka R3barubaru= R3 – (-1/1).R4= R3 – (-1/1).R4

Menghasilkan matriks: Menghasilkan matriks: 1 0 0 0 -2 1 0 0 0 -2 0 1 0 0 3 0 1 0 0 3 0 0 1 0 -1 0 0 1 0 -1 0 0 0 1 2 0 0 0 1 2 

 Maka solusinya adalah:Maka solusinya adalah: x x11= -2= -2 x x22= 3= 3 x x33= -1= -1 x x44= 2= 2