KULIAH SEMESTER VIII PRODI GEOMATIKA INSTITUT TEKNOLOGI SUMATERA

KULIAH SEMESTER VIII

PRODI GEOMATIKA

INSTITUT TEKNOLOGI SUMATERA

JADI PETA TEMATIK MENGACU PADA SATU ACUAN

DENGAN PETA RUPA BUMI

GEODESI:

TUJUAN ILMIAH: MENENTUKAN BENTUK DAN BESAR BUMI,

MENGKAJI FENOMENA GEODINAMIKA,

SEPERTI ROTASI BUMI, GERAKAN KERAK

BUMI, PASANG SURUT BUMI.

APLIKASI PRAKTIS:

(1) MENENTUKAN POSISI GEODETIK

DARI JARINGAN KONTROL UNTUK

(2) PEMBUATAN PETA RUPA BUMI YANG

MERUPAKAN PETA DASAR UNTUK

BERBAGAI PETA TEMATIK

w

2. BENTUK DAN BESAR BUMI

2.1. MODEL BUMI

BOLA BUMI

MODEL GEODETIK

Homogin dan benda tak berputar w ELLIPSOID BUMI Homogin dan benda berputar MODEL SEDERHANA MODEL ALAMI GEOID Tak homogin dan benda berputar

Dalam Medan Gayaberat Bumi, dikaji perbedaan model bumi geodetik

Terhadap model bumi alami berdasarkan data gayaberat

2.1. PERBANDINGAN MODEL GEODETIK DENGAN MODEL

ALAMI

MODEL GEODETIK _w ELLIPSOID BUMI Homogin dan benda berputar w MODEL ALAMI GEOID Tak homogin dan benda berputar

Dalam Medan Gayaberat Bumi,

Dikaji perbedaan model bumi

geodetik terhadap model bumi

alami berdasarkan data gayaberat

Model bumi geodetik absolut

yang disebut juga bumi normal,

jika:

•

Pusat dan sumbu putar model geodetik berhimpit dengan pusat dan

sumbu putar bumi alami

•

Kecepatan rotasi kedua model juga sama

MODEL BUMI NORMAL ADALAH MODEL BUMI GEODETIK YANG

MENGGANTI MODEL BUMI ALAMI SECARA FISIS DAN GEOMETRIS

CONTOH: WORLD GEODETIC SYSTEM 1984 (WGS1984) YANG UKURAN

GEOMETRISNYA:

a

= 6378 137 meter;

f

= 0.00335281066474

ADALAH

GEOID

YANG SECARA GLOBAL DAN

PRAKTIS BERIMPIT DENGAN PERMUKAAN LAUT

RATA-RATA

MODEL ALAMI

Geoid: Tak homogin dan benda berputar

PERMUKAAN GEOID MERUPAKAN SALAH SATU

PERMUKAAN EKIPOTENSIAL GAYABERAT ATAU

HORIZON ALAMI

PERMUKAAN BUMI NORMAL MERUPAKAN

SALAH SATU PERMUKAAN EKIPOTENSIAL

GAYABERAT NORMAL ATAU HORIZON GEODETIK

w

3. TEORI POTENSIAL

3.1. HUKUM NEWTON

F m_{1 F} m2 r₁₂

HUKUM NEWTON KE –1

Tanda



diganti dengan tanda = dengan memasukkan konstanta

G

m

₁

dan

m

₂

dalam gram (gr)

r

₁₂

dalam satuan panjang misal cm

F

_N

dalam dyne = 10

-5

_{Newton = gr cm sec}

-2

G

= konstanta gravitasi Newton

= 66,7 x 10

-9

_{gr cm}

3

_sec

-2

2 12 2 1

r

m

Gm

F

_N



Aplikasi: setiap benda yang mempunyai massa

m

dalam keadaan diam

pada permukaan bumi dengan massa

M

mendapat gaya tarik

2

R

GMm

F

_N





Perjanjian:

tanda minus (-) menunjukkan

m

ditarik oleh bumi

yang mempunyai radius

R

2 12 2 1 r m m F_N 

HUKUM NEWTON KE –2

F

_N

= m a

_N

Bandingkan dengan aplikasikan Hukum Newton – 1 pada massa

m

di permukaan bumi, maka

2

R

GM

a

_N





a

_N

adalah percepatan gravitasi bumi; tanda minus menunjukan bahwa

arah perceparan gravitasi bumi menuju pusat bola bumi

Bola bumi berputar pada sumbu putarnya,

sehingga pada titik P yang terletak pada

permukaan bumi mendapat gaya sentrifugal

F

_c

p

m

F

_c



w

2

p

adalah jarak P ke sumbu putar

Percepatan sentrifugal di P

p

a

_c



w

2 c N

a

a







_

_



Resultante dari

a

N



dan

a



_c

disebut percepatan gayaberat





a_c

p

.

P w

sumbu putar

a_{N }

w

= kecepatan sudut rotasi bumi

3.2. POTENSIAL PERCEPATAN GRAVITASI

12

r

Gm

V



.

P(x,y,z) a  b Z Y X m(x,h,z) //X //Z //Y N

a



; skalar disebut potensial

_gravitasi

Ambil massa di P sebagai satuan massa



) 

2

) 

2

)

2 12



r



x



x



y



h



z



z

r



)



)

) ( 2 3

cos

1

x N N

a

a

r

x

r

Gm

r

x

Gm

r

x

Gm

x

V

_

_



_

_



_

_























x

x

_a



)



)

) ( 2 3

cos

1

y N N

a

a

r

y

r

Gm

r

y

Gm

r

y

Gm

y

V

_

_



_

_



_

_























b

b

_b



)



)

) ( 2 3

cos

1

z N N

a

a

r

z

r

Gm

r

z

Gm

r

z

Gm

z

V

_

_



_

_



_

_























z

z

_z

= jarak dari

m

ke P

Menurut analisa vektor:

i

x

V

a



_{N x}









) (

j

y

V

a



_{N y}









) (

k

z

V

a



_{N z}









) (

dengan

a

N

a

N(x)

a

N(y)

a

N(z)









_

_

_

k

z

V

j

y

V

i

x

V























Grad

V

=

a

N



=

Vektor percepatan gravitasi adalah

gradient dari potensial percepatan

gravitasi

. . .

_.

.

.

.

. .

.

_.

.

.

_.

.

_.

.

.

1 2 3 n n - 1 P

Andaikan terdapat massa

m

₁

,

m

₂

, m

₃

. . . m

_k

membentuk

suatu sistem yang menarik satuan massa P, maka

potensial gravitasi sistem tersebut terhadap P adalah

Kalau sistem itu benda padat



)



)



) 

) 

)

x

h

z



z





h





x



z

h

x





d

d

d

z

y

x

G

z

y

x

V

v 2 2 2

,

,

,

,

      n t i n n r m G r Gm r Gm r Gm V 1 2 2 1 1 _...

.

3.3. SISTEM KOORDINAT BOLA

Koordinat P dalam koordinat Kartesia

P (x, y, z), dalam koordinat bola P (r,

, l

)

r O

. P

Z Y X l  r sin  P₁

Menentukan koordinat Kartesia dari

koordinat bola

x = r sin  cos l y  r sin  sin l z  r cos 

Menentukan koordinat bola dari

koordinat Kartesia

2 2 2 z y x r    z y x2 2 1 tan     x y 1 tan  l l l            dr xd xd r x dx l l            dr yd y d r y dy l l            dr zd z d r z dz ds2 _{= dx}2 _{+ dy}2 _{+ dz}2 ds2 _{= dr}2 _{+ r}2_d2 _{+ r}2 _sin2 _dl2

3.4. PERSAMAAN LAPLACE

UNSUR ds PADA KOORDINAT ORTOGONAL 32

2 3 2 2 2 2 2 1 2 1 2 dq h dq h dq h ds   

Pada koordinat ortogonal koefisien dq₁dq₂, dq₁dq₃ ,_, dq₂dq₃ sama dengan nol Pada koordinat Kartesia ds2 _{= dx}2 _{+ dy}2 _{+ dz}2 _h

1= h2 = h3 = 1

ds2 _{= dr}2 _{+ r}2_d2 _{+ r}2 _sin2  _dl2

Pada koordinat bola h₁= 1 ; h2 = r ; h3 = r sin 

Persamaan Laplace pada koordinat Kartesia:

Persamaan Laplace pada koordinat ortogonal

0 3 1 3 2 1 3 2 2 1 3 2 1 1 3 2 1 3 2 1                                          q V h h h q q V h h h q q V h h h q h h h V

Persamaan Laplace pada koordinat bola:

0 2 2 2 2 2 2            z V y V x V V Operator Laplace ₂ 2 2 2 2 2 z y x           0 sin 1 cot 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2  l                     V r V r V r r V r r V V atau 0 sin 1 cot 2 ₂ 2 2 2 2 2 2 2  l                     V V V r V r r V r V

h

₁

= 1 ;

h

2

= r

;

h

3

=

r

sin



;

q

1

=

r

;

q

2

=



;

q

3

=

l

3.5. HARMONIK BOLA (SPHERICAL HARMONICS)

0 sin 1 cot 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2  l                     V r V r V r r V r r V V

SOLUSI DARI PERS. LAPLACE ADALAH

) , ( ) ( ) , , (r  l  f r Y  l V

disingkat V = f Y , dengan f hanya fungsi dari r saja, dan Y merupakan fungsi  dan l Y f r V _{ }   Y f r V _    2 2        Y f V 2 2 2 2        Y f V 2 2 2 2 l    l   Y f V

Pers. Laplace menjadi

Persamaan di atas dibagi dengan fY



)

0 sin 1 cot 1 2 1 2 2 2 2 2 2                         Y Y Y Y f r f r f atau

Ruas kiri hanya fungsi dari r saja, ruas kanan fungsi dari  dan l saja, oleh karena itu ruas kiri dan ruas kanan sama dengan konstan; ambil n(n + 1) sebagai konstan dengan n = 0, 1, 2 . . . . .



)

_                        2 2 2 2 2 2 sin 1 cot 1 2 1 Y Y Y Y f r f r f 0 sin 1 cot 2 ₂ 2 2 2 2 2  l                 rf Y f Y f Y f Y Y f r

3.5. HARMONIK BOLA (SPHERICAL HARMONICS)

Jadi didapatkan dua persamaan berikut

n

r

r

f

(

)



dan

f

(

r

)



r

(n1)



2

)

( 1) 0 1 2      n n f r f r f mempunyai jawaban

(1)



r

2

f





2

r

f



)



n

(

n



1

)

f



0

n

nr

f

r

2

2





n n n

nr

r

n

r

n

n

f

r

2





(



1

)



2



n n n

nr

r

n

r

n

n

f

n

n

















2

)

1

(

)

1

(

dan

(1)



r

2

f





2

r

f



)



n

(

n



1

)

f



0

+

0

2

nr

n



n

2

r

n



nr

n



n

2

r

n



nr

n



) 1 ( ) 2 (

)

1

(

2

)

1

(

2

2

r

f







r

n



r

 n





n



r

 n ) 1 ( ) 3 ( 2 2

)

1

)(

2

(

)

1

)(

2

(





 







 





n n

r

n

n

r

n

n

r

f

r

) 1 (

)

1

(

)

1

(









 



n

r

n

n

f

n

n

+

0

2

3

2

2





2







2







n

n

n

n

n

Check

Jadi

 )

 l    0 n , n n Y r V dan (1)  

 )

 l    , 1 0 1 n n n Y r V (2) 0 ) 1 ( sin 1 cot 1 2 2 2 2 2                       n n Y Y Y Y

(2)

_{( 1) 0} sin 1 cot ₂ 2 2 2 2          l             Y n n Y Y Y

 )

 l    0 n , n n Y r V dan (1)  

 )

 l   , 1 0 1 n n n Y r V (2) 0 sin 1 cot 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2  l                     V r V r V r r V r r V V

SOLUSI DARI PERS. LAPLACE ADALAH

) , ( ) ( ) , , (r  l  f r Y  l V

PERS LAPLACE DALAM KOORDINAT BOLA

YAITU DERET HARMONIK BOLA YANG KOVERGEN

r P R=1 1  r r P R=1 1  r Dalam bola bumi berlaku pers. Poisson

   

V 4 G

Di luar bola bumi  = 0, jadi 0

 V

) ( ) ( ) , ( l  g  h l Y_n Solusinya adalah

(2)

_{( 1) 0} sin 1 cot ₂ 2 2 2 2          l             Y n n Y Y Y 0 ) 1 ( sin 1 cot ₂          h gh gh n n gh g dikalikan dengan gh  2 sin

Ruas kiri hanya fungsi dari  saja, ruas kanan fungsi dari l saja, oleh karena itu ruas kiri dan ruas kanan sama dengan konstan; ambil m2 _{sebagai konstan dengan}

m = 0, 1, 2 . . . . n, jadi 2 m h h   

Jadi didapatkan dua persamaan berikut

0

2







m

h

h

atau (1) 0 ] sin ) 1 ( cos sin [ sin _{      }  _ h h g n n g g g h h g n n g g g             ] sin ) 1 ( cos sin [ sin 2 ] sin ) 1 ( cos sin [ sin m h h g n n g g g              2 ] sin ) 1 ( cos sin [ sin m g n n g g g         atau 0 sin sin ) 1 ( cos sin " 2                 g n n m g g (2)

0

2







m

h

h

(1) mempunyai jawaban l  m

h cos _{dan h}_sinml

Check

l







m

m

h

2

cos

l



m

m

h

m

2 2

cos

+

0

2







m

h

h

l







m

m

h

2

sin

l



m

m

h

m

2 2

sin

+

0

2







m

h

h

0 sin sin ) 1 ( cos sin " 2                 g n n m g g (2)

dikenal dengan pers. diferensial Legendre dan jawabannya disebut fungsi Legendre, ) (cos ) (  P_nm  g l   l  P m Y_n( , ) _nm(cos )cos Jadi

dan Y_n(,l) P_nm(cos)sinml Karena dua jawaban ini memenuhi pers

0 ) 1 ( sin 1 cot ₂ 2 2 2 2          l             Y n n Y Y Y

maka perjumlahan dari kombinasi linier nya juga merupakan jawaban pers di atas, jadi





  l  l  l   n m nm nm nm nm n a P m b P m Y 0 sin ) (cos cos ) (cos ) , (

Jawaban ini merupakan fungsi dari  dan l saja, sehingga disebut deret harmonik bola permukaan, sedangkan a_nm dan b_nm merupakan konstanta

 )

 l    0 n , n n Y r V dan (1)  

 )

 l   , 1 0 1 n n n Y r V (2)





  l  l  l   n m nm nm nm nm n a P m b P m Y 0 sin ) (cos cos ) (cos ) , ( dengan sehingga





  l  l   l     n m nm nm nm nm n n m P b m P a r r V 0 0 sin ) (cos cos ) (cos ) , , ( (1)





  l  l   l      n m nm nm nm nm n n m P b m P a r r V 0 0 1 sin ) (cos cos ) (cos 1 ) , , ( (2) 0 sin 1 cot 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2  l                     V r V r V r r V r r V V Solusinya adalah ) , ( ) ( ) , , (r  l  f r Y  l V

Jadi Persamaan Laplace dalam koordinat bola

Persamaan di atas adalah deret harmonik bola ruang. Karena (1) berlaku untuk semua titik dalam bola, sedangkan dalam geodesi fisis densitas dalam bola bumi tidak sama dengan nol, sehingga berlaku Pers Poisson. Di luar bola bumi densitas masa sama dengan nol, sehingga berlaku pers Laplace; jadi jawaban pers Laplace dalam geodesi fisis adalah persamaan (2).

3.6. FUNGSI LEGENDRE

) (cos ) (  P_nm  g

n disebut derajat (degree) dan m disebut tingkat (order)

0 sin sin ) 1 ( cos sin " 2                 g n n m g g

Persamaan diferensial Legendre

mempunyai jawaban fungsi Legendre

Ambil cos = t sehingga g() g(t)

         ( ) g (t)sin d dt dt dg d dg g                     ( ) ₂ ( )sin2 ( )cos 2 2 2 t g t g d t d d dt dt g d d dt dt dg d d g

Substitusi ke pers diferensial Legendre, dengan memperhatikan bahwa sin2 _{=1 – t}2

0 ) ( sin sin ) 1 ( cos sin ) ( ) 1 ( sin ) ( 2 2                    t t g t n n m g t g 

Selanjutnya dibagi dengan sin dan karena cos = t sehingga

sin

2





1



t

2 maka pers diferensial Legendre menjadi

0 ) ( sin ) 1 ( cos ) ( ) 1 )( ( 2 2                 t t g t n n m g t g 

Akhirnya Legendre menemukan fungsi Legendre g(t)  P_nm(t) n m n m n m n nm t dt d t n t P (1 ) ( 1) ! 2 1 ) (   2 /2 _ 2   Kalau m = 0 , maka ) 1 ( ! 2 1 ) ( ) ( 2 0   t  dt d n t P t P _n n n n n

yang disebut suku banyak Legendre (Legendre’s polynomial)

untuk n =0 ( 1) 1 ! 0 2 1 ) ( ₀ 2 0 0 0 0  t   dt d t P untuk n =1 untuk n =2

{



)

 

12 4

)

8 1 2 1 2 8 1 ) 1 ( ! 2 2 1 ) ( ₂ 2 2 2 2 2 2 2    t  t  t  dt d t dt d t P 2 1 2 3 ) ( 2 2 t  t  P atau

Dengan mengetahui bahwa P₀(t ) = 1 dan P₁(t ) = t , maka dapat ditentukan P₂(t ), P₃(t ), dslnya dengan rumus rekursif berikut

) ( 1 2 ) ( 1 ) ( ₂ tP ₁ t n n t P n n t P_n    _n   _n t t t dt d n t P    (2 ) 2 1 ) 1 ( ! 2 1 ) ( 2 1 1 1 1 1

Fungsi Legendre dengan mudah ditentukan setelah suku banyak Legendre ditentukan m n m m nm dt t P d t t P ( ) (1 2) /2 ( )

Diawali dengan P₀(t ) = 1 dan P₁(t ) = t , tentukan suku banyak Legendre P_n(t ) dengan rumus rekursif

) ( 1 2 ) ( 1 ) ( ₂ tP ₁ t n n t P n n t P_n    _n   _n

Urutan menentukan fungsi Legendre

Selanjutnya tentukan fungsi Legendre dari suku banyak Legendre dengan rumus

m n m m nm dt t P d t t P ( )(1 2) /2 ( )

3.7. POTENSIAL PERCEPATAN SENTRIFUGAL

a_c p

.

P w sumbu putar a_{N }

Percepatan sentrifugal di P

p

a

_c



w

2

Posisi titik P adalah P(x, y, z)

2 2 y x p   dengan

Telah dibahas bahwa percepatan gravitasi adalah gradien potensial gravitasi; begitu pula percepatan sentrifugal merupakan gradien potensial sentrifugal

Ambil F sebagai notasi potensial sentrifugal

grad F  k a_c z j y i x       F    F    F  x x 2 w   F  y y 2 w   F  0   F  z dengan

Potensial percepatan sentrifugal



2 2

)

2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 p y x y x  w  w   w w  F 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2w  w  w   F    F    F   F z y x

3.8. POTENSIAL PERCEPATAN GAYABERAT

Vektor percepatan gayaberat merupakan perjumlahan vektor percepatan gravitasi dengan percepatan sentrifugal

Potensial percepatan gayaberat (=W ) merupakan perjumlahan potensial percepatan gravitasi dengan percepatan sentrifugal

W = V + F

di dalam bumi berlaku

g k z W j y W i x W    _          grad W  F    W V 2

2

4







w







W

G

di luar bumi berlaku

2

2

w





W

Potensial gayaberat tidak memenuhi persamaan Laplace baik di dalam maupun di luar bumi

2.1. PERBANDINGAN MODEL GEODETIK DENGAN MODEL

ALAMI

MODEL GEODETIK _w ELLIPSOID BUMI Homogin dan benda berputar w MODEL ALAMI GEOID Tak homogin dan benda berputar

Dalam Medan Gayaberat Bumi,

Dikaji perbedaan model bumi

geodetik terhadap model bumi

alami berdasarkan data gayaberat

Model bumi geodetik absolut

yang disebut juga bumi normal,

jika:

•

Pusat dan sumbu putar model geodetik berhimpit dengan pusat dan

sumbu putar bumi alami

•

Kecepatan rotasi kedua model juga sama

•

Volume kedua model juga sama

MEDAN GAYABERAT PADA BUMI NORMAL DISEBUT MEDAN GAYA

BERAT NORMAL; JADI KAJIAN MEDAN GAYABERAT BUMI TERMASUK

MENGKAJI ANOMALI MGB NORMAL TERHADAP MGB ALAMI

BUMI ALAMI

BUMI NORMAL

SATUAN

Percepatan gravitasi cm.sec-2

Percepatan sentrifugal cm.sec-2

Percepatan gayaberat g  cm.sec-2

Potensial gravitasi V cm2_.sec-2

Potensial sentrifugal F cm2_.sec-2

Potensial gayaberat W U cm2_.sec-2

Massa M gram

Kecepatan sudut rotasi w rad.sec-1

NOTASI DAN SATUAN

M N a c a N a c a V F w Catatan:

1 cm.sec-2 _{= 1 gal = 1000 mgal = 0,001 kgal = 0,01 m.sec}-2

Satuan gal sebagai satuan percepatan gayaberat berasal dari nama Galileo Galilei untuk menghormatinya

4.2. BIDANG NIVO DAN GARIS UNTING-UNTING P g H bidang-bidang nivo garis unting-unting geoid W = W₀

Permukaan yang merupakan tempat kedudukan titik-titik yang mempunyai potensial Gayaberat sama disebut bidang nivo (level surface) atau permukaan ekipotensial (equipotential surface)

Potensial pada setiap bidang nivo mempunyai besar yang konstan; geoid merupakan salah satu dari bidang-bidang nivo yang tak terhingga banyaknya melingkupi bumi

Geoid adalah bidang nivo atau permukaan ekipotensial yang secara global mendekati permukaan laut rata-rata; potensial geoid

W ( x,y,z ) = W₀

Geoid merupakan acuan bidang nivo lainnya

Garis yang tegak lurus melalui suatu titik (vertikal) pada setiap bidang nivo disebut garis unting-unting (plumbline), dan arah gaya berat dititik itu menyinggung garis unting-unting

4.2. BIDANG NIVO DAN GARIS UNTING-UNTING



dx dy dz

)

x d  , .

x

d

g

dW





.



Perhatikan perkalian skalar

Jadi

Ambil dx 



dx,dy.dz

)

terletak pada bidang nivo Pada bidang nivo W = konstan, atau dW = 0

x

d

g

dW





.



= 0 ; ini berarti arah gaya berat tegak lurus pada bidang nivo

gdH

x

d

g

dW





.







g



Ambil dx 



dx,dy.dz

)

terletak pada garis unting-unting, dengan arah sama dengan arah positip tinggi ortometrik, atau dx dengan membuat sudut 1800

Jadi P g H bidang-bidang nivo garis unting-unting geoid W = W₀

Tinggi P terhadap geoid disebut tinggi ortometrik H yang sama dengan panjang garis unting-unting dari P ke geoid

dz z W dy y W dx x W dW                        z W y W x W g W , , grad  atau dH dW g   Catatan: perkalian skalar

a

b



b a.b  a b cosb

 

4.3. ANOMALI POTENSIAL, UNDULASI GEOID DAN DEFLEKSI VERTIKAL

g_P ellipsoid referensi p Q geoid 0 W W  0 0 W U U   _Q N_P e vertikal _normal

Ellipsoid referensi sebagai bumi normal merupakan bidang nivo normal, atau permukaan ekipotensial normal, jadi potensialnya

0 0 W

U

U  

Arah gayaberat di P berlawanan dengan arah vertikal terhadap geoid di P

Arah gayaberat normal di Q berlawanan dengan arah normal terhadap ellipsoid melalui P

Penyimpang arah vertikal terhadap arah normal di P disebut defleksi vertikal di P (=e)

Tinggi titik P yang terletak di geoid terhadap permukaan geoid disebut undulasi geoid (=N ) di titik P

Potensial di titik P adalah

Potensial normal di titik Q adalah UQ U0 W0 0

W W_P 

Anomali potensial di titik P adalah T_P W_P U_P Potensial normal di titik P adalah

P Q Q P N dh dU U U        

4.3. ANOMALI POTENSIAL, UNDULASI GEOID DAN DEFLEKSI VERTIKAL

dH dW g   Kita telah mengetahui bahwa gayaberat alami adalah

Identik dengan itu, gayaberat normal adalah

dh dU

  

Karena , maka atau

0 0 W U U_Q   0 W W_P 

Karena dan maka U_Q = W_P sehingga

atau P Q Q P

U

N

U







U

_Q



U

_P





_Q

N

_P P Q P P

U

N

W







atau P Q P

N

T





Q P P T N  

Persamaan di atas diturunkan oleh Bruns, sehingga disebut Rumus Bruns

Rumus Bruns merupakan dasar dari penentuan undulasi geoid; persamaan tersebut menyatakan bahwa undulasi geoid pada setiap titik dapat ditentukan jika anomali potensial di titik itu diketahui

P Q Q P N dh dU U U        

4.4. ANOMALI GAYABERAT, GANGGUAN GAYABERAT DAN PERSAMAAN DASAR GEODESI FISIS

dH dW g   dh dU   

Kita telah mengetahui bahwa dan

Titik P terletak pada geoid, W = W_P = W₀

Titik Q terletak pada ellipsoid, U = U_Q = U₀ = W₀ Jadi U_Q = W_P

Gayaberat di P adalah g_P dan gayaberat normal di Q adalah _Q maka



g

_P



g

_P





_Q disebut

anomali gayaberat (gravity anomaly ) di P Selisih gayaberat di P dengan gayaberat normal di P disebut gangguan gayaberat (gravity disturbance ) di P dengan notasi dg_P

Jadi dgP  gP  P

Jadi gangguan gayaberat adalah 

     _   dh dU dH dW g d ellipsoid referensi p Q geoid 0 W W  0 0 W U U   _Q N_P e vertikal normal g_P

4.4. ANOMALI GAYABERAT, GANGGUAN GAYABERAT DAN PERSAMAAN DASAR GEODESI FISIS

Karena arah H terhadap h berbeda sebesar defleksi vertikal e yang dalam selisih skalar dapat diabaikan, sehingga dapat dianggap

atau

Jadi gangguan gayaberat merupakan gradient vertikal anomali potensial

Jadi gangguan gayaberat adalah di P:

Hubungan gayaberat normal di P dengan gayaberat normal di Q adalah

atau



W U

)

dH d dH dU dH dW g        _   d dH dT g  d P Q Q P Q Q P N dh d h dh d                      P Q Q P P P P N dh d g g g               d P Q P P N dh d g g          d ellipsoid referensi p Q geoid 0 W W  0 0 W U U   _Q N_P e vertikal normal g_P

4.4. ANOMALI GAYABERAT, GANGGUAN GAYABERAT DAN PERSAMAAN DASAR GEODESI FISIS

Arti matematis dapat dijelaskan sebagai berikut.

Jika bumi dianggap berbentuk bola, maka gayaberat bumi sama dengan gravitasi bumi, sehingga gayaberat bumi menjadi

2

r GM

 

Persamaan di atas dimasukkan ke dalam persamaan yang menyatakan hubungan gangguan gayaberat dengan anomali gayaberat, dan ganti r dengan radius rata-rata bumi R, dan  dengan gayaberat rata-rata bumi di mana 

2 R GM   N R g g   d   2

Karena ellipsoid dianggap sebagai bola, atau dengan perkataan lain bola adalah bentuk pendekatan ellipsoid, maka tinggi ellipsoid h mempunyai arah yang sama dengan arah radial r sehingga

Persamaan di atas berlaku untuk sembarang titik P di permukaan geoid, sehingga indeks P tidak digunakan, dan persamaan ini disebut persamaan dasar geodesi fisis

dh d r r GM dr d dh d  2 2 ₃     

4.4. ANOMALI GAYABERAT, GANGGUAN GAYABERAT DAN PERSAMAAN DASAR GEODESI FISIS

Dengan memperhatikan rumus Bruns serta pengertian bahwa gangguan gayaberat adalah gradien vertikal dari anomali potensial, maka persamaan dasar geodesi fisis dapat disusun atas beberapa versi berikut

N R g g   d   2 R T g g   2 d R T g g d 2  R T r T g  2      N R r T g    2     0 2 _{ }    g R T r T _

4.5. PENENTUAN UNDULASI GEOID, INTEGRAL STOKES

W = V + F Potensial gayaberat alami

Potensial gayaberat normal

U = V’ + F’

Oleh karena itu pada setiap titik P berlaku

Model bumi normal dinyatakan mewakili model bumi alami antara lain dengan ketentuan kecepatan rotasi bumi normal w’ sama dengan kecepatan rotasi bumi alami w, pusat bumi normal berimpit dengan pusat bumi alami (= O), dan sumbu putar bumi normal berimpit dengan sumbu putar bumi alami

.

sumbu putar O w geoid ellipsoid p

.

P Selanjutnya T = W – U = V – V ‘ W = V + F U = V’ + F’ –

Karena V dan V ’ memenuhi persamaan Laplace, maka T juga memenuhi persamaan Laplace, jadi T merupakan fungsi yang harmonik.

2 2

2

1

2

1

w

w

F

F











4.5. PENENTUAN UNDULASI GEOID, INTEGRAL STOKES R T r T g  2     

Perhatikan persamaan dasar

Anomali potensial T memenuhi persamaan Laplace, jadi

r

T





dan g juga

memenuhi persamaan Laplace. Potensial gravitasi V diluar bola satuan (R = 1) adalah

 )

 l      , 1 0 1 n n n Y r V

Potensial gravitasi di luar bola dengan radius R adalah

Identik dengan persamaan di atas, maka anomali potensial di luar bola bumi



,



,

l

)

 )



,

l

0 1 n n n

Y

r

R

r

V

















  



,



,

l

)

 )



,

l

0 1 n n n

T

r

R

r

T

















  

 )



,

l

n

Y

dan

T

_n

 )



,

l

adalah harmonik bola permukaan (tidak tergantung pada r ), maka turunan T terhadap r



1

)

 )



,

l

1

1 0 n n n

T

r

R

n

r

r

T

  

























4.5. PENENTUAN UNDULASI GEOID, INTEGRAL STOKES

Pada geoid yang dianggap sebagai bola r = R , anomali potensial adalah



)







 )

0

,

,

,

n n

T

R

T



l



l



)

 )



l

d

1

1

,

1 0 n n n

T

r

R

n

r

r

T

g

  



























Jadi gangguan gayaberat adalah

dan gangguan gayaberat



)  )



l

d

1

1

,

0 n n

T

n

R

r

T

g



 









 

Dari persamaan dasar untuk sembarang bola dengan radius r



)

 )



l

 )



l



1

1

,

2

,

1 0 1 0 n n n n n n

T

r

R

r

T

r

R

n

r

g

     



































r

T

r

T

g



2













)

 )



l



1

1

,

1 0 n n n

T

r

R

n

r

g

  



















4.5. PENENTUAN UNDULASI GEOID, INTEGRAL STOKES



)  )



l



1

1

,

0 n n

T

n

R

g



 

 

Anomali gayaberat pada geoid yang dianggap bola dengan radius R

Anomali gayaberat dalam deret harmonik bola dapat juga ditulis





l

)



 )



l



,

,

,

0 1 n n n

g

r

R

r

g

















  

Dan di permukaan geoid yang dianggap sebagai bola dengan radius R



)







 )

0

,

,

,

n n

g

R

g



l





l



(a) (b) Pers (a) = (b)

 )



l



 )



,

l

1

,

_n n

g

n

R

T







)







 )

0

,

,

,

n n

T

R

T



l



l

Karena di geoid atau

 )



l



,

1

1

2 n n

g

n

R

T



















 