BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1Analisis Regresi

Analisis regresi adalah teknik statistika yang berguna untuk memeriksa dan memodelkan hubungan diantara variabel-variabel. Penerapannya dapat dijumpai secara luas di banyak bidang seperti teknik, ekonomi, manajemen, ilmu-ilmu biologi, ilmu-ilmu sosial, dan ilmu-ilmu pertanian. Pada saat ini, analisis regresi berguna dalam menelaah hubungan dua variabel atau lebih, dan terutama untuk menelusuri pola hubungan yang modelnya belum diketahui dengan sempurna, sehingga dalam penerapannya lebih bersifat eksploratif.

2.1.1 Regresi Linier Sederhana

Regresi linier sederhana adalah merupakan suatu alat analisis yang digunakan untuk mengestimasi atau mempresiksi nilai suatu variabel berdasarkan nilai variabel lain

yang diketahui. Hubungan linier antara dua variabel, dua variabel ini dibedakan

menjadi variabel bebas yang dinotasikan X dan variabel terikat yang dinotasikan Y. Variabel tak bebas adalah variabel yang nilainya selalu bergantung dengan nilai variabel lain dalam hal ini variabel tak bebas nilainya selalu dipengaruhi oleh variabel bebas, sehingga sering disebut dengan variabel terikat sedangkan variabel bebas adalah variabel yang nilainya tidak tergantung dengan nilai variabel lain. Hubungan-hubungan ini bila dinyatakan dalam model matematis akan memberikan persamaan-persamaan tertentu.

Pembahasan kita akan terbatas pada regresi garis sederhana yaitu pada pembahasan mengenai hubungan antara dua variabel yang biasanya cukup tepat dinyatakan dalam suatu garis lurus.

X Y

Gambar 2.1 Diagram Pencar

Garis lurus yang terdapat pada diagram pencar pada gambar 2.1 yang memperlihatkan adanya hubungan antara kedua variabel disebut garis regresi atau garis perkiraan, dan yang seperti kita ketahui, persamaan yang digunakan untuk mendapatkan garis regresi pada data diagram pencar disebut persamaan regresi yang merupakan suatu persamaan matematika yang mendefinisikan hubungan antara dua variabel.

Persamaan umum garis lurus yang diperlihatkan, akan digunakan untuk menempatkan garis regresi pada data yang diperoleh. Oleh karena itu, metode kuadrat terkecil sekali lagi akan kita gunakan untuk menempatkan garis pada data yang diamati. Sehingga bentuk umum dari persamaan regresi adalah sebagai berikut :

i i a bX

Y   , untuk i = 1,2,...n

dengan : Yi = variabel terikat ke-i

Xi = variabel bebas ke-i

a = intersep (titik potong kurva terhadap sumbu Y) b = kemiringan (slope) kurva linier

Untuk memperkirakan A dan B, maka dipergunakan metode kuadrat terkecil

Model sebenarnya : Y = A + BX + ε

Model perkiraan : Y = a + bX + e

A, b dan e merupakan perkiraan/taksiran atas A, B, dan ε

Metode kuadrat terkecil adalah suatu metode untuk menghitung a dan b sebagai perkiraan A dan B, sedemikian rupa sehingga jumlah kesalahan kuadrat memiliki nilai terkecil. Dengan bahasa matematik, dapat dinyatakan sebagai berikut :

i i i a bX e Y    , i = 1,2,...,n



i i i Y a bX e   



kesalahan (error) i







2 

_

 





2 i i i Y a bX

 = jumlah kesalahan kuadrat

Jadi, metode kuadrat terkecil adalah metode untuk menghitung a dan b

sedemikian rupa sehingga



2

i

e = terkecil (minimum). Caranya ialah dengan

membuat turunan parsial (partial differential) dari



2

i

e mula-mula terhadap a

kemudian terhadap b dan menyamakannya dengan nol.









 

_

_





_{       }   i i i i i X b an Y bX a Y a e 0 1 2 2 ... (2.1)













_

_

_





_{       }   2 ₂ 0 2 _{i i i i i i i} i X b X a Y X X bX a Y b e ... (2.2)

Persamaan (2.1) dibagi dengan

n X n an n Y n_



i _{ }



i Y abX sehingga ; aY bX masukkan a ke persamaan (2.2)

















_







            2 2 i i i i i i i i i i X b X n X b n Y Y X X b X X b Y Y X









 









2 2 i i i i i i b X n X b n Y X Y X







 





           n Y X Y X b n X X i i i i i i 2 2







_

 



_









 

      ₂ 2 2 2 i i i i i i i i i i i i X X n Y X Y X n n X X n Y X Y X b

meminimalkan jumlah deviasi kuadrat (Regresi Kuadrat-Terkecil)

metode ini didasarkan pada pemilihan β0 dan β1 sehingga meminimalkan jumlah

kuadrat deviasi titik-titik data dari garis yang dicocokkan. Jumlah dari kuadrat deviasi (SSD) dari garis adalah







      n i i i n i i Y X e SSD 1 2 1 0 1 2 _{ }



_{... (2.3)}

ε

Gambar 2.2 suatu pengamatan (data) yang tidak tepat pada garis regresi

Kemudian akan dipilih taksir ₀ dan ₁ sehingga jika taksiran ini

disubstitusikan ke dalam persamaan (2.3) maka jumlah deviasi kuadrat menjadi

minimum. Dengan mendiferensialkan persamaan (2.3) terhadap ₀ dan ₁ dengan







i i



n i i n i i i X Y X SSD X Y SSD 1 0 1 1 1 1 0 0 2 2                  





  ... (2.4) Dan karenanya ... (2.5)













        n i i i i n i i i X Y X X Y 1 1 0 1 0 1 0 0    

dari persamaan (2.5), diperoleh











         n i n i n i i i i i n i i n i i Y X X X Y X n 1 1 1 2 1 0 1 1 1 0    

persamaan (2.6) disebut dengan persamaan normal. Dari persamaan (2.6) diperoleh,





















   n X X n Y X Y X i i i i i i 2 2 1 ˆ  ... (2.6)

dan ˆ₀ Y ˆ₁X, dimana Y dan X adalah



_in_1Y_i n dan



_in_1X_i n. dan

yang diperoleh dengan cara ini disebut taksiran kuadrat terkecil masing-masing dari

0 ˆ

 _ˆ₁

0

 dan ₁. Dengan demikian, taksiran persamaan regresi dapat ditulis sebagai,

, yang disebut persamaan prediksi.

X

1 ˆ 

Yˆˆ₀

2.1.2 Regresi Linier Ganda

Regresi linier ganda adalah analisis regresi yang meramalkan pengaruh dua variabel prediktor atau lebih terhadap satu variabel kriterium atau untuk membuktikan ada atau

tidaknya hubungan fungsional antara dua buah variabel bebas X atau lebih dengan sebuah variabel terikat Y.

Mengingat model itu :

         _{0 1}X₁ ... _p1X_p1 Y … (2.7)

dengan : X1,X2, …, Xp-1 diketahui konstan

βj tidak diketahi parameter untuk diestimasi

ε adalah batas error

Seperti dibagian 2.2, metode kuadrat terkecil dari estimasi β terdiri dari

minimize



2 dengan respect ke β; bahwa, kita minimize

i  _{' } 2 X Y  dengan respect ke β. Sekarang  ' 



YX

 

' YX



   X Y X X Y Y' 2 ' '  ' ' 

Perbedaan ' dengan respect ke β dan persamaan ' 0

     , kita dapatkan

-2X’Y + 2X’Xβ = 0 atau X’Xβ = X’Y … (2.8)

… (2.9)



X'X



X'Y ˆ_ 1  Kemudian untuk β, (Y – Xβ)’ (Y-Xβ) 



Y XX

 

ˆ-ˆ



'



YXX



ˆˆ







 



 

 

 

 

   _{Y X}ˆ ' _{Y X}ˆ ˆ '_X'_X ˆ





ˆ



' ˆ



X Y X Y  

Minimum dari



YX



'



YX



adalah



_ˆ



' _ˆ



X Y X

Y   dicapai pada .

Solusi ini untuk melihat minimize



 _ ˆ

 ' .

2.1.3 Ketepatan Garis Estimasi dengan Menggunakan Metode Kuadrat Terkecil. Penentuan persamaan estimasi linier dengan menggunakan metode garis lurus akan menghasilkan persamaan yang baik, jika semua titik yang mencerminkan pasangan data berada di sekitar garis lurus tersebut. Namun, jika titik-titik pasangan data tersebar satu sama lain, maka persamaan linier yang baik untuk mengestimasi nilai variabel dependen adalah persamaan linier yang kurvanya mempunyai kesalahan yang minimum (minimized the error) antara titik estimasi dengan titik yang sebenarnya.

Metode kuadrat terkecil (least-squares method) untuk menentukan persamaan linier estimasi, berarti memiliki satu kurva linier dari beberapa kemungkinan kurva linier yang dibuat dari data yang ada yang mempunyai kesalahan (error) paling kecil (selisih antara nilai aktual dan nilai taksiran adalah paling kecil). Kriteria ini dikenal dengan istilah prinsip kuadrat terkecil (principle of least square). Prinsip pemilihan garis regresi ini adalah sebagai berikut :

‘pilih garis yang mempunyai jumlah kuadrat deviasi nilai observasi Y terhadap nilai Y prediksinya yang minimum sebagai garis regresi yang paling baik’.

Prinsip pemilihan garis yang mempunyai nilai a dan nilai b yang dapat meminimumkan :







   n i i i Y Y SSE 1 2 ˆ

Simbol SSE menunjukkan jumlah kuadrat deviasi, atau sering disebut jumlah kuadrat untuk kesalahan (sum of square for error). Jika suatu persamaan regresi diperoleh dari mensubstitusikan nilai a dan nilai b yang meminimumkan SSE, maka akan dihasilkan persamaan garis regresi prediksi kuadrat terkecil (least-squares prediction line) sebagai berikut :

bX a Yˆ 

yang menyatakan bahwa :

Ŷ : taksiran nilai Y

b : taksiran nilai slope populasi X : nilai tertentu X

Garis estimasi yang tepat (best fitting) adalah garis yang menghasilkan penyimpangan nilai dalam garis estimasi dengan nilai data observasi sekecil mungkin. Untuk dapat

memperoleh garis estimasi yang tepat, harus dapat diperoleh penduga nilai β0 dan β1

sedemikian rupa sehingga tujuan di atas dapat dicapai. Permasalah tersebut dapat diatasi dengan menggunakan metode kuadrat terkecil.

Metode kuadrat terkecil merupakan metode yang digunakan untuk

menentukan garis estimasi yang terbaik berdasarkan kriteria menghasilkan nilai



2

i e

yang sekecil mungkin.

2.1.4 Meminimumkan Rata-rata Deviasi Absolute

Mengingat masalah meminimumkan



d_i dengan pengaruh β,

dengan : di = deviasi dari pengamatan

Yi = nilai perkiraan

Minimimum Z =



d_i … (2.10.)

kendala Xβ + d = Y

d, β tanda takterbatas

Penting diperhatikan bahwa



 _ 

i i d d Minimimum Z =



d_1id_2i kendala Xβ + d1 – d2 = Y β tanda takterbatas d1, d2 ≥ 0

2.2LINIER PROGRAMMING

2.2.1 Model Linier Programming

Linier programming merupakan suatu model umum yang dapat digunakan dalam pemecahan masalah pengalokasian sumber-sumber yang terbatas secara optimal. Linier programming memakai suatu model matematis yang menggambarkan masalah yang dihadapi. Linier memiliki arti bahwa semua fungsi matematis dalam model harus merupakan fungsi-fungsi linier, sedangkan programming/pemrograman dapat diartikan sebagai perencanaan. Dengan demikian linier programming dapat didefenisikan sebagai membuat rencana kegiatan-kegiatan dengan menggunakan suatu model umum dalam pemecahan masalah pengalokasian sumber daya-sumber daya yang terbatas secara optimal.

Model dasar atau Persamaan linier dapat dirumuskan sebagai berikut :

Cari nilai-nilai yang dapat menghasilkan berbagai kombinasi

optimum (maksimum atau minimum) dari :

n X X X₁, ₂,..., n nX C X C X C Z  _{1 1} _{2 2} ... (fungsi tujuan)

Dengan syarat bahwa fungsi tujuan tersebut memenuhi kendala-kendala atau syarat-syarat ikatan sebagai berikut :

2 2 2 22 2 21 1 1 2 12 1 11 ... ... b atau X a X a X a b atau X a X a X a n n n n           . . . . . . . . . . . . m n mn m m X a X a X atau b a _{1 1} _{2 2} ...  

dan bahwa : X_j 0,untuk j = 1,2,…,n

atau dalam bentuk kompaknya :

optimumkan (maksimumkan atau minimumkan) :



  n j i i X C Z 1 untuk j = 1, 2, …n

dengan syarat ikatan :



   n i ij j i b atau X a 1 , untuk i = 1, 2, … m

Konsep linier programming ditemukan dan diperkenalkan pertama kali oleh George Dantzig yang berupa metode mencari solusi masalah linier programming dengan banyak variabel keputusan. Kemudian banyak ahli yang bergabung dengan Dantzig dalam konsep pengembangan linier programming. Paper pertamanya adalah

metode solusi yang bernama metode simplex. Dalam pengembangan linier

programming, Dantzig bekerjasama dengan Marshal Wood dan Alex O, dan masih banyak para ahli yang lainnya ikut. Kemudian, setelah berhasil diterapkan pada sektor pemerintah dan swasta, akhirnya disadari bahwa linier programming merupakan masalah yang sangat membantu dalam analisis bidang bisnis.

Model Linier Programming ini merupakan bentuk dan susunan dari dalam menyajikan masalah-masalah yang akan dipecahkan dengan teknik linier programming. Dalam model linier programming dikenal 2 (dua) macam fungsi, yaitu :

1. fungsi tujuan (objective function) adalah fungsi yang menggambarkan tujuan/sasaran di dalam permasalahan linier programming yang berkaitan dengan pengaturan secara optimal, untuk memperoleh keuntungan maksimal atau biaya minimal. Pada umumnya nilai yang akan dioptimalkan dinyatakan sebagai Z.

2. fungsi batasan (constraint function) adalah bentuk penyajian secara matematis batasan-batasan kapasitas yang tersedia yang akan dialokasikan secara optimal ke berbagai kegiatan.

Tabel 2.1 Tabel Awal Linier Programming 1 2 3 4 5 1 Cj X1 X2 … Xk … Xn … … d1 dl dn B C VB WB 0 0 … 0 … 0 w1 … wl … wn  1 d X₁ b₁ a11 a12 2 … a_1k … a_1n 1 … 0 … 0  2 d X₂ b₂ a21 a22 … a2k … a2n 0 … 0 … 0 … … … ……… 3 Baris 1  l d X_l b_l a_l1 a_l2 … a_lk … a_ln 0 … 1 … 0 … … … ………  n d Xn bn anl an2 … ank … an 0 … 0 … 1



bidi

: Variabel keputusan dan variabel deviasi

Kolom 5 : Nilai sebelah kanan

putusan

Kolom 4 : Matriks identitas menunjukkan pemasukan variabel deviasi negatif

Kolom 1 : Faktor prioritas dan bobot untuk setiap variabel deviasi positif

(yakni variabel basis) dan memasukkan variabel deviasi artificial

Kolom 2 : wakili jumlah total deviasi dari

Baris 2 :

fungsi objektif.

j

X d_i.

Kolom 3 : Koefisien variabel ke a_ij.

_.

i

d

i

P W_i

seperti ditampilkan dalam kolom 2. Nilai total deviasi absolut, yang me

semua tujuan untuk tiap tabel sebagai interasi proses pendapatan. Vektor baris dari penunjuk nol pada proses perhitungan

Baris 3 : Bobot W_i untuk setiap variabel deviasi yang dimasukkan dalam

Zj

Pada garis besarnya langkah-langkah dalam analisis persoalan linier programming dengan metode simpleks adalah seperti terlihat dalam Gambar 2.3.

Langkah 0 Langkah 1 Langkah 1 Langkah 2 Langkah 3 Langkah 4

Konversikan semua ketidaksamaan menjadi kesamaan (bentuk baku):

Gunakan peubah disposal (slack dan surplus atau artifisial)

Tentukan penyelesaian pendahuluan yang layak (initial basic feasible solution) :

Gunakan peubah astifisial/peubah disposal

Lakukan penyempurnaan penyelesaian kelayakan Penyelesaian kelayakan yang dicari perlu diteruskan …? Apakah penyelesaian kelayakan yang kini sudah layak (feasible) dan optimal …? Carilah penyelesaian kelayakan yang lebih baik Penyelesaian kelayakan sudah optimal

Tidak ada penyelesaian (tidak layak/tidak optimal

MULAI

SELESAI

2.2.2 Asumsi-Asumsi Dasar Linier Programming

Dalam model linier programming terdapat asumsi-asumsi yang harus dipenuhi agar permasalahan linier programming menjadi absah, adapun asumsi linier programming adalah sebagai berikut :

1. Proportionality

Asumsi ini berarti bahwa naik turunnya nilai Z dan penggunaan sumber atau

fasilitas yang tersedia akan berubah secara sebanding (propotional) dengan

perubahan tingkat kegiatan. contoh :

a. Z C₁X₁C₂X₂C₃X₃ ...C_nX_n

Setiap pertambahan 1 unit X1 akan menaikkan Z sebesar C1

b. a₁₁X₁a₁₂X₂a₁₃X₃ ...a_nX_n b₁

Setiap pertambahan 1 unit X1 akan menaikkan penggunaan sumber

sebesar a11

2. Additivity

Asumsi ini berarti bahwa nilai tujuan setiap kegiatan bersifat independent (bebas/tidak saling bergantung) dan dalam linier programming dianggap bahwa kenaikan nilai tujuan (Z) yang diakibatkan oleh suatu kegiatan dapat langsung ditambahkan tanpa mempengaruhi bagian nilai kegiatan lain.

misalnya :

Z = 3X1 + 5X2

dengan X1 = 10 ; X2 = 2

sehingga Z = 30 + 10 = 40

Andaikan X1 bertambah 1 unit, maka sesuai dengan asumsi pertama, nilai Z

menjadi 40 + 3 = 43. Jadi nilai 3 karena kenaikan X1 dapat langsung

ditambahkan pada nilai Z mula-mula tanpa mengurangi bagian Z yang

diperoleh dari kegiatan 2 (X2). Dengan kata lain, tidak ada korelasi antara X1

3. Divisibility

Dalam linier programming diperbolehkan menggunakan angka pecahan. misalnya :

dari hasil perhitungan didapat nilai X1 = 4,5 ; X2 = 7,25 dan Z =

85.000,25

Dalam hal tertentu nilai pecahan ini harus dibulatkan dengan menggunakan integer, misalnya : jumlah mahasiswa diperguruan tinggi tidak mungkin dalam bentuk pecahan.

4. Deterministik

Asumsi ini menyatakan bahwa semua parameter yang terdapat dalam model

linier programming yang berupa aij, bi dan Cj dapat diketahui secara pasti.

2.2.3 Terminologi Linier Programming

Agar memahami dengan baik bidang yang dipelajari , pembaca selalu harus mengerti istilah-istilah dan lambang-lambang khusus yang digunakan orang dalam bidang studi itu. Berikut ini adalah defenisi dari beberapa istilah dan lambang yang biasa digunakan dalam Linier Programming.

1. Decision variabel adalah seperangkat variabel yang tidak diketahui

(dilambangkan x_j, dengan j =1, 2, … n) yang akan dicari nilainya (variabel

keputusan).

2. Right hand side value (RHS) adalah nilai-nilai yang biasanya menunjukkan

ketersediaan sumber daya (dilambangkan dengan b_i ) yang akan ditentukan

kekurangan atau kelebihan penggunaannya (nilai sisi kanan).

3. Variabel Dasar adalah variabel yang nilainya sama dengan sisi kanan dari persamaan.

4. Kolom Kunci adalah kolom yang merupakan dasar untuk mengubah tabel. Pilih kolom yang mempunyai nilai pada garis fungsi tujuan yang bernilai negatif dengan angka terbesar.

5. Baris Kunci adalah baris yang merupakan dasar untuk mengubah tabel tersebut. Untuk itu terlebih dahulu carilah indeks tiap-tiap baris dengan cara membagi nilai-nilai pada kolom RHS dengan nilai yang sebaris pada kolom kunci.

6. Angka Kunci (Pivot) merupakan perpotongan antara kolom kunci dengan baris kunci.

2.2.4 Unsur-Unsur Linier Programming

Setiap model Linier Programming paling sedikit terdiri dari dua komponen yaitu : fungsi tujuan, dan kendala-kendala tujuan.

Fungsi Tujuan

Adapun fungsi tujuan dalam linier programming, yaitu :

Minimumkan



   _  m i i i d d Z 1

Dalam hal ini peubah deviasi positif dan deviasi negatif adalah tidak lain daripada peubah-peubah slek dan surplus.

Model Linier Programming, nilai yang tidak diketahui, tetapi akan

melakukannya secara tidak langsung melalui minimisasi simpangan negatif dan positif

dari nilai RHS kendala tujuan. Linier Programming mencari nilai solusi secara

langsung melalui minimisasi penyimpangan-penyimpangan dari nilai RHSnya.

j

x

j

x

Kendala Tujuan

Ada empat jenis kendala tujuan yang berlainan. Maksud setiap jenis kendala itu ditentukan oleh hubungannya dengan fungsi tujuan. Pada Tabel 2.1 disajikan keempat jenis kendala itu. Terlihat bahwa setiap jenis kendala tujuan harus punya satu atau dua variabel simpangan yang ditempatkan pada fungsi tujuan. Dimungkinkan adanya kendala-kendala yang tidak memiliki variabel simpangan. Kendala-kendala ini sama seperti kendala-kendala persamaan linier. Persamaan pertama pada Tabel 2.1

maknanya serupa dengan kendala pertidaksamaan ≤ dalam masalah program linier

maksimasi. Persamaan kedua maknanya serupa dengan kendala pertidaksamaan ≥

pada masalah program linier minimisasi. Persamaan ketiga memperbolehkan penyimpangan dua arah, tetapi persamaan ini mancari penggunaan sumber daya yang

diinginkan sama dengan . Jika kendala persamaan dianggap perlu dalam perumusan model linier programming, ia dapat dimasukkan dengan menempatkan sebuah artificial variabel , seperti pada persamaan keempat.

i b  i d 2.3 Analisis Dualitas

Setiap persoalan program linier selalu memiliki dua macam analisis, atau katakanlah dua pakar yang menjadi satu, yaitu (1) analisis primal dan (2) analisis dual yang biasanya disebut analisis primal-dual.

Untuk persoalan maksimisasi, maka semua rumusan fungsi kendalanya mempunyai tanda “lebih kecil daripada atau sama dengan”. Jika persoalannya adalah minimisasi maka tanda fungsi syarat ikatanya harus “lebih besar daripada atau sama dengan”, ingat bahwa tidak perlu semua konstanta atau nilai sebelah kanan (disingkat nsk)

Jika suatu persoalan dalam rumusan program liniernya memiliki fungsi kendala kesamaan (nilai nsk-nya bertanda sama dengan), maka fungsi kendala tersebut dapat ditukar atau diganti dengan dua fungsi lainnya yaitu :

Pertama, bertanda “lebih kecil daripada atau sama dengan” Kedua, bertanda “lebih besar daripada atau sama dengan”,

Salah satu diantara kedua fungsi kendala lain tersebut (pilih mana saja), kemudian diambil, dan kalikan dengan -1 unutk mendapatkan fungsi kendala baru yang sesuai dengan aturan yang diminta.

Model Umum

Masalah primal Masalah dual

Maksimumkan 



_ n j i i X C Z 1 dengan kendala : n _i, j j ijX b a 



1 Minimumkan



  n i i i Y b G 1 dengan kendala : m _i, i ij j C Y a 



1

Apabila bentuk persamaan diatas dinyatakan dalam bentuk notasi matriks, maka kita peroleh rumusannya seperti terlihat dalam persamaan berikut :

Masalah primal Masalah dual

Minimum : Gb'Y dengan kendala : AY ≤ C Y ≥ 0 Maksimum : Z C'X dengan kendala : AX ≤ b X ≥ 0

BAB 3