Pemodelan Matematika pada Penularan PENYAKIT TUBERCULOSIS

(1)

(2)

Buku Referensi

Pemodelan Matematika

pada Penularan

PENYAKIT

TUBERCULOSIS

Syafruddin Side

Wahidah Sanusi

(3)

Pemodelan Matematika pada Penularan Penyakit Tuberculosis Hak Cipta @ 2016 Oleh Syafruddin & Wahidah

Hak Cipta dilindungi undang-undang Cetakan Pertama, 2016

Diterbitkan oleh Badan Penerbit Universitas Negeri Makassar, Hotel La Macca Lt 1

JI. A. P. Petta Rani Makassar 90222 Telepon/Fax. (0411) 855 199 Anggota IKAPI No. 011/SSL/2010 Anggota APPTI No. 093/KTA/APPTI/X/2015

Dilarang memperbanyak buku ini dalam bentuk apa pun tanpa izin tertulis dari penerbit

Pemodelan Matematika pada Penularan Penyakit Tuberculosis,– Oleh Syafruddin & Wahidah Cet. 1

Lay out /Format: Badan Penerbit UNM

Makassar: Badan Penerbit Universitas Negeri Makassar Makassar, 2016

73 hlm, 21 cm Biblliografi: 71 hlm

(4)

i

KATA PENGANTAR

Penulis mengucapkan puji Syukur kepada Allah Subhanahu Wata’Ala, karena atas limpahan rahmat hinayah dan hidayah-Nya, sehingga penulis dapat merampungkan penulisan Buku Referensi ini. Salam dan salawat juga selalu tercurah kepada Rasulullah Muhammad Sallallahu Alaihi Wasallam, yang telah menjadi teladan bagi seluruh ummat Islam di dunia.

Buku Referensi ini menjelaskan tentang pemodelan matematika SIR dan SEIR pada penularan penyakit Tuberculosis (TB), serta analisis dan simulasi Model SIR dan SEIR pada penularan penyakit TB dengan studi kasus di provinsi Sulawesi Selatan. Buku referensi ini merupakan hasil penelitian fundamental di bidang matematika dan kesehatan.

Pemodelan matematika adalah salah satu bagian Matematika yang merupakan pengembangan Aljabar, Analisis dan Persamaan Differensial, karena isi dari pemodelan matematika, sebagian besar merupakan penerapan atau aplikasi di bidang tersebut. Untuk mempermudah perhitungan, paket MAPLE digunakan. Pemodelan matematika SIR dan SEIR ini dapat dijadikan rujukan untuk penelitian di bidang terapan khususnya bidang kesehatan. Buku referensi ini juga dapat dijadikan rujukan untuk mata kuliah pemodelan matematika sehingga diharapkan dapat menjadi bahan bacaan bagi peneliti dan mahasiswa.

Buku Referensi ini berisi tujuh bab, dimana antara bab yang satu dengan yang lain saling terkait dan menjadi syarat untuk bab berikutnya, sehingga pembaca harus memahami dengan teliti setiap babnya.

Penulis menyadari bahwa Buku Referensi ini masih jauh dari kesempurnaan, karena itu kritik dan saran yang sifatnya membangun

(5)

sangat penulis harapkan. Akhirnya penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah memberikan masukan sampai selesainya Buku Referensi ini. Semoga Buku Referensi ini bermanfaat untuk kita semua. Amin

Makassar, 2016

(6)

iii

DAFTAR ISI

Kata Pengantar Daftar Isi Daftar Tabel Daftar Gambar Senari Simbol BAB I PENDAHULUAN 1.1 Model Matematika 1.2 Klasifikasi Model

1.3 Tahapan Pemodelan Matematika

BAB II DEMAM BERDARAH DI SULAWESI SELATAN

2.1 Penularan Tuberculosis 2.2 Kasus Tuberculosis

2.3 Kasus Tuberculosis Di Sulawesi Selatan

BAB III TINJAUAN PUSTAKA

3.1 Kajian Model Tuberculosis

3.2 Model SIR Pada Penularan Tuberculosis 3.3 Model SEIR Pada Penularan Tuberculosis 3.4 Fungsi Lyapunov

BAB IV MODEL SIR DAN SEIR

4.1 Pembentukan Model SIR Penularan TB 4.2 Pembentukan Model SEIR Penularan TB

BAB V ANALISIS DAN SOLUSI NUMERIK MODEL SIR DAN SEIR

5.1 Analisis Kestabilan Model SIR dan SEIR 5.2 Analisis Kestabilan Global

5.3 Kestabilan Global Keseimbangan Epidemik

i

iii

v

vi

ix

1

2

3

5

6

7

9

11

12

15

17

20

25

26

30

(7)

BAB VI SIMULASI MODEL SIR DAN SEIR PENULARAN TUBERCULOSIS DI SULAWESI SELATAN

6.1 Simulasi Model SIR Penularan TB di SulSel 6.2 Simulasi Model SEIR Penularan TB di SulSel

6.3 Kadar Pembiakan Semula Penularan TB di Sulawesi Selatan

BAB VII PENUTUP

7.1 Kesimpulan 7.2 Saran Daftar Pustaka

35

49

60

63

64

65

(8)

v

DAFTAR TABEL

No. Tabel Halaman

3.1 Kajian Matematika tentang Model SIR

dan SEIR Penularan TB

9

6.1 Jumlah Kasus Tuberculosis di Propinsi

Sulawesi Selatan

35

6.2 Jumlah Kasus Tuberculosis Terbesar di

Kab/Kota Tahun 2010

36

Kab/Kota Tahun 2011

36

Kab/Kota Tahun 2012

36

Kab/Kota Tahun 2013

37

6.6 Syarat Awal dan Nilai Paramter Model

SIR Penularan TB

37

6.7 Tipe dan Kestabilan Titik Kritis

Berdasarkan Nilai Eigen

39

6.8 Syarat awal dan Nilai Parameter Model

SEIR Penularan TB

(9)

DAFTAR GAMBAR

No. Gambar Halaman

3.1 Diagram populasi manusia model SIR

Penularan TB

11

3.2 Diagram populasi manusia model SEIR

Penularan TB

13

4.1 Skema populasi manusia untuk penularan

TB model SIR.

17

4.2 Skema populasi manusia untuk penularan

TB model SEIR.

20

6.1 Jumlah kasus TB di Sulawesi Selatan Tahun 2010-2013.

41

6.2 Hasil Running Software MatLab Untuk

Model SIR

41

6.3 Penularan TB dengan syarat awal

Propinsi Sulawesi Selatan

42

6.4 Jumlah kasus TB di Sulawesi Selatan dan Kota Makassar Tahun 2010-2013

43

6.5 Penularan TB dengan syarat awal Kota

Makassar

43

6.6 Jumlah kasus TB di Sulawesi Selatan dan Kab. Bone Tahun 2010-2013

44

6.7 Penularan TB dengan syarat awal Kab.

Bone

44

6.8 Jumlah kasus TB di Sulawesi Selatan dan Kab. Gowa Tahun 2010-2013

45

Gowa

(10)

vii

6.10 Jumlah kasus TB di Sulawesi Selatan dan Kab. Takalar Tahun 2010-2013

46

Takalar

46

6.12 Jumlah kasus TB di Sulawesi Selatan dan Kab. Pinrang Tahun 2010-2013

47

Pinrang

47

6.14 Jumlah kasus TB di Sulawesi Selatan dan Kab. Wajo Tahun 2010-2013

48

Wajo

48

6.16 Hasil Running Software MatLab Untuk

Model SIR

52

6.17 Penularan TB dengan syarat awal

Propinsi Sulawesi Selatan

53

6.18 Jumlah kasus TB di Sulawesi Selatan dan Kota Makassar Tahun 2010-2013

54

6.19 Penularan TB dengan syarat awal Kota

Makassar

54

6.20 Jumlah kasus TB di Sulawesi Selatan dan Kab. Bone Tahun 2010-2013

55

Bone

55

6.22 Jumlah kasus TB di Sulawesi Selatan dan Kab. Gowa Tahun 2010-2013

56

Gowa

56

6.24 Jumlah kasus TB di Sulawesi Selatan dan Kab. Takalar Tahun 2010-2013

57

(11)

Takalar

6.26 Jumlah kasus TB di Sulawesi Selatan dan Kab. Pinrang Tahun 2010-2013

58

Pinrang

58

6.28 Jumlah kasus TB di Sulawesi Selatan dan Kab. Wajo Tahun 2010-2013

59

Wajo

(12)

ix

SENARAI SIMBOL

Nh total populasi manusia

Sh jumlah manusia berpotensi terinfeksi virus TB

Eh jumlah manusia memperlihatkan gejala terinfeksi virus TB

Ih jumlah manusia terinfeksi virus TB

Ii jumlah manusia terinfeksi TB oleh manusia yang terinfeksi

Rh jumlah manusia yang telah sembuh

h

µ

laju kelahiran/kematian dari populasi manusia h

δ

laju populasi manusia terinfeksi karena virus menjadi sehat h

ϕ

laju populasi manusia terinfeksi karena manusia yang terinfeksi menjadi sembuh

h

β

laju populasi manusia suspek menjadi infeksi karena virus h

σ

populasi manusia suspek menjadi eksposed h

φ

laju populasi manusia eksposed menjadi terinfeksi virus

1

F

titik keseimbangan pertama

2

F

titik keseimbangan kedua

L matriks Jakobi

L(t) fungsi Lyapunov

W(t) fungsi Lyapunov

L1(t) fungsi untuk populasi manusia

(13)

ruang riil positif berdimensi lima ruang riil positif berdimensi empat nilai eigen

laju pembiakan semula

(14)

Pendaduluan

1 BAB 1

PENDAHULUAN

ab ini akan menguraikan tentang pengertian model matematika, jenis-jenis model dan tahapan dalam pembentukan model matematika yang diambil dari Bab Pendahuluan pada buku terbitan sebelumnya yaitu Pemodelan Matematika dan Solusi Numerik untuk Penularan Demam Berdarah (Syafruddin Side dan Yulita Molliq, 2015) yang merupakan rangkuman dari buku dan paper yang ditulis oleh Bitman S dan Clara, 2011; Edward A, 2000; Frank R, 2003; V. A. Bokil, 2009, serta hasil pemikiran dari penulis pada. Bagian ini diharapkan dapat mengantar pembaca untuk memahami tentang pemodelan matematika sebelum lebih lanjut membaca bagian selanjutnya dari buku ini yang lebih spesifik menguraikan pemodelan matematika tentang penularan penyakit tuberculosis dengan studi kasus di provinsi Sulawesi Selatan yang merupakan hasil penelitian fundamental.

1.1 Model Matematika

Kata model dalam kehidupan sehari-hari, sering digunakan, dan mengandung arti. Sebagai contoh, kata bangunan, gambar dan penyakit merupakan representasi dari suatu masalah. Misalnya: model bangunan, model rumah, dan model penyakit. Secara umum istilah di atas menggambarkan adanya hubungan antara unsur-unsur dari bangunan atau rumah dengan modelnya. Contoh dalam bidang matematika, perbandingan antara panjang dan lebar persegipanjang dengan modelnya. Dalam model rumah juga mesti diketahui panjang lebarnya, tetapi tidaklah berarti bahwa model rumah dan rumah itu sendiri sama ukuranya dalam setiap hal. Secara singkat dapat dijelaskan bahwa jika ada suatu benda A (dapat berupa masalah, fenomena) dan modelnya B, maka akan terdapat sekumpulan

(15)

unsur dan B yang mempunyai padanan dengan A. Demikian pula terdapat suatu hubungan yang berlaku antara unsur-unsur di B yang sesuai dengan unsur-unsur sebagai padanannya di A. Hubungan antara komponen-komponen dalam suatu masalah yang dirumuskan dalam suatu persamaan matematik yang memuat komponen-komponen itu sebagai variabelnya, dinamakan model matematika. Proses untuk memperoleh model dari suatu masalah disebut pemodelan matematika. Kegunaan yang dapat diperoleh dari model matematika ini antara lain: 1) Menambah kecepatan, kejelasan, dan kekuatan gagasan dalam jangka waktu yang relatif singkat; 2) Deskripsi masalah menjadi pusat perhatian; 3) Mendapatkan pengertian atau kejelasan mekanisme dalam masalah; 4) Dapat digunakan untuk memprediksi kejadian yang akan muncul dari suatu fenomena; 5) Sebagai dasar perencanaan dan kontrol dalam pembuatan kebijakan, dan lain-lain.

1.2 Klasifikasi Model

Klasifikasi pembentukan model suatu model seringkali dikelompokkan berdasarkan upaya memperolehnya, keterkaitan waktu atau, sifat keluarannya. Model yang disamarkan atas upaya memperolehnya misalnya adalah model teoritik, mekanistik, dan empiris. Model teoritik digunakan bagi model yang diperoleh dari teori-teori yang berlaku. Model mekanistik digunakan bila model tersebut diperoleh berdasarkan maknisme pembangkit fenomena. Model empirik digunakan bagi model yang diperoleh hanya dari pengamatan tanpa didasarkan pada teori atau pengetahuan yang membangkitkan fenomena tersebut. Model mekanistik dapat digunakan untuk lebih mengerti tentang proses pembangkit fenomena, biasanya lebih sedikit parameternya, serta luas kawasan berlakunya. Bila mekanisme fenomena tersebut sukar dipahami, maka model empirik akan sangat berguna. Model yang terkait pada waktu disebut model dinamik, sedangkan model yang tidak terkait dengan waktu disebut model statik. Jika perubahan model dinamik terjadi secara kontinu dalam waktu, maka model ini disebut model diskrit. Jika output suatu model dapat ditentukan secara pasti dan berpadanan dengan hasil dari fenomenanya, maka model disebut model

(16)

Pendaduluan

3

deterministik. Jika tidak, berarti ada kepastian dari keluarannya (variabel acak). Model seperti ini disebut model stokastik. Jadi pada model stokastik outputnya tidak sepenuhnya dapat dispesifikasikan oleh bentuk model dan parameternya, tetapi mengandung variabel lain yang dapat ditentukan secara pasti.

Umumnya tidak ada kepastian kesesuaian output suatu model, tetapi jika ketidakpastian itu dapat diabaikan, maka model deterministik cukup ampuh digunakan. Pada bagian buku ini diuraikan model deterministik pada penularan penyakit demam berdarah yang merupakan hasil penelitian dari penulis.

1.3 Tahapan Pemodelan Matematika

Model matematika yang biasa ditemukan dalam buku referensi merupakan model akhir yang kelihatan rapi dan teratur. Apakah model itu menyatakan peramalan sesuatu yang akan terjadi atas dasar apa yang dimiliki, atau apakah model itu merupakan hubungan–hubungan kenormalan sekelompok data. Dalam kenyataan banyak upaya atau tahapan yang harus dilalui sebelum sampai pada hasil akhir tersebut. Tiap tahap memerlukan pengertian yang mendalam, utuh tentang konsep, teknik, intuisi, pemikiran kritis, kreatifitas, serta pembuatan keputusan. Bahkan faktor keberuntunganpun dapat saja terjadi. Berikut ini diberikan suatu metodologi dasar dalam proses penentuan model matematika atau sering disebut pemodelan matematika. Tahapan tersebut adalah: 1) Masalah. Adanya masalah nyata yang ingin dicari solusinya merupakan awal kegiatan penyelidikan. Masalah tersebut harus diidentifikasi secara jelas, diperiksa dengan teliti menurut kepentingannya. Bila masalahnya bersifat umum, maka diupayakan menjadi masalah khusus atau operasional; 2) Identifikasi masalah. Masalah yang diteliti perlu diidentifikasi, yaitu pengertian yang mendasar tentang masalah yang dihadapi, asumsi-asumsi yang jelas dan sesuai termasuk pemilihan variabel yang relevan dalam pembuatan model serta keterkaitanya; 3) Membangun Model. Membangun atau membentuk model merupakan penterjemahan dari masalah ke dalam persamaan matematika yang menghasilkan model matematik. Ini biasanya merupakan tahap yang paling penting dan

(17)

sulit. Semakin memahami masalah yang dihadapi dan semakin kuat penguasaan matematik seseorang, maka akan sangat membantu memudahkan dalam mencari modelnya. Dalam pemodelan selalu diusahakan untuk mencari model yang sesuai tetapi sederhana. Makin sederhana model yang diperoleh untuk tujuan yang ingin dicapai makin dianggap baik model itu. Dalam hal ini model yang digunakan ada-kalanya lebih dari satu persamaan, bahkan merupakan suatu sistem, atau suatu fungsi dengan variabel-variabel dalam bentuk persamaan parameter. Hal ini tergantung anggapan yang digunakan. Tidak tertutup kemungkinan pada tahap ini juga dilakukan "uji coba" , karena model matematik ini bukanlah merupakan hasil dari proses sekali jadi. Deduksi sifat-sifat yang diperoleh dari model yang digunakan; 5) Analisis Model. Pada tahap ini model yang umumnya merupakan abstraksi masalah yang sudah disederhanakan, sehingga hasilnya mungkin berbeda dengan kenyataan yang diperoleh. Untuk itu model yang diperoleh ini perlu dianalisis, sejauh mana model itu dapat dianggap memadai dalam merepresentasikan masalah yang dihadapi. Analisis yang digunakan terdiri dari berbagai metode tergantung model yang diiperoleh. Dalam model matematika, analisis yang sering digunakan adalah pelinearan, fungsi Lyapunov, dan fungsi Green; 6)

Uji Model. Model yang sudah dianalisis kemudian diuji dengan

bantuan software matematika sepaerti MatLab, Maple, Matematica, dan lain-lain. Apabila model yang dibuat dianggap tidak memadai, maka terdapat kemungkinan bahwa perumusan model yang digunakan atau karakterisasi masalah masih banyak belum sesuai, sehingga perlu diadakan perubahan pada model.

(18)

Tuberculosis di Sulawesi Selatan

5 BAB II

TUBERCULOSIS

DI SULAWESI SELATAN

ab ini menjelaskan tentang penyakit Tuberculosis (TBC) yaitu bagaimana cara penularan penyakit, virus pembawa penyakit dan cara penanggulangan TBC yang dilakukan selama ini. Bagian ini juga menjelaskan keadaan penyakit TBC di Indonesia secara umum dan di Sulawesi Selatan secara khusus.

2.1. Penularan Tuberkulosis

Tuberkulosis (TBC) merupakan penyakit menular langsung yang disebabkan oleh kuman mycobacterium tuberculosis. Sebagian besar kuman menyerang paru-paru melalui saluran pernafasan, tetapi juga dapat mengenai organ tubuh lainya (KKRI, 2007). Sumber penularan penyakit TBC adalah ketika seorang penderita TBC batuk, bersin, atau berbicara, maka secara tak sengaja keluarlah droplet nuklei dan jatuh ke tanah, lantai, atau tempat lainya. Jika droplet terkena sinar matahari atau suhu udara yang panas, droplet nuklei tadi akan menguap. Menguapnya droplet bakteri ke udara dibantu dengan pergerakan angin akan membuat bakteri tuberkulosis yang terkandung dalam droplet nuklei terbang ke udara. Jika bakteri ini terhirup oleh orang sehat maka orang itu berpotensi terkena infeksi bakteri tuberkulosis (Arfandi, 2012).

Infeksi TBC dibedakan menjadi dua macam yaitu, terinfeksi secara latent dan terinfeksi secara aktif. Terinfeksi secara latent adalah kondisi dimana didalam tubuh penderita terdapat bakteri TBC yang bersifat dormant (tidur), tidak menimbulkan penyakit TBC dalam tubuh penderita, namun dalam kurun waktu tertentu bakteri yang bersifat dormant tadi dapat bangun dan menjadi aktif. Orang yang

(19)

terinfeksi secara latent disebut penderita latent TBC. Penderita latent TBC tidak menularkan bakteri TBC kepada orang yang rentan terhadap penyakit TBC. Terinfeksi secara aktif adalah kondisi dimana tubuh penderita bakteri TBC bersifat aktif berkembangbiak dan menimbulkan gejala penyakit TBC. Orang yang terinfeksi secara aktif disebut penderita aktif TBC. Penderita aktif TBC dapat menularkan penyakit TBC kepada orang yang rentan terhadap penyakit TBC (Lisa, 2009).

Penderita latent TBC dan penderita aktif TBC dapat sembuh, namun mereka tidak bersifat imun atau kebal. Dalam jangka waktu tertentu penderita TBC yang sudah sembuh dapat terinfeksi kembali dan menjadi penderita TBC. Dari rangkaian kejadian terinfeksinya orang oleh bakteri TBC dapat digambarkan bahwa dalam suatu populasi terbagi-bagi menjadi suatu sub-sub populasi. Yaitu sub populasi susceptible adalah sub populasi yang rentan terhadap penyakit TBC, sub populasi latent infectious adalah sub populasi penderita latent TBC, sub populasi active infectious adalah sub populasi penderita penyakit TBC dan recovered adalah sub populasi sembuh dari latent TBC dan aktif TBC (Lisa, 2009).

2.2. Kasus Tuberkulosis

Organisasi Kesehatan Sedunia (WHO) (2009) menyatakan bahawa sepertiga penduduk dunia telah terinfeksi, 9 juta pasien TBC baru dan 3 juta kematian akibat TBC di seluruh dunia, 95% kasus TB dan 98% kematian akibat TBC di dunia terjadi pada negara-negara berkembang (Arfandi, 2012). Tanpa penanganan dan pengendalian dalam jangka waktu 20 tahun TBC akan membunuh 35 juta orang (Lisa, 2009). Melihat kondisi tersebut, Badan Kesehatan Dunia (WHO) menyatakan bahwa TBC sebagai kedaruratan global sejak tahun 1993.

Indonesia merupakan salah satu negara berkembang yang menjadi epidemik TBC, jumlah pasien TBC di Indonesia merupakan ke-3 terbanyak di dunia setelah India dan Cina dengan jumlah pasien sekitar 10% dari total jumlah pasien di dunia (KKRI, 2008). Tahun 2010 Indonesia turun ke peringkat ke-5 dan masuk dalam milestone atau pencapaian kinerja 1 tahun Kementerian Kesehatan. Pada Global

(20)

Tuberculosis di Sulawesi Selatan

7

TB tahun 2009 sebanyak 294731 kasus, dimana 169213 adalah kasus TB baru BTA positif, 108616 adalah kasus TB BTA negatif, 11215 adalah kasus TB Extra Paru, 3709 adalah kasus TB Kambuh, dan 1978 adalah kasus pengobatan ulang diluar kasus kambuh. Penderita TBC di Indonesia pada tahun 2009 sebanyak 231.370 orang. Provinsi dengan peringkat 5 tertinggi penderita TBC adalah Jawa Barat, Jawa Timur, Jawa Tengah, Sumatera Utara, dan Sulawesi Selatan. Perkiraan kasus TB paru BTA positif di Jawa Barat sebanyak 44.407, Jawa Timur sebanyak 39.896, Jawa Tengah sebanyak 35.165, Sumatera Utara sebanyak 21.197, dan Sulawesi Selatan sebanyak 16.608 (Profil Kesehatan Indonesia, 2009).

2.3. Kasus Tuberculosis di Sulawesi Selatan

Jumlah Penderita TBC di ibukota Sulsel ini mengalami peningkatan dalam empat tahun terakhir, karena pada tahun 2003 baru tercatat 809 orang dengan angka kesembuhan 96 persen, 2004 naik menjadi sebanyak 1.304 penderita dengan kesembuhan 97 persen dan 2005 naik lagi menjadi 1.655 penderita dengan cure rate 122 persen. "Untuk menekan jumlah kasus TBC, sejak 2003 lalu penderita TBC diberi pelayanan kesehatan gratis di seluruh Puskesmas dan rumah sakit yang ada di Makassar," kata dr Syerly Natar, Wakil Supervisor TBC Paru Diskes Makassar. Sementara penderita TBC yang sudah diobati di Sulsel pada periode 2006 tercatat sebanyak 10.226 orang sedang kasus baru yang ditemukan pada tahun yang sama mencapai 8.463 orang. Dari keseluruhan kasus tersebut, sekitar 58 persen penderitanya adalah laki-laki dan 22 persen yang berumur 22 tahun ke atas yang merupakan usia produktif. (Kompas, 2008).

Jumlah penderita penyakit tuberculosis (TBC) di Sulawesi Selatan masih tinggi. Berdasarkan data Dinas Kesehatan (Dinkes) Provinsi, pada 2011, penderita penyakit menular ini mencapai 8.939 kasus. Angka ini meningkat signifikan dibanding tahun sebelumnya yang hanya 7.783 kasus. Kabupaten Takalar menduduki peringkat pertama dalam jumlah kasus dengan pertumbuhan penderita TBC di atas 109 %, menyusul kota Pare-Pare 79%, Pinrang 75 %, disusul Makassar 70% dan terendah Kabupaten Luwu 33 % serta Jeneponto 36

(21)

%. Kepala Dinas Kesehatan Rachmat Latief mengatakan, tingginya jumlah penderita disebabkan beragam faktor seperti lingkungan tempat tinggal yang berpotensi menyebabkan penularan TBC. Selain itu, minimnya pencahayaan di dalam rumah membuat penyakit itu mudah menyebar. Menurutnya, satu penderita TB mampu menular ke 10 orang. Faktor lain kata dia adalah faktor perilaku. Penderita HIV/AIDS sangat berisiko mengidap Tuberculosis. Kontribusi dari perilaku tidak sehat mencapai 5-10% setiap tahun serta terjadinya mal nutrisi (Herni amir, 2012).

Model matematika merupakan salah satu alat yang dapat digunakan memprediksi jumlah penderita TBC. Beberapa peneliti telah membuat model tentang penularan penyakit demam berdarah (Van D D, 2007; Tracy A, 2008; Ashley T, 2010; I.K Dontwi; Idianto, 2013 dan K Queena, 2012) tetapi model-model tersebut belum menghasilkan prediksi yang paling sesuai, oleh karena itu penelitian ini akan membuat model SIR dan SEIR pada penularan penyakit TBC dengan data Riil jumlah kasus TBC di Sulawesi Selatan.

(22)

Tinjauan Pustaka ₉

BAB III

TINJAUAN PUSTAKA

ab ini menguraikan model-model SIR atau SEIR untuk penularan penyakit Tuberculosis (TBC) yang telah dilakukan oleh peneliti-peneliti sebelumnya. Kajian-kajian tersebut disajikan dalam tabel sehingga memudahkan pembaca dalam mengetahui kajian-kajian pendukung penelitian ini. Bagian ini juga menjelaskan gambaran umum pembentukan model SIR dan SEIR menggunakan gambar, sehingga mudah dipahami sebelum ke pemodelan matematika sebenarnya.

3.1. Kajian Model Tuberculosis

Kajian-kajian sebelumnya tentang model matematika untuk demam berdarah dari berbagai negara dapat dilihat dalam Tabel 3.1.

Tabel 3.1 Kajian Matematika Tentang TBC, Model SIR dan l SEIR

Penulis Pertama, Thn

Populasi Model Kesimpulan

Carlos C; 2003 Tidak ada Model Persamaan Differensial Biasa Model penyakit dengan Control dinamik P.Van Den D; 2007

Tidak ada Model deterministik

Model penyakit dengan

memperhatikan laten dan kambuh. Tracy A; 2008 Tidak ada Model

deterministik SIR Model penyebaran dinamik TBC dengan SIMULINK

B

(23)

Juan P. A; 2009 Tidak ada Model Stokastik Model menggunakan data demografi dan epidemiologi

lological dan pola yang dihasilkan model dibandingkan dan digunakan untuk menilai kemungkinan penyebab penurunan historis tuberkulosis. Ashley T; 2010 Tidak ada Model

Deterministik SIR

Model Penyebaran TBC dengan Populasi tertutup untuk kasus multi-drug-resistent TBC

K. Queena F; 2012

Tidak ada Model Deterministik SIR

Model Penyebaran TBC menggunakan metode Range Kutta orde 4

Idianto; 2013 Tidak ada Model Deterministik SEI

Analisis kestabilan lokal Model dinamik penularan TBC satu dengan Terapi I.K. Dontwi; 2014 Ghana Model deterministik SEIR Model yang disajikan berfungsi untuk memprediksi penularan TBC Syafruddin S; 2010

Malaysia Model SEIR

deterministik

Prediksi jumlah kasus demam berdarah di Selangor dengan model SEIR Syafruddin S;

2011

Malaysia Model SEIR

deterministik

Simulasi kasus demam berdarah

(24)

Tinjauan Pustaka ₁₁

dengan model SEIR Syafruddin S;

2013

Tidak ada Model

deterministik SIR dan SEIR

Analisis kestabilan model SIR dan SEIR menggunakan Fungsi Lyapunov Syafruddin S;

2013

Indonesia Model SIR

deterministik

Prediksi jumlah kasus demam berdarah di Sulawesi Selatan dengan model SIR

3.2 Model SIR Pada Penularan Tuberculosis

Pembentukan Model SIR penularan TBC dibentuk dengan membagi populasi manusia menjadi tiga sub-populasi yaitu Suspected,

Infected, dan Recovered (SIR) atau rentan, terinfeksi dan sehat

kembali. Perubahan yang terjadi pada populasi manusia dapat didefinisikan dalam bentuk diagram seperti Gambar 2.1.

h

N

h

µ

Suspected µ_h h hI γβ β_h Infected 2 µ_h Infected 1 µ_h h ϕ h δ Recovered _µ_h

Gambar 3.1 Diagram populasi manusia model SIR.

(25)

Untuk membuat pemodelan penularan TBC didasarkan pada asumsi bahwa faktor yang mempengaruhi laju perubahan jumlah manusia yang mudah ditulari terhadap waktu adalah jumlah kelahiran populasi manusia yaitu

µ

_h

N

_h, jumlah manusia yang telah terinfeksi yaitu γβ_hI_hS_h denganγβhIhadalah laju hubungan manusia yang

terinfeksi karena virus yang berasal dari manusia yang terinfeksi virus TBC

I

_h. Juga kematian dari populasi manusia yang bisa terinfeksi yaitu

µ

_h

S

_h pada waktu yang sama.

Laju perubahan jumlah manusia terinfeksi terhadap waktu bergantung kepada jumlah populasi manusia yang telah terinfeksi, jumlah kematian populasi manusia yang terinfeksi

µ

_{h h}

I

dan jumlah populasi manusia yang sembuh dari infeksi yaitu δ_hI_h dalam waktu yang sama. Laju perubahan jumlah manusia terinfeksi karena virus dari manusia terinfeksi terhadap waktu bergantung kepada laju perubahan jumlah populasi manusia yang telah terinfeksi akibat virus yang ditularkan manusia terinfeksi , jumlah kematian populasi manusia yang terinfeksi

µ

_{h h}

I

dan jumlah populasi manusia yang sembuh dari infeksi yaitu ϕ_hI_h dalam waktu yang sama. Jumlah populasi manusia yang pulih (Recovered), Rh akan mengalami perubahan sesuai perubahan waktu. Laju perubahan jumlah populasi manusia yang pulih terhadap waktu adalah selisih dari jumlah manusia yang telah sembuh dari jangkitan

ϕ

h

I

i dan jumlah populasi manusia yang sembuh dari infeksi yaitu δ_hI_h dengan jumlah kematian pada manusia yang sehat kembali,

µ

_h

R

_h pada waktu yang sama. Gambar 2.1 akan menjadi acuan dalam membuat model SIR.

3.3. Model SEIR Pada Penularan Tuberculosis

Polusi semakin meningkat dan berkelanjutan pada saat ini sehingga menjadi peringatan untuk semua negara di belahan dunia, hal ini menyebabkan terjadinya pemanasan global hingga terjadi perubahan iklim. Negara-negara di Asia Tenggara, khususnya Indonesia juga

(26)

Tinjauan Pustaka ₁₃

merasakan dampak dari pemanasan global. Musim penghujan hampir terjadi sepanjang tahun, akibatnya penyakit yang biasanya muncul setelah musim hujan tidak lagi dapat diprediksi seperti penyakit TBC. Penyakit TBC di propinsi Sulawesi Selatan menjadi ancaman serius bagi lebih dari delapan juta penduduk tahun 2014 , ditambah lagi kurangnya kesadaran masyarakat tentang pentingnya kesehatan, sehingga perlu mendapat perhatian pihak pemerintah, khususnya kementerian kesehatan. (Fajar, Maret 2014). Oleh karena itu, model penularan TBC memerlukan satu tambahan variabel untuk melengkapi model SIR yaitu variabel populasi manusia yang memperlihatkan gejala terinfeksi. Perubahan yang berlaku pada setiap populasi manusia dapat didefinisikan dalam Gambar 2.2.

µ

h

N

h Suspected

µ

_h

σ

_h

β

_h Exposed

µ

h h hI γφ h

φ

µ

h Infected 2 Infected 1

µ

h

ϕ

_h

δ

_h Recovered

µ

_h

Gambar 3.2 Diagram populasi manusia model SEIR.

(27)

Sama halnya dengan model SIR, model ini juga mempunyai faktor utama penyebab manusia terinfeksi TBC, yang berbeda dengan model SIR adalah model SEIR membagi populasi manusia

N

h kepada empat sub-populasi yaitu manusia berpotensi terinfeksi virus TBC,

h

S

, manusia yang memperlihatkan gejala ditulari virus TBC,

E

_h, manusia yang telah terinfeksi virus TBC,

I

h, dan manusia yang telah sembuh,

R

_h.

Kajian ini mengasumsikan bahwa terdapat manusia dalam populasi ini yang telah ditulari virus tetapi belum dapat menularkan ke manusia lain, tetapi mampu menyebabkan penularan virus. Setiap manusia dikategorikan dalam satu bagian saja dalam satu waktu. Setiap manusia dalam grup

S

_h mempunyai kemungkian untuk memperlihatkan gejala terinfeksi virus TBC pada kadar

σ

_h

S

_h, langsung terinfeksi

β

_h

I

_hdan meninggal

µ

_h

S

_h. Sedangkan laju manusia yang terinfeksi oleh penularan virus demam berdarah

φ

_h

E

_h, manusia yang terinfeksi disebabkan oleh manusia yang telah terinfeksi

.

h h hI E

γφ Selanjutnya, jika manusia telah ditulari oleh virus TBC, mereka akan diberikan rawatan. Penelitian ini mengandaikan bahwa setiap manusia yang dirawat akan menjadi kebal sepanjang hidupnya sehingga tidak lagi tertular penyakit TBC. Ini disebabkan karena belum ada vaksin spesifik yang mampu melawan virus TBC. Kadar manusia yang sembuh dari penularan virus disebabkan rawatan atau jangka waktu jangkitan dalam tubuh individu adalah

δ

_h

I

_h dan kadar manusia yang sembuh dari penularan virus dari manusia yang terinfeksi dalam tubuh individu adalah

ϕ

h

I

i. Gambar 2.2 akan menjadi acuan dalam membuat model SEIR.

(28)

Tinjauan Pustaka ₁₅ 3.4 Fungsi Lyapunov

Memperoleh penyelesaian dari model SIR dan SEIR bagi epidemik penyakit TBC tersebut wajib dilakukan. Tetapi model SIR dan SEIR yang merupakan bentuk sistem persamaan diferensial tidaklah mudah diperoleh menggunakan metode analisis, khususnya sistem persamaan tak linier. Metode pelinearan sangat sulit menganalisis model dengan sistem yang berdimensi empat dan berdimensi lima sehingga parameter yang digunakan cukup banyak. Metode yang paling sesuai untuk persamaan non-linear multidimensi adalah metode fungsi Lyapunov (A. Korobeinikov, 2004). Metode ini menganalisis titik-titik kesetimbangan model yaitu penyelesaian positif, kestabilan global bebas penyakit dan kestabilan global epidemik dari kedua model. Metode fungsi Lypunov ini menghasilkan teorema mengenai analisis tersebut.

(29)

(30)

Model SIR dan SEIR pada Penularan Tuberculosis ₁₇

BAB IV

MODEL SIR DAN SEIR

PADA PENULARAN TUBERCULOSIS

ab ini menguraikan penurunan model matematika SIR dan SEIR pada penularan Tuberculosis (TBC) yang merupakan sistem persamaan diferensial biasa berdimensi empat dan berdimensi lima. Kedua model kemudian disederhanakan berdasarkan asumsi sehingga membentuk sistem persamaan diferensial biasa berdimensi tiga dan berdimensi empat. Bagian selanjutnya akan menguraikan langkah-langkah solusi dalam menyelesaikan model matematika SIR dan SEIR.

4.1 Pembentukan Model SIR Penularan TB

Perubahan yang terjadi pada setiap populasi manusia pada penularan penyakit TB untuk model SIR dapat ditafsirkan dalam bentuk gambar skema 4.1

µ

hNh

γβ

_h

I

_h h

β

µ

h

ϕ

h

δ

h

Laju perubahan jumlah manusia yang mudah ditulari terhadap

waktu _      dt

dSh dipengaruhi oleh jumlah kelahiran populasi manusia iaitu

B

Gambar 4.1

Skema populasi

manusia untuk

penularan TB

model SIR.

I

h

µ

h

S

h

I

i

R

h h

µ

h

µ

(31)

h h

N

µ

dikurangi jumlah manusia terinfeksi oleh virus langsung dan jumlah manusia terinfeksi karena virus dari manusia terinfeksi yaitu

h h h

I

S

γβ

dan

β

_h

S

_h juga jumlah manusia sehat

µ

_h

S

_h yang meninggal dapat ditafsirkan sebagai berikut:

h h h h h h h h h h

S

I

S

N

dt

dS

µ

γβ

β

µ

−

=

(1)

Laju perubahan jumlah manusia terinfeksi terhadap waktu       dt dI_h

dipengaruhi oleh jumlah populasi manusia yang telah terinfeksi karena virus langsung dikurangi jumlah kematian populasi manusia yang terinfeksi

µ

_{h h}

I

dan jumlah populasi manusia yang sembuh dari jangkitan yaitu

δ

_h

I

_h dapat ditafsirkan sebagai berikut:

(

h h

)

h h h h I S dt dI

δ

µ

β

− + = (2)

Laju perubahan jumlah manusia terinfeksi terhadap waktu













dt

dI

_i

dipengaruhi oleh jumlah populasi manusia yang telah terinfeksi karena karena virus manusia terinfeksi dikurangi jumlah kematian populasi manusia yang terinfeksi

µ

_h

I

_idan jumlah populasi manusia yang sembuh dari jangkitan yaitu

ϕ

_h

I

_hdapat ditafsirkan sebagai berikut:

(

h h

)

i h h h i

I

S

I

dt

dI

ϕ

µ

γβ

−

+

=

(3)

Laju perubahan jumlah populasi manusia yang pulih terhadap waktu       dt dR_h

(32)

Model SIR dan SEIR pada Penularan Tuberculosis ₁₉

infeksi

δ

_h

I

_h dan

µ

_h

I

_i dengan jumlah kematian manusia pulih h

R

h

µ

dapat ditafsirkan sebagai berikut:

h h i h h h h

_I

_R

dt

dR

_δ

_ϕ

_µ

−

+

=

(4)

Gambar 5.1 juga dapat ditafsirkan dalam bentuk model matematika yaitu model persamaan differensial tidak linear sebagai berikut :

h h h h h h h h h h S S I S N dt dS ₌_µ ₋_β ₋_γβ ₋_µ

(

h h

)

h h h h I S dt dI ₌_β ₋ _µ ₊_δ

(

h h

)

i h h h i

_I

_S

_I

dt

dI

ϕ

µ

γβ

−

+

=

h h i h h h h _I _I _R dt dR µ ϕ δ + − = Dengan Nh(t)=Sh(t)+Ih(t)+Ii(t)+Rh(t) atau

))

(

)

(

)

(

)

(

)

(

t

N

t

S

t

I

t

I

t

R

_h

=

_h

−

_h

+

_h

+

_i

Sistem persamaan (5) adalah persamaan differensial tidak linear untuk model SIR dari penyakit TB.

Model yang dihasilkan dapat disederhanakan dengan mengandaikan pecahan-pecahan berikut:

, ) ( h h N S t x = h h N I t y( )= and h i N I t z( )=

Sehingga model populasi manusia untuk penularan penyakit TB dapat disederhankan seperti pada persamaan (6) berikut:

x xy x dt dx h h h h β γβ µ µ − − − = y x dt dy h

α

β

− = z xy dt dz h

η

γβ

− = (6) Dengan

α

=

µ

h

+

δ

h dan

η

=

µ

h

+

ϕ

h. (5)

(33)

4.2 Pembentukan Model SEIR Penularan TB

Perubahan yang terjadi pada setiap populasi manusia pada penularan penyakit TB untuk model SIR dapat ditafsirkan dalam bentuk gambar skema 5.1.

µ

hNh

σ

h

β

h

µ

_h

γφ

_h

I

_h h

φ

µ

_h

ϕ

_h

δ

_h

µ

h

Gambar 4.2 Skema populasi penularan TB model SEIR. Laju perubahan jumlah manusia yang mudah ditulari terhadap

waktu _      dt

dSh _{dipengaruhi oleh jumlah kelahiran populasi manusia}

yaitu

µ

_h

N

_hdikurangi jumlah manusia terinfeksi oleh virus langsung h

h

S

β

, jumlah manusia memperlihatkan gejala terinfeksi

σ

_h

S

_hdan jumlah manusia sehat yang meninggal µ_hS_h dapat ditafsirkan sebagai berikut:

h _h

N

_h

(

_h _h _h

)

S

_h

dt

dS

₌

_µ

₋

_σ

₊

_β

₊

_µ

(7) Laju perubahan jumlah manusia yang memperlihatkan gejala terinfeksi terhadap waktu _

     dt

dEh dipengaruhi oleh jumlah manusia

memperlihatkan gejala terinfeksi

σ

_h

S

_h dikurangi jumlah populasi manusia yang telah terinfeksi karena virus langsung

φ

E

, jumlah

h

µ

h µ

I

h

E

h

I

i

S

h

R

h

(34)

Model SIR dan SEIR pada Penularan Tuberculosis ₂₁

populasi manusia yang telah terinfeksi karena virus dari manusia terinfeksi

γφ

_h

I

_h

E

_h dan jumlah kematian populasi manusia

h h

E

µ

h _h

S

_h _h

I

_h

E

_h _h

E

_h _h

E

_h

dt

dE

µ

φ

γφ

σ

−

=

(8)

Laju perubahan jumlah manusia terinfeksi langsung oleh virus

terhadap waktu _      dt

dIh dipengaruhi oleh jumlah populasi manusia

yang telah terinfeksi karena virus langsung

β

_h

S

_h dan jumlah manusia memperlihatkan gejala terinfeksi (Exposed)

φ

h

E

h dikurangi jumlah kematian populasi manusia yang terinfeksi

µ

_{h h}

I

dan jumlah populasi manusia yang sembuh dari jangkitan yaitu

δ

_h

I

_h dapat ditafsirkan sebagai berikut:

h _h

S

_h _h

E

_h

(

_h _h

)

I

_h

dt

dI

₌

_β

₊

_φ

₋

_µ

₊

_δ

(9) Laju perubahan jumlah manusia terinfeksi karena virus dari manusia terinfeksi terhadap waktu _

     dt

dIi dipengaruhi oleh jumlah

populasi manusia yang telah terinfeksi karena virus manusia terinfeksi dikurangi jumlah kematian populasi manusia yang terinfeksi

µ

_h

I

_idan jumlah populasi manusia yang sembuh dari jangkitan yaitu

h h

I

ϕ

(

h h

)

i h h h i

_I

_E

_I

dt

dI

₌

_γφ

₋

_µ

₊

_ϕ

(10)

Laju perubahan jumlah populasi manusia yang pulih terhadap waktu

      dt

dR_h _{adalah selisih dari jumlah manusia yang telah sembuh dari}

infeksi

δ

_h

I

_h dan

µ

_h

I

_i dengan jumlah kematian manusia pulih h

R

h

(35)

h h i h h h h _I _I _R dt dR ₌_δ ₊_µ ₋_µ (11)

Gambar 5.2 juga dapat ditafsirkan dalam bentuk model matematika yaitu model persamaan differensial tidak linear sebagai berikut :

(

h h h

)

h h h h S N dt dS _µ _σ _β _µ + + − = h h h h h h h h h h E E E I S dt dE ₌_σ ₋_γφ ₋_φ ₋_µ

(

h h

)

h h h h h h _S _E _I dt dI ₌_β ₊_φ ₋ _µ ₊_δ

(

h h

)

i h h h i I E I dt dI ₌_γφ ₋ _µ ₊_ϕ h h i h h h h _I _I _R dt dR _δ _µ _µ − + = (12) Dengan

N

_h

(

t

)

=

S

_h

(

t

)

+

E

_h

(

t

)

+

I

_h

(

t

)

+

I

_i

(

t

)

+

R

_h

(

t

)

atau

))

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

t

N

t

S

t

E

t

I

t

I

t

R

_h

=

_h

−

_h

+

_h

+

_h

+

_i

Sistem persamaan (12) adalah persamaan differensial tidak linear untuk model SIR dari penyakit TB. Model yang dihasilkan dapat disederhanakan dengan mengandaikan pecahan-pecahan berikut:

, ) ( h h N S t x = h h N I t y( )= , h i N I t z( )= , dan h h N E t u( )= Sehingga model populasi manusia untuk penularan penyakit TB dapat disederhankan seperti pada persamaan (12) berikut:

x x x dt dx h h h h β σ µ µ − − − = u u yu x dt du h h h h γφ φ µ σ − − − = y u x dt dy h h

φ

α

β

+ − = (13) z yu dt dz h η γφ − = dengan

α

=

µ

_h

+

δ

_h dan

η

=

µ

_h

+

ϕ

_h.

(36)

Analisis Mosel SIR dan SEIR padan Penularan Tuberculosis ₂₃

BAB V

ANALISIS MODEL SIR DAN SEIR

PADA PENULARAN TUBERCULOSIS

ab ini menjelaskan analisis model matematika SIR dan SEIR yang telah dibahas pada Bab IV. Analisis yang digunakan adalah metode fungsi Lyapunov yang menguraikan eksistensi penyalit Tuberculosis (TBC) di suatu kawasan, kemudian mengidentifikasi status suatu kawasan, apakah merupakan kawasan dengan status epidemik atau Kejadian Luar Biasa (KLB) atau status yang tidak mengkhawatirkan. Pada bab berikutnya kedua model akan digunakan untuk kasus TBC di Sulawesi Selatan.

5.1. Analisis Kestabilan Model SIR dan Model SEIR 5.1.1 Eksistensi model SIR

Perubahan yang terjadi dalam setiap populasi manusia dapat ditafsirkan sebagai model matematika yaitu persamaan differensial tidak linear sebagai berikut:

(

h h

)

h h h h I S dt dI ₌_β ₋ _µ ₊_δ

(

h h

)

i h h h i

_I

_S

_I

dt

dI

_γβ

_µ

_ϕ

+

−

=

(14) h h i h h h h _I _I _R dt dR µ ϕ δ + − = Dengan Nh(t)=Sh(t)+Ih(t)+Ii(t)+Rh(t)atau

))

(

)

(

)

(

)

(

)

(

t

N

t

S

t

I

t

I

t

R

_h

=

_h

−

_h

+

_h

+

_i

B

(37)

Semua variabel dan parameter model adalah non-negatif dan dapat dilihat dengan mudah bahwa dibawah aliran yang diterangkan oleh (14), octant non-negatif 4

+

R adalah positif invarian. Berkaitan dengan sistem (14) diperoleh hasil seperti teorema berikut.

Teorema 1.

Misal

(

S

h

(

t

)

>

0 ,

I

h

(

t

)

>

0 ,

I

i

(

t

)

>

0 ,

R

h

(

t

)

>

0 )

merupakan penyelesaian sistem (14) dengan keadaan awal

(

S

0h

,

I

0h

,

I

0i

R

0h

)

dan set padat

(

)

{

Sh t Ih t Ii t Rh t R L Nh

}

D= ( ), ( ), ( ), ( )∈ ₊4, ≤ (15) Untuk model sistem (14), D adalah satu set positif invarian yang mencover semua penyelesaiandalam 4

+

R .

Bukti. Pertimbangkan calon Lyapunov fungsi berikut:

Turunan fungsi terhadap waktu memenuhi

(16)

Tidak sulit untuk membuktikan bahwa

(17)

Kemudian, dari persamaan diatas, diketahui bahwa yang berarti bahwa D adalah satu set yang positif invarian. Sebaliknya,

dengan menyelesaikan sistem (16) diperoleh bahwa

, dimana adalah keadaan awal .

Oleh karena itu, jika dan ini

menyimpulkan bahwa D adalah satu set yang positif invarian dan mengkover semua penyelesaian dalam . Ini membuktikan teorema.

Teorema ini menjamin adanya penyakit TB di suatu kawasan yang mulanya tidak ditemukan bakteri pembawa virus TB kemudian berubah setelah ditemukannya populasi suspect tetapi belum terinfeksi,

(38)

Analisis Mosel SIR dan SEIR padan Penularan Tuberculosis ₂₅

telah positif TB, dan populasi manusia yang sehat kembali, dari bakteri TB. Teorema ini juga memberi kesimpulan supaya diselidiki lebih lanjut tahapan dari kasus TB ini sehingga kita dapat mengidentifikasi tahap penyebaran wabah TB hingga ke tahapan endemik menggunakan model SIR.

5.1.2 Penyelesaian Positif Model SEIR

Perubahan yang terjadi dalam setiap populasi manusia dapat ditafsirkan sebagai model matematika SEIR yaitu persamaan differensial tidak linear sebagai berikut:

(

h h h

)

h h h h S N dt dS

_µ

_σ

_β

_µ

+ + − = h h h h h h h h h h E E E I S dt dE µ φ γφ σ − − − =

(

h h

)

h h h h h h _S _E _I dt dI _β _φ _µ _δ + − + =

(

h h

)

i h h h i I E I dt dI ₌_γφ ₋ _µ ₊_ϕ (18) h h i h h h h R I I dt dR ₌_δ ₊_µ ₋_µ Dengan N_h(t)=S_h(t)+E_h(t)+I_h(t)+I_i(t)+R_h(t)atau

))

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

t

N

t

S

t

E

t

I

t

I

t

R

h

=

h

−

h

+

h

+

h

+

i

Semua variabel dan parameter model adalah non-negatif dan dapat dilihat dengan mudah bahwa dibawah aliran yang diterangkan oleh (18), octant non-negatif 5

+

R adalah positif invarian. Berkaitan dengan sistem (18) diperoleh hasil seperti teorema berikut.

Teorema 2.

Misal

(

S

h

(

t

)

>

0 ,

E

h

(

t

)

>

0 ,

I

h

(

t

)

>

0 ,

I

i

(

t

)

>

0 ,

R

h

(

t

)

>

0 )

merupakan penyelesaian sistem (18) dengan keadaan awal

(

S

0h

,

E

0h

I

0h

,

I

0i

R

0h

)

dan set padat

(

)

{

Sh t Eh t Ih t Ii t Rh t R L Nh

}

(39)

Untuk model sistem (18), D adalah satu set positif invarian yang mencover semua penyelesaian dalam 5

+

R .

Bukti. Pertimbangkan calon fungsi Lyapunov berikut:

Turunan fungsi terhadap waktu memenuhi

(20)

Tidak sulit untuk membuktikan bahwa

(21)

Kemudian, dari persamaan diatas, diketahui bahwa yang berarti bahwa D adalah satu set yang positif invarian. Sebaliknya,

dengan menyelesaikan sistem (20) diperoleh bahwa

, dimana adalah keadaan awal .

Oleh karena itu, jika dan ini

menyimpulkan bahwa D adalah satu set yang positif invarian dan mengkover semua penyelesaian dalam . Ini membuktikan teorema.

Teorema ini menjamin adanya penyakit TB di suatu kawasan yang mulanya tidak ditemukan bakteri pembawa virus TB kemudian berubah setelah ditemukannya populasi suspect tetapi belum terinfeksi,

, eksposed TB terinfeksi TB, , teinfeksi

TB karena manusia yang telah positif TB, dan populasi manusia yang sehat kembali, dari bakteri TB. Teorema ini juga memberi kesimpulan supaya diselidiki lebih lanjut tahapan dari kasus TB ini sehingga kita dapat mengidentifikasi tahap penyebaran wabah TB hingga ke tahapan endemik menggunakan model SEIR.

5.2 Analisis Kestabilan Global

Sistem (14) untuk model SIR mempunyai keseimbangan

(40)

Analisis Mosel SIR dan SEIR padan Penularan Tuberculosis ₂₇

nilai eigen

λ

, sederhanakan sistem (14) menjadi sistem persamaan (6) dan selesaikan persamaan

A

− I

λ

=

0

yaitu

Sehingga diperoleh persamaan nilai eigen sebagai berikut:

Dengan , dan .

Dari persamaan nilai eigen diatas, kadar pembiakan semula sistem (14) untuk model SIR dapat ditentukan dengan menggunakan kaedah Diekhmann dan Heesterbeek (1990;2000), yaitu :

(22) Sistem (18) untuk model SEIR mempunyai keseimbangan penyakit dengan titik keseimbangan Untuk mencari nilai eigen

λ

, sederhanakan sistem (18) seperti pada sistem (13) dan selesaikan persamaan

A

− I

λ

=

0

yaitu: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -= − − − − − − − λ η γ λ α ϕ λ ξ λ µ v h h

Sehingga diperoleh persamaan nilai eigen sebagai berikut: atau

Dengan

σ

_h

=

β

_h

=

0

, , dan

Dari persamaan nilai eigen ini, kadar pembiakan semula untuk sistem (18) model SEIR dapat ditentukan dengan menggunakan kaedah Diekhmann dan Heesterbeek (1990;2000), yaitu :

(41)

dengan , dan

5.2.1 Kestabilan global keseimbangan bebas penyakit model SIR

Sistem (14) senantiasa mempunyai keseimbangan disease-free yang bemaksud penyakit akan

hilang. Bagian ini akan mengkaji tingkah laku global keseimbangan

disease-free untuk sistem (14). Teorema 3.

Jika , maka keseimbangan bebas penyakit P* model SIR adalah ditahap global yang berasimptot stabil pada D.

Bukti.

Misalkan calon fungsi Lyapunov adalah:

(24)

Dengan menurunkan fungsi terhadap waktu diperoleh persamaan beikut:

(25) Menggunakan syarat-syarat dan , Persamaan (25) dapat ditulis kembali sebagai

(26) Oleh karena itu, dan dengan menggunakan lanjutan LaSalle pada kaedah Lyapunov, set terbatas yang ditetapkan setiap penyelesaian adalah yang terkandung dalam set invarian terbesar

(42)

Analisis Mosel SIR dan SEIR padan Penularan Tuberculosis ₂₉

dengan adalah singleton {P*}. Ini berarti bahwa

keseimbangan disease-free P* adalah ditahap global yang berasimptot stabil pada D. Ini menyimpulkan bukti.

Teorema kestabilan global untuk model SIR ini menjelaskan tentang satu tahapan daripada keberadaan kasus TB seperti yang diuraikan pada teorema 1. Tahapan ini menjelaskan bahwa jika seorang individu terinfeksi TB, tetapi bemakna tidak akan menyebabkan individu yang lain teinfeksi. Ini berarti bahwa di kawasan ini penyakit TB masih dapat dikontrol dan berada pada tahap yang tidak mengkhawatirkan.

5.2.2 Kestabilan global keseimbangan bebas penyakit untuk model SEIR

Sistem (18) senantiasa mempunyai suatu keseimbangan

disease-free yang bermaksud penyakit

akan hilang dengan sendirinya. Selanjutnya, akan dikaji tingkah laku global keseimbangan disease-free untuk sistem (18).

Teorema 4.

Jika , maka keseimbangan bebas penyakit P* model SEIR adalah ditahap global yang berasimptot stabil pada D.

Bukti.

(27)

Dengan menurunkan fungsi terhadap waktu diperoleh persamaan berikut: ( ) ( ) ( ) ( h h)h h h h ( h h)i h h h i h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h R I I I E I I E S E I S S S S N S N t W µ µ δ µ ϕ γφ µ δ φ β µ φ γφ σ µ β σ µ µ β σ µ − + + + − + + − + − + + − + + + − + + + − = * * ) (  ₍₂₈₎

Menggunakan syarat-syarat dan , Persamaan (28)

(43)

(29) Oleh karena itu, dan dengan menggunakan lanjutan LaSalle pada kaedah Lyapunov, set terbatas yang ditetapkan setiap penyelesaian adalah yang terkandung dalam set invarian terbesar dengan adalah singleton {P*}. Ini berarti bahwa

keseimbangan disease-free P* adalah ditahap global yang berasimptot stabil pada D. Ini menyimpulkan bukti.

Teorema kestabilan global untuk model SEIR ini menjelaskan tentang satu tahapan dari keberadaan kasus TB seperti yang diuraikan pada teorema 2. Tahapan ini menjelaskan bahwa jika seorang individu terinfeksi TB, tetapi berarti tidak akan menyebabkan individu yang lain teinfeksi. Ini berarti bahwa di kawasan ini, penyakit TB masih dapat dikontrol dan berada pada tahap yang tidak mengkhawatirkan.

5.3 Kestabilan Global Kesimbangan Epidemik

5.3.1 Kestabilan global keseimbangan epidemik model SIR

Sederhanakan model SIR pada sistem persamaan (14) sehingga diperoleh persamaan beikut:

(

h h

)

h h h h I S dt dI ₌_β ₋ _µ ₊_δ ₍₃₀₎

(

_h _h

)

_i h h h i

_I

_S

_I

dt

dI

_γβ

_µ

_ϕ

+

−

=

Sistem (30) mempunyai titik keseimbangan

yang disebut sebagai keseimbangan endemik dan memenuhi dengan ,

(44)

Analisis Mosel SIR dan SEIR padan Penularan Tuberculosis ₃₁

dan

. Teorema berikut memberikan penjelasan tentang global keseimbangan endemik sistem (30).

Teorema 5

Jika , maka keadaan keseimbangan positif endemik sistem (30) ada dan ditahap global yang berasimptot stabil pada D, dengan andaian bahwa

(31)

Dengan ( adalah kadar untuk setiap populasi yang berkurang disebabkan kematian secara alami, dan ) adalah rata-rata gigitan nyamuk yang berpotensi dijangkiti dengan r adalah kadar hubungan yang mencukupi dari manusia kepada vektor.

Bukti.

(32) Turunkan persamaan (32) sehingga diperoleh persamaan (33) berikut:

(33)

(45)

diperoleh:

(34)

Persamaan (34) memastikan bahwa untuk semua

, dan dipenuhi jika dan hanya

jika dan . Kemudian keseimbangan hanya

set positif invarian dari sistem persamaan (30) yang terkandung sepenuhnya dalam

dan selanjutnya oleh teorema kestabilan asimptot (LaSalle, 1976), keseimbangan positif endemik adalah ditahap global yang berasimptot stabil pada D. Ini membuktikan teorema.

Teorema kestabilan global model SIR menjelaskan bahwa jika seorang individu terinfeksi penyakit TB, maka individu tersebut akan menularkan kepada individu yang lain. Ini berarti bahwa penyakit TB pada tahapan ini adalah endemik karena tidak dapat lagi dikontrol dan berada pada tahap yang mengkhawatirkan, sehingga menjadi ancaman untuk populasi manusia di suatu kawasan.

5.3.2 Kestabilan global keseimbangan epidemik model SEIR

Sederhanakan model SEIR pada sistem persamaan (18) sehingga diperoleh persamaan beikut:

(

h h h

)

h h h h S N dt dS _µ _σ _β _µ + + − = h h h h h h h h h h E E E I S dt dE _σ _γφ _φ _µ − − − =

(

h h

)

h h h h h h I E S dt dI ₌_β ₊_φ ₋ _µ ₊_δ (35)

(

h h

)

i h h h i I E I dt dI ₌_γφ ₋ _µ ₊_ϕ

Sistem (35) mempunyai titik keseimbangan

yang disebut sebagai keseimbangan

(46)

Analisis Mosel SIR dan SEIR padan Penularan Tuberculosis ₃₃

dan

.

Teorema berikut ini akan memberikan penjelasan tentang global keseimbangan endemik sistem (35).

Teorema 6

Jika , maka keadaan keseimbangan positif endemik sistem (35) ada dan ditahap global yang berasimptot stabil pada D, dengan andaian bahwa

(36)

Dengan ( adalah kadar manusia yang terinfeksi 1 untuk pulih dan kadar kelahiran / kematian populasi manusia secara alami, dan ) adalah kadar manusia yang terinfeksi 2 untuk pulih dan kadar kelahiran / kematian populasi manusia.

Bukti.

(37) Turunkan persamaan (37) sehingga diperoleh persamaan (38) berikut:

(47)

(38) Subtitusi andaian pada persamaan (36) ke persamaan (38) diperoleh:

(39)

Persamaan (39) memastikan bahwa untuk semua

, dan dipenuhi jika dan

hanya jika dan . Kemudian

keseimbangan hanya set positif invarian dari sistem persamaan (35)

yang termuat sepenuhnya dalam

dan selanjutnya oleh teorema kestabilan asimptot (LaSalle, 1976), keseimbangan positif endemik adalah ditahap global yang berasimptot stabil pada D. Ini membuktikan teorema.

Teorema kestabilan global untuk model SEIR pada tahapan ini menjelaskan bahwa jika seorang individu terinfeksi penyakit TB, maka individu tersebut akan menularkan kepada individu yang lain. Ini berarti bahwa penyakit TB pada tahapan ini adalah endemik sebab tidak lagi dapat dikontrol dan berada pada tahap yang mengkhawatirkan, sehingga menjadi ancaman untuk populasi manusia di suatu kawasan.