DINPRO / II / 1 Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
MATEMATIKA UNTUK ANALISIS
SISTEM DINAMIK
•
Tujuan: Mhs mampu menyusun dan menyelesaikan model
matematika (persamaan keadaan) suatu sistem (proses)
sehingga dapat menjelaskan dinamika suatu proses
•
Materi:
1. Bilangan Kompleks
2. Transformasi
Laplace
: definisi, sifat-sifat transformasi
laplace
3. Penyelesaian PD dengan Transformasi Laplace:
prosedur, inversion, penyelesaian time delay
4. Karakteristik Respon Proses:
variabel deviasi, respon
output, stabilitas
5. Linearisasi
II
DINPRO / II / 2 Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
2.1. Bilangan Kompleks
• Sebuah bilangan disebut kompleks jika bilangan
tsb tidak dapat dinyatakan sebagai bilangan
nyata
(real);
atau bilangan tsb adalah khayal
(imaginer)
• Bilangan
Imaginer
:
• Bentuk
cartesian
:
c = a + i b
dimana:
a =
bagian
real
b =
bagian
imaginer
i
=
−
1
…… (2.1.1) DINPRO / II / 3 Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVYComplex Plane
Real Axis
Imagiray AxisI
R
a
b
r
(a,b)
Notasi Polar
r
≡
magnitude
θ ≡
argument
θ
2.1. Bilangan Kompleksc = a + i b
DINPRO / II / 4 Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
Notasi Polar Untuk Menyatakan Bilangan Kompleks
:
2 2
b
a
c
r
=
=
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
−a
b
a
b
arctan
tan
1θ
θ
cos
r
a
=
b
=
r
sin
θ
(
θ
i
θ
)
r
e
iθr
c
=
cos
+
sin
=
(
θ
θ
)
θcos
i
sin
e
i≡
+
magnitude
argument
∴
notasi cartesian
dan
(
a
i
b
) (
a
i
b
)
conj
.
+
=
−
dimana:
conjugate
2.1. Bilangan Kompleks …… (2.1.2.a) …… (2.1.2.b)maka:
…… (2.1.3) …… (2.1.4) …… (2.1.5) DINPRO / II / 5 Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVYOperasi Bilangan Kompleks
Pertimbangkan: iθ e r b i a c= + = p=v+iw=qeiβ
Penjumlahan & Pengurangan:
c
±
p
=
(
a
±
v
) (
+
i
b
±
w
)
Perkalian:
(
)(
)
(
av
bw
) (
i
bv
aw
)
iaw
ibv
bw
i
av
iw
v
ib
a
cp
+
+
−
=
+
+
+
=
+
+
=
2( )( )
θ β=
(θ+β)=
i i irqe
e
q
e
r
cp
dan Perkalian dg conjugate:(
a
+
i
b
)(
a
−
i
b
)
=
a
2+
b
2=
r
2.1. Bilangan Kompleks …… (2.1.6) …… (2.1.7) …… (2.1.8) …… (2.1.9)Operasi Bilangan Kompleks
Pembagian:
(
)
(
)
(
(
)
)
(
) (
)
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
=
+
−
+
+
=
−
−
+
+
=
2 2 2 2 2 2w
v
aw
bv
i
w
v
bw
av
w
v
aw
bv
i
bw
av
iw
v
iw
v
iw
v
ib
a
p
c
2.1. Bilangan Kompleks Pangkat:c
n=
r
ne
inθ(
θ β)
β θ −=
=
i i ie
q
r
qe
re
p
c
Bentuk polar Akar: nc
=
nre
iθ=
nr
e
i(θ+2kπ)/ndimanak =0, ±1, ±2, …, sampai diperoleh n akar
…… (2.1.10) …… (2.1.11)
…… (2.1.12) …… (2.1.13)
DINPRO / II / 7 Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
Contoh Soal 2.1.1:konversi bilangan kompleks menjadi polar
Bil. kompleks:
a
=
3
+
i
4
2.1. Bilangan Kompleks6
8
i
b
=
−
c
=
−
1
+
i
5
=
a
Magnitude (
r
):
b
=
10
c
=
1
.
414
Argument (θ):
rad
a927
.
0
3
4
tan
1=
=
−θ
rad
b643
.
0
8
6
tan
1−
=
−
=
−θ
rad
c4
3
1
1
tan
1π
θ
=
−
=
−Polar:
a
=
5
e
i0.297b
=
5
e
−i0.643b
=
5
e
i(
3π/4)
DINPRO / II / 8 Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVYComplex Plane
2.1. Bilangan Kompleks -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 R Ia
= 3 + i4b
= 8 −i6c
= −1+iContoh Soal:
(lanjutan)
DINPRO / II / 9 Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
Perkalian:
ac
=
(
−
3
−
4
) (
+
i
3
−
4
)
=
−
7
−
i
(
8
6
) (
i
8
6
)
2
i
14
bc
=
−
+
+
+
=
−
−
(3 /4) 3.2834 927 . 01
.
414
7
.
07
5
e
ie
ie
iac
=
π=
2.1. Bilangan KompleksContoh Soal:
(lanjutan)
(
+
i
)
=
−
−
i
=
7
.
07
cos
3
.
2834
sin
3
.
2834
7
Bentuk polar:
Pembagian:
(
(
)
)
(
(
)
)
(
) (
)
0
.
5
36
64
32
18
24
24
6
8
6
8
6
8
4
3
i
i
i
i
i
i
b
a
=
+
+
+
−
=
+
+
−
+
=
Bentuk polar:
0
.
5
0
.
5
(
0
)
0
.
5
10
5
1.570 643 . 0 927 . 0i
i
e
e
e
b
a
i i i=
+
=
=
=
−DINPRO / II / 10 Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
Akar:
16
=
16
e
i0 (0 2 /4) ( /2) 4 416
e
i016
e
i kπ2
e
i kπx
=
=
+=
2.1. Bilangan KompleksContoh Soal:
(lanjutan)
misal
akar dari 16 adalah:
untuk
x
= 2 e
−iπ= 2(
−
1+
i0
) =
−
2
k
= 2
x
= 2 e
−iπ/2= 2(0
−
i
) =
−
i
2
k
=
−
1
x
= 2 e
iπ/2= 2(0 +
i
) =
i
2
k
= 1
x
= 2 e
i0= 2
k
= 0
dimana
DINPRO / II / 11 Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY2.2. Transformasi Laplace
Definisi
Dalam analisis dinamika proses, variabel proses dan sinyal kontrol adalah fungsi waktu, t. TransformasiLaplace f(t) adalah:
( )
s
[ ]
f
( )
t
f
( )
t
e
dt
F
−st ∞∫
=
=
0L
Dimana:
F
(s) = Transformasi
Laplace
dari
f
(t)
s = Variable Transformasi
Laplace,
time
-1…… (2.2.1)
Jenis-Jenis Input
• Fungsi Tahap (step function)
( )
⎩ ⎨ ⎧ ≥ < = 0 1 0 0 t t t u 2.2. Transformasi Laplace t = 0 t 0 1.0
( )
[ ]
( )
(
)
s s e s dt e t u t u st st 1 1 0 1 1 0 0 = − − = − = = − − ∞ ∞∫
L• Fungsi Pulse
( )
⎩ ⎨ ⎧ < ≤ ≥ < = T t H T t t t f 0 , 0 0( )
[ ]
( )
(
sT)
T st st T st e s H e s H dt e H dt e t f t f − − − − ∞ − − = − = = =∫
∫
1 0 0 0 L t = 0 t 0 H t = TDINPRO / II / 13 Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
Jenis-Jenis Input
• Fungsi
Impulse
( )
⎩ ⎨ ⎧ = ∞ > < = 0 0 , 0 0 t t t t δ 2.2. Transformasi Laplace( )
[ ]
( )
1 0 = = − ∞∫
t e dt t δ st δ L• Fungsi Sinus
( )
i e e t t i t i 2 sinω
= ω − −ω t = 0 t 0∞
Dirac delta function:
δ
(t)
t = 0 t 0 1 t = T -1 Frequency = Period = T T π ω=2 Amplitude = 1 DINPRO / II / 14 Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
2.2. Transformasi Laplace
• Fungsi Sinus (lanjutan)
( )
[
]
e dt i e e t st t i t i − ∞ −∫
− = 0 2 sin ω ωω
L
( ) ( )[
e e]
dt i t i s t i s∫
∞ + − − − − = 0 2 1 ω ω (− ) −(+ ) ∞ − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + − − = 0 2 1ω
ω
ω ω i s e i s e i t i s t i s ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + − + − − − = ∞ 2 2 0 2 2 1 1 0 1 0 2 1ω
ω
ω
ω
s i i i s i s i 2 2ω
ω
+ = s DINPRO / II / 15 Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVYTabel 2.2.1. Transformasi Laplace Untuk Fungsi-Fungsi Umum
te
−ate
−atcos(
ω
t
)
e
−ate
−atsin(
ω
t
)
t
ncos(
ω
t
)
t
sin(
ω
t
)
u
(
t
)
t
ne
−at1
δ
(
t
)
F
(
s
) =
L
[
f
(
t
)]
f(t)
F
(
s
) =
L
[
f
(
t
)]
f(t)
s 1 2 1 s 2.2. Transformasi Laplace 2 2 ω ω + s(
)
2 ω2 ω + +a s 1 ! + n s n(
)
1 ! + + n a s n 2 2+ω s s a s+ 1(
)
2 1 a s+(
+)
2+ω2 + a s a sDINPRO / II / 16 Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
TUGAS 01
• Buktikan konversi dari
f
(
t
) menjadi
F
(
s
)
berdasarkan Tabel Tansformasi
Laplace
Untuk
Fungsi-Fungsi Umum (Lihat Tabel 2.2.1.)
2.2. Transformasi Laplace
DINPRO / II / 17 Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
Sifat-Sifat Transformasi
Laplace
•
Linearity
( )
[
af
t
]
=
a
L
[ ]
f
( )
t
=
a
F
( )
s
L
2.2. Transformasi Laplace
TL merupakan operasi linear, hal ini berarti, jika a adalah
konstanta, maka:
Sifat distributif:
L
[
a
f
( )
t
+
b
g
( )
t
]
=
a
F
( )
s
+
b
G
( )
s
( )
( ) ( )
0
f
s
F
s
dt
t
df
=
−
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
L
( )
( )
dt
e
dt
t
f
d
dt
t
f
d
−st ∞∫
=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
0L
•
Real Differentiation Theorem
Pembuktian:
…… (2.2.2) …… (2.2.3) …… (2.2.4) 2.2. Transformasi LaplaceIntegral parsial:
u
=
e
−st( )
[
( )
]
( )
(
)
∫
∞ − ∞ −−
−
=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
0 0f
t
se
dt
e
t
f
dt
t
f
d
st stL
dt
se
du
=
−
−st( )
[
f
]
s
f
( )
t
e
−stdt
∞∫
+
−
=
00
0
( )
s
F
s
( ) ( )
s
f
0
F
s
−
=
( )
dt
dt
t
f
d
dv
=
( )
t
f
v
=
terbukti
DINPRO / II / 19 Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
2.2. Transformasi Laplace
Untuk derivatif order 2 :
( )
( )
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
dt
t
f
d
dt
d
dt
t
f
d
L
L
2 2( )
0 =−
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
=
tdt
df
dt
t
df
s
L
( )
( )
o tdt
df
f
s
s
F
s
=−
−
=
20
( ) ( )
[
]
00
=−
−
=
tdt
df
f
s
sF
s
L
DINPRO / II / 20 Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVYSecara umum, untuk n derivatif:
( )
( )
s
F
s
dt
t
f
d
n n n=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
L
2.2. Transformasi Laplace( )
( )
( )
0 1 1 10
...
= − − −−
−
−
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
t n n n n n ndt
f
d
f
s
s
F
s
dt
t
f
d
L
Dalam pengendalian proses, kondisi awal adalah pada kondisi
tunak. Jadi
time derivatif
nya nol (zero), dan variabel adalah
deviasi dari kondisi awal, sehingga
Laplace n derivative
adalah:
…… (2.2.5)
…… (2.2.6)
DINPRO / II / 21 Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
2.2. Transformasi Laplace
( )
F
( )
s
s
dt
t
f
t1
0=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
∫
L
•
Real Integration Theorem
(
)
[
f
t
t
]
e
stDF
( )
s
D −=
−
L
Pembuktiannya sama dengan carareal differentiation theorem.
Coba anda buktikan di Rumah!
•
Real Translation Theorem
Teori
ini
berkaitan
dengan
keterlambatan waktu (
time delay
)
dalam merespon perubahan input,
dan selanjutnya dikenal sebagai
dead time.
t t = 0 t = tD 0 f(t-tD) f(t) …… (2.2.7) …… (2.2.8)DINPRO / II / 22 Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
Pembuktian:
[
(
−
)
]
=
∞∫
(
−
)
− 0dt
e
t
t
f
t
t
f
D D stL
( )
τ
τ
τd
e
e
f
−stD −st ∞ =∫
=
0 2.2. Transformasi LaplaceMisal,
τ
=
t – t
Datau t =
t
D+
τ
(
)
[
−
]
=
∞( )
τ
−(
+τ)
(
+
τ
)
− =∫
D t s t t Df
e
d
t
t
t
f
D DL
( )
τ
e
d
τ
f
e
stD −st ∞ −∫
=
0( )
s
F
e
−stD=
Catatan: f(τ) = 0 untukτ< 0 < (t – tD) terbukti DINPRO / II / 23 Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY•
Final Value Theorem
( )
(
e
atf
t
)
=
F
(
s
−
a
)
L
( )
t
s
F
( )
s
f
s t 0lim
0lim
→ →=
2.2. Transformasi Laplace( )
[
]
F
( )
s
ds
d
t
f
t
=
−
L
( )
t
sF
( )
s
f
s tlim
→∞=
lim
→0•
Complex Differentiation Theorem
•
Complex Translation Theorem
•
Initial Value Theorem
…… (2.2.9)
…… (2.2.10)
…… (2.2.11)
…… (2.2.12)
2.3. Penyelesaian PD dengan TL
Anggapan: kondisi awal adalah pada keaadaan tunak
(steady state)
dan semua variabel dinyatakan dalam term deviasi.
Prosedur Penyelesaian TL
1. Ubah PD menjadi bentuk
laplace
dengan variabel s.
2. Buat hubungan antara variabel
output
(variabel tidak bebas/
dependent
) dan variabel
input
.
3. Balik
(invert)
bentuk laplace menjadi bentuk waktu untuk
memperoleh respon
output
.
Catatan:
dalam sistem pengendalian proses, PD menunjukkan
hubungan antara sinyal output,
y(t),
dan sinyal input,
x(t).
DINPRO / II / 25 Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
Pertimbangkan
:
2.3. Penyelesaian PD dengan TL( )
( )
( )
( )
t
x
b
t
y
a
dt
t
dy
a
dt
t
y
d
a
2+
1+
0=
2 2( )
( )
( )
0 2 2 2 20
=−
−
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
tdt
dy
sy
s
Y
s
dt
t
y
d
a
L
( )
( )
[ ]
( )
[ ]
( )
t
x
b
t
y
a
dt
t
dy
a
dt
t
y
d
a
L
L
+
L
=
L
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
0 1 2 2 2x(t)
disebut variabel input
(force function)
y(t)
disebut variabel output
(dependent variable)
a
0, a
1, a
2,
dan
b
adalah konstanta
Kondisi awal =
y
(0), dan dy/dt|
t=0= 0
TL dari PD pangkat dua:
TL untuk masing-masing term:
≅0
…… (2.3.1)
…… (2.3.2)
DINPRO / II / 26 Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
2.3. Penyelesaian PD dengan TL
(
)
( ) (
) ( )
bX
( )
s
dt
dy
a
y
a
s
a
s
Y
a
s
a
s
a
t=
−
+
−
+
+
=0 2 1 2 0 1 2 20
( )
X
( )
s
a
s
a
s
a
b
s
Y
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
=
0 1 2 2( )
[ ]
x
t
b
X
( )
s
b
L
=
( )
[ ]
y
t
a
Y
( )
s
a
0L
=
0( )
( ) ( )
0
1 1a
sY
s
y
dt
t
dy
a
=
−
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
L
TL untuk masing-masing term:
≅0
Jadi diperoleh:
≅0
Penyederhanaan (hubungan
output
dan
input
):
Term di dalam kurung disebutFUNGSI TRANSFER
…… (2.3.3)
…… (2.3.4)
DINPRO / II / 27 Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
2.3. Penyelesaian PD dengan TL
(
a
2s
2+
a
1s
+
a
0)
s
=
a
2(
s
−
r
1)(
s
−
r
2)s
( )
s
a
s
a
s
a
b
s
Y
1
0 1 2 2⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
=
( )
s
s
X
=
1
2 0 2 2 1 1 2 , 12
4
a
a
a
a
a
r
=
−
±
−
Kebalikan dari TL Dengan Ekspansi Parsial:
Jika input berubah 1 unit fungsi tahap:
Akar polynomial kuadarat:
Pengmbangan (ekspansi) denominator:
dimana
r
1dan
r
2adalah akar kuadrat dari:
a2s2+a1s+a0 =0…… (2.3.5)
…… (2.3.7) …… (2.3.6)
DINPRO / II / 28 Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
2.3. Penyelesaian PD dengan TL
( )
t
A
e
A
e
A
u
( )
t
y
=
1 r1t+
2 r2t+
3( )
s
A
r
s
A
r
s
A
s
Y
3 2 2 1 1+
−
+
−
=
(
s
r
) ( )
Y
s
A
k r s k k−
=
→lim
Ekpansi parsial TL:
Untuk akar-akar yang tidak berulang, berlaku:
Berdasarkan Tabel TL, kebalikan (invert) dari
laplace
adalah:
…… (2.3.8)
…… (2.3.9)
DINPRO / II / 29 Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
2.3. Penyelesaian PD dengan TL
( )
t
A
te
A
e
A
u
( )
t
y
=
1 r1t+
2 r1t+
3(
s
r
) ( )
Y
s
A
r s 2 1 1 1lim
−
=
→Koefisien
A
3dihitung seperti sebelumnya,
A
1dan
A
2dihitung
dengan cara:
Berdasarlak Tabel TL, kebalikan (invert) dari laplace adalah:
(
) ( )
[
s
r
Y
s
]
ds
d
A
r s 2 1 2!
1
1
lim
1−
=
→Untuk akar-akar yang berulang, misalnya
r
1=
r
2, berlaku:
( )
(
)
s
A
r
s
A
r
s
A
s
Y
3 1 2 2 1 1+
−
+
−
=
…… (2.3.10) …… (2.3.11) 2.3. Penyelesaian PD dengan TL( ) ( ) ( )
...
...
!
2
!
1
1 2 2 1 1+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
+
−
+
−
=
− − rt m m me
A
m
t
A
m
t
A
t
y
Koefisien-koefisien dihitung sebagai berikut:
Untukk= 2, …, m, makaInvert laplaceadalah Secara umum, jika r1diulang m kali:
( )
(
)
(
1)
1...
1...
2 1 1+
−
+
+
−
+
−
=
−r
s
A
r
s
A
r
s
A
s
Y
m m m(
s
r
) ( )
Y
s
A
m r s 1 1 1lim
−
=
→(
)
[
(
s
r
) ( )
Y
s
]
ds
d
k
A
m k k r s k 1 1 1!
1
1
lim
1−
−
=
−− → …… (2.3.12) …… (2.3.13) …… (2.3.14)DINPRO / II / 31 Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
Time Delay (
Dead-time
)
Pertimbangkan kasus dimana terdapat
term ekponensial
2.3. Penyelesaian PD dengan TL
( )
s
Y
e
stDY
=
1 −( )
n nr
s
A
r
s
A
r
s
A
s
Y
−
+
+
−
+
−
=
...
2 2 1 1 1( )
rt n t r t rA
e
A
e
ne
A
t
y
=
1+
2+
...
+
2 1 1Dengan
Y
1(s)
tanpa
term ekponensial
Invert Y
1(s)
menghasilkan:
…… (2.3.15)
…… (2.3.16)
…… (2.3.17)
DINPRO / II / 32 Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
2.3. Penyelesaian PD dengan TL
Jadi, dengan menggunakan
real translation theorem
:
( )
( )
D( )
D( )
stDn n st stY
s
e
Y
s
e
e
s
Y
s
Y
=
− 1+
− 2+
...
+
− 2 1( )
( D) ( D) rn(t tD) n t t r t t re
A
e
A
e
A
t
y
=
1 −+
2 −+
...
+
− 2 1( )
t
y
(
t
t
D)
y
(
t
t
D)
y
n(
t
t
Dn)
y
=
1−
1+
2−
2+
...
+
−
Jika terdapat
multi-delay:
Jadi, dengan menggunakan
real translation theorem
:
( )
t
[
e
stY
( )
s
]
y
(
t
t
D)
y
=
− − D=
−
1 1 1L
Jadi,
Invert Y (s)
menghasilkan:
…… (2.3.18)
…… (2.3.19)
…… (2.3.20)
DINPRO / II / 33 Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
Contoh 2.3.1 : menangani
time delay
( )
s De
s
s
F
dan
t
=
1
=
1
− 2.3. Penyelesaian PD dengan TLDiketahui PD berikut:
( )
( )
e
ss
s
s
F
s
s
C
−+
=
+
=
1
2
1
2
1
( )
( ) ( )
t
f
t
c
dt
t
dc
+
=
2
TL dari PD dan substitusi
F
(
s
) menghasilkan:
Dengan
c
(0) = 0, Tentukan respon output
c
(
t
), jika pada t = 1, input
berubah dengan satu unit step:
f
(
t
) =
u
(
t
– 1)!
DINPRO / II / 34 Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
2.3. Penyelesaian PD dengan TL
misal:
( )
( )
se
s
C
s
C
=
1 −(
)( )
2
1
1
2
1
2
lim
2 1=
→−+
+
=
−
s
s
s
A
s( )
s
B
s
A
s
s
s
C
1 1 12
1
2
1
+
+
=
+
=
Invert
dari
C
1(
s
):
(
)
2
1
1
2
1
lim
0 2=
+
=
→s
s
s
A
s DINPRO / II / 35 Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY2.3. Penyelesaian PD dengan TL
( )
t
e
u
( )
t
c
t2
1
2
1
2 1=
−
−+
Jadi
invert
dari
C
1(
s
) menghasilkan (
lihat Tabel 2.2.1
):
( )
[
( )
]
( )
( )
[
2( )1]
1 1 11
1
2
1
1
− − − −=
−
=
−
−
=
C
s
e
sc
t
u
t
e
tt
c
L
( )
(
t)
e
t
u
1
22
1
−
−=
Aplikasi
real translation theorem
:
Catatan unit step
u
(
t
– 1) harus dikalikan dengan
term
eksponensial,
hal ini menunjukkan bahwa
c
(
t
) = 0 untuk
t
< 1.
2.4. Karakteristik Respon Proses
Beberapa pertanyaan yang relevan terhadap respon:
1. Apakah respon stabil? Yaitu respon terjaga pada nilai tertentu.
2. Jika stabil, berapa nilai tunak baru?
3. Apakah responnya monoton atau berosilasi?
4. Jika monoton dan stabil, berapa waktu yang diperlukan untuk
mencapai kondisi stabil (tunak baru)?
5. Jika bersosilasi, berapa periode osilasi dan berapa waktu
berosilasi sampai akhirnya stabil?
DINPRO / II / 37 Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
Variabel Deviasi
2.4. Karakteristik Respon Proses
( ) ( ) ( )
t
y
t
y
0
Y
=
−
Dimana:
y
(
t
) = nilai variabel total
y
(
0
) = nilai variabel pada kondisi awal
Dari definisi variabel deviasi, maka variabel deviasi pada kondisi
awal selalu nol (0):
Y
(0) =
y
(0) –
y
(0) = 0
…. (2.4.1)
Pertimbangkan PD linear order n:
( )
( )
( )
t y a dt t y d a dt t y d a n n n n n n 1 0 1 1 + + + − − − K( )
( )
( )
c t x b dt t x d b dt t x d b m m m m m m + + + + = − − −1 0 1 1 L …. (2.4.2) DINPRO / II / 38 Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY( )
b
x
( )
c
y
a
00
=
00
+
2.4. Karakteristik Respon Proses
Dimana n > m,
y
(
t
) = output,
x
(
t
) = input, dan c = konstanta
Pada kondisi tunak awal, semua fungsi derivatif waktu adalah nol
sehingga:
…. (2.4.3)Pers. (2.4.2) – Pers. (2.4.3) :
( )
( )
( )
t Y a dt t Y d a dt t Y d a n n n n n n 1 0 1 1 + + + − − − K( )
( )
( )
t X b dt t X d b dt t X d b m m m m m m 1 0 1 1 + + + = − − − L …. (2.4.4)Dimana:
Y
(
t
) =
y
(
t
) –
y
(0) dan
X
(
t
) =
x
(
t
) –
x
(0)
DINPRO / II / 39 Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY2.4. Karakteristik Respon Proses
Respon Output
Untuk menunjukkan hubungan antara respon output dan akar-akar dari denominator fungsi transfer, maka penyelesaian TL dari pers. (2.4.4) dalam term deviasi:
( )
X
( )
s
a
s
a
s
a
b
s
b
s
b
s
Y
n n n n m m m m⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
+
+
+
+
+
=
− − − − 0 1 1 0 1 1L
L
…. (2.4.5)Denominator pers. (4.5) dapat difaktorkan menjadi derajat n berikut:
( )
(
)(
) (
) ( )
X
s
r
s
r
s
r
s
a
b
s
b
s
b
s
Y
n n m m m m⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
+
+
+
=
− −L
L
2 1 0 1 1 …. (2.4.6)Dimana r1, r2, …, rn adalah akar polynomial denominator. Disamping
n faktor (lihat pers 2.4.6), terdapat faktor lain dariX(s) yang tergantung
DINPRO / II / 40 Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
2.4. Karakteristik Respon Proses
Pengembangan dalam fraksi parsial:
( )
term
dari
X
( )
s
r
s
A
r
s
A
r
s
A
s
Y
n n+
−
+
+
−
+
−
=
L
1 1 1 1 …. (2.4.7)Kebalikan laplace pers. (4.7) menghasilkan:
( )
s
A
e
A
e
A
e
term
dari
X
( )
s
Y
=
r1t+
r2t+
L
+
n rnt+
2
1 …. (2.4.8)
Akar-Akar Nyata:
Akar positif: respon naik seiring naiknya waktuÆTIDAK STABIL Akar negatif: meluruh sampai nolÆSTABIL
∴Jika semua akar denominator dari FT adalah nyata: ☺ respon monotonic (non-oscillatory)
☺ respon stabil jika semua akarnya negatif (lihat Gambar 2.4.1)
DINPRO / II / 41 Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
Gambar 2.4.1. Respon untuk akar-akar nyata
2.4. Karakteristik Respon Proses
t Y(t)
Y1
tk t
Y(t)
(a) Stabil, akar nyata negatif (b) Tidak Stabil, akar nyata positif
Y1 = kondisi tunak baru
k k
r
t =−5 …. (2.4.9)
2.4. Karakteristik Respon Proses
dimana: ρ= bagian real;ω= bagian imaginer
Pasangan Akar Complex Conjugate:
r1= ρ+ i ω r2= ρ −i ω Pengembangan FT:
(
)(
)
(
)
(
(
−
)
+
)
+
L
−
+
+
−
−
+
=
1 2 2 2 2 2 2 1ω
ρ
ω
ω
ρ
ρ
s
A
A
i
s
s
A
A
( )
+
L
+
−
+
−
−
=
ω
ρ
ω
ρ
s
i
A
i
s
A
s
Y
1 2(
)
(
−
)
+
+
(
−
)
+
+
L
−
=
2 2 2 2ω
ρ
ω
ω
ρ
ρ
s
C
s
s
B
dimana:
B
=
A
1+
A
2dan
C
=
i
(
A
1–
A
2)
…. (2.4.10)DINPRO / II / 43 Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
Jadi
invert
dari
pers. (2.4.10)
menghasilkan (
lihat Tabel 2.2.1
):
(
ω
t
θ
)
sin
θ
cos
ω
t
cos
θ
sin
ω
t
sin
+
=
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
C
B
arctan
θ
( )
t
=
De
ρ(
ω
t
+
θ
)
+
L
Y
tsin
2 2C
B
D
=
+
( )
t
=
Be
t
+
Ce
t
+
L
Y
ρtcos
ω
ρtsin
ω
[
+
]
+
L
=
e
ρtB
cos
ω
t
C
sin
ω
t
Penyederhanaan menggunakan bentuk trigonometri:
menghasilkan:
…. (2.4.11)dimana:
Æ
Amplitudo awal
Æ
Phase angle,
dalam radian
2.4. Karakteristik Respon Proses
DINPRO / II / 44 Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
2.4. Karakteristik Respon Proses
Berdasarkan pers. (2.4.11), disimpulkan: ☺Respon berosilasi
☺Osilasi menjadi TIDAK STABIL, jika bilangan kompleks
conjugatemempunyai akar bagian real positif
Perhatikan term eρt:
ρpositifÆAmplitudo semakin besar dengan waktu ρnegatifÆAmplitudo meluruh
Frekuensigelombang sinus merupakan bagian imaginer dari akar, ω dalam radian/waktu.
Periode osilasi: waktu yang diperlukan untuk menempuh satu siklus gelombang. atau, waktu yang diperlukan untuk menaikkan argumen gelombang sinus (ωt+ θ) sebesar 2πradian.
ω
π
2
=
T
…. (2.4.12) DINPRO / II / 45 Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVYGambar 2.4.2. Respon untuk akar-akar
complex conjugate
2.4. Karakteristik Respon Proses
t Y(t)
Y1
ts t
Y(t)
(a) Stabil, akar nyata negatif
(b) Tidak Stabil, akar nyata positif
Y1 = kondisi tunak baru
ρ
5
−
=
st
…. (2.4.13) …. (2.4.14) ω πρ ρ 2 /e
e
ratio
Decay
=
T=
DINPRO / II / 46 Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
2.4. Karakteristik Respon Proses
Kondisi Tunak Baru
Kondisi tunak baru dapat dicari denganfinal value theorem
Asumsi input berubah dengan fungsi tahap dimanaX(t) = ∆x u(t)
atauX(s) = ∆x / s Æsubstitusi ke pers. (2.4.5)
s
x
a
b
s
x
a
s
a
s
a
b
s
b
s
b
s
Y
n n n n m m m m s∆
=
∆
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+
+
+
+
+
=
∆
− − − − → 0 0 0 1 1 0 1 1 0lim
L
L
… (2.4.15)Kriteria Kestabilan
Sistem akan STABIL jika semua akar denominator dari FT adalah NEGATIF, yaitu: negatif untuk akar nyata dan negatif untuk bagian real dari akarcomplex. Lihat Gambar bidang kompleks (Gambar 2.4.3)
DINPRO / II / 47 Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
Gambar 2.4.3.
Complex Plane
2.4. Karakteristik Respon Proses
I
R
STABIL
STABIL
2.5. Linearisasi
Salah satu kesulitan dalam analisis respon dinamik untuk proses adalah sifat ketidak-linearan proses tersebut. Metode Transformasi Laplace (TL) yang telah kita pelajari dapat menggambarkan dinamika sistem proses. Sayangnya, hanya sistem linear saja yang dapat dianalisa dengan TL. Dan, tidak ada teknik lainnya yang dapat digunakan untuk analisis dinamik sistem non-linear.
Mengapa
Mengapa
perlu
perlu
linearisasi
linearisasi
?
?
Linearisasi digunakan untuk mendekati respon sistem non-linear dengan PD linear yang kemudian dapat dianalisa dengan TL
Pendekatan linear terhadap sistem non-linear dapat diterima (valid) untuk daerah yang dekat dengan beberapa titik dasar (base point) yang dibuat.
DINPRO / II / 49 Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
2.5. Linearisasi
Beberapa
Beberapafungsifungsinonnon--linear yang linear yang umumumum::
☺Entalpi (H), sebagai fungsi suhu (T):
( )
[ ]
(
( )
) ( )
t
x
t
x
t
x
y
1
1
+
−
=
α
α
… (2.5.1)dimana:H0, a0, a1, a2, a3, dana4adalah konstanta.
( )
[ ]
T
t
e
A B[
T( )t C]
p
0=
− +( )
[ ]
T
t
H
a
T
( )
t
a
T
( )
t
a
T
( )
t
a
T
( )
t
H
=
0+
1+
2 2+
3 3+
4 4☺Pers. Antoine: tekanan uap (p0) sebagai fungsi suhu (T) dimana:A, B, danC adalah konstanta.
… (2.5.2)
☺Fraksi mol uap setimbang (y), sebagai fungsi fraksi mol cairan (x)
dimana:αadalah volatilitas relatif, biasanya diasumsikan konstan.
… (2.5.3)
DINPRO / II / 50 Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
2.5. Linearisasi
☺Laju aliran (f), sebagai fungsipressure drop(∆p):
( )
[ ]
T
t
k
e
E[RT( )t]k
=
0 −… (2.5.4)
dimana:k adalah koefisian kunduktansi konstan.
( )
[ ]
T
t
AT
( )
t
q
=
εσ
4( )
[
p
t
]
k
p
( )
t
f
∆
=
∆
☺Laju perpindahan panas radiasi q, sebagai fungsi suhu (T) dimana:ε, σ, danA adalah konstanta.
… (2.5.5)
☺Pers. Arhenius: ketergantungan koef. laju reaksi(k)terhadap (T) dimana:αk0, E, danRadalah konstanta.
… (2.5.6)
( ) ( ) ( )
[
T
t
,
c
t
,
c
t
,...
]
k
[ ]
T
( )
t
c
( ) ( )
t
c
t
...
r
A B=
aA bB☺Pers. Laju reaksi (r): sebagai fungsi suhu (T), dan konsentrasiCA, CB.
… (2.5.7)
dimana:k[T(t)] = pers. (2.7.6);a, danbadalah konstanta.
DINPRO / II / 51 Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
2.5. Linearisasi
Linearisasi
LinearisasiFungsiFungsiSatuSatuVariabelVariabel
… (2.5.8)
( )
[ ]
=
( )
+
[
( )
−
]
+
2[
( )
−
]
2+
L
2!
2
1
x
t
x
dx
f
d
x
t
x
dx
df
x
f
t
x
f
x xdimana: adalahbase valuex disekitar fungsi yang diekspansi.
… (2.5.9)
Semua fungsi dapat dikembangkan ke dalam deretTaylorsekitarbase point:
x
( )
[ ] ( )
[
x
( )
t
x
]
dx
df
x
f
t
x
f
x−
+
=
Dalam linearisasi, bentuk order dua atau lebih dari pers. (2.5.8) dapat diabaikan, sehingga menjadi:
Pers. (2.5.9) adalah fungsi dasar linearisasi yang diilustrasikan pada Gambar 2.5.1. Karena adalah konstan, maka persamaan disebelah kanan tanda sama dengan adalah linear dalam variabelx(t)
DINPRO / II / 52 Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
2.5. Linearisasi
Gambar 2.5.1 Pendekatan linear adalah tangen dari fungsi non-linear padabase point
x
x(t) x dx df
( )
x f 1x
( )
[ ]
x
t
f
Fungsi non-linear Garis tangen DINPRO / II / 53 Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY2.5. Linearisasi
Contoh 2.5.1:Linearisasi Pers. Arrhenius
Base point:
( )
[ ]
( )
[
T
( )
t
T
]
dT
dk
T
k
t
T
k
T−
+
=
T
( )
=
100
[ ]
sec
−1T
k
Energi aktivasi, E= 22000 kcal/kmol, & R= 1.987 kcal/kmol-K
Aplikasi Pers. (2.5.9) ke (2.5.6): ( )
[
]
T t RT E Te
k
dT
d
dT
dk
() 0 −=
( )
( )
2 2 0T
R
E
T
k
T
R
E
e
k
E RT=
=
− Dimana:Perkirakan error pada slope dalam rentang±10oC di sekitar = 300oC
Penyelesaian
Penyelesaian
:
:
2.5. Linearisasi
Slope:
Jadi diperoleh pendekatan linear:
k
[ ]
T
( )
t
=
100
+
3
.
37
[
T
( )
t
−
T
]
Sebagai perbandingan: dituliskan pendekatan linear berikut:
( )
(
)(
)
C
dT
dk
o C o 1 2 300sec
37
.
3
273
300
987
.
1
22000
100
=
−+
=
( )
T dk dT C k C T o T o , 70.95sec , 2.48sec / 290 = −1 = −1 =Dalamrange290 – 310 oC, diperoleh nilaiactualdanslope:
( )
T dk dT C k C T o T o , 139.3sec , 4.54sec / 310 = −1 = −1 = k(290oC) = 100 + 3.37(290 – 300) = 66.3 sec-1 Æerror = –6.6% k(310oC) = 100 + 3.37(310 – 300) = 133.7 sec-1 Æerror = –4%DINPRO / II / 55 Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
2.5. Linearisasi
Linearisasi
LinearisasiFungsiFungsiDuaDuaVariabelVariabelatauatauLebihLebih
(2.5.10)
( ) ( )
[
L] (
= L)
+[
( )
−]
+[
2( )
− 2]
+L 2 1 1 1 2 1 2 1 , , , , x t x dx f d x t x dx f d x x f t x t x f dimana:Ekspansi deretTayloruntuk dua variabel atau lebih:
L
,
,
2 1x
x
( ) ( )
[
w
t
h
t
] ( ) ( )
w
t
h
t
a
,
=
Contoh 2.5.2: kasus sederhana luas (a) segi empat adalah fungsi dari panjang (w) dan lebar (h):
( ) ( )
[
]
( )
( )
[
( )
]
h
( )
[
h
( )
t
h
]
a
w
t
w
w
a
h
w
a
t
h
t
w
a
h w h w−
∂
∂
+
−
∂
∂
+
=
, ,,
,
(x1,x2,L) k k x f x f ∂ ∂ = ∂ ∂ dan adalahbase valuedari masing-masing variabel Linearisasi:
( ) ( )
[
w
t
h
t
]
a
( )
w
h
h
[
w
( )
t
w
]
w
[
h
( )
t
h
]
a
,
=
,
+
−
+
−
DINPRO / II / 56 Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY2.5. Linearisasi
Gambar 2.5.2 Error pendekatan linear dari luas segi empat
h [w (t ) – w ] a(w,h) = w h w w [h(t) – h] h w(t) h(t) Asumsi: w= 2 m dan h = 1 m
Increment: w(t) = 2.2 m danh(t) = 1.1 m Æaactual= 2.42 m2
ÆLuas padabase point: a = 2 m2
Luas pendekatan = 2 + 1(0.2) + 2(0.1) = 2.40 m2
error = 2.42 – 2.40 = 0.02 m2 Luas daerah arsiran = (0.2)(0.1) = 0.02 m2
error
DINPRO / II / 57 Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
2.5. Linearisasi
Contoh 2.5.3: Linearisasi Pers. densitas gas ideal sbg fungsi tekanan dan suhu
Fungsi densitas non-linear
[
( ) ( )
]
( )
( )
t
RT
t
Mp
t
T
t
p
,
=
ρ
Untuk evaluasi, kita menggunakan gas udara:
M= berat molekul = 29 [kg/kmol] ; IB = tekanan absolut = 101.3 kPa T= suhu absolut [K] ; & R= 8.314 kPa-m3/kmol-K
Aplikasi Pers. (2.5.10):
