5
BAB II
PERSAMAAN PANAS
Bab ini memuat tentang model matematika dari persamaan panas, lalu mengetahui solusi dari persamaan panas secara analitik. Pada penelitian ini digunakan metode pemisah variabel untuk mendapatkan solusi umum dari persamaan panas
2.1 Model Matematika Persamaan Panas
Terdapat tiga cara perpindahan dalam panas yaitu konduksi, konveksi, dan radiasi yang dapat terjadi secara terpisah maupun dalam bentuk kombinasi. (Hidayat, 2009)
Perpindahan yang digunakan pada penelitian kali ini adalah perpindahan secara konduksi, dengan mengabaikan perpindahan secara konveksi dan radiasi.
Perpindahan secara konduksi adalah perpindahan panas dimana mengalir dari benda bertemperatur lebih tinggi ke benda bertemperatur lebih rendah di dalam suatu medium (padat, gas, atau cair) atau medium yang berlainan dan bersinggungan secara langsung.
Energi masuk Energi keluar
Penyimpanan
∆𝑥
∆𝑦
∆𝑧
Gambar 2. 1 Ilustrasi Perpindahan Panas
6
Pada Gambar 2.1 menunjukan penurunan persamaan konduksi panas. Lalu untuk mendapatkan persamaan panas yang stabil maka:
Energi panas yang masuk – energi panas yang keluar = penyimpanan, sehingga dihasilkan sebagai berikut.
Lalu dari Persamaan (2.1), selanjutnya bagi kedua ruas dengan ∆𝑥∆𝑦∆𝑧, maka dihasilkan.
𝑞(𝑥)∆𝑡 − 𝑞(𝑥 + ∆𝑥)∆𝑡
∆𝑥 = 𝜌𝑐∆𝑈
Selanjutnya didekatkan menggunakan limit, maka dihasilkan sebagai berikut.
Lalu jika diketahui hukum fourier sebagai berikut.
Langkah selanjutnya subsitusikan Persamaan (2.3) dengan Persamaan (2.4), dan kedua ruas dibagi dengan 𝜌𝑐. Maka akan dihasilkan persamaan sebagai berikut.
Dari Persamaan (2.5), jika.
𝐾 = 𝑘 𝜌𝑐
Maka akan dihasilkan bentuk umum dari persamaan panas sebagai berikut.
𝑞(𝑥)∆𝑦∆𝑧∆𝑡 − 𝑞(𝑥 + ∆𝑥)∆𝑦∆𝑧∆𝑡 = ∆𝑥∆𝑦∆𝑧𝜌𝑐∆𝑈 (2.1)
𝑞(𝑥)− 𝑞(𝑥 + ∆𝑥)
∆𝑥 =𝜌𝑐∆𝑈
∆𝑡 (2.2)
−𝜕𝑞
𝜕𝑥 = 𝜌𝑐𝜕𝑈
𝜕𝑡
(2.3)
𝑞 = −𝑘𝜕𝑈
𝜕𝑥
(2.4)
𝑘 𝜌𝑐
𝜕²𝑇
𝜕𝑥²= 𝜕𝑈
𝜕𝑡
(2.5)
7 Dengan :
K : Konduktivitas Termal (𝑊 𝑚−1𝑘−1) U : Suhu (℃)
x : Posisi t : Waktu
2.2 Solusi Analitik Persamaan Panas (PDP Orde 2)
Persamaan panas diperoleh melalui proses matematis pada penurunan persamaan konservasi massa dan persamaan konservasi momentum. Dari Persamaan (2.6) dapat terlihat bahwa model persamaan panas berbentuk suatu persamaan diferensial dengan temperatur (U) sebagai variabel terikat, 𝑥 dan 𝑡 sebagai variabel bebas.
Persamaan diferensial terbagi menjadi dua, yaitu persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial. Lalu untuk persamaan panas merupakan salah satu dari jenis persamaan diferensial parsial.
2.2.1 Persamaan Differensial Parsial
Persamaan diferensial parsial adalah persaman diferensial yang menyangkut satu atau lebih fungsi (peubah tak bebas) beserta turunannya terhadap lebih dari satu peubah bebas (Ross, 1984). Bentuk umum dari persamaan diferensial parsial adalah.
𝐾𝜕²𝑈
𝜕𝑥² = 𝜕𝑈
𝜕𝑡
(2.6)
𝑎𝜕2𝑈
𝜕𝑥2 + 𝑏 𝜕2𝑈
𝜕𝑥𝜕𝑦+ 𝑐𝜕2𝑈
𝜕𝑦2 − d = 0 (2.7)
8
Dengan 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 adalah fungsi dari variabel x dan y, serta variabel tidak bebas U.
Dari bentuk umum persamaan diferensial parsial berdasarkan nilai diskriminan 𝑏2 − 4𝑎𝑐 dapat digolongkan menjadi tiga jenis, yaitu.
a. Persamaan parabolik
Dapat dikatakan persamaan parabolik jika 𝑏2− 4𝑎𝑐 = 0 b. Persamaan eliptik
Dapat dikatakan persamaan eliptik jika 𝑏2− 4𝑎𝑐 < 0 c. Persamaan hiperbolik, 𝑏2− 4𝑎𝑐 > 0
Dapat dikatakan persamaan hiperbolik jika 𝑏2− 4𝑎𝑐 > 0 Apabila kedua ruas pada persamaan panas ditambahkan dengan −𝐾𝜕²𝑈
𝜕𝑥² maka dihasilkan persamaan sebagai berikut.
𝜕𝑈
𝜕𝑡 − 𝐾𝜕²𝑈
𝜕𝑥² = 0
Sehingga fungsi 𝑎, 𝑏, 𝑐, dan 𝑑 pada persamaan panas berturut-turut adalah 𝐾, 0, 0, dan 0. Lalu diperoleh sebagai berikut.
b2− 4ac = 0 02− 4(𝐾)(0) = 0
Dapat disimpulkan bahwa persamaan panas adalah persamaan parabolik karena nilai diskriminan yang dihasilkan adalah 𝑏2− 4𝑎𝑐 = 0.
2.2.2 Solusi Analitik
Solusi analitik dari persamaan diferensial parsial dihasilkan dengan menggunakan metode pemisah variabel, dimana metode pemisah variabel adalah metode yang efektif untuk menyelesaikan persamaan differensial. Jika dimisalkan 𝑈(𝑥, 𝑡) sebagai solusi dari persamaan diferensial parsial orde 2. maka dapat diasumsikan 𝑈(𝑥, 𝑡) merupakan variabel terpisah, sehingga dapat dituliskan bentuk dari 𝑈(𝑥, 𝑡) = 𝑋(𝑥)𝑇(𝑡) yang menyatakan perkalian dari fungsi 𝑋 dan fungsi 𝑇.
9
Metode pemisah variabel digunakan dengan menerapkan kondisi batas sebagai kondisi tertentu untuk membantu mencari solusi dari persamaan diferensial parsial.
Kondisi batas terbagi menjadi tiga kemungkinan, yaitu interval terbatas, interval setengah terbatas, dan interval tak terbatas. Lalu untuk penelitian ini digunakan interval terbatas, sehingga besarnya interval pada syarat batas ini adalah 0 < 𝑥 <
𝐿. Dapat terlihat bahwa kondisi batasnya yaitu 𝑥 = 0 dan 𝑥 = 𝐿. Untuk mendapatkan solusi analitik dari persamaan panas adalah sebagai berikut.
Persamaan (2.8) merupakan bentuk umum dari persamaan panas dengan 𝑈𝑡 merupakan turunan pertama terhadap 𝑡 dan 𝑈𝑥𝑥 merupakan turunan kedua terhadap 𝑥. Jika diketahui kondisi awal sebagai berikut.
𝑈(𝑥, 0) = ∅(x) ; 0 < 𝑥 < 𝐿 Dan kondisi batas sebagai berikut.
𝑈(0, 𝑡) = 0 𝑑𝑎𝑛 𝑢(𝐿, 𝑡) = 0
Selanjutnya untuk menyelesaikan Persamaan (2.8) akan dimisalkan variabel 𝑈(𝑥, 𝑡) kedalam bentuk yang terpisah sebagai berikut.
Lalu dari Persamaan (2.9) selanjutnya akan di tentukan penurunan dari fungsi 𝑈(𝑥, 𝑡) sehingga akan dihasilkan variabel 𝑈𝑡, dan 𝑈𝑥𝑥 sebagai berikut.
𝑈𝑥 = 𝑋′𝑇
Dari Persamaan (2.10) dan Persamaan (2.11) tersebut selanjutnya akan disubsitusikan ke dalam Persamaaan (2.8) dan akan menghasilkan persamaan berikut ini.
𝑈𝑡 = 𝐾𝑈𝑥𝑥 (2.8)
𝑈(𝑥, 𝑡) = 𝑋(𝑥). 𝑇(𝑡) (2.9)
𝑈𝑥𝑥 = 𝑋′′𝑇 (2.10)
𝑈𝑡 = 𝑋𝑇′ (2.11)
10
Lalu dari Persamaan (2.12) selanjutnya kedua ruas dibagi dengan 𝑋𝑇, untuk ruas kiri bergantung pada t dan ruas kanan dengan x lalu dapat dimisalkan dengan sebuah konstanta yang tidak bergantung pada keduanya. Dan dimisalakan 𝜆 adalah sebuah konstanta tersebut, maka dihasilkan sebagai berikut.
𝑇′
𝑇 = 𝐾𝑋′′
𝑋
Selanjutnya akan digunakan variabel x sebagai berikut ini, 𝑋′′
𝑋 = 𝜆
Lalu dari Persamaan (2.14) dapat ditinjau dengan 3 kondisi yaitu.
1. Jika 𝜆 = 0
𝑋′′− 𝜆𝑋 = 0
jika diketahui persamaan karakteristiknya sebagai berikut.
Selanjutnya akan dicari dengan meninjau menggunakan syarat batas.
• Syarat batas 𝑈(0, 𝑡) = 0.
Jika diketahui.
𝑈(𝑥, 𝑡) = 𝑋(𝑥). 𝑇(𝑡) Maka akan didapatkan.
𝑋(0). 𝑇(𝑡) = 0
𝑋𝑇′ = 𝐾 𝑋′′𝑇 (2.12)
𝑇′ 𝐷𝑇 =𝑋′′
𝑋 = 𝜆 (2.13)
𝑋′′− 𝜆𝑋 = 0 (2.14)
𝑋′′ = 0 (2.15)
𝑋(𝑥) = 𝐴𝑥 + 𝐵 (2.16)
11
𝑋(0) = 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑇(𝑡) = 0
Untuk variabel 𝑇(𝑡) = 0 tidak digunakan, karena akan menghasilkan solusi trivial. Maka yang digunakan adalah 𝑋(0) = 0 , dan akan menghasilkan.
𝑋(𝑥) = 𝐴𝑥 + 𝐵 𝑋(0) = 𝐴(0) + 𝐵
𝑋(0) = 𝐵
• Syarat batas 𝑢(1, 𝑡) = 0.
Dengan
𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑋(𝑥). 𝑇(𝑡) Maka
𝑋(𝐿). 𝑇(𝑡) = 0 𝑋(𝐿) = 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑇(𝑡) = 0
Lalu untuk 𝑇(𝑡) = 0 tidak digunakan, karena akan menghasilkan solusi trivial. Maka selanjutnya yang digunakan adalah 𝑋(𝐿) = 0 , dan akan menghasilkan nilai sebagai berikut.
𝑋(𝑥) = 𝐴𝑥 + 𝐵 𝑋(𝐿) = 𝐴(𝐿) + 𝐵
𝑋(𝐿) = 𝐴(𝐿) 𝐴(𝐿) = 0
Dari persamaan (2.17) dan persamaan (2.18) yang selanjutnya disubsitusikan kedalam persamaan (2.16), sebagai berikut ini.
𝐵 = 0 (2.17)
𝐴 = 0 (2.18)
12 𝑋(𝑥) = 𝐴𝑥 + 𝐵 𝑋(𝑥) = (0)𝑥 + (0)
Dapat disimpulkan jika ditinjau menggunakan 𝜆 = 0, maka terlihat dari persamaan (2.19) akan menghasilkan solusi menjadi trvial, sehingga 𝜆 ≠ 0.
2. Jika 𝜆 > 0
𝑋′′ − 𝜆𝑋 = 0 Jika diketahui.
𝑚2− 𝜆 = 0 𝑚2 = 𝜆
𝑚 = √𝜆 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑚 = −√𝜆
Sehingga garis karakteristiknya adalah sebagai berikut.
Selanjutnya ditinjau kembali menggunakan syarat batas.
• Syarat batas 𝑢(0, 𝑡) = 0
Dengan persamaan sebagai berikut.
𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑋(𝑥). 𝑇(𝑡) Maka akan dihasilkan,
𝑋(0). 𝑇(𝑡) = 0 𝑋(0) = 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑇(𝑡) = 0
Lalu untuk 𝑇(𝑡) = 0 tidak dapat digunakan, karena akan menghasilkan solusi trivial. Maka selanjutnya yang digunakan adalah 𝑋(0) = 0, dan akan dihasilkan.
𝑋(𝑥) = 0 (2.19)
𝑋(𝑥) = 𝐴𝑒√𝜆𝑥+ 𝐵𝑒−√𝜆𝑥 (2.20)
13
𝑋(𝑥) = 𝐴𝑒√𝜆𝑥+ 𝐵𝑒−√𝜆𝑥 𝑋(0) = 𝐴𝑒√𝜆 (0)+ 𝐵𝑒−√𝜆 (0)
𝑋(0) = 𝐴 + 𝐵 𝐴 + 𝐵 = 0
𝐴 = −𝐵
• Syarat batas 𝑈(𝐿, 𝑡) = 0
Jika diketahui persamaan sebagai berikut.
𝑈(𝑥, 𝑡) = 𝑋(𝑥). 𝑇(𝑡) Maka akan menghasilkan,
𝑋(𝐿). 𝑇(𝑡) = 0 𝑋(𝐿) = 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑇(𝑡) = 0
Lalu selanjutnya untuk variabel 𝑇(𝑡) = 0 tidak dapat digunakan, karena akan menghasilkan solusi trivial. Maka selanjutnya yang digunakan adalah 𝑋(𝐿) = 0 , dan akan dihasilkan persamaan sebagai berikut.
𝑋(𝐿) = 𝐴𝑒√𝜆 (𝐿)+ 𝐵𝑒−√𝜆 (𝐿) 𝑋(𝐿) = 𝐴𝑒√𝜆 (𝐿)− 𝐴𝑒−√𝜆 (𝐿)
Jika 𝑋(𝐿) = 0 maka akan dihasilkan nilai sebagai berikut ini.
𝐴 (𝑒√𝜆 (𝐿)− 𝑒−√𝜆 (𝐿)) = 0
−𝐴 = 𝐵 (2.22)
𝑋(𝐿) = 𝐴(𝑒√𝜆 (𝐿)− 𝑒−√𝜆 (𝐿)) (2.23)
𝐴 = 0 (2.24)
14
Dapat terlihat jika Persamaan (2.24) di subsitusikan kedalam Persamaan (2.23) maka akan menghasilkan solusi trivial, sehingga 𝜆 ≯ 0.
3. Jika 𝜆 < 0
𝑋′′ − 𝜆𝑋 = 0
Jika diketahui persamaan karakteristik sebagai berikut.
𝑚2− 𝜆 = 0 𝑚2 = 𝜆
𝑚 = √𝜆𝑖 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑚 = −√𝜆𝑖 lalu akan dihasilkan persamaan ini,
𝑋(𝑥) = 𝐴 cos (√𝜆𝑥) + 𝐵 sin (√𝜆𝑥)
Selanjutnya akan ditinjau kembali dengan syarat batas sebagai berikut.
• Syarat batas 𝑈(0, 𝑡) = 0 Dengan persamaan ini,
𝑈(𝑥, 𝑡) = 𝑋(𝑥). 𝑇(𝑡) Lalu akan dihasilkan nilai sebagai berikut.
𝑋(0). 𝑇(𝑡) = 0 𝑋(0) = 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑇(𝑡) = 0
Solusi non trivial akan dihasilkan jika menggunakan variabel 𝑇(𝑡) ≠ 0.
Maka yang digunakan adalah 𝑋(0) = 0 , dan akan dihasilkan.
𝑋(𝑥) = 𝐴 cos (√𝜆𝑥) + 𝐵 sin (√𝜆𝑥) 𝑋(0) = 𝐴 cos (√𝜆(0)) + 𝐵 sin (√𝜆(0))
𝑋(0) = 𝐴 𝐴 = 0
15
• Syarat batas 𝑈(𝐿, 𝑡) = 0
Jika diketahui persamaan berikut.
𝑈(𝑥, 𝑡) = 𝑋(𝑥). 𝑇(𝑡) Maka akan menghasilkan.
𝑋(𝐿). 𝑇(𝑡) = 0 𝑋(𝐿) = 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑇(𝑡) = 0
Lalu untuk variabel 𝑇(𝑡) = 0 tidak digunakan, karena akan menghasilkan solusi trivial. Maka yang digunakan adalah 𝑋(𝐿) = 0 , dan akan dihasilkan.
𝑋(𝑥) = 𝐴 cos (√𝜆𝑥) + 𝐵 sin (√𝜆𝑥) 𝑋(𝐿) = (0) cos (√𝜆(𝐿)) + 𝐵 sin (√𝜆(𝐿))
Jika dimisalkan variabel berikut.
√𝜆(𝐿) = 𝑛𝜋 ; 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑛 = 0,1,2, ….
Selanjutya dari Persamaan (2.26) akan disubsitusikan kedalam Persamaan (2.25), maka akan dihasilkan persamaan sebagai berikut ini.
Selanjutnya akan ditinjau dengan 𝑇 lalu yang digunakan adalah 𝜆 < 0.
𝑇′ 𝐷𝑇= 𝜆 𝑇′= 𝐷𝑇𝜆 𝑇′− 𝐷𝑇𝜆 = 0 1. Jika 𝜆 < 0
𝑋(𝐿) = 𝐵 sin (√𝜆(𝐿)) (2.25)
√𝜆 =𝑛𝜋 𝐿
(2.26)
𝑋(𝑥) = 𝐵 sin (𝑛𝜋
𝐿 𝑥) (2.27)
16 𝑇′− 𝐷𝑇𝜆 = 0
Diketahui persamaan karakteristik sebagai berikut.
𝑚 − 𝜆𝐷 = 0 𝑚 = 𝜆𝐷 Lalu akan dihasilkan
𝑇(𝑡) = 𝐶𝑒𝜆𝐷𝑇
Jika diketahui √𝜆 =𝑛𝜋𝐿 karena 𝜆 < 0 maka 𝜆 = − (𝑛𝜋
𝐿) ² sehingga.
𝑇(𝑡) = 𝐶𝑒−(𝑛𝜋1)²𝐷𝑇
Untuk mengetahui solusi umum secara analitik selanjutnya dari Persamaan (2.27) dan Persamaan (2.28) disubsitusikan ke dalam Persamaan (2.29) selanjutnya. Dan akan menghasilkan solusi sebagai berikut.
= 𝐵𝑛 sin (𝑛𝜋
𝐿 𝑥) . 𝐶𝑛 𝑒−(𝑛𝜋𝐿)²𝐷𝑇
Sehingga solusi umum untuk persamaan panas dengan menggunakan metode pemisah variabel dihasilkan pada Persamaan (2.30).
𝑋(𝑥) = 𝐵 sin (𝑛𝜋
𝐿 𝑥) (2.28)
𝑈𝑛(𝑥, 𝑡) = 𝑋𝑛(𝑡) . 𝑇𝑛(𝑡) (2.29)
𝑈(𝑥, 𝑡) = ∑ 𝐾𝑛𝐶𝑛 𝑒−(𝑛𝜋𝐿)²𝐷𝑇 . sin (𝑛𝜋 𝐿 𝑥)
∞
𝑛=0
(2.30)
