muk1

Y I L D I Z T E K N İ K Ü N İ V E R S İ T E S İ

İ N Ş A A T F A K Ü L T E S İ

İ N Ş A A T M Ü H E N D İ S L İ Ğ İ

B Ö L Ü M Ü

M U K A V E M E T

Ders Notları

CİLT-

I

Prof. Dr. Turgut KOCATÜRK

z' z y dy x x dz A y dx x x' dy(1+

ε

y) dz(1+

ε

z) A z z dx(1+

ε

x) y' y

Konular

1. Giriş, Kavramlar, İlkeler 2. İç Kuvvet ve Gerilme Hali 3. Şekil Değiştirme Hali

4. Gerilme-Şekil Değiştirme Bağıntıları ( Hooke Yasası ) 5. Şekil Değiştirme Enerjisi

6. Katı Cisimlerin MEkanik Özellikleri 7. Boyutlandırma

8. Çubuk Mukavemetinin Esasları, Kesit Tesirleri, Eşdeğerlilik Bağıntıları 9. Eksenel Normal Kuvvet

10. Kesme Kuvveti 11. Basit Eğilme 12. Burulma

FORM 1: DERS TANITIM VE DEĞERLENDİRME Kodu: 042 23 21 Dersin Adı: MUKAVEMET I

Öğretim Yılı Yarıyılı _Grup(lar) Dili _{Teori Uyg. Lab. Kredi ECTS}

2007-2008 Güz 1-2-3-4 Türkçe 2 2 0 3 6

Dersin Türü Temel Alan Dersi

Alan Dersi

Seçimlik Alan Dersi

Sosyal ve Beşeri Bil. Dersi

Ön Koşul Dersleri Statik 042 13 12

Koordinatörü Prof. Dr. Faruk YÜKSELER

Yürütücü(ler) Prof. Dr. R. Faruk YÜKSELER, Prof. Dr. Turgut KOCATÜRK, Doç. Dr. İrfan COŞKUN, Y. Doç.Dr. Zafer KÜTÜĞ, Y. Doç. Dr. Ayşe ERDÖLEN

Amacı Taşıyıcı sistemlerin boyutlandırılması ve emniyetli olarak taşınabilecek maksimum kuvvetlerin hesaplanması.

Dersin İçeriği _{Giriş, Kavramlar, İlkeler / İç Kuvvet ve Gerilme Hali / Şekil Değiştirme Hali /} Kinematik Bağıntılar / Gerilme-Şekil Değiştirme Bağıntıları ( Hooke Yasası ) / Şekil Değiştirme Enerjisi / Emniyet Gerilmeleri / Çubuk Mukavemetinin Esasları, Kesit Tesirleri, Eşdeğerlilik Bağıntıları / Eksenel Normal Kuvvet / Kesme Kuvveti / Basit Eğilme / Burulma / Kırılma Hipotezleri.

Kazandırdığı Bilgi ve Beceriler Düzlemsel ve üç boyutlu cisimlerde gerilme ve şekil değiştirme analizinin yapılması. Çubuk sistemlerde kesit tesirlerinin hesaplanması. Basit mukavemet hallerinde boyutlandırma ve şekil değiştirme hesabı.

Yararlanılan Kaynaklar _{1. İNAN, M., ‘‘Cisimlerin Mukavemeti ’’, İTÜ Vakfı, İstanbul, 2001.}

2. BAKİOĞLU, M., ‘‘Cisimlerin Mukavemeti’’, Beta Yayınevi, İstanbul, 2001. 3. ÖZTÜRK, A. Z., ÇAĞDAŞ, S., ‘‘Mukavemet’’, Murat Ders Yayınları, İstanbul, 1982.

4. OMURTAG, M. H., ‘‘Mukavemet’’, Birsen Yayınevi, İstanbul, 2005. Ödev ve Proje Konuları -

Laboratuvar Deney Konuları - Bilgisayar Yazılımları - Diğer Etkinlikler -

BAŞARI DEĞERLENDİRME SİSTEMİ

Teorik Ders Proje Dersi ve Bitirme Çalışması

Adedi Ağırlığı (%) Adedi Ağırlığı (%) Dönem İçi Sınavlar 2 60*(2*0.30) Dönem İçi Sınavlar - Kısa Sınavlar - Dönem İçi Kontroller -

Ödevler - Ara Teslim -

Laboratuvar _{- Sözlü Sınav -}

Diğer - Diğer -

FORM 2: DERSİN İŞLENİŞ PROGRAMI Kodu: ,

042 2312 Dersin Adı: MUKAVEMET I

Yürütücü(ler) Prof. Dr. R. Faruk YÜKSELER, Prof. Dr. Turgut KOCATÜRK, Doç. Dr. İrfan _{COŞKUN, Y. Doç.Dr. Zafer KÜTÜĞ, Y. Doç. Dr. Ayşe ERDÖLEN.} 1. Hafta Giriş Kavramlar. İlkeler.

2. Hafta İç kuvvet ve gerilme hali. 3. Hafta Şekil değiştirme hali. 4. Hafta Kinematik bağıntılar.

5. Hafta Gerilme-şekil değiştirme bağıntıları (Hooke yasası). 6. Hafta Şekil değiştirme enerjisi. Emniyet gerilmeleri. 7. Hafta

Çubuk mukavemetinin esasları. Kesit tesirleri. Eşdeğerlilik bağıntıları. 8. Hafta

Eksenel normal kuvvet halinde gerilme ve şekil değiştirme. Eksenel normal kuvvet konusu kapsamındaki hiperstatik problemlerin çözümü. Isı etkisi. Halkada iç basınç.

9. Hafta 1. Vize Sınavı

10. Hafta Kesme kuvveti halinde gerilme ve şekil değiştirme. 11. Hafta Basit eğilme. _{• Düz eğilme.}

• Eğik eğilme. 12. Hafta Basit eğilme.

• Düz eğilme. • Eğik eğilme. 13. Hafta

Burulma.

• Dairesel kesitli çubukların burulması.

• Dairesel kesitli olmayan çubukların burulması.

• İnce cidarlı açık kesitlerin ve ince cidarlı bölmeli kapalı tüp kesitlerin burulması.

14. Hafta 2. Vize Sınavı

KAYNAKlAR

1. M. İnan,: Cisimlerin Mukavemeti, Arı Kitabevi, 1967.

2. M. İnan,: Düzlemde Elastisite Teorisi, Matbaa Teknisyenleri Basımevi, 1969. 3. İ. Kayan,: Cisimlerin Mukavemeti, İstanbul Teknik Üniversite Matbaası, 1987. 4. M.Bakioğlu, N. Kadıoğlu, H. Engin,: Mukavemet Problemleri, Beta Basım

Yayım,1998.

5. Z.Öztürk, S. Çağdaş,: Mukavemet-Teori ve Problemler, Murat Ders Yayıları,1981. 6. T.Özbek,: Mukavemet, Birsen Kitabevi,1993.

7. H. Boduroğlu, F.Delale, N. Giray,: Çözümlü Mukavemet Problemleri-Cilt I, Çağlayan Basımevi,1974.

8. N.Yaman, R.Erdöl, A. O. Çakıroğlu: Çözümlü Mukavemet Problemleri I, Yüksekkaya Matbaası,1979.

9. E.P. Popov(Çeviri: H. Demiray): Mukavemet-Katı Cisimlerin Mekaniğine Giriş, Çağlayan Basımevi, 1974.

MUKAVEMETE GİRİŞ

Mukavemetin Tanımı

Mukavemet, inşaat, makine, uçak, gemi mühendisliği ve benzeri alanlarda karşılaşılan mühendislik yapılarının kendilerine etkiyen çok çeşitli yükler altında görevlerini yapacak şekilde boyutlandırılması sorununa cevap veren bir temel mühendislik bilimidir.

Boyutlandırma Koşulları • Güvenlik (emniyet) koşulu

• Ekonomik olma koşulu

• Yapılacak göreve uygun olma koşulu

• Çelişkili gibi görünen emniyet koşuluyla ekonomik olma koşulların aynı zamanda ve her birisini en büyük ölçüde yerine getirebilme sanatı ise, belki de, yalnız mukavemetin değil, mühendislik mesleğinin amacı olarak nitelendirilebilir.

• Mukavemet, bütün konularını belirli bir amacı, genel deyimi ile boyutlandırma amacını yerine getirmek için inceler.

Malzemeler İçin Bazı Kabuller

• Homojenlik: Cismin fiziksel özelliklerinin koordinatlardan bağımsız olması özelliğine denir. • Heterojenlik: Cismin fiziksel özelliklerinin koordinatlara bağımlı olması özelliğine denir. • İzotropi: Cismin fiziksel özelliklerinin doğrultudan bağımsız olması özelliğine denir. • Anizotropi: Cismin fiziksel özelliklerinin doğrultuya bağımlı olması özelliğine denir.

Elastik, Plastik, Elasto-plastik Cisim

• Mukavemette kullanılan ideal kavramlar arasında, tam elastik cisim ve tam plastik cisim sınırda olan iki cismi gösterir.

• Tam elastik özellik, cisimde şekil değiştirmenin dış etki ile birlikte geri dönmesi demektir

• Bunun tersine, tam plastik cisimde de dış tesirler ortadan kalktığı halde, yaptıkları şekil değiştirme olduğu gibi kalır.

• Yapıda kullanılan tabii cisimler, genel olarak, bu iki ideal durumun arasında bulunur; yani dış etkiler geri dönerken, şekil değiştirmelerin bir kısmı geri döner, diğer kısmı ise kalır. Buna elasto-plastik

cisim adı verilir.

u=uzama

a

_b

c

_d

F=kuvvet

u

F

F

u

F

u

Hooke Kanunu

• 1660 da Robert Hooke tarafından kuvvet ne kadarsa uzama da o kadardır ibaresi ile verilmiştir. • Buna göre kuvvetle şekil değiştirme arasında lineer bir bağıntının olduğu kabul edilmektedir. • Şekil değiştirme kanunu lineer olan cisimlere kısaca Hooke cismi adı verilir.

Mukavemetin Prensipleri

1) Katılaşma Prensibi : Cismin ancak şeklini değiştirmiş, son durumunun üzerine, denge denklemlerinin uygulanabileceğini kabul eder . Yani katılaşma prensibi rijit cisim mekaniği ile şekil değiştiren cisim mekaniğinin statikleri arasında bir köprü rolünü oynar.

2) Ayırma Prensibi : Bir cismin mukavemet yönünden durumunun incelenmesi için, hayalen de olsa, onun küçük parçalara ayrılarak analiz edilmesi gerekir. Buna ayırma prensibi denir.

3) Eşdeğerlik Prensibi F A S B A S B F a b b a F F 2F A A Q a B P B P Q b

Birinci Mertebe Teorisi:

b a A a b l F a l b F B B A VA V V B B ' A ' V l Fa V l Fb V_A = , _B = l a F V l b F V_{A B} ′ ′ = ′ ′ = _' ' , B B A A

V

ve

V

V

V

'

≅

′

≅

1 2

a

c

s

1

s

b

s'

2

s'

1

c'

A

B

s

1

_s'

s'

2 2

s

F

F

F

2 2 1 1

S

ve

S

S

S

′

≅

′

≅

Süperpozisyon Kanunu:

a

F

1

B

1

A

A'

B

2

c

b

B

2

F

1

B

1

F

2

B

1

F

2 2

B

A'

A

A'

A

2

f

f

1

f

2

1

f

f

f

=

+

Denge denklemleri yer değiştirmiş konum müzerinde yazılırsa birinci mertebe teorisi, yer değiştirmemiş konum üzerinde yazılırsa ikinci mertebe teorisi ile çalışılmış olur.

Süperpozisyonun geçerli olabilmesi için malzeme lineer elastik (Hooke cismi) olmalı ve 1. mertebe teorisi çerçevesinde çalışılmalıdır.

MUKAVEMET 1

İÇ KUVVET VE GERİLME HALİ

YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ

MEKANİK ANABİLİM DALI

PROF. DR. TURGUT KOCATÜRK

Animasyonlar: Baki ÇAĞLAR 05042125

™Dış Kuvvet:

İnceleme konusu olan cisme, diğer cisimlerin yapmış olduğu etki olarak tanımlanabilir. Etki, cisimler doğrudan doğruya

temas halinde iseler yakın, aksi halde uzak sayılır.

Cisimler arasında bulunduğu kabul edilen bu etkiler, veya tepkiler belirtilmesi bakımından iki önemli kategoriye ayrılır.

1.1 Dış ve İç Kuvvet:

•Doğrudan doğruya belirli dış kuvvetler:

Bilinen verilmiş kuvvetlerdir, örneğin ağırlık kuvvetleri gibi.

•Bağ kuvvetleri:

Cisimlerin arasındaki bağlarda oluşan kuvvetlerdir. Bunların belirtilmesinde bağın şekli ve denge fikri esas rolü

oynar. Mekanikte bağ kuvvetlerine, çok zaman, mesnet kuvvetleri veya kısaca reaksiyon adı verilir.

™İç Kuvvet:

Aynı bir cismin, zihnen düşünülen çeşitli parçaları arasındaki etki ve tepkiye verilen addır. Mukavemette bir cismin

toptan durumu hakkında bir fikir edinebilmek için, cismi parçalara ayırmak ve her parçayı, sanki diğerinden bağımsız,

ayrı bir cisim olarak düşünmek gerekmektedir; bu işlemde, cismin parçalarından, birinden diğerine geçen tesirin hesaba

katılması, iç kuvvet fikrini doğurmuştur.

İç kuvvet, cismin parçalarını belirten ayırma yüzeyi veya kesit kavramından ayrı olarak düşünülemez. Bu ayırma

yüzeyinin seçilen tarafına göre de, iç kuvvet belirli bir yön kazanır. Seçilen taraflarda değişiklik yapılırsa iç kuvvet de

yönünü değiştirir. İç kuvvetin hesabında ve işaretlenmesinde bu zıt yönlü karakteri her zaman göz önünde tutulmalı ve

ona hiçbir zaman belirli yönlü bir vektör gözü ile bakılmamalıdır.

Şekil 2.1 de görülen cisim, üzerine etkiyen dış kuvvetleri ile dengede

bulunmaktadır; cismin t-t ayırma yüzeyi ile I ve II parçalarına ayrıldığı düşünülsün.

Hangi cisim parçasının, başlı başına bir cisim gibi dengesi düşünülecek ise, ona

diğerinden geçen tesirin de, bir dış etki gibi, hesaba katılması gerekir. Ayrı ayrı

dengesi ele alınan parçalar I ve II olduğuna göre kesitin bir tarafından diğerine

geçen tesirlerin şiddeti aynı kaldığı halde yönü değişir, çünkü mekaniğin genel

prensibine göre etki tepkiye eşittir.

P

3

P

I

4

P

1

P t

2

P

t

6

P

II

5

Şekil 2.1

Şekil 2.2 de gösterilen cisim parçası, Şekil 2.1 deki cismin t-t ayırma yüzeyi ile bölünen I numaralı parçası olsun. Kesitin

yalnız ∆A ile gösterilen alan elemanına isabet eden iç kuvvet tutarı ile gösterilirse, bu civarda gerilme vektörünün tarifi

1.1 Dış ve İç Kuvvet:

Şekil 2.2

ayırma

yüzeyi

I

P

3

P

₄

∆A

P

P

1 2

B

(Kesit)

∆P

n

™Gerilme:

İç kuvvetlerin esas özelliklerinden biri de, kesit yüzeyi boyunca sürekli bir tarzda dağılı olmalarıdır. Yüzeye dağılı iç

kuvvetin herhangi bir noktada dağılma şiddetini belirtmek için, o civarda birim alana isabet eden değerinin verilmiş

olması gerekmektedir, bu şiddete gerilme denir.

0

lim

A

P

p

A

→ ∆ →

⎛

_∆

⎞

⎜

_∆

⎟

⎝

⎠

=

G

P

3

P

I

4

P

1

P t

2

P

t

6

P

II

5

Şekil 2.1

(2.1) şeklinde yapılır.

1.1 Dış ve İç Kuvvet:

™Gerilme:

Gerilme vektörü genel olarak ayırma yüzeyinin normalinden farklı bir doğrultuda olmaktadır; bu sebeple,

ye

eğik gerilme vektörü denir. Gerilme vektörüne ilişkin izleyen kavramlar verilebilir:

•Normal gerilme:

Eğik gerilme vektörünün ayırma yüzeyinin normali doğrultusundaki izdüşümüne normal gerilme adı verilir

ve σ ile gösterilir.

•Asal normal gerilme:

gerilme vektörü, ayırma yüzeyi normali vektörü ile çakışırsa

olur. Bu durumdaki σ

gerilmesine asal normal gerilme adı verilir.

τ

=

0 ve

σ

=

p

G

p

G

n

G

•Kayma gerilmesi:

Ayırma yüzeyi üzerindeki izdüşüme kayma gerilmesi adı verilir ve τ ile gösterilir.

P

B

_σ

τ

n

Şekil 2.3

Gösterilen bu kavramları bir animasyonda üç boyutlu olarak canlandıralım.

1.2 Gerilme Durumu:

Gerilmenin biraz önce verilen tarifinde, bir ∆A kesit alanı elemanının seçilmesi öngörülmüştür; buna göre bir noktadan

geçen, çeşitli doğrultulu yüzey elemanları düşünülebileceğinden, aynı nokta için her defasında başka bir gerilme

bulunacaktır. Kısaca söylemek gerekirse değiştikçe gerilme vektörü ona bağlı olarak değişecek demektir. Asıl

problem, bu iki vektör arasındaki vektör fonksiyonunu belirtmektir.

Söz konusu nokta civarında kenarları sonsuz küçük bir dört yüzlünün dengesini düşünülsün; üç farklı yüze ait

gerilmeleri verilmiş ise, denge esasından dördüncü yüze ait gerilmesini bunlar cinsinden hesaplamak

mümkündür (Şekil 2.4). Bu açıklamadan anlaşılacağına göre, bir noktadaki, herhangi bir yüzey elemanındaki

gerilmenin belirtilmesi için sonlu sayıda büyüklük vermek yetecektir. Verilmesi gerekli büyüklükler, gibi

üç vektör veya bunların bileşenleri olan dokuz skalerden ibarettir. Artık yukarıda sözü geçen vektör fonksiyonu için

gibi bir ifade verilebilir. Denge denklemleri kuvvetlere göre lineer olduğu için f fonksiyonu da lineer

bir vektör fonksiyonudur.

p

G

n

G

1

,

2 3

p p ve p

G G

G

1

,

2 , 3

p p p

G G G

Şekil 2.4

Gösterilen bu kavramları bir animasyonda üç boyutlu olarak canlandıralım.

a

1

P

P

2

b

d

3

P

c

P

n

)

,

,

(

p

₁

p

₂

p

₃

f

p

G =

G

G

G

1.2 Gerilme Durumu:

Mukavemette bir noktadan geçen bütün yüzey elemanlarındaki gerilmeleri belirtmek için verilmesi gerekli değerlerin

hepsi birden tek bir büyüklük olarak düşünülür ve adına o noktanın gerilme hali denir. Bu tarife göre, gerilme hali,

dokuz koordinatlı bir büyüklük oluyor demektir; vektörden karakter itibarıyla farklı olan bu yeni tip büyüklük gerilme

tansörü adını alır. Yine denge denklemleri yardımıyla göstermek mümkündür ki dokuz koordinatın ancak altı tanesi

bağımsızdır; bu özellik, tansör hesabında kullanılan terimlere göre, gerilme tansörünün simetrik olduğunu söylemekle

ifade edilir. Genel halde, altı skalerle belirtilen bir gerilme hali, özel durumlarda, daha az sayı ile tarif edilebilir ki, bu

durumlar izleyen bölümlerde irdelenecektir.

•Üç eksenli gerilme hali:

Eğer bir noktadan geçen bütün yüzey elemanlarındaki gerilmelerde doğrultu itibarıyla hiçbir özellik yoksa, bu gerilme

haline üç eksenli gerilme hali denir ve burada gerilmesiz hiçbir kesit yoktur.

•İki eksenli gerilme hali:

Yüzey elemanlarındaki gerilme vektörlerinin doğrultuları hep aynı bir düzlem içinde kalırsa bu özel hale iki eksenli

gerilme hali denir. Burada gerilmesiz tek kesit bu iki eksenin belirttiği düzlemdir.

•Bir eksenli gerilme hali:

Bir noktadan geçen bütün yüzey elemanlarındaki gerilme vektörlerinin şiddetleri farklı olduğu halde doğrultuları sabit

kalırsa bu özel hale bir eksenli gerilme hali denir. Burada gerilmesiz birçok yüzey elemanları vardır. Sıfır gerilmeli

olan bu kesitler hep sabit eksenden geçerler.

Aşağıdaki maddelerde gerilme halleri ayrı ayrı ele alınacaktır. İncelemede esas amaç, verilen kesitteki gerilmelerden

istenilen kesitteki değerlere geçmektir. Bu iş yapılırken daima bir cisim parçasının –dört yüzlü, prizma gibi- dengesi

hesaba katılacaktır. Yalnız gerilme hali bir noktadan geçen bütün yüzey elemanlarındaki gerilmeler olarak tarif edildiği

için, göz önüne alınan cisim parçasının lineer boyutlarının da sonsuz küçük olması gerekecektir.

Bir cisim içerisinde gerilme hali bir noktadan diğerine değişmezse, buna homojen gerilme hali denir. Ele alınan

cisimler bu şekilde zorlanmış ise, çeşitli kesitlerdeki gerilmelerin incelenmesinde, dengesi hesaplanacak cisim

parçasının boyutlarının sonsuz küçük olmasına artık ihtiyaç kalmaz.

τ

σ τ

τ

τ

_σ

τ

τ

σ

z

yz

yx

y

zx

xz

x

xy

zy

c

a

x

z

y

b

1.3 Gerilme Hali:

Bir noktadaki gerilme hali asal gerilmelerle verilebilmesine karşın, çoğu zaman normalleri seçilen bir eksen takımına

paralel olan üç kesitteki gerilmelerle karakterize edilir. Bu durumda seçilen kesitlerdeki gerilmeler sadece normal

olmayıp, aynı zamanda bunların τ bileşenleri de mevcuttur.

Şekil 2.5 de verilen küpün bir yüzünden diğer yüzüne gerilmelerin değişmesi ve içeride hacim kuvvetlerinin (atalet)

bulunması ihtimalleri mevcuttur. Önce a.b.c boyutunda bir eleman düşünülüp sonra limite gidildiğinde, bu terimlerin

yüksek mertebeden küçük olduğu, dolayısıyla ihmal edilebileceği görülür.

Şekil 2.5

τ

σ τ

τ

τ

σ

τ

τ

σ

z

yz

yx

y

zx

xz

x

xy

zy

c

a

x

z

y

b

1.3 Gerilme Hali:

•Normal gerilme için işaret kabulü:

σ normal gerilmeleri dış normal yönünde ise artı alınacak ve çekme denilecek, aksi hal eksi sayılıp basınç gerilmesi olarak

isimlendirilecektir.

•Kayma Gerilmelerindeki iki indisin anlamı şöyledir:

Birinci indis gerilmelerin bulunduğu yüzün normalinin doğrultusunu, ikincisi ise gerilmenin doğrultusunu belirtir.

•Kayma gerilmesi için işaret kabulü:

Kayma gerilmesinin bulunduğu kesitin dış normali yönü ve kendi yönü ikisi birden koordinat eksenlerinin aynı veya zıt

yönünde ise artı sayılacak, farklı olması halinde ise eksi denecektir. Bu hale göre Şekil 2.5 deki tüm kayma gerilmelerinin

artı olduğu görülür.

1.3 Gerilme Hali:

τ

σ τ

τ

τ

σ

τ

τ

σ

z yz yx y zx xz x xy zy

c

a

x

z

y

b

Şekil 2.5

Şekil 2.5 de normali x doğrultusunda olan düzlem üzerindeki gerilmenin koordinat

eksenleri doğrultusundaki bileşenleri (σ

_x

, τ

_xy

, τ

_xz

) olsun. Burada ilk gerilme normal,

diğer ikisi de kayma gerilmesidir.

Normali y doğrultusunda olan düzlem üzerindeki gerilme bileşenleri (τ

_yx

, σ

_y

, τ

_yz

) ve

normali z doğrultusunda olan düzlem üzerindeki değerler de (τ

_zx,

τ

_{zy ,}

σ

_z

) olarak

verilmiş olsun. Kolaylıkla ispat edilebilir ki, gerilme halinin dokuz bileşeni

birbirlerinden bağımsız değillerdir, aralarında

(2.2)

ile gösterilen üç bağıntı vardır.

(2.2) bağıntıları doğrudan doğruya Şekil 2.5 de görülen, yüzleri koordinat eksenlerine paralel cismin dengesinden de

bulunabilir. Örneğin x eksenine göre yazılan moment denge denklemi

bağıntısını verir, diğer iki bağıntı da benzer şekilde y ve z eksenlerine göre yazılacak moment denge denklemlerinden

elde edilir. (2.2) denklemlerine göre, artık gerilme halinin dokuz bileşeninden altısı bağımsız olacak demektir.

Aşağıdaki tabloda toplanan bu bileşenler, esas çapa göre simetrik olan bir matris yaparlar:

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

z

zy

zx

yz

y

yx

xz

xy

x

σ

τ

τ

τ

σ

τ

τ

τ

σ

yz zy yz zy

c

a

c

b

b

a

.

.

τ

.

=

.

.

τ

.

→

τ

=

τ

zy yz zx xz yx xy

τ

τ

τ

τ

τ

τ

=

,

=

,

=

(2.3)

1.4 İki Eksenli Gerilme Hali:

Bu durumda (2.3) gerilme tansörü aşağıdaki gerilme tansörüne indirgenir:

Şimdi normali olan herhangi bir kesitteki gerilme

aransın. Şekil 2.b de ABC prizmasının dengesinden

gerilmesini hesaplamak mümkündür. Yalnız CB

kesitinin A ya çok yakın olduğu kabul edilmektedir.

Dengeden:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

y yx xy x

σ

τ

τ

σ

(2.4)

Birbirinden bağımsız bu 3 büyüklükle artık herhangi bir kesitteki gerilmeleri bulmak mümkün olur.

s _σ A px a τ A p_y p p n σ b A τxy y B yx τ x σ p_y ϕ C

n

p_x p ϕ

Şekil 2.6

⎭

⎬

⎫

+

=

+

=

ϕ

σ

ϕ

τ

ϕ

τ

ϕ

σ

sin

cos

sin

cos

y xy y yx x x

p

p

_(2.5a)

cos sin ; nG =

ϕ

Gi +

ϕ

Gj

n

G

=

n i n j

_x

G

+

_y

G

(2.5b)

Şimdi normali olan herhangi bir kesitteki gerilme aransın. Şekil 2.6b de ABC prizmasının dengesinden gerilmesini

hesaplamak mümkündür. Yalnız CB kesitinin A ya çok yakın olduğu kabul edilmektedir. Dengeden:

⎪⎭

⎪

⎬

⎫

−

−

−

=

+

−

=

=

+

+

=

+

=

=

ϕ

ϕ

σ

σ

ϕ

ϕ

τ

ϕ

ϕ

τ

ϕ

ϕ

τ

ϕ

σ

ϕ

σ

ϕ

ϕ

σ

cos

sin

)

(

)

sin

(cos

cos

sin

.

cos

sin

2

sin

cos

sin

cos

.

2 2 2 2 y x xy y x xy y x y x

p

p

s

p

p

p

n

p

G

G

G

G

(2.6)

Burada , birim normal vektörüne dik doğrultudaki birim vektör olup Şekil 2.6a da gösterilmiştir. (2.5) ve (2.6)

ifadeleri herhangi bir kesitteki gerilmeleri veren esas ifadelerdir.

s

G

n

G

σ

ϕ

ο

+

Π/2

ϕ

ο 1

A

σ

2

1.5 Asal Gerilmeler ve Asal Doğrultular:

φ açısı değiştikçe σ ve τ gerilmeleri değişir. Bu

arada σ ve τ nun ekstrem değerleri aransın. Bu

gaye için (2.6) ifadeleri önce 2φ açısıyla

gösterilsin:

Şekil 2.7

(2.7)

(2.8)

⎪

⎪

⎪

⎭

⎪⎪

⎪

⎬

⎫

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−

=

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

=

ϕ

σ

σ

ϕ

τ

τ

ϕ

τ

ϕ

σ

σ

σ

σ

σ

2

sin

2

2

cos

2

sin

2

cos

2

2

y x xy xy y x y x

σ

_max

ve σ

_min

için:

y x xy o xy y x

tg

d

d

σ

σ

τ

ϕ

ϕ

τ

ϕ

σ

σ

ϕ

σ

−

=

=

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−

→

=

sin

2

2

cos

2

0

;

2

2

2

2

0

denklemi bulunur. (2.8) ifadesini sağlayan farklı φ

_o

ve φ

_o

+π/2 ile tarif edilen iki kesit vardır, bu kesitlere asal normal

kesitler ve bunlar üzerindeki değerlere asal normal gerilmeler denir, (2.8) ifadesi aynı şekilde τ=0 şartından da elde

edildiği için asal kesitlerde kayma gerilmesinin sıfır edeceği sonucuna varılır, Şekil 2.7. φ

_o

ve φ

_o

+ π /2 ye karşı gelen asal

gerilmelerin değerleri ise:

2 2 2 , 1

2

2

xy y x y x

σ

σ

σ

_τ

σ

σ

_⎟⎟

+

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

±

+

=

(2.9) olur.

2 2 2 2

cos

sin

2

sin cos

(cos

sin

) (

)sin cos

x y xy xy x y

σ σ

ϕ σ

ϕ

τ

ϕ

ϕ

τ τ

ϕ

ϕ

σ

σ

ϕ

ϕ

⎫

=

+

+

_⎪

⎬

=

−

−

−

_⎪⎭

(2.6)

ϕ

1

x

A

o

τ

σ

o

τ

o o

σ

1.5 Asal Gerilmeler ve Asal Doğrultular:

Şimdi bir de τ nun ekstrem olduğu kesitler ve değerler aransın: şartından

τ

_ϕ

=

₀

d

d

xy y x y x xy

tg

_τ

σ

σ

ϕ

ϕ

σ

σ

ϕ

τ

2

2

0

2

cos

2

2

2

sin

2

_⎟⎟

=

→

₁

=

−

−

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−

−

_(2.10)

_bulunur.

2 2

2

xy y x o

τ

σ

σ

τ

_⎟⎟

+

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

(2.11)

ve buradaki normal gerilmenin değeri ise:

(

)

olarak bulunur.

2

1

y x o

σ

σ

σ

=

+

_(2.12)

(2.10) denklemini sağlayan açılar φ

₁

ve φ

₁

+ π /2 olursa asal kayma kesitlerinin asal normal kesitlere göre π/4 kadar

dönük olması gerekir; çünkü (2.8) ve (2.10) denklemleri bunu gösterir, Şekil 2.8. τ nun mutlak ekstrem değeri

Hatırlatma:

1.5 Asal Gerilmeler ve Asal Doğrultular:

Asal gerilmelere bir başka yoldan da varmak mümkündür. Asal normal gerilmelerin kesitlerinde kaymanın sıfır olduğu

hususundan faydalanarak

bulunur.

(2.16)

şeklinde bulunur. Bunlara düzlem gerilme halinin invaryantları denir.

gibi ikinci dereceden bir denklem elde edilir; bunun kökleri aranan asal gerilmeleridir. Her köke karşı gelen

açılar da (2.13) denkleminden elde olunacaktır ve birinin φ

_o

, diğerinin ise φ

_o

+ π /2 edeceği kolaylıkla ispat edilebilir. (2.15)

den köklerle katsayılar arasındaki bağıntı

⎭

⎬

⎫

=

=

o y o x

p

p

ϕ

σ

ϕ

σ

sin

cos

Bu değerler (2.5) denklemiyle karşılaştırılsın.

(2.5)

⎭

⎬

⎫

=

−

+

=

+

−

0

sin

)

(

cos

0

sin

cos

)

(

o y o xy o xy o x

ϕ

σ

σ

ϕ

τ

ϕ

τ

ϕ

σ

σ

(2.13)

Bu lineer homojen denklemin, ikisi birden sıfır olmayan bir çözüme sahip olabilmesi için

0

)

(

)

(

=

−

−

σ

σ

τ

τ

σ

σ

y xy xy x

_(2.14)

determinantının sıfır olması lazımdır. (2.14) denkleminin düzenlenmesiyle

0

)

(

2

₋

₊

₊

₌

y xy xy x y x

_τ

_σ

τ

σ

σ

σ

σ

σ

(2.15)

1

ve

2

σ

σ

⎭

⎬

⎫

−

=

=

+

=

+

=

2 2 1 2 1 1 xy y x II y x

I

I

τ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

⎭ ⎬ ⎫ + = + =

ϕ

σ

ϕ

τ

ϕ

τ

ϕ

σ

sin cos sin cos y xy y yx x x p p

σ

b

A

τ

xy y

B

yx

τ

x

σ

p

_y ϕ

C

n

p

_x

p

ϕ

ξ o x η y ϕ A σ xy τ x y σ τxy σξ ϕ A τξη ση τξη a b c ϕ

1.6 Gerilme Halinin Dönüşümü:

(x, y) koordinat eksenleri φ kadar dönerek (x, h)

konumunu alsın. Birinci takıma ait σ

_x

, σ

_y

, ve τ

_xy

değerlerinden ikinci takıma ait

değerleri bulunsun. (2.6) dan hemen:

Şekil 2.8

ϕ

τ

ϕ

σ

σ

σ

σ

ϕ

ϕ

τ

ϕ

σ

ϕ

σ

σ

_ξ

cos

2

sin

2

2

2

cos

sin

2

sin

cos

2 _y 2 _xy x y x y _xy x

⎟⎟

+

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

=

+

+

=

ϕ

τ

ϕ

σ

σ

σ

σ

ϕ

ϕ

τ

ϕ

σ

ϕ

σ

σ

_η

cos

2

sin

2

2

2

cos

sin

2

cos

sin

2 _y 2 _xy x y x y _xy x

⎟⎟

−

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

=

−

+

=

ϕ

σ

σ

ϕ

τ

ϕ

ϕ

σ

σ

ϕ

ϕ

τ

τ

_ξη

sin

2

2

2

cos

cos

sin

)

(

)

sin

(cos

2 2

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−

=

−

−

−

=

_{xy x y xy} x y

(2.16)

denklemleri elde olunur; bunlara gerilme halini bir takımdan diğerine dönüştürmeye yarayan dönüşüm formülleri denir. Bu

dönüşümde

⎭

⎬

⎫

=

−

=

−

=

+

=

+

sabit

sabit

xy y x y x 2 2

_σ

_σ

_τ

τ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

ξη η ξ η ξ

(2.18)

edeceği bulunabilir. (2.18) ifadelerine dönüşümün invaryantları denir ve (2.16) ile karşılaştırınca bunların asal gerilmelerle

olan bağlantısı görülür.

,

ve

ξ η ξη

τ

τ

σ

σ

M

o

1.7 Mohr Grafik Gösterimi:

Herhangi bir kesitteki σ normal gerilmesi absis ve aynı kesitteki τ kayma gerilmesi ordinat seçilirse, σ, τ çifti bir M

noktasını gösterir, Şekil 2.9. Mohr gösteriminde işaret kabulü izleyen şekildedir:

•

σ normal gerilmesi için dış normal doğrultusu, daha önceki işaret

kabulünün aynısı olarak, pozitif yöndür.

•

τ kayma gerilmesi için kabul edilen işaret esası şudur: Kesitin dış

normali matematik pozitif yönde π/2 kadar döndürüldükten sonra

aldığı yön kayma gerilmesinin yönü ile aynı olarak düşüyorsa böyle

hale artı, aksine eksi işaret verilecektir, Şekil 2.10.

Şekil 2.9

π

2

τ

n'

_π

2

n

n'

τ

σ

n

x

xy

τ

τ

yx

y

A

σ

Şekil 2.10

Şekil 2.11

Bu yeni ve sadece Mohr gösterim sistemine özel işaret esasına göre Şekil 2.12 de gösterilen τ

_xy

gerilmesi pozitif işaretli

olduğu halde τ

_yx

gerilmesi eksi işaretli olur ve (2.2) denklemindeki ifadesinin bu prensibe göre,

olması gerekir.

yx xy

τ

τ

=

yx xy

τ

τ

=

−

(2.19)

1.7 Mohr Grafik Gösterimi:

Şimdi φ açısı değiştikçe M gösterim noktalarının geometrik yeri aransın. (2.26) denklemleri arasında 2φ açısı yok

edilirse:

2 2 2 2

2

2

xy y x y x

σ

_τ

σ

σ

_τ

σ

σ

_⎟⎟

+

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

+

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

−

(2.20)

denklemi bulunur ki bu da σ, τ düzleminde, merkezi absis ekseni üzerinde olan, bir çember gösterir. Buna Mohr

çemberi

adı verilir. Şekil 2.12 böyle bir çember göstermektedir.

M

4

M

3

M

2

M

y

τ

τ

M

1

σ

τ

xy

2

ϕ

0

τ

xy

M

x

2

ϕ

M

c

2

σ

x

+

σ

y

σ

σ

σ

σ

x

σ

y

Şekil 2.12

ξ o x η y

ϕ

A

σ

xy

τ

x y

σ

τ

xy

σ

ξ

ϕ

A

τ

ξη

σ

η

τ

ξη

ϕ

1.7 Mohr Grafik Gösterimi:

M

_x

noktası, normali x doğrultusundaki kesiti ve M

_y

de buna dik olan

diğer kesiti temsil eder ve çap karşısıdır. Dairenin merkezi (σ

_x

+ σ

_y

)/2

absisinde olup, yarı çapı

M4 M3 M2 My τ τ M1 _σ τxy 2ϕ0 τxy Mx 2ϕ M c 2 σx+σy σ σ σ σx σy

Şekil 2.12

M

₁

ve M

₂

gösterim noktaları asal normal gerilmelere karşı gelirler. Şekilde M

_x

CM

₁

açısı (2.8) den dolayı 2φ

_o

açısından

ibarettir. φ ile tarif edilen kesitteki σ, τ gerilmeleri daire üzerinde M noktası ile gösterilmiştir. M

_x

CM açısı, hesap

yapılırsa görülür ki 2φ kadar olup ters yönde bulunmaktadır.

2 2

2

xy y x

r

σ

σ

_⎟⎟

+

τ

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

değerini alır. (2.11) dan dolayı τ nun değerinin r = τ

_max

edeceği kolayca

görülür.

2 2

2

xy y x o

τ

σ

σ

τ

_⎟⎟

+

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

Hatırlatma: (2.11)

Yani Şekil 2.8b deki kesitler φ açısıyla artı yönde dönerken Mohr çemberi üzerindeki gösterimleri ters yönde 2φ

açısıyla dönerler. Bu özellik gösterimin en önemli noktasıdır. Nihayet M

₃

, M

₄

tasvir noktaları asal kayma kesitlerine

karşı gelir. Mohr gösterim sistemi ile gerilme haline ait her çeşit problem çok basit ve açık olarak çözüldüğü için

analitik yola nazaran daima tercih edilir.

Şekil 2.8

1.7 Mohr Grafik Gösterimi:

™Özel Durum – Bir Eksenli Gerilme Durumu :

Asal normal gerilmelerden biri sıfır olursa böyle hale bir eksenli gerilme hali

denir. Bu durumda Mohr çemberi σ = 0 da τ eksenine teğet olur, (Şekil 2.13).

Tek eksenli halde ikinci invaryantın

edeceğine dikkat

edilmelidir. Tek eksenli gerilme halinde bütün kesitlerdeki gerilme

vektörlerinin doğrultuları sabit olur, bu doğrultu da, sıfır olmayan asal

gerilmenin doğrultusudur.

0

2

₌

−

_xy y x

σ

τ

σ

τ

σ

2=0

σ

1

σ

Şekil 2.13

™ Bazı Basit Gerilme Halleri :

Şekil 2.14a da gösterilen bazı gerilme halleri uygulama bakımından önemlidir.

b c τ σ τ a τ σ τ σ1 σ1 −σo σο σο σο σ σ_ο σο σο σ1 σο σο σο σο

Şekil 2.14

Bunlardan Şekil 2.14a da gösterilen bir eksenli haldir, adına basit çekme denir. Sıfır olmayan bu asal gerilme ters

işaretli olursa, gerilme halinin adı basit basınç olur. Şekil 2.14b de asal gerilmeler arasında σ

₁

=-σ

₂

bağıntısı olan bir

özel hal gösterilmiştir, adına basit kayma denir. Asal gerilmeler eşit olursa bu takdirde Mohr çemberi bir noktaya

dejenere olur. Bu hal kaymasız olup her kesitteki gerilme sadece normal doğrultuda ve şiddeti sabittir Şekil 2.14c.

Levhada gerilme hali bir noktadan diğerine değişmezse ona homojen gerilme hali denir, bu takdirde σ

_x

, σ

_y

ve τ

_xy

1.8 Üç Eksenli Gerilme Hali:

O dan geçen birbirlerine dik üç kesit göz önüne alınsın. Bunlardan normali x doğrultusunda olan obc düzleminin üzerindeki

gerilmenin koordinat eksenleri doğrultusundaki bileşenleri (σ

_x

, τ

_xy

, τ

_xz

) olsun. Burada ilk gerilme normal, diğer ikisi de

kayma gerilmesidir.

Şekil 2.15

c

x

n

τ

τ

zx

a

x

σ

z zy yz yx σy

τ

τ

σ

xy

τ

xz

τ

b

y

z

p

Normali y doğrultusunda olan oac düzlemindeki gerilme bileşenleri (τ

_yx

σ

_y

, τ

_yz

) ve normali z doğrultusunda olan oab

kesitindeki değerler de (τ

_zx,

τ

_{zy ,}

σ

_z

) olarak verilmiş olsun. Bu şekilde tarif edilen birbirinden bağımsız 6 değere dayanarak

normali olan herhangi bir abc kesitindeki gerilmesini hesaplamak mümkündür; diğer bir deyimle bu 6 değer üç eksenli

gerilme halini belirten bileşenlerdir.

Şimdi üç eksenli durumda abc düzlemindeki gerilmesinin hesabı yapılmak istensin. Bu hesapta iki eksenli durumda

izlenen yolun aynısı takip edilir. abc kesitinin normali olan birim vektörünün koordinatları sırasıyla (n

_x

, n

_y

, n

_z

) ve

vektörünün koordinatları da p

_x

, p

_y

, p

_z

olsun. Şekil 2.16 daki cismin dengesinden, (x) ekseni doğrultusunda yazılacak

izdüşüm denklemi

1.8 Üç Eksenli Gerilme Hali:

p

G

n

G

oab

oac

obc

abc

p

_x

.

∆

=

σ

_x

.

∆

+

τ

_yx

.

∆

+

τ

_zx

.

∆

şeklindedir. Halbuki çeşitli yüzlerin alanları arasında

abc

n

oab

abc

n

oac

abc

n

obc

x y z ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆

=

=

=

.

,

.

,

.

bağıntıları mevcut olduğundan, denge denklemi

zx z yx y x x x

n

n

n

p

=

.

σ

+

.

τ

+

.

τ

(2.22)

haline gelir. Benzer şekilde diğer eksenler boyunca

izdüşüm denge denklemleri de

zy z y y xy x y

n

n

n

p

=

.

τ

+

.

σ

+

.

τ

z z yz y xz x z

n

n

n

p

=

.

τ

+

.

τ

+

.

σ

(2.23)

(2.24)

elde edilerek gerilmesi koordinatları yardımıyla hesaplanmış olur. (2.22), (2.23) ve (2.24) denklemleri,

gerilme vektörü ile normal vektörü arasındaki lineer vektör fonksiyonunu tarif eden ifadelerdir.

)

,

,

(

p

_x

p

_y

p

_z

p

G

)

,

,

(

n

_x

n

_y

n

_z

n

G

Bu vektör fonksiyonunun (2.3) de verilen katsayılar

tablosuna, gerilme tansörü adı verilir. Gerilme

vektörünün mutlak değeri, koordinatlardan

2 2 2 z y x p p p pG = + +

(2.25)

şeklinde hesap edilebilir.

c

x n τ τzx

a

x

σz zy yz yx σy τ τ σ xy τ xz τ

b

y

z

p

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ z zy zx yz y yx xz xy x

σ

τ

τ

τ

σ

τ

τ

τ

σ

Hatırlatma: (2.3)

1.8 Üç Eksenli Gerilme Hali:

abc kesitindeki normal gerilme

formülü bulunur. Aynı kesitteki kayma bileşeni olan τ için

(2.26)

olur. Yalnız bu ifadeleri hesap ederken

c

x n

τ

τ

zx

a

x

σz zy yz yx σy

τ

τ

σ

xy

τ

xz

τ

b

y

z

p

z z y y x x

p

n

p

n

p

n

n

p

.

=

.

+

.

+

.

=

G

G

σ

eder ki (2.22), (2.23) ve (2.24) denklemlerinden yararlanılarak σ için

yz z y xz z x xy y x z z y y x x n n n n n n n n n

σ

σ

σ

τ

τ

τ

σ

= 2. + 2. + 2. +2. . +2. +2 2 2 2

_σ

τ

= p

G

−

(2.27)

1

2 2 2

₊

₊

₌

z y x

n

n

n

_(2.28)

1.9 Asal Gerilmeler ve Asal Doğrultular :

asal normal gerilmenin bulunduğu yüzeyin normali olarak alınsın. Asal kesitte τ = 0 olacağından,

n

G

o

o

p

n

n

p

G

=

σ

G

=

G

etmesi gerekir. (2.22), (2.23) ve (2.24) denklemlerinden

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

+

+

=

=

+

+

=

=

+

+

=

=

z oz yz oy xz ox oz z zy oz y oy xy ox oy y zx oz yx oy x ox ox x

n

n

n

n

p

n

n

n

n

p

n

n

n

n

p

σ

τ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

τ

σ

σ

.

.

.

.

.

.

.

.

.

(2.29)

yazılabilir. değerlerine göre lineer ve homojen olan bu takımın hepsi birden sıfır olmayan bir çözüme sahip

olabilmesi için katsayılar determinantının sıfır etmesi şartından

)

,

,

(

n

_ox

n

_oy

n

_oz

0

)

(

)

(

)

(

=

−

−

−

σ

σ

τ

τ

τ

σ

σ

τ

τ

τ

σ

σ

z yz xz zy y xy zx yx x

(2.30)

bulunur. Bu denklem aranan σ asal gerilmesine göre kübik bir denklemdir. Açık yazılışı

0

)

(

)

(

2 2 2 2 3

₋

₊

₊

₊

₊

₊

₋

₋

₋

₋

₌

z yz xz zy y xy zx yx x yz xz xy z y z x y x z y x

σ

τ

τ

τ

σ

τ

τ

τ

σ

σ

τ

τ

τ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

(2.31)

1.9 Asal Gerilmeler ve Asal Doğrultular :

(2.31) denkleminin üç kökünün daima reel olduğu gösterilebilir. Bunlar σ

₁

, σ

₂

ve σ

₃

olsun. Asal gerilmeler (2.31) den elde

edildikten sonra (2.11) denkleminde sırasıyla yerlerine konursa, istenilen asal gerilmeye karşı gelen birim normal vektörün

n

_ox

, n

_oy

, n

_oz

koordinatlarını hesaplamak mümkün olur; bu arada (2.28) denklemi göz önünde bulundurulmalıdır. Bu şekilde

elde edilecek üç birim vektörün koordinatları

)

,

,

(

,

)

,

,

(

,

)

,

,

(

_{ox oy oz o ox oy oz o ox oy oz} o

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

G

′

′

′

′

G

′′

′′

′′

′′

G

′′′

′′′

′′′

′′′

_(2.32)

asal kesitleri tarif ederler. Yine göstermek mümkündür ki bu üç doğrultu birbirlerine diktir, yani

0

.

.

.

′′

=

′

′′′

=

′′

′′′

=

′

_{o o o o o} o

n

n

n

n

n

n

G

G

G

G

G

G

(2.33)

bağıntısı vardır. (2.31) kübik denkleminin katsayıları ile kökleri arasında bilinen üç cebrik bağıntı

3 2 1

σ

σ

σ

σ

σ

σ

_x

+

_y

+

_z

=

+

+

_(2.34)

3 2 3 1 2 1 2 2 2

_τ

_τ

_σ

_σ

_σ

_σ

_σ

_σ

τ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

_{x y}

+

_{x z}

+

_{y z}

−

_xy

−

_xz

−

_yz

=

+

+

(2.35)

3 2 1

σ

σ

σ

σ

τ

τ

τ

σ

τ

τ

τ

σ

=

z yz xz zy y xy zx yx x

(2.36)

1.9 Asal Gerilmeler ve Asal Doğrultular :

™Özel Durum :

Gerilme tansörü, asal doğrultular ve asal gerilmelerle

verilseydi herhangi bir düzlemdeki gerilme bileşenlerini

veren ifadeler oldukça kısalırdı. Bu durumda gerilme

tansörünün bileşenleri

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

3 2 1

0

0

0

0

0

0

σ

σ

σ

(2.37)

tablosu ile, gerilmesi aranan ABC düzleminin

normalinin, Şekil 2.16, asal doğrultularla yaptığı açıların

doğrultman kosinüsleri ise n

_x

, n

_y

, n

_z

ile tanımlanmak şartı

ile, ABC düzlemindeki gerilme vektörünün asal

doğrultular boyunca izdüşümleri

p

G

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

=

=

=

3 3 2 2 1 1

σ

σ

σ

z y x

n

p

n

p

n

p

(2.38)

olur. Buradan

2 3 2 2 2 2 2 1 2 2 3 2 2 2 1 2

_σ

_σ

_σ

z y x

n

n

n

p

p

p

p

=

+

+

=

+

+

(2.39)

yazılabilir. ABC düzlemindeki normal ve kayma gerilmeleri ise

2 2 2 1 2 3

x y z

n

n

n

σ

=

σ

+

σ

+

σ

olarak yazılabilirler. Bütün bu formüller OABC sonsuz küçük dörtyüzlüsünün dengesinden de elde edilebilir.

1

C

σ

1

σ

2

B

A

σ

3

σ

₁

D

σ

3

σ

3 2

2

n

p

(2.40)

Şekil 2.16

.

.

.

.

.

.

.

.

.

x ox x oy yx oz zx y ox xy oy y oz zy z ox xz oy yz oz z

p

n

n

n

p

n

n

n

p

n

n

n

σ

τ

τ

τ

σ

τ

τ

τ

σ

⎫

=

+

+

⎪

=

+

+

_⎬

⎪

=

+

+

_⎭

yz z y xz z x xy y x z z y y x x n n n n n n n n n

σ

σ

σ

τ

τ

τ

σ

= 2. + 2. + 2. +2. . +2. +2 2 _{2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2} 1 2 3 1 2 3

(

)

(

)

(

)

x y x z y z

p

n n

n n

n n

τ

=

−

σ

=

σ σ

−

+

σ σ

−

+

σ

−

σ

σ σ (b) σ₁ 2 σ σ₁ σ₃ σ₃ 2 3 (a) σ2 2 σ 2 σ 1 σ 1 (c) 1 σ 3 3 σ₃ σ σ 2 1 τ τmax σ

1.9 Asal Gerilmeler ve Asal Doğrultular :

™Üç eksenli gerilme hali için Mohr Çemberi :

Herhangi bir üç boyutlu gerilme hali etkisindeki bir elemana üç farklı yönden bakılabilir. Örneğin gerilme hali Şekil 2.18a

daki gibi asal gerilmelerle verilmiş ise bu durumda 1-3 düzlemindeki gerilmeler Şekil 2.18b nin ilkinde gösterildiği gibi, 2-3

düzlemindeki gerilmeler ikincisinde gösterildiği gibi, 1-2 düzlemindeki gerilmeler ise üçüncüsünde gösterildiği gibi ifade

edilebilir. Elemanın her izdüşümüne karşı gelen Mohr çemberleri aynı bir σ- τ eksen takımında gösterilirse Şekil 2.18c de

gösterilen Mohr çemberleri ortaya çıkar. Daha sonra kırılma hipotezlerinde görüleceği gibi en büyük kayma gerilmesinin

bilinmesi önemli olmaktadır. En büyük kayma gerilmesi, Şekil 2.18c den en büyük yarıçapı veren Mohr çemberi için ortaya

çıkar. Şekil 2.18c den

2

3 1 max

σ

σ

τ

=

−

olur.

(2.44)

Şekil 2.18

1.9 Asal Gerilmeler ve Asal Doğrultular :

Şekil 2.19a da verilen eleman iki boyutlu gerilme hali etkisindedir. Yukarıda anlatılan yolla Mohr çemberleri çizilirse Şekil

2.19c deki durum elde edilir. Böylesi durumda en büyük kayma gerilmesi

(2.45)

Şekil 2.19

2

1 max

σ

τ

=

3 1 σ σ₂ (b) 1 σ 2 σ σ2 2 σ₂ (a) 1 1 σ (c) 1 τ σ τmax σ σ σ 2 1

olur.

1.9 Asal Gerilmeler ve Asal Doğrultular :

(2.45)

Şekil 2.20

2

1 max

σ

τ

=

(b) (c) σ σ₁ σ₁ 2 (a) 3 σ₁ 1

σ

1

τ

max

τ

σ₁

Şekil 2.20a da görülen tek eksenli gerilme halinde ise maksimum kayma gerilmesi yine (2.45) ile hesaplanır. Sonuç olarak

her zaman en büyük Mohr çemberinin yarıçapı maksimum kayma gerilmesini verecektir.

3 1 σ σ₂ (b) 1 σ 2 σ σ2 2 σ₂ (a) 1 1 σ (c) 1 τ σ τmax σ σ σ 2 1

1.9 Asal Gerilmeler ve Asal Doğrultular :

(2.45)

Şekil 2.20

2

1 max

σ

τ

=

™Üç eksenli gerilme hali için Mohr Çemberi :

Gerilme halinin çift ve tek eksenli olması durumlarında da Şekil 2.19a, 2.20a daki elemanlarda, bu elemanların üç boyutta

herhangi bir düzlemle kesilmeleri halinde söz konusu düzlemlerde gerilmelerin oluştuğunu not etmekte fayda vardır.

Dolayısıyla gerilme hali iki eksenli verildiğinde, elemandaki maksimum kayma gerilmesi aranıyorsa bu her zaman (2.30)

veya (2.40) ifadesi değildir. Böylesi durumlarda (2.44) ve (2.45) eşitlikleri göz önünde bulundurularak maksimum kayma

gerilmesi elde edilmelidir.

(b) (c) σ σ₁ σ₁ 2 (a) 3 σ₁ 1 σ 1 τmax τ σ₁

2

3 1 max

σ

σ

τ

=

−

(2.44)

Şekil 2.19

Çözümlü Problemler :

™ Problem 1.1 :

Verilen gerilme durumu için asal gerilmeleri ve asal doğrultuları bulunuz.

2 / 20 100 100 100 120 40 100 40 120 mm N T ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − =

™ Çözüm :

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ oz oy ox z zy zx zy y xy zx yx x oz oy ox z y x n n n n n n P P P . . . .

σ

τ

τ

τ

σ

τ

τ

τ

σ

σ

σ

σ

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − 0 0 0 . 20 100 100 100 120 40 100 40 120 oz oy ox n n n

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

− − − − − − = = − − − − − − − 20 200 100 100 80 40 0 0 160 0 20 100 100 100 120 40 0 160 160 0 = 120) + 180).( - ).( -(160 = 21600) - 60 -).( -(160 =

_σ

_σ

2

_σ

_σ

_σ

_σ

Buradan ,

σ

1

=

180

N/mm

2

σ

2

=

160

N/mm

2

,

bulunur.

2 3

=

-120

N/mm

σ

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

=

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

oz oy ox oz oy ox

n

n

n

n

n

n

.

20

100

100

100

120

40

100

40

120

.

.

.

σ

σ

σ

1

σ

0 ' . 100 ' . 40 ' ). 180 120 ( − n_ox+ n_oy+ n_oz = 0 ' . 100 ' .) 180 120 ( ' . 40 n_ox+ − n_oy− n_oz = 0 ' ). 180 20 ( ' . 100 ' . 100n_ox− n_oy+ − − n_oz =

1

)

'

(

)

'

(

)

'

(

2

₊

2

₊

2

₌

oz oy ox

n

n

n

(1)

(2)

(3)

(4)

→

→

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

=

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

=

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

−

−

=

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

=

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

−

0

0

0

'

'

'

.

0

20

20

100

60

40

0

20

20

'

'

'

.

200

100

100

100

60

40

0

20

20

0

0

0

'

'

'

.

200

100

100

100

60

40

100

40

60

oz oy ox oz oy ox oz oy ox

n

n

n

n

n

n

n

n

n