vii ABSTRAK
Margaretha Vebrencia Babo. 2016. Aplikasi Model Regresi Logistik untuk Menganalisis Faktor-Faktor yang Berhubungan dengan Terjangkitnya Malaria. Makalah. Program Studi Matematika, Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta.
Topik yang dibahas dalam makalah ini adalah aplikasi model regresi logistik dalam bidang kesehatan. Analisis regresi logistik merupakan model regresi yang digunakan bila variabel bersifat kualitatif yang hanya terdiri dari dua kategori. Bentuk umum model fungsi regresi logistik dengan variabel bebas dapat ditulis sebagai berikut:
dengan adalah 2.718, adalah koefisien regresi dari variabel bebas ke- , adalah nilai variabel bebas ke- dan adalah konstanta.
Model regresi logistik bersifat nonlinear terhadap parameter dan dapat diubah dalam bentuk linear terhadap parameter dengan menggunakan transformasi logaritma, dan dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan berikut:
dengan , dengan parameter dan diduga
viii ABSTRACT
Margaretha Vebrencia Babo. 2016. The Application of Logistic Regression Model to Analysis Factors that Related to The Occurrence of Malaria. A Paper. Mathematics Study Program, Department of Mathematics, Faculty of Science and Technology, Sanata Dharma University, Yogyakarta.
This paper cover the application of the logistic regression model in the field of health. Logistic regression model is used when the dependent variable is qualitative an has only two categories. The general form of the logistic regression model with independent variables can be written as follows:
where is 2.718, is regression coefficient of independent regression, is the value of independent variable and is constans.
Logistic regression model was non-linear in its parameter and could be transformed into linear form by using logarithm transformation and can be expressed:
where , and the parameter and was estimated
i
APLIKASI MODEL REGRESI LOGISTIK UNTUK MENGANALISIS
FAKTOR-FAKTOR YANG BERHUBUNGAN DENGAN
TERJANGKITNYA MALARIA
(Studi Kasus di RS Karitas Katikuloku Sumba Tengah, NTT)
MAKALAH
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Matematika
Program Studi Matematika
oleh:
MARGARETHA VEBRENCIA BABO
NIM: 113114002
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
ii
THE APPLICATION OF LINEAR REGRESSION MODEL TO ANALYSIS
FACTORS THAT RELATED TO THE OCCURRENCE OF MALARIA
(Case Study in RS Karitas Katikuloku Sumba Tengah, NTT)
A PAPER
Presented as Partial Fulfillment of the Requirements
to Obtain the Degree of Sarjana Matematika
in Mathematics Study Program
Written by:
MARGARETHA VEBRENCIA BABO
Student ID: 113114002
MATHEMATICS STUDY PROGRAM DEPARTMENT OF MATHEMATICS
FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
SANATA DHARMA UNIVERSITY
YOGYAKARTA
v
HALAMAN PERSEMBAHAN
Karya ini adalah tugu peringatan akan kesetiaan Tuhan dalam hidupku
“Kerja keras dan usaha akan selalu memberikan hasil yang tidak akan
mengecewakan”
(Yosep Babo)
Tugas Akhir ini kupersembahkan untuk:
Bapak, mama dan adik-adikku yang tercinta,
vii ABSTRAK
Margaretha Vebrencia Babo. 2016. Aplikasi Model Regresi Logistik untuk Menganalisis Faktor-Faktor yang Berhubungan dengan Terjangkitnya Malaria. Makalah. Program Studi Matematika, Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta.
Topik yang dibahas dalam makalah ini adalah aplikasi model regresi logistik dalam bidang kesehatan. Analisis regresi logistik merupakan model regresi yang digunakan bila variabel bersifat kualitatif yang hanya terdiri dari dua kategori. Bentuk umum model fungsi regresi logistik dengan variabel bebas dapat ditulis sebagai berikut:
Model regresi logistik bersifat nonlinear terhadap parameter dan dapat diubah dalam bentuk linear terhadap parameter dengan menggunakan transformasi logaritma, dan dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan berikut:
∑
dengan
viii ABSTRACT
Margaretha Vebrencia Babo. 2016. The Application of Logistic Regression Model to Analysis Factors that Related to The Occurrence of Malaria. A Paper. Mathematics Study Program, Department of Mathematics, Faculty of Science and Technology, Sanata Dharma University, Yogyakarta.
This paper cover the application of the logistic regression model in the field of health. Logistic regression model is used when the dependent variable is qualitative an has only two categories. The general form of the logistic regression model with independent variables can be written as follows:
∑ ∑
where is 2.718, is regression coefficient of independent regression, is the value of independent variable and is constans.
Logistic regression model was non-linear in its parameter and could be transformed into linear form by using logarithm transformation and can be expressed:
∑
where
, and the parameter and was estimated
x
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus yang selalu
memberikan hikmat dan menyertai penulis hingga penulis mampu menyelesaikan
makalah ini dengan lancar dan baik. Makalah ini dimaksudkan untuk memenuhi
salah satu syarat dalam menyelesaikan pendidikan Strata 1 (S1) dan memperoleh
gelar Sarjana Sains pada Program Studi Matematika di Universitas Sanata
Dharma Yogyakarta.
Penulis menyadari bahwa proses makalah ini melibatkan banyak pihak. Oleh
karena itu pada kesempatan ini penulis sudah selayaknya mengucapkan terima
kasih kepada:
1. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., selaku dosen Pembimbing
Akademik dan Dosen Pembimbing Tugas Akhir.
2. Bapak Y.G.Hartono, M.Sc., Ph.D., selaku Ketua Program Studi
Matematika Universitas Sanata Dharma.
3. Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si., selaku Dosen Pembimbing
Akademik.
4. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D selaku Dekan Fakultas
Sains dan Teknologi Universitas Sanata Dharma.
5. Bapak dan Ibu dosen Program Studi Matematika yang telah memberikan
xi
7. Keluarga terkasih, Bapak Yosep Babo, Ibu Leonora Nama, Rufina Agusta
Babo, Konstantinus Babo, Ibu Yudista Bhala, Berto Meo, Ratna Meo dan
Dus Bhose, yang telah memberikan cinta, doa, dukungan dan motivasi.
8. Teman-teman matematika 2011: Indra, Romo John, Herry dan Bayu, atas
kebersamaan, keceriaan, doa, dukungan dan motivasi.
9. Semua pihak yang telah mendukung, yang tidak dapat penulis sebutkan
satu persatu.
Penulis menyadari bahwa masih ada kekurangan dalam penulisan makalah ini.
Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran demi menyempurnakan
makalah ini. Akhirnya, penulis berharap semoga makalah ini dapat bermanfaat
bagi para pembaca.
Yogyakarta, Agustus 2016
xii DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ... i
HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ... ii
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ... iii
HALAMAN PENGESAHAN ... iv
HALAMAN PERSEMBAHAN ... v
HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ... vi
HALAMAN ABSTRAK ... vii
HALAMAN ABSTRAK DALAM BAHASA INGGRIS ... viii
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI... ix
KATA PENGANTAR ... x
DAFTAR ISI ... xii
DAFTAR TABEL ... xvi
DAFTAR GAMBAR ... xvii
DAFTAR LAMPIRAN ... xviii
BAB I PENDAHUUAN ... 1
A. Latar Belakang Masalah ... 1
B. Rumusan Masalah ... 5
C. Pembatasan Masalah ... 5
D. Tujuan Penulisan ... 6
xiii
F. Metode Penelitian ... 6
G. Sistematika Penulisan ... 7
BAB II LANDASAN TEORI ... 9
A. Malaria ... 9
1. Penyebaran dan Penularan Malaria ... 9
a. Penularan Secara Alamiah ... 9
b. Penularan Non Alamiah ... 10
1) Malaria Bawaan ... 10
2) Penularan Secara Mekanik ... 11
2. Faktor-Faktor Terjadinya Malaria ... 11
a. Faktor Manusia dan Nyamuk (Host) ... 11
1) Manusia ... 11
a) Umur ... 11
b) Jenis Kelamin ... 12
c) Status Gizi ... 12
2) Nyamuk ... 13
b. Faktor Agent (Plasmodium) ... 14
c. Faktor Lingkungan ... 15
1) Lingkungan Fisik ... 16
a) Suhu Udara ... 16
b) kelembaban ... 16
c) Curah Hujan ... 17
xiv
e) Sinar Matahari ... 17
f) Keadaan Dinding ... 18
g) Pemasangan Kawat Kasa ... 18
2) Lingkungan Kimiawi ... 19
3) Lingkungan Biologi ... 19
4) Lingkungan Sosial Budaya ... 19
a) Kebiasaan Keluar Rumah ... 19
b) Pemakaian Kelambu ... 20
c) Obat Anti Nyamuk ... 20
d) Pekerjaan ... 20
e) Pendidikan ... 21
B. Distribusi Probabilitas ... 21
1. Variabel Random ... 21
2. Fungsi Probabilitas ... 22
a. Distribusi Probabilitas Diskrit ... 22
b. Distribusi Probabilitas Kontinu ... 22
3. Fungsi Distribusi Kumulatif ... 23
4. Karakteristik Distribusi Probabilitas ... 23
a. Mean ... 23
b. Variansi ... 23
c. Momen ... 24
d. Fungsi Pembangkit Momen ... 24
xv
D. Distribusi Binomial ... 26
E. Metode Kemungkinan Maksimum ... 30
F. Analisis Regresi ... 34
1. Regresi Linear Sederhana ... 34
2. Regresi Linear Berganda ... 35
BAB III ANALISIS REGRESI LOGISTIK ... 39
A. Model Regresi Logistik ... 39
B. Transformasi Logit ... 42
C. Pendugaan Parameter Model Regresi Logistik ... 43
BAB IV APLIKASI REGRESI LOGISTIK ... 68
A. Deskripsi Data ... 68
B. Model Regresi Logistik untuk KemungkinanTerjangkitnya Malaria ... 77
C. Transformasi Logistik ... 78
D. Pendugaan Parameter Model Regresi Logistik ... 78
BAB V PENUTUP ... 82
A. Kesimpulan ... 82
B. Saran ... 84
DAFTAR PUSTAKA ... 85
xvi
DAFTAR TABEL
Tabel 3.1 Contoh pengkodean variabel semu untuk ras ... 41
Tabel 3.2 Peluang seseorang terkena penyakit jantung ... 67
Tabel 4.1 Persentase pasien penderita Malaria, Thypoid dan RFA pada tahun
2015 berdasarkan umur ... 69
Tabel 4.2 Persentase pasien penderita Malaria, Thypoid dan RFA pada tahun
2015 berdasarkan jenis kelamin ... 71
Tabel 4.3 Persentase pasien penderita Malaria, Thypoid dan RFA pada tahun
2015 berdasarkan kecamatan ... 72
Tabel 4.4 Persentase tingkat pendidikan pasien penderit Malaria, Thypoid dan
RFA pada tahun 2015 ... 73
Tabel 4.5 Persentase pasien penderita Malaria, Thypoid dan RFA pada tahun
xvii
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.1. Alur penularan malaria secara alamiah ... 10
Gambar 4.1. Jumlah penderita malaria, thypoid dan RFA berdasarkan umur ... 70
Gambar 4.2. Jumlah pasien penderita malaria, thypoid dan RFA berdasarkan jenis
kelamin ... 71
Gambar 4.3. Jumlah pasien penderita malaria, thypoid dan RFA berdasarkan
tingkat kecamatan ... 73
Gambar 4.4. Jumlah pasien penderita malaria, thyoid dan RFA berdasarkan
tingkat pendidikan ... 74
Gambar 4.5. Jumlah pasien penderita malaria, thypoid dan RFA berdasarkan
xviii
DAFTAR LAMPIRAN
Lampiran 1 Data contoh 3.2 ... 92
Lampiran 2 Langkah-langkah mencari ̂ pada model regresi linear berganda ... 94
Lampiran 3 Langkah-langkah analisis regresi logistik dengan menggunakan SPSS ... 108
Lampiran 4 Analisis data lampiran 1 ... 109
Lampiran 5 Analisis data malaria ... 112
1 BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
Penyakit malaria merupakan salah satu penyakit menular yang masih
menjadi masalah kesehatan masyarakat di dunia baik di negara maju maupun
di negara berkembang termasuk Indonesia. Kasus terbanyak terdapat di
Afrika dan beberapa negara Asia, Amerika Latin, Timur Tengah dan negara
bagian Eropa. Menurut Badan Kesehatan Dunia (World Health Organization)
sekitar penduduk dunia atau kurang lebih 2.3 miliar penduduk tinggal di
daerah endemis yang berisiko terinfeksi malaria. Survei Kesehatan Rumah
Tangga (SKRT, 2001) menunjukkan bahwa di Indonesia setiap tahun terdapat
sekitar 15 juta kasus malaria klinis dengan 30000 orang meninggal dunia.
Di wilayah Indonesia Timur, malaria masih termasuk dalam 10 besar
penyakit utama. Data Annual Malaria Incidence (AMI) Provinsi NTT
menunjukkan penurunan selama enam tahun secara berturut-turut, dari tahun
2003 hingga 2009, yaitu 186‰, 168‰, 167‰, 152‰, 130‰, 92‰, dan
74‰. Angka kejadian malaria tahunan atau Annual Malaria Incidence (AMI)
adalah angka kesakitan malaria (malaria berdasarkan gejala klinis) per 1000
penduduk dalam 1 tahun yang dinyatakan dalam per mil (‰). AMI
dikategorikan sebagai berikut: (a) High Incidence Area (HIA) dengan AMI
Incidence Area (MIA) dengan AMI antara 10 – 50 kasus malaria per 1000 penduduk per –tahun; dan (c) Low Incidence Area (LIA) dengan AMI kurang
dari 10 kasus malaria per 1000 penduduk per –tahun (Depkes, 2007).
Angka-angka tersebut masih tetap tinggi di atas target nasional .
Kejadian malaria dipengaruhi oleh tiga faktor utama yaitu host (manusia dan nyamuk), agent (parasit/plasmodium), dan environment (lingkungan).
Faktor host adalah semua hal yang terdapat pada diri manusia yang dapat
mempengaruhi timbulnya suatu penyakit antara lain umur, jenis kelamin,
pekerjaan, keturunan, ras, status kawin dan kebiasaan hidup. Faktor agent
adalah suatu substansi tertentu yang keberadaannya dapat menimbulkan suatu
penyakit. Faktor environment adalah seluruh kondisi dan pengaruh luar yang
mempengaruhi kehidupan dan perkembangan nyamuk seperti temperatur,
hujan, angin, kelembaban, ketinggian dan pencahayaan.
Faktor kesehatan lingkungan biologis dan sosial budaya sangat
berpengaruh terhadap penyebaran penyakit malaria di Indonesia (Harijanto,
2000). Lingkungan biologis yaitu tumbuhan bakau, lumut, ganggang dan
berbagai tumbuhan lain dapat mempengaruhi kehidupan larva karena ia dapat
menghalangi sinar matahari atau melindungi diri dari serangan makhluk
hidup lainnya dan lingkungan sosial budaya berupa kebiasaan masyarakat
yang berada di luar rumah sampai larut malam. Masyarakat dengan kebiasaan
bekerja di luar rumah pada malam hari mempunyai risiko tertular malaria 4
kali dibandingkan masyarakat yang tidak memiliki kebiasaan bekerja di luar
menyatakan bahwa faktor risiko yang mempengaruhi kejadian malaria adalah
tidak memasang kawat kasa pada semua ventilasi, dinding rumah yang
terbuat dari kayu/papan, keberadaan kandang ternak dekat rumah, kebiasaan
keluar rumah pada malam hari, pendapatan kecil (kurang dari Rp 1000000
tiap bulan) dan pendidikan yang rendah. Perbedaan menurut umur dan jenis
kelamin sebenarnya berkaitan dengan perbedaan derajat kekebalan karena
variansi paparan terhadap gigitan nyamuk. Beberapa penelitian menunjukkan
bahwa perempuan mempunyai respon imun yang lebih kuat dibandingkan
dengan laki-laki, namun pada saat hamil resiko terkena penyakit malaria pada
perempuan lebih besar. Malaria pada ibu hamil mempunyai dampak yang
buruk terhadap kesehatan ibu dan anak (Harijanto, 2000). Tingkat
pengetahuan dan kesadaran masyarakat tentang bahaya malaria akan
mempengaruhi kesediaan masyarakat untuk memberantas malaria antara lain
dengan menyehatkan lingkungan, menggunakan kelambu, memasang kawat
kasa pada rumah dan menggunakan obat anti nyamuk (Achmadi, 2005).
Menurut penelitian Dasril (2005), masyarakat yang berpengetahuan rendah
kemungkinan risiko tertular malaria 3 kali lebih besar dibandingkan
masyarakat yang berpengetahuan baik.
Faktor-faktor yang berhubungan dengan terjangkitnya malaria dapat di
analisis menggunakan regresi logistik. Regresi logistik merupakan model
regresi yang digunakan bila variabel Y bersifat kualitatif (Hosmer, 2000).
disimbolkan dengan x. Variabel terikat y mengikuti distribusi Bernoulli
dengan fungsi probabilitas:
a a
dengan adalah peluang sukses dari suatu kejadian dan
adalah peluang gagal suatu kejadian. Distribusi dari variabel terikat ini
merupakan pembeda antara regresi logistik dengan regresi linear. Pada regresi
linear variabel terikatnya diasumsikan berdistribusi normal, sedangkan untuk
variabel terikat pada regresi logistik bersifat kategorikal yaitu skala
pengukuran berupa nominal atau ordinal. Regresi logistik adalah model
regresi yang menggambarkan hubungan antara beberapa variabel bebas
dengan variabel terikat biner yaitu variabel yang diasumsikan mempunyai 2
nilai yang mungkin (0 atau 1) yang dapat diartikan gagal atau sukses. Analisis
regresi logistik didasarkan pada suatu fungsi yang disebut fungsi regresi
logistik, yang ditulis:
dengan p adalah peluang sukses dari suatu kejadian, dan adalah
parameter dan x adalah nilai dari variabel bebas yang diketahui. Berdasarkan
diskusi di atas, penulis akan membuat model regresi logistik dan mengadakan
penelitian tentang statistika terapan dari regresi logistik dengan mengambil
variabel terikat (Y) adalah variabel kategorik bivariat yang bernilai ya
penyakit malaria) dan variabel bebas (X) adalah jenis kelamin (x1), umur (x2),
tingkat pendidikan (x3) dan jenis pekerjaan (x4). Jenis Kelamin teridiri dari 2
kategori, yaitu laki-laki dan perempuan, usia terdiri dari 5 kategori, yaitu
balita (0-5 tahun), kanak-kanak ( tahun), remaja ( tahun),
dewasa ( tahun) dan lansia ( tahun). Tingkat pendidikan terdiri
dari 2 kategori, yaitu pendidikan rendah ( SMP) dan pendidikan tinggi (
SMA). Jenis pekerjaan terdiri dari 5 kategori, yaitu Petani, PNS/POLRI,
pegawai swasta/kontrak, tidak bekerja dan Lain-lain.
B. Rumusan Masalah
1. Bagaimana model regresi logistik pada kasus malaria?
2. Berdasarkan model Regresi logistik, faktor-faktor apa sajakah yang
berhubungan dengan kemungkinan terjadinya penyakit malaria?
3. Berapakah peluang seseorang beresiko terkena penyakit malaria
berdasarkan informasi variabel bebas?
C. Pembatasan Masalah
1. Dalam Tugas Akhir ini, penulis akan membahas model regresi logistik
2. Dasar-dasar teori yang dibahas hanya yang berkaitan langsung dengan
model regresi logistik.
3. Metode penaksiran yang digunakan adalah Metode Kemungkinan
4. Data yang digunakan adalah data demografi yang diperoleh dari RS
Karitas Katikuloku, Sumba Tengah, NTT.
D. Tujuan Penulisan
Tulisan yang akan dicapai dalam tulisan ini adalah :
1. Mengetahui model regresi logistik pada kasus malaria.
2. Mengetahui faktor-faktor yang berhubungan dengan kemungkinan
seseorang terjangkit penyakit malaria.
3. Mengetahui peluang seseorang beresiko terjangkit penyakit malaria
berdasarkan informasi variabel bebasnya.
E. Manfaat Penelitian
Manfaat penulisan ini adalah untuk memperoleh pengetahuan tentang regresi
logistik, membahas dasar-dasar teori yang terkait, dapat menentukan
parameter-parameter dari model logistik, serta dapat mengetahui faktor-faktor
yang berhubungan dengan terjangkitnya malaria.
F. Metode Penelitian
Metode penulisan yang digunakan penulis adalah studi pustaka yaitu dengan
membaca buku-buku referensi dan jurnal ilmiah yang berkaitan dengan
G. Sistematika Penulisan
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
B. Perumusan Masalah
C. Pembatasan Masalah
D. Tujuan Penulisan
E. Manfaat Penulisan
F. Metode Penulisan
G. Sistematika Penulisan
BAB II LANDASAN TEORI
A. Malaria dan Faktor-Faktor yang Mempengaruhi Terjadinya Malaria
B. Distribusi Probabilitas
C. Distribusi Binomial
D. Pendugaan Parameter dengan Menggunakan Metode Kemungkinan
Maksimum
E. Analisis Regresi
BAB III MODEL REGRESI LOGISTIK
A. Model Regresi Logistik
B. Transformasi Logit
C. Pendugaan Parameter Model Regresi Logistik
BAB IV APLIKASI REGRESI LOGISTIK
A. Deskripsi Data
C. Transformasi Logit
D. Pendugaan Parameter
BAB V PENUTUP
A. Kesimpulan
9 BAB II
LANDASAN TEORI
A.Malaria
1. Penyebaran dan Penularan Malaria
Malaria merupakan penyakit endemis yang menyerang negara-negara
yang penduduknya padat. Batas penyebaran malaria adalah 640 Lintang
Utara (Rusia) dan Lintang Selatan (Argentina). Ketinggian yang
memungkinkan parasit malaria adalah 400 meter di bawah permukaan laut
(Laut Mati) dan 2600 meter di atas permukaan laut (Bolivia).
Di Indonesia penyakit malaria tersebar di seluruh pulau dengan derajat
endemisitas yang berbeda-beda dan dapat berjangkit di daerah dengan
ketinggian sampai 1800 meter di atas permukaan laut. Spesies yang
terbanyak dijumpai adalah Plasmodium falciparum dan Plasmodium vivax.
Penyakit malaria dapat ditularkan melalui 2 cara yaitu secara alamiah dan
non-alamiah:
a. Penularan secara alamiah
Penularan secara alamiah yaitu penularan melalui gigitan nyamuk
Anopheles betina yang mengandung parasit malaria. Saat menggigit nyamuk mengeluarkan sporosit yang masuk ke peredaran darah tubuh
minggu digigit, parasit kembali masuk ke dalam darah dan mulai
menyerang sel darah merah dan mulai memakan hemoglobin yang
membawa oksigen ke dalam darah. Pecahnya sel darah merah yang
terinfeksi Plasmodium ini menyebabkan timbulnya gejala demam
disertai menggigil dan menyebabkan anemia.
Gambar 2.1 : Alur penularan malaria secara alamiah
b. Secara non-alamiah, yaitu penularan yang bukan melalui gigitan
nyamuk Anopheles. Berikut beberapa penularan malaria secara
non-alamiah:
1) Malaria Bawaan
Malaria Bawaan adalah malaria pada bayi yang baru dilahirkan
karena ibunya menderita malaria. Penularan terjadi karena adanya
kelainan pada sawar plasenta (selaput yang melindungi plasenta)
sehingga tidak ada penghalang infeksi dari ibu kepada janinnya.
Menggigit penderita
malaria Anopheles sp
Orang menjadi
sakit malaria Anopheles mengandung
Anopheles menggigit
Selain melalui plasenta, penularan dari ibu kepada bayinya juga
dapat melalui tali pusat.
Gejala pada bayi yang baru lahir berupa demam, iritabilitas
(mudah terangsang sehingga mudah menangis), pembesaran hati
dan limpa, anemia, tidak mau makan atau minum, kuning pada
kulit dan selaput lendir. Pembuktian dilakukan dengan deteksi
parasit malaria pada darah bayi.
2) Penularan Secara Mekanik
Penularan secara mekanik adalah infeksi malaria yang ditularkan
melalui transfusi darah dari donor yang terinfeksi malaria,
pemakaian jarum suntik secara bersama-sama pada pecandu
narkoba atau melalui transplantasi organ. Malaria dapat ditularkan
melalui gigitan nyamuk yang membawa parasit plasmodium.
Transfer parasit dapat terjadi baik dari nyamuk ke manusia rentan
maupun dari manusia yang telah terinfeksi ke seekor nyamuk
rentan. Jadi faktor penting pada penularan malaria adalah manusia
dan nyamuk.
2. Faktor-Faktor terjadinya Malaria
a. Faktor Manusia dan Nyamuk (Host)
1)Manusia
a) Umur
Anak-anak lebih rentan terhadap infeksi malaria. Anak yang bergizi
yang bergizi buruk. Akan tetapi anak yang bergizi baik dapat mengatasi
malaria berat dengan lebih cepat dibandingkan anak bergizi buruk
b) Jenis Kelamin
Perempuan mempunyai respon yang kuat dibandingkan laki-laki tetapi
apabila menginfeksi ibu yang sedang hamil akan menyebabkan anemia
yang lebih berat. Perbedaan menurut umur dan jenis kelamin
sebenarnya berkaitan dengan perbedaan derajat kekebalan karena
variansi paparan terhadap gigitan nyamuk. Beberapa penelitian
menunjukkan bahwa perempuan mempunyai respon imun yang lebih
kuat dibandingkan dengan laki-laki, namun pada saat hamil risiko
terkena penyakit malaria pada perempuan lebih besar.
c) Status Gizi
Masyarakat yang gizinya kurang baik dan tinggal di daerah endemis
malaria lebih rentan terhadap infeksi malaria. Faktor-faktor yang
mempengaruhi status gizi terdiri dari faktor-faktor yang berkaitan
dengan ibu dan faktor-faktor yang berkaitan dengan balita.
Faktor-faktor yang berkaitan dengan ibu adalah usia ibu menikah, usia ibu
pertama melahirkan, dan pendidikan ibu. Sedangkan faktor-faktor yang
berkaitan dengan balita adalah penyakit yang sering diderita oleh balita,
frekuensi terserang penyakit, sarana sanitasi, jumlah anggota keluarga,
pemberian ASI, kelengkapan imunisasi, pola asuh balita (Suhardjo,
2003), penghasilan rumah tangga, frekuensi pemberian makan pokok,
2) Nyamuk
Malaria pada umumnya hanya ditularkan oleh nyamuk Anopheles
betina. Di seluruh dunia terdapat 2000 spesies Anopheles 60 spesies
diantaranya dapat menularkan malaria. Di Indonesia sendiri terdapat 80
spesies Anopheles yang mana 24 diantaranya adalah spesies yang dapat
menularkan malaria. Sifat masing-masing berbeda tergantung berbagai
faktor seperti penyebaran geografis, iklim dan tempat perindukan.
Nyamuk Anopheles betina mempunyai kebiasaan menggigit antara
waktu senja dan subuh hari.
Vektor malaria merupakan faktor utama. Vektor adalah seekor
binatang yang membawa bibit penyakit dari seekor binatang atau
seorang manusia kepada binatang lainnya atau manusia lainnya (Adi,
H.S.,1993) . Setiap daerah memiliki iklim, cuaca dan flora serta fauna
yang berbeda-beda, hal ini menyebabkan hanya vektor tertentu saja
yang suka tinggal di daerah tersebut. Dengan kata lain vektor tertentu
memiliki habitat tertentu dan akan lebih suka tinggal di daerah yang
sesuai.
Setiap waktu nyamuk biasanya menghisap darah, karena protein
darah sangat diperlukan untuk perkembangan telurnya. Seekor nyamuk
tentu saja tidak bertelur sekali saja seumur hidupnya, melainkan
berkali-kali. Faktor lain dari vektor adalah lama hidup, jarak terbang
spesies nyamuk juga berbeda, makin lama umur nyamuk dan makin
jauh jarak terbangnya makin luas mereka menyebarkan malaria.
Masalah resistensi nyamuk terhadap insektisida juga berbeda-beda
sehingga banyak menyita waktu untuk mencari cara pemberantasan
nyamuk.
b.Faktor Agent (Plasmodium)
Agent penyebab malaria ialah makhluk hidup genus Plasmodia, Famili Plasmodiidae dan Ordo Coccidiidae. Sampai saat ini di Indonesia
dikenal empat spesies parasit malaria pada manusia, yaitu: Plasmodium
vivax, Plasmodium malariae,Plasmodium falciparum, dan Plasmodium ovale. Seorang penderita dapat dihingap lebih dari satu jenis plasmodium, infeksi demikian disebut infeksi campuran (mixed infection). Yang
terbanyak terdiri dari dua campuran, yaitu Plasmodium falciparum
dengan Plasmodium vivax atau Plasmodium malariae. Infeksi campuran
biasanya terjadi di daerah yang angka penularannya tinggi.
Keempat jenis Plasmodium sp (spesies plasmodium) sudah ada di
Indonesia saat ini, tetapi yang paling sering ditemukan dan menimbulkan
penyakit adalah Plasmodium falciparum dan Plasmodium vivax.
Berhubung Plasmodium falciparum paling sering memberikan gejala
yang berat sampai menimbulkan kematian, di samping sering sekali
resisten terhadap obat malaria, maka perhatian utama harus diberikan
Selanjutnya diketahui pula bahwa Plasmodium falciparum lebih
sering ditemukan di daerah tropis dan Plasmodium vivax di daerah
beriklim sedang dan sub tropis. Hal ini berhubungan dengan
perkembangan dan umur parasit tersebut. Plasmodium falciparum akan
menghambat pertumbuhannya pada suhu di bawah C dan umurnya
lebih pendek pada suhu di atas C, sedangkan Plasmodium vivax akan
terhambat perkembangannya pada suhu di bawah C dan lebih pendek
umurnya pada suhu di atas C .
c.Faktor Lingkungan
Peningkatan penularan malaria sangat terkait dengan iklim baik musim
hujan maupun musim kemarau dan pengaruhnya bersifat lokal spesifik.
Pergantian musim akan berpengaruh baik langsung maupun tidak
langsung terhadap vektor pembawa penyakit. Pergantian global iklim
yang terdiri dari suhu udara, kelembapan, curah hujan, pola tiupan angin
dan sinar matahari mempunyai dampak langsung pada reproduksi vektor
dan perkembangan parasit dalam tubuh vektor. Sedangkan dampak tidak
langsung karena pergantian vegetasi dan pola tanam pertanian yang dapat
mempengaruhi kepadatan populasi vektor. Penelitian Ikrayama Babba
(2007) menyatakan bahwa faktor risiko yang mempengaruhi kejadian
malaria adalah tidak memasang kawat kasa pada semua ventilasi, dinding
rumah yang terbuat dari kayu/papan dan keberadaan kandang ternak
1) Lingkungan Fisik
a) Suhu Udara
Faktor geografi dan metereologi di Indonesia sangat menguntungkan
transmisi malaria di Indonesia. Pengaruh suatu suhu ini berbeda bagi
setiap spesies. Suhu yang optimal bagi kehidupan nyamuk adalah
antara dengan kelembaban 80%. Suatu daerah yang
memiliki suhu dan kelembaban tersebut merupakan tempat yang
bagus bagi perkembangan nyamuk. Oleh karena itu daerah tropis
merupakan daerah yang paling disukai Anopheles. Makin tinggi suhu
(sampai batas tertentu) makin pendek masa inkubasi ekstrinsik dan
sebaliknya makin rendah suhu makin panjang masa inkubasi
ekstrinsiknya.
b) Kelembaban
Kelembaban yang pendek akan memperpendek umur nyamuk.
Tingkat kelembaban 60% merupakan batas paling rendah untuk
memungkinkan hidupnya nyamuk. Kelembaban mempengaruhi
kecepatan berkembang biak, kebiasaan menggigit, istrahat dan
lain-lain dari nyamuk. Pada kelembaban yang tinggi nyamuk menjadi lebih
aktif dan lebih sering menggigit, sehingga meningkatkan penularan
malaria. Menurut penelitian Barodji menyatakan bahwa
nyamuk Anopheles paling banyak menggigit di luar rumah pada
c) Curah Hujan
Curah hujan juga merupakan faktor penentu berkaitan dengan
timbulnya perindukan nyamuk. Setiap kali hujan turun akan
menimbulkan genangan air, sehingga terciptalah keadaan yang
menguntungkan nyamuk dengan memberinya tempat perindukan.
Masalah perindukan ini selain disebabkan oleh curah hujan juga
disebabkan oleh ulah manusia sendiri yang tanpa sengaja membuat
tempat perindukan nyamuk. Penebangan hutan dan jejak-jejak kaki di
tanah menimbulkan tempat perindukan baru bilamana hujan turun.
d) Pola Tiupan Angin
Kecepatan angin pada saat matahari terbit dan terbenam merupakan
saat terbangnya nyamuk ke dalam atau di luar rumah, adalah salah
satu faktor yang ikut menentukan jumlah kontak antara manusia dan
nyamuk. Jarak terbang nyamuk dapat diperpendek atau diperpanjang
tergantung arah angin, Jarak terbang Nyamuk Anopheles biasanya
tidak lebih dari Km dari tempat perindukannya dan nyamuk
malaria dapat hidup sesuai dengan kondisi ekologi setempat,
contohnya nyamuk malaria yang hidup di air payau (Anopheles
Sundaicus dan Anopheles Subpictus), di sawah (Anopheles Aconitus) atau air bersih di pegunungan (Anopheles Aculatus).
e) Sinar Matahari
Pengaruh sinar matahari terhadap pertumbuhan nyamuk berbeda-beda.
Hyrcanus spp dan Anopheles Punctulatus sp lebih menyukai tempat yang terbuka dan Anopheles Barbirostris dapat hidup baik di tempat
teduh maupun yang terang.
f) Keadaan dinding
Keadaan rumah, khususnya dinding rumah berhubungan dengan
kegiatan penyemprotan rumah karena insektisida yang disemprotkan
ke dinding akan terserap ke dinding rumah sehingga saat nyamuk
hinggap akan mati akibat kontak dengan insektisida tersebut. Dinding
rumah yang terbuat dari kayu memungkinkan lebih banyak lagi
lubang untuk masuknya nyamuk. Penelitian Suwendra
menyebutkan bahwa ada hubungan antara keadaan
dinding/lantai rumah dengan kejadian malaria, dimana rumah dengan
dinding/lantai berlubang berpeluang menderita malaria kali
dibandingkan dengan rumah yang keadaan dinding/lantai rapat.
g) Pemasangan kawat kasa
Pemasangan kawat kasa pada ventilasi akan menyebabkan semakin
kecilnya kontak nyamuk yang berada di luar rumah dengan penghuni
rumah, dimana nyamuk tidak dapat masuk ke dalam rumah. Hasil
penelitian Rizal menyebutkan bahwa masyarakat yang
rumahnya tidak terlindung dari nyamuk mempunyai risiko kali
untuk tertular malaria dibandingkan dengan rumah yang terlindung
dari nyamuk. Demikian juga penelitian Masra , yaitu ada
kejadian malaria, dimana rumah yang tidak memasang kawat kasa
mempunyai peluang 5.689 kali lebih besar untuk terkena malaria
dibandingkan dengan rumah yang memasang kawat kasa.
2) Lingkungan kimiawi
Dari lingkungan ini yang baru diketahui pengaruhnya adalah kadar garam
dari tempat perkembangbiakan. Sebagai contoh An.sundaicus memilih air
payau dengan kadar antara per mil akan tumbuh optimal dan
pada kadar per mil akan menghilang atau tidak berkembang biak.
3) Lingkungan Biologi
Umumnya nyamuk akan memilih tempat yang gelap, teduh berlindung,
lembab untuk berkembangbiak. Selain itu adanya kandang ternak yang
dekat atau menyatu dengan rumah akan semakin menambah tempat
untuk berkembangbiak. Tumbuhan bakau, lumut, ganggang dan berbagai
tumbuhan lain dapat mempengaruhi kehidupan larva karena ia dapat
menghalangi sinar matahari atau melindungi diri dari serangan makhluk
hidup lainnya. Adanya berbagai jenis ikan pemakan larva seperti ikan
kepala timah, gambusia, nila, mujair dan lain-lain akan mempengaruhi
populasi nyamuk di suatu daerah.
4) Lingkungan Sosial Budaya
a) Kebiasaan keluar rumah
Kebiasaan untuk berada di luar rumah sampai larut malam dan juga
tidak berpakaian berhubungan dengan kejadian malaria. Masyarakat
risiko tertular malaria 4 kali dibandingkan masyarakat yang tidak
memiliki kebiasaan bekerja di luar rumah pada malam hari (Dasril,
2005).
b) Pemakaian kelambu
Beberapa penelitian membuktikan bahwa pemakaian kelambu secara
teratur pada waktu tidur malam hari mengurangi kejadian malaria.
Penelitian Suwendra (2003), Masra (2002) menunjukkan ada hubungan
antara kebiasaan menggunakan kelambu dengan kejadian malaria.
Penelitian CH2N-UGM (2001) menyatakan bahwa individu yang tidak
menggunakan kelambu saat tidur berpeluang terkena malaria kali di
bandingkan dengan yang menggunakan kelambu saat tidur.
c) Obat anti nyamuk
Kegiatan ini hampir seluruhnya dilaksanakan sendiri oleh masyarakat
seperti menggunakan obat nyamuk bakar, semprot, oles maupun secara
elektrik. Penelitian Subki , menyatakan bahwa ada hubungan
antara penggunaan obat anti nyamuk dengan kejadian malaria.
d) Pekerjaan
Hutan merupakan tempat yang cocok bagi peristirahatan maupun
perkembangbiakan nyamuk (pada lubang di pohon-pohon) sehingga
menyebabkan vektor cukup tinggi. Penelitian Subki ,
menyebutkan ada hubungan bermakna antara pekerjaan yang berisiko
(nelayan, berkebun) dengan kejadian malaria sebesar kali
e) Pendidikan
Tingkat pendidikan sebenarnya tidak berpengaruh langsung terhadap
kejadian malaria tetapi umumnya mempengaruhi jenis pekerjaan dan
perilaku kesehatan seseorang. Secara umum seseorang yang
berpendidikan tinggi akan mempunyai pekerjaan yang lebih layak
dibanding seseorang yang berpendidikan rendah dan mempunyai
pengetahuan yang cukup terhadap masalah-masalah yang terjadi di
lingkungan sekitar (Notoatmojo, 2007). Hasil penelitian Rustam
, menyatakan bahwa masyarakat yang tingkat pendidikannya
rendah berpeluang terkena malaria sebesar kali dibandingkan
dengan yang berpendidikan tinggi. Penelitian Dasril (2005) menyatakan
bahwa masyarakat yang berpengetahuan rendah kemungkinan risiko
tertular malaria 3 kali lebih besar dibandingkan masyarakat yang
berpengetahuan baik.
B.Distribusi Probabilitas
1.Variabel Random
Definisi 2.1
Variabel random adalah fungsi yang bernilai real yang domainnya adalah ruang
sampel. Dengan X adalah notasi untuk variabel random dan x menyatakan
Definisi 2.2
Sebuah variabel random dikatakan variabel random diskrit jika himpunan dari
kemungkinan hasilnya adalah terbilang. Jika tidak demikian maka variabel
random tersebut adalah variabel random kontinu.
2.Distribusi Probabilitas
Distribusi probabilitas dibagi atas dua macam, yaitu distribusi probabilitas
diskrit dan distribusi probabilitas kontinu.
a. Distribusi Probabilitas Diskrit
Definisi 2.3
Himpunan pasangan terurut adalah fungsi probabilitas dari
variabel random diskrit jika
1) untuk setiap
2) ∑
b. Distribusi Probabilitas Kontinu
Definisi 2.4
Fungsi adalah fungsi probabilitas (probability function) untuk
va-riabel random kontinu , jika
1)
3. Fungsi Ditribusi Kumulatif
Definisi 2.5
Fungsi distribusi kumulatif (cumulative distribution function) dari sebuah
va-riabel random diskrit dan kontinu didefinisikan sebagai berikut
Mean atau nilai harapan (expected value) dari suatu variabel random
Bukti
[ ]
( )
( )
c. Momen
Definisi 2.8
Momen ke-k dari variabel random Y di sekitar titik asal dinotasikan
dengan didefinisikan sebagai
d. Fungsi Pembangkit Momen
Definisi 2.9
Fungsi pembangkit momen dari sebuah variabel random Y
didefinisi-kan sebagai . Fungsi pembangkit moment dari Y dikatakan
ada jika terdapat konstanta positif b sedemikian sehingga m(t) berhingga
untuk | | .
C. Peluang bersyarat
Definisi 2.10
Misalkan dan adalah variabel random diskrit. Fungsi probabilitas
Teorema 2.2
Jika dan adalah variabel random diskrit dengan fungsi probabilitas
bersama maka
1. untuk semua .
2. ∑ , dengan jumlahan dari semua nilai memiliki
probabilitas tidak nol.
Definisi 2.11
Misalkan dan variabel random diskrit dengan fungsi probabilitas
bersama , maka fungsi probabilitas marginal dari dan
berturut-turut sebagai berikut:
∑ dan ∑
Definisi 2.12
Jika dan adalah variabel random diskrit dengan fungsi probabilitas
bersama dan fungsi probabilitas marginal dan , maka
fungsi probabilitas bersyarat dari diberikan adalah
| |
D. Distribusi Binomial
Distribusi Binomial berasal dari percobaan Binomial yaitu percobaan
Bernoulli yang diulang sebanyak n kali dan saling bebas. Distribusi Binomial
merupakan distribusi variabel random diskrit.
Definisi 2.13
Suatu variabel random Y yang mempunyai dua nilai yaitu 0 atau 1 disebut
variabel Bernouli. Suatu eksperimen dengan 2 hasil yang mungkin, misalkan 1
menyatakan kejadian sukses dan 0 menyatakan kejadian gagal, disebut
percobaan Bernoulli.
Percobaan binomial memiliki sifat sebagai berikut:
1. Percobaan dilakukan berulang-ulang kali sebanyak n ulangan percobaan
Bernoulli.
2. Setiap ulangan hanya ada 2 hasil yaitu sukses atau gagal.
3. Peluang sukses adalah p dan peluang gagal adalah . p bersifat
tetap antar ulangan.
4. Antar ulangan bersifat saling bebas.
Definisi 2.14
Suatu variabel random Y dikatakan berdistribusi binomial berdasarkan n
ulangan dengan probabilitas sukses p jika dan hanya jika
Teorema 2.3
Misalkan Y variabel random berdistribusi binomial dengan n ulangan dan
probabilitas sukses p, maka
Bukti:
(i) Bukti untuk nilai harapan
Ingat: ekspansi binomial ∑ maka
∑
∑
(i) Bukti untuk Variansi
[ ]
Untuk mencari Var(Y), kita harus mencari nilai dari Y2:
∑
∑
∑
∑
∑
persamaan di atas menjadi
∑
∑
[∑ ∑
]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
E. Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Method)
Definisi 2.15
Pendugaan (estimation) adalah suatu aturan, yang dinyatakan dalam bentuk
rumus yang memberitahukan bagaimana cara menghitung nilai dugaan
parameter berdasarkan pengukuran yang termuat di dalam sampel.
Definisi 2.16
Parameter adalah suatu konstanta yang mencirikan atau yang merupakan
karakteristik populasi.
Metode Penduga Kemungkinan Maksimum
Metode Penduga kemungkinan maksimum (Maximum likelihood estimation)
adalah metode untuk memperoleh suatu penduga parameter yang dapat
memaksimumkan fungsi yang tidak bergantung pada nilai parameter yang
diduga. Ide dasar dari metode ini adalah mencari nilai parameter yang
berkorespondensi dengan kemungkinan yang paling besar dari suatu data
yang terobservasi sebagai suatu penduga dari parameter yang tidak diketahui.
Definisi 2.17
Andaikan X1, X2, ..., Xn adalah variabel random diskrit dan adalah sebuah
vektor parameter dari X1, X2, ..., Xn. Fungsi probabilitas gabungan dari X1,
X2, ..., Xn dapat ditulis sebagai hasil kali dari fungsi probabilitas bersyarat
| ∏ |
Definisi 2.18
Bila X1, X2, ..., Xn adalah variabel random yang memiliki fungsi densitas
bersama | . Bila diketahui nilai terobservasi
merupakan kemungkinan dari sebagai suatufungsi
dari didefinisikan
| ∏ |
Definisi 2.19
Logaritma dari fungsi kemungkinan (likelihood function), yang disebut
kemungkinan log (log-likelihood) didefinisikan sebagai berikut:
| ∏ |
∑ |
Penduga kemungkinan maksimum ̂ didapat dari turunan pertama fungsi
log-likelihood kemudian menyamakan turunan pertama tersebut ke nol.
Contoh 2.2
Percobaan Binomial terdiri dari n kali percobaan yang mengakibatkan
pengamatan , dimana jika percobaan ke-i sukses dan
jika percobaan ke-i gagal. Tentukan PKM dari probabilitas sukses p.
Penyelesaian:
| | | |
[ ] [ ]
∑ ∑
∑
Sekarang akan dicari nilai p yang memaksimumkan . Ketika
dan maksimum ketika . Ketika
dan maksimum ketika . Jika maka
adalah nol ketika dan kontinu untuk
nilai p yang memaksimalkan dengan menetapkan turunan dari
. Untuk menemukan nilai penduga p lebih mudah dengan memaksimalkan
, sebagai berikut:
̂
̂
Kita tahu bahwa ∑ jadi ̂ ∑ ̅.
Jadi PKM untuk ̂ ̅
F. Analisis regresi
Analisis regresi merupakan analisis untuk menjelaskan hubungan antara dua
variabel atau lebih.Tujuan dari analisis regresi adalah untuk memprediksi satu
variabel terikat dengan satu atau lebih variabel bebas.
1. Regresi Linear Sederhana
Regresi linear sederhana adalah sebuah alat statistik yang digunakan untuk
menentukan hubungan antara satu variabel bebas dengan satu variabel terikat.
Misal terdapat hubungan linear antar Y dan X maka hubungan itu dapat ditulis
(2.1)
dengan
variabel terikat.
variabel bebas.
konstanta.
= koefisien regresi dari variabel bebas.
penyimpangan atau galat
2. Regresi Linear Berganda
Regresi linear berganda merupakan perluasan dari regresi linear sederhana
dimana terdapat satu variabel terikat dengan lebih dari satu variabel bebas.
Dengan kata lain, analisis regresi linear berganda digunakan untuk menguji
hubungan antara satu variabel terikat dengan dua atau lebih variabel bebas.
Model regresi linear dengan k variabel yang meliputi satu variabel terikat
Y dan k variabel bebas dapat dituliskan sebagai berikut
(2.2)
dengan
variabel terikat.
parameter regresi.
galat.
= 1, 2, 3, ..., n
= 1, 2, 3, ..., k
Penjabaran dari persamaan (2.2) adalah
Model regresi linear berganda tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk matriks
= vektor kolom dari parameter berordo
= vektor kolom dari error berordo
Salah satu metode untuk mengestimasi parameter pada regresi linear adalah
Metode Kuadrat Terkecil. Persamaan (2.3) dapat ditulis dalam bentuk berikut:
Tujuan dari metode kuadrat terkecil adalah meminimumkan jumlah kuadrat
dari galat, yaitu:
∑
= [ ] [ ]
=
sehingga:
∑
=
= [ ]
=
=
Oleh karena adalah skalar, maka matriks transposenya adalah
Jadi,
(2.4)
Untuk meminimumkan jumlah kuadrat dari error, maka pada persamaan
(2.4) diturunkan secara parsial terhadap dan disamakan dengan nol, maka:
[ ]
[ ]
Proses penurunan terhadap dapat dilihat pada lampiran 2
39 BAB III
ANALISIS REGRESI LOGISTIK
A. Model Regresi Logistik
Regresi logistik (logit) merupakan model regresi yang digunakan bila
variabel Y bersifat kualitatif, (Hosmer, 2000). Regresi logistik melengkapi
regresi linear sederhana dengan kemampuannya melibatkan variabel terikat
biner. Sebagai contoh, apakah kesehatan seseorang baik atau tidak, keputusan
seseorang membeli mobil atau tidak, keputusan seorang konsumen membeli
merek televisi tertentu, misalnya membeli televisi merek Sonny atau bukan
Sonny, pada bidang pemasaran seperti prediksi kecenderungan pelanggan
untuk membeli suatu produk atau berhenti berlangganan dan lain-lain.
Contoh-contoh di atas menghasilkan dua kemungkinan hasil yang saling
berlawanan. Analisis regresi logistik digunakan untuk menjelaskan hubungan
antara variabel terikat yang berupa data dikotomi/biner dengan variabel bebas
yang berupa skala interval dan atau kategorik (Hosmer, 2000). Variabel yang
dikotomi/biner adalah variabel yang hanya mempunyai dua kategori saja,
yaitu kategori yang menyatakan kejadian sukses (Y=1) dan kategori yang
menyatakan kejadian gagal (Y=0).
Bila diketahui ada p variabel bebas maka dapat ditunjukkan dengan vektor
bebas berskala interval, sehingga probabilitas bersyarat dari kejadian sukses
bisa ditulis | dan probabilitas bersyarat dari kejadian
gagal bisa ditulis | . Model fungsi probabilitas logistik
kumulatif dengan p variabel bebas dapat ditulis sebagai berikut:
(3.1)
dengan,
∑
Dengan e adalah bilangan natural dengan nilai 2,718, koefisien regresi dari
variabel bebas ke-j, adalah nilai variabel bebas ke-j dari sejumlah p
variabel bebas dan adalah konstanta. Nilai terletak antara dan sedangkan terletak diantara 0 dan 1.
Jika variabel bebas merupakan variabel diskrit maka variabel berskala
nominal seperti jenis kelamin, ras dan lain-lain akan kurang sesuai
dimasukkan ke dalam model seperti variabel berskala interval, karena
angka-angka tersebut hanya bersifat identifier saja. Dalam hal ini, metode yang
dipakai yaitu dengan menambahkan variabel semu (dummy variabel). Secara
umum, jika variabel berskala nominal mempunyai k taraf, maka dibutuhkan
k-1 variabel semu. Misalkan variabel independen ke-j, mempunyai
tingkatan. Maka ada variabel semu yang mungkin yang akan
dinotasikan dengan . Begitu juga model logistik untuk
suatu model dengan variabel dan variabel ke- akan dijabarkan dengan
rumus:
∑
(3.2)
Misalkan, contoh variabel bebas yang dimaksud adalah “ras”, yang
dikategorikan berkulit putih, berkulit hitam, atau lainnya. Pada kasus ini
diperlukan 2 variabel semu. Salah satu strategi pengkodean yang mungkin
adalah ketika respondennya adalah berkulit putih, 2 variabel semunya adalah
D1 dan D2, keduanya akan sama dengan 0; ketika respondennya berkulit
hitam, D1 akan sama dengan 1 sedangkan D2 sama dengan 0; ketika ras dari
respondennya adalah selain putih dan hitam, kita akan menggunakan D1=0
dan D2=1. Table 3.1 mengilustrasikan pengkodean variabel semu.
Tabel 3.1 Contoh pengkodean variabel semu
untuk ras
Variabel semu
Ras D1 D2
Berkulit putih 0 0
Berkulit hitam 1 0
B. Transformasi Logit
merupakan fungsi non linear, sehingga perlu dilakukan transformasi
ke dalam bentuk logit untuk memperoleh fungsi yang linear dalam
parameter-parameternya agar mempermudah pendugaan parameter variabel bebasnya.
Transformasi logit diterapkan pada model regresi logistik sebagai berikut:
( ∑
(3.3)
Uraian transformasi logit untuk persamaan (3.3) adalah sebagai berikut:
∑
∑
[ ] ∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
[ ] ∑
∑
∑
∑
dengan g(X) disebut persamaan regresi logistik yang merupakan fungsi linear
dari parameter-parameter p variabel bebas.
C. Pendugaan Parameter Model Regresi Logistik
Pendugaan parameter model regresi logistik tidak dapat menggunakan
metode kuadrat terkecil seperti halnya model regresi linear. Berdasarkan
asumsi yang biasa digunakan untuk regresi linear (misalnya asumsi
kenormalan atau kehomogenan varians), Metode Kuadrat Terkecil
menghasilkan estimasi parameter dengan sifat-sifat statistik yang diinginkan
yakni tak bias dan varians minimum (Maharani dkk, 2007). Berbeda dengan
estimasi model regresi linear, metode kuadrat terkecil tidak dapat diterapkan
untuk model regresi logistik karena penduga parameter yang dihasilkan tidak
lagi memiliki sifat-sifat statistik yang diinginkan yaitu asumsi normalitas,
heteroskedastisitas, dan autokorelasi, dikarenakan variabel terikat yang
terdapat pada regresi logistik merupakan variabel semu (0 dan 1), sehingga
residualnya, tidak memerlukan ketiga pengujian tersebut. Pada penelitian ini
estimasi parameter model regresi logistik menggunakan penduga
kemungkinan maksimum (PKM). Koefisisen diduga menggunakan metode
maksimum likelihood. Secara sederhana dapat disebutkan bahwa metode ini
berusaha mencari nilai koefisien yang memaksimumkan fungsi likelihood.
Diketahui probabilitas bersyarat untuk variabel terikat dinyatakan | dan | . Bila terdapat n buah
pengamatan ke-i, dimana . Diketahui probabilitas untuk
(suatu karakteristik terjadi pada pengamatan ke-i) adalah dan
probabilitas untuk adalah . Maka fungsi probabilitas dari
adalah
[ ] [ ]
Karena pengamatan saling bebas, maka fungsi likelihood dapat diperoleh
dengan mengalikan fungsi-fungsi probabilitas dari
∏ [ ]
dengan vektor berisi parameter-parameter tidak diketahui yang ingin diduga, ( .
Untuk memudahkan mencari nilai yang memaksimumkan fungsi
likelihood digunakan bentuk logaritma natural dari fungsi likelihood, yang kemudian disebut sebagai fungsi log-likelihood, yaitu:
(∏ [ ]
)
= ∑ [ ]
= ∑{ }
= ∑
misalkan:
∑ ∑
= ∑ ∑
= ∑ ∑
= ∑ [ ]
= ∑
diperoleh
∑
∑
= ∑
47 = ∑ (3.5)
Secara matematis untuk mendapatkan nilai yang memaksimalkan fungsi log atau disebut juga fungsi log-likelihood yang
dinotasikan sebagai , yakni dengan cara mendiferensialkan terhadap dan menyamakannya dengan nol
(Agresti,1990).
=0
∑ =0
∑ ∑ ∑ =0
48
∑ ∑ [∑ ∑ ] =0
∑
∑ ∑
∑
=0
∑
∑
∑
=0
∑ ̂
=0 (3.6)
∑ ∑ [∑ ∑ ] =0
∑
∑
∑
∑
50
∑ ∑
∑
̂
=0
∑ ∑
̂
=0
∑[ ̂ ]
untuk
=0 (3.8)
Karena persamaan-persamaan likelihood yang diperoleh di atas tidak linear dalam , maka perlu dilakukan perhitungan
menggunakan metode numerik untuk mendapatkan dugaan dari , yang dinyatakan dalam ̂ dengan . Dugaan dari
variansi dan kovariansi diperoleh dari turunan parsial kedua fungsi likelihood. Bentuk turunan parsial kedua dari fungsi
log-likelihood adalah
51
∑ =0
∑ ∑
∑
=0
∑ ∑
∑
=0
∑ ∑ [∑
∑
] =0
(∑ ) ∑
∑
∑
=0
Misalkan ∑ , ∑ ∑ ,
53
∑{ ̂ [ ̂ ]}
=0 (3.9)
=0
∑ =0
∑ ∑ ∑ =0
∑ ∑ [∑ ∑ ] =0
[∑ ] ∑
∑
∑
=0
∑
∑
∑
55
∑
∑
∑ (
∑
∑
∑
∑ )
=0
∑{ ̂ [ ̂ ]}
=0 (3.10)
=0
(∑ ) =0
∑ ∑ ∑ =0
∑ ∑ [∑ ∑ ] =0
[∑ ] ∑
∑
∑
57
=0
(∑ ) =0
∑ ∑ ∑ =0
∑ ∑ [∑ ∑ ] =0
∑ ∑ [∑ ∑ ] =0
(∑ ) ∑
∑ ∑
61 ∑ [ ̂ ̂ ]
=0 (3.13)
Bentuk umum dari turunan kedua fungsi log-likelihood adalah
∑ ̂ ̂ (3.14)
dan
∑ ̂ ̂ (3.15)
dimana .
Dari turunan parsial kedua fungsi log-likelihood dapat dibentuk sebuah matriks berukuran yang isinya
merupakan elemen-elemen negatif dari nilai-nilai dari persamaan (3.14) dan (3.15). Matriks yang demikian disebut sebagai matriks
suatu matriks yang merupakan invers dari matriks informasi. Sehingga matriks
dugaan variansi dan kovariansi dari ̂, yaitu ̂, diperoleh dengan
menginverskan dugaan matriks informasi, ̂ ̂ . Elemen diagonal
utama ke-p dari matriks dugaan variansi dan kovariansi ̂ menunjukkan
dugaan variansi ̂ , yaitu ̂ , dan elemen-elemen nondiagonalnya menunjukkan
dugaan dari ̂ dan ̂ , yaitu ( ̂ . Akar kuadrat dari ̂ , yaitu ̂
merupakan dugaan standar error dari ̂ . Penyelesaian dari perhitungan
log-likelihood memerlukan software khusus yang dapat ditemukan di beberapa paket program.
Rumus di atas dari matriks informasi akan sangat berguna ketika membahas
kecocokan model dan menduga signifikansi dari model yang ditentukan adalah
sebagai berikut ̂( ̂ dengan X adalah matriks n dengan ordo p+1 dan V
[
]
dan matrix V
[
̂ ̂
̂ ̂
̂ ]
Fungsi maksimum likelihood menyatakan bahwa probabilitas bersama dari data
hasil observasi merupakan fungsi dari parameter yang tidak diketahui. Prinsip
estimasi dengan metode ini adalah bila ada suatu fungsi likelihood yaitu ( maka perlu mencari ̂ ̂ ̂ yang didapat dengan
memaksimumkan nilai ( .
Pada regresi logistik, pola distribusi bersyarat variabel terikatnya adalah
dimana nilai error mempunyai dua kemungkinan nilai yaitu:
1. maka dengan peluang
2. maka dengan peluang dan dapat dinyatakan
bahwa memiliki ∑ dan [ ] yang
mengikuti distribusi binomial (Hosmer, 2000) karena banyaknya
kejadian/pengamatan yang dilakukan adalah n bukan individual.
∑
(3.12)
disebut logit atau log-odds .
Persamaan (3.12) mengekspresikan asumsi-asumsi dasar dari model regresi
logistik, yaitu:
1. Logit merupakan fungsi linear dari variabel bebas X.
2. Jika logit =0 maka . Sehingga untuk berkorespondensi dengan nilai-nilai positif dan untuk
berkorespondensi dengan nilai-nilai negatif,
masing-masing pada skala logit. Jadi, probabilitas dari Y bernilai 1 dan 0
berkorespondensi dengan pada skala logit.
Contoh 3.1:
Suatu penelitian dilakukan untuk mengetahui pengaruh status merokok dan umur
seseorang pasien terhadap resiko terkena penyakit jantung. adalah status
merokok yang terdiri dari 2 kategori yaitu bernilai 1 jika merokok dan bernilai 0
jika tidak merokok. adalah umur. Y adalah kondisi jantung yang merupakan
variabel kategorik bivariat yang bernilai 1 jika sakit dan bernilai 0 jika tidak sakit.
Diambil 100 sampel dan diperoleh data seperti pada lampiran 1. Model fungsi
probabilitas logistik kumulatif dengan 2 variabel bebas dapat ditulis sebagai
1.758. Model regresi logistik yang didapat adalah
ee merokok umur merokok umur
Berdasarkan tabel di atas kolom sig dapat disimpulkan bahwa variabel
merokok dan umur signifikan mempengaruhi variabel Y. Hal ini dikarenakan
nilai sig untuk kedua variabel bebas kurang dari 0.05.
Model Summary
