SOLUSI NUMERIK PERSAMAAN MAXWELL DALAM MATERIAL MENGGUNAKAN METODE FINITE DIFFERENCE TIME DOMAIN (FDTD)

i

SOLUSI NUMERIK PERSAMAAN MAXWELL DALAM MATERIAL MENGGUNAKAN METODE FINITE

DIFFERENCE TIME DOMAIN (FDTD)

OLEH : RAHMI H211 13 023

DEPARTEMEN FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS HASANUDDIN

MAKASSAR 2017

i

SOLUSI NUMERIK PERSAMAAN MAXWELL DALAM MATERIAL MENGGUNAKAN METODE FINITE

DIFFERENCE TIME DOMAIN (FDTD)

SKRIPSI

Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Fisika Departemen Fisika Fakultas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam Universitas Hasanuddin

OLEH RAHMI H211 13 023

DEPARTEMEN FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS HASANUDDIN

MAKASSAR 2017

ii

iii LEMBAR PERNYATAAN

Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi ini merupakan karya orisinil saya dan sepanjang pengetahuan saya tidak memuat bahan yang pernah dipublikasi atau ditulis oleh orang lain dalam rangka tugas akhir untuk sesuatu gelar akademik di Universitas Hasanuddin atau di lembaga pendidikan lainnya dimanapun; kecuali bagian yang telah dikutip sesuai kaidah yang berlaku. Saya juga menyatakan bahwa skripsi ini merupakan hasil karya saya sendiri dan dalam batas tertentu dibantu oleh pihak pembimbing.

Penulis

Rahmi

iv SARI BACAAN

Telah dilakukan studi numerik mengenai distribusi medan listrik (E) dan medan magnet (H) yang dijabarkan melalui persamaan Maxwell pada ruang hampa dan media kaca, dengan metode Finite Difference Time Domain (FDTD). Iterasi FDTD bersifat bias maju sehingga distribusi E dan H merambat pada arah x positif. Hasil yang diperoleh menunjukkan rambatan E dan H pada ruang hampa memiliki nilai konstan karena tidak ada interaksi antara gelombang dan media, sedangkan pada media kaca terjadi pelemahan energi yang disebabkan media menyerap gelombang EM.

Kata Kunci : Persamaan Maxwell, iterasi FDTD, pelemahan energi

v ABSTRACT

The research had been done numerical studies about the distribution of electric field (E) and magnetic field (H) described by the Maxwell equation in vacuum and glass media, with using the Finite Difference Time Domain (FDTD) method. FDTD Iteration is forward bias so that the distribution of E and H propagate in the positive x. The results obtained show that E and H propagation in vacuum media has constant value because there is no interaction between wave and vacuum media, whereas in glass media there is attenuation of energy caused by glass media that absorbing EM wave.

Keywords : Maxwell equation, FDTD Iteration, attenuation of energy

vi KATA PENGANTAR

Bismillahirrahmanirrahiim

Assalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh

Alhamdulillahi rabbil ‘alamin, segala puji dan syukur kepada Allah SWT karena atas rahmat dan karunia serta pertolonganNya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi dengan judul “Solusi Numerik Persamaan Maxwell dalam Material Menggunakan Metode Finite Difference Time Domain (FDTD)”. Shalawat dan salam senantiasa penulis kirimkan kepada Rasulullah Muhammad shalallahu ‘alaihi wassalam yang menjadi panutan serta suri tauladan bagi seluruh ummat di dunia. Atas izin Allah SWT serta bimbingan dari berbagai pihak maka penulis dapat menyelesaikan skripsi ini sebagai rangkaian akhir menempuh gelar sarjana sains. Kepada kedua orang tua saya ( Lakini dan Muliati) yang selalu memberi dukungan moril dan moral serta mendoakan kelancaran studi saya. Terimakasih atas do’an dan kasih sayang kepada Ibu dan Ayah tercinta serta saudaraku Iqbal Sya’ban dan Aldin Al Rasyid yang selalu memotivasiku untuk mengerjakan skripsi ini. Selain itu, Penulis ucapkan terimakasih kepada beberapa pihak yang menjadi bagian hidup penulis dan membantu dalam menyusun penelitian ini :

1. Dr. Tasrief Surungan, M.Sc sebagai pembimbing Utama Penulis dalam menyelesaikan penelitian ini, terimakasih banyak atas arahan, nasehat dan motivasi serta waktu yang telah diluangkan pada penulis sehingga dapat menyusun penelitian.

vii 2. Eko Juarlin, S.Si, M.Si sebagai pembimbing Pertama yang telah banyak meluangkan waktu untuk membantu dalam menyelsaikan penelitia ini, terikasih banyak atas ilmu, nasehat dan motivasinya sehingga penulis dapat menyelesaikan penelitian ini.

3. Dr. H. Arifin, MT sebagai Ketua Departemen Fisika dan sebagai Penasehat Akademik yang telah banyak memberikan nasehat, arahan, dan bimbingan selama dalam proses perkuliahan.

4. Bapak Prof. Dr.rer.nat. H. Wira Bahari Nurdin, Bapak Drs.

Bangsawan BJ, M.Si, dan Ibu Dr. Nurlaela Rauf, M.Sc sebagai tim penguji skripsi fisika yang telah banyak memberikan masukan dan saran- saran untuk kesempurnaan skripsi ini.

5. Seluruh Dosen Fisika yang telah memberikan dan mengajarkan ilmunya kepada saya serta Dosen FMIPA yang telah mengajarkan Mata Kuliah Umum, semoga menjadi bekal bagi Penulis.

6. Seluruh Karyawan dan Staff FMIPA (Pak H. Bahtiar, Pak Latif, Pak Ali, Pak Syukur, Pak Sangkala dan seluruh Karyawan lainnya) terimakasih atas bantuannya yang membantu penulis dalam mengurus administrasi selama ini.

7. Teman-teman Halaqah Tarbiyah (Hikmah, Selvina, Rabiatul, Nulin) yang selalu menyemangati Penulis dalam penelitian serta Kak Hajrah sebagai Murabbiyah yang senantiasa memberikan nasehat agar dapat menjadi orang yang lebih baik lagi.

viii 8. Teman-teman Pengurus Mushollah Istiqama (Dera, Sanri, Atisa, Kiki, Marya Ulfa, Nuhi, Rasmianti dan yang lainnya) yang selalu memberikan nasehat dan dukungan pada Penulis agar tetap semangat dan ihtiar dalam menjalani penelitian.

9. Teman semasa kecil sampai saat ini Sandra Susanti yang selalu meminjamkan printernya untuk membantu dalam penyusunan skripsi, sehingga penulis dengan mudah menyusun skripsi ini.

10. Teman-teman Fisika 2013 dan teman seperjuangan : Nurhidayah, Hasnani, Syamsidar, Ramlah, Nur Asni, Astrid, Stiva Yulianti, sultan, Fauzi, Fikri, Paais, Gazali, Suhana, Kasmiah, Neli, Dwi, Marhana, Desi, dan yang lainnya. Teman yang menjadi seperjuangan semenjak di kampus Merah yang telah banyak memberikan saran, semangat agar cepat menyelesaikan penelitian.

11. Hartina, Sarnia, Irfan teman-teman dari prodi Statistik yang telah membantu saya dalam penyusunan skripsi ini. Syukron jazakumullah khairan katsiran.

12. Teman dan sahabat FMIPA UNHAS yang telah memberikan semangat dan dukungan dalam mengerjakan skripsi.

13. Teman-teman KKN Tematik Jogjakarta Gel. 93, khususnya Posko di Desa Kulur, Kulon Progo, DIY (Nur Fatony dan Dini). Terimakasih atas saran dan motivasi kepada penulis untuk menyelesaikan Penelitian.

ix 14. Kakanda Fisika 2009, 2010, 2011, 2012 yang telah banyak memberikan ilmu dan pengalaman dalam menempuh perkuliahan, sehingga penulis dapat menjalani perkuliahan dengan baik.

15. Adik- adik Fisika 2014, 2015 dan 2016 yang telah memberikan, semangat, dan doa agar penelis cepat menyelesaikan penelitian tugas akhir ini.

16. Dan semua pihak yang tidak dapat dituliskan namanya satu per satu, yang telah memberikan semangat, motivasi dan saran agar segera menyelesaikan tugas akhir ini.

Semoga karya tulis ini bermanfaat bagi penulis dan bagi para pembacanya, sehingga dapat pengembangan ilmu pengetahuan. Akhirnya kepada Allah SWT kita memohon hidayah, taufik dan petunjukNya agar mendapat ganjaran bagi kita sekalian. Aamiin.

Wassalamu ‘Alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh.

Makassar, Agustus 2017

Penulis

x DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL………...i

SARI BACAAN……….….ii

ABSTRACT………...………iii

DAFTAR ISI………..iv

DAFTAR TABEL……….……….……….vi

DAFTAR GAMBAR………vii

BAB I PENDAHULUAN I.1 Latar Belakang………1

I.2 Ruang Lingkup………...………2

I.3 Tujuan Penelitian………...……….2

BAB II TINJAUAN PUSTAKA II.1 Persamaan Maxwell………..………..……...3

II.1.2 Hubungan Konstitutif dan Sifat Material………...…6

II.1.3 Permitivitas (konstanta dielektrik)………….…..…...……...7

II.1.4 Permeabilitas dan Suseptibilitas Magnetik …………..………..9

II.2 Persamaan Gelombang Elektromagnetik………………..…………..…..9

xi II.2.1 Gelombang Elektromagnetik dalam Medium Dielektrik….10 II.2.2 Energi Gelombang Elektromagnetik………12

II.3 FDTD (Finite Difference Time Domain)……….12

II.3.1 FDTD 1 Dimensi ……….13 BAB III METODOLOGI PENELITIAN

III.1 Prosedur Penelitian …………...……….14 III.3 Bagan Alur Penelitian………16 BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN

IV.1 Hasil Simulasi H, E dan Energi GEM pada Ruang Hampa………...17

IV.2 Hasil Simulasi H, E dan energi GEM pada media Kaca………29 BAB V PENUTUP

V.1 Kesimpulan………..………42 V.2 Saran………42

DAFTAR PUSTAKA ………..43

LAMPIRAN

xii DAFTAR TABEL

Tabel 2.1 Konstanta Dielektrik Material………..8 Tabel 2.2 Suseptibilitas Magnetik……….…...9

DAFTAR GAMBAR

xiii Gambar 2.1 Penempatan medan listrik 𝐸⃗ dan medan magnet 𝐻⃗⃗ untuk persamaan Maxwell………...12 Gambar 2.2 Peletakkan Waktu Medan Elektromagnetik…………..………13 Gambar 4.1 . Grafik H terhadap Posisi (X) pada waktu Pulsa Diskrit………….18 Gambar 4.2 Grafik E terhadap Posisi (X) pada waktu Pulsa Diskrit………18

Gambar 4.3. Grafik H terhadap waktu (t) pada posisi x Pulsa Diskrit………….19 Gambar 4.4 Grafik E terhadap waktu (t) pada posisi x Pulsa Diskrit …………..19

Gambar 4.5 Grafik Energi terhadap waktu (t) pada posisi X, ruang hampa…….20 Gambar 4. 6 Grafik Jumlah Energi sepanjang sumbu X terhadap waktu,

pada ruang hampa………..………21 Gambar 4.7 Grafik H terhadap Posisi (X) pada waktu (t) Pulsa Kotak………..22 Gambar 4.8 Grafik E terhadap Posisi (X) pada waktu (t) Pulsa Kotak ………..22

Gambar 4.9 Grafik H terhadap waktu (t) pada posisi x Pulsa Kotak...………...23 Gambar 4.10 Grafik E terhadap waktu (t) pada posisi x Pulsa Kotak …………23

Gambar 4.11 Grafik Energi terhadap posisi (x) pada waktu t Pulsa Kotak……24 Gambar 4.12 Grafik Energi total sepanjang sumbu X untuk Pulsa Kotak……...25 Gambar 4.13 Grafik H terhadap Posisi X pada waktu (t) Pulsa Gauss…………26 Gambar 4.14 . Grafik E terhadap Posisi X pada waktu (t) Pulsa Gauss………..26 Gambar 4.15 Grafik H terhadap waktu (t) pada posisi X, Pulsa Gauss……….27

xiv Gambar 4.16 Grafik E terhadap waktu (t) pada posisi X, Pulsa Gauss……….27 Gambar 4.17 grafik Energi terhadap posisi (X) pada waktu t Pulsa Gauss……28 Gambar 4.18 Grafik Energi total sepanjang sumbu X Pulsa Gauss………....29 Gambar 4.19 Grafik H terhadap Posisi X pada waktu (t) Media Kaca Untuk Pulsa

Diskrit………30

Gambar 4.20 . Grafik E terhadap Posisi X pada waktu (t)

Media Kaca Untuk Pulsa Diskrit ………...…30

Gambar 4.21 Grafik H terhadap waktu (t) pada posisi X,

Media Kaca Untuk Pulsa Diskrit ………..…31 Gambar 4.22 Grafik E terhadap waktu (t) pada posisi X,

Media Kaca Untuk Pulsa Diskrit ……….……….32 Gambar 4.23 Grafik Energi terhadap t pada posisi X,

Pulsa Diskrit………..……….32

Gambar 4.24 Grafik Energi total sepanjang sumbu x pada media Kaca

…..……33

Gambar 4.25 . Grafik H terhadap Posisi x, Pulsa Kotak………...34

Gambar 4.26 . Grafik E terhadap Posisi x, Pulsa Kotak………..……..34

Gambar 4.27 Grafik H terhadap waktu (t) pada posisi X, Pulsa Kotak……...…..35

xv Gambar 4.28 Grafik E terhadap waktu (t) pada posisi X,

Pulsa Kotak………...36

Gambar 4.29 Grafik Energi terhadap t pada posisi X, Pulsa Kotak ...……...…..36

Gambar 4.30 Grafik Energi total sepanjang sumbu X………..37

Gambar 4.31 . Grafik H terhadap Posisi, Pulsa Gauss………...……38

Gambar 4.32 . Grafik E terhadap Posisi, Pulsa Gauss………...38

Gambar 4.33 Grafik H terhadap waktu (t) pada posisi X, Pulsa Gauss………...39

Gambar 4.34 Grafik E terhadap waktu (t) pada posisi X, Pulsa Gauss………….39

Gambar 4.35 Grafik Energi terhadap waktu (t) pada posisi X, Pulsa Gauss.…...40

Gambar 4.36 Grafik Energi total sepanjang sumbu X………..41

1 BAB I

PENDAHULUAN I.1 Latar Belakang

Aplikasi dari gelombang elektromagnetik telah banyak dimanfaatkan dalam bidang optik maupun optoelektronik dengan memanfaatkan perambatan gelombang pada suatu material ^[1-4]. Gelombang elektromagnetik merupakan fenomena perambatan gelombang antara medan listrik dan medan magnet. Teori elektromagnetik diperoleh bahwa medan listrik dapat menimbulkan medan magnet, sebaliknya medan magnet dapat menimbulkan medan listrik yang berubah terhadap waktu. Fenomena perambatan gelombang elektromagnetik dapat dijabarkan melalui perumusan persamaan Maxwell.

Pada persamaan Maxwell terdapat persamaan yang saling berhubungan antara medan listrik dan medan magnet, dimana pada satu persamaan terdapat dua variabel yang tidak diketahui. Sehingga perlu menggunakan metode analisa gelombang elektromagnetik.

Secara teori, persamaan Maxwell dapat digunakan untuk menentukan medan listrik dan medan magnet yang tersebar dari struktur geometri. Namun, dalam penentuan medan listrik dan medan magnet terdapat beberapa contoh struktur yang sulit dipecahkan, seperti sumber gelombang, berupa pulsa kotak. Hal ini disebabkan keadaan bahwa untuk memecahkan sebuah persamaan Maxwell harus menyelesaikan masalah nilai batas elektromagnetik. Akibatnya, untuk satu geometri yang kompleks memerlukan teknik numerik, atau metode elektromagnetik komputasi. Metode elektromagnetik komputasi yang biasa

2 digunakan untuk analisis hantaran gelombang yaitu, finite element method, finite difference dan Finite difference time domain ^[3] .

Finite Difference Time Domain merupakan salah satu metode yang banyak digunakan untuk mensimulasikan perilaku gelombang elektromagnetik ^[7]. Metode FDTD pada dasarnya merupakan metoda analisis wilayah tertutup, oleh karena itu untuk diaplikasikan pada persoalan analisis wilayah terbuka agar tidak timbul pantulan gelombang pada dinding wilayah analisis, maka perlu dipasang batas serap (absorbing boundary) secara khayal ^[4].

Berdasarkan pemaparan di atas, penelitian yang dilakukan adalah menganalisis energi gelombang elektromagnetik yang terdistribusi dari beberapa jenis pulsa dengan variasi jarak dan waktu serta pengaruhnya dengan media yang semakin meningkat dengan menggunakan persamaan Maxwell.

I.2 Ruang Lingkup

Ruang lingkup penelitian ini dibatasi pada analisis energi gelombang elektromagnetik, berdasarkan intensitas medan elektromagnetik dari domain material satu dimensi pada ruang hampa dan media kaca menggunakan metode Finite difference time domain (FDTD).

I.3 Tujuan Penelitian

Tujuan penelitian ini adalah :

1. Mensimulasikan persamaan Maxwell dengan menggunakan Finite difference time domain (FDTD) dengan variasi nilai x (posisi) dan t (waktu).

2. Menganalisis energi yang terdistribusi dalam ruang hampa dan media kaca.

BAB II

3 TINJAUAN PUSTAKA

II.1 Persamaan Maxwell

Persamaan Maxwell merupakan himpunan empat persamaan yang menghubungkan sifat-sifat medan listrik dan medan magnet serta hubungan dengan sumbernya. Persamaan-persamaan tersebut adalah dasar dari teori keelektromagnetan yang dikenal dengan persamaan Maxwell. Persamaan Maxwell adalah ^[6]:

∇⃗⃗ ∙ 𝐸⃗ = _𝜀^𝜌

0 (II.1)

∇⃗⃗ ∙ 𝐵⃗ = 0 (II.2)

∇⃗⃗ × 𝐸⃗ = − ^𝜕𝐵⃗ _𝜕𝑡 (II.3)

∇⃗⃗ × 𝐵⃗ = 𝜇₀𝐽 + 𝜇₀𝜀₀^𝜕𝐸⃗ _𝜕𝑡 (II.4)

dimana :

𝐸⃗ = medan listrik (Volt/meter)

𝐵⃗ = kerapatan medan magnet (Wb/m²)

𝜀₀ =permitivitas listrik ruang hampa (8.85 × 10⁻¹²𝐶²/ N.m²) 𝜇₀ = permeabilitas magnetik ruang hampa (44𝜋 × 10⁻⁷𝑊𝑏/𝐴)

𝐽 = rapat arus listrik 𝜌 = rapat muatan listrik

4 Keempat persamaan Maxwell ini merupakan hukum dasar tentang kelistrikan dan kemagnetan dalam bentuk differensialnya. Persamaan (II.1) atau Hukum Gauss menyatakan bahwa jumlah garis gaya listrik yang menembus suatu permukaan tertutup sebanding dengan jumlah muatan yang berada pada permukaan tersebut.

∮ 𝐸⃗ ∙ 𝑑𝑎 =_𝜀^𝑄

0 (II.5)

𝑄 = ∫ 𝜌 ∙ 𝑑𝑉_𝑣 (II.6)

dimana 𝜌 merupakan rapat muatan; 𝜌 =^𝑑𝑄_𝑑𝑉

melalui teorema divergensi: ∮ 𝐸⃗ ∙ 𝑑𝑎 = ∫(𝛻. 𝐸⃗ )dV, sehingga: (II.7)

∫(𝛻. 𝐸⃗ )dV = _𝜀¹

0 ∫ 𝜌 𝑑𝑉 (II.8)

∇⃗⃗ ∙ 𝐸⃗ = _𝜀^𝜌

0 (II.9)

Pada ruang hampa karena tidak ada sumber muatan, maka 𝜌 = 0,

Sehingga ∇⃗⃗ ∙ 𝐸⃗ = 0 (II.10)

Persamaan (II.2) merupakan bentuk differensial yang menyatakan bahwa fluks magnetik bernilai nol. Hal ini akibat dari jumlah garis-garis medan magnet yang masuk sama dengan jumlah garis-garis medan magnet yang keluar pada suatu permukaan tertutup.

Berdasarkan teorema Gauss: ∮ 𝐵⃗ . 𝑛 𝑑𝐴 = ∫ 𝛻 . 𝐵⃗ 𝑑𝑉= 0 (II.11)

5

𝛻 ∙ 𝐵⃗ = 0 (II.12)

Persamaan (II.3) merupakan bentuk differensial dari persamaan hukum Faraday tentang induksi magnetik, yang menggambarkan pembentukan medan listrik induksi rotasi akibat adanya perubahan fluks magnetik terhadap waktu sehingga menyebabkan gaya gerak listrik (ggl).

𝜀 = - ^𝜕Ф_𝜕𝑡^𝐵 (II.13)

Ф = 𝐵⃗ . 𝑎 (II.14)

𝑑Ф = 𝐵⃗ . 𝑑𝑎 (II.15)

menurut teorema Stokes ∮ 𝐸⃗ ∙ 𝑑𝑙 = ∫(𝛻 × 𝐸⃗ ) ∙ 𝑑𝒂

∫(𝛻 × 𝐸⃗ ) ∙ 𝑑𝑎 = −_𝜕𝑡^𝜕 ∫(𝐵⃗ . 𝑑𝑎) (II.16)

∫(𝛻 × 𝐸⃗ ) ∙ 𝑑𝑎 = − ∫^𝜕𝐵⃗ _𝜕𝑡 . 𝑑𝑎 (II.17)

𝛻 𝘹 𝐸⃗ = - ^𝜕𝐵⃗ _𝜕𝑡 (II.18) Persamaan (II.4) merupakan bentuk differensial dari hukum Ampere yang menyatakan bahwa timbulnya rotasi dari medan magnet 𝐵⃗ yang disebabkan oleh adanya arus (perpindahan muatan) yang melewati suatu bahan. Berdasarkan hukum Ampere:

∮ 𝐵⃗ ∙ 𝑑𝒍 = 𝜇𝐼 (II.19)

Untuk media ruang hampa berlaku:

∮ 𝐵⃗ ∙ 𝑑𝒍 = 𝜇₀𝐼 (II.20)

dimana 𝑰 =^𝑑𝑄_𝑑𝑡 = ∫ 𝐽 ∙ 𝑑𝒂 (II.21)

berdasarkan teorema Stokes : ∮ 𝐵⃗ ∙ 𝑑𝒍 = ∫(𝛻 × 𝐵⃗ ) ∙ 𝑑𝒂 (II.22)

6

∫(𝛻 × 𝐵⃗ ) ∙ 𝑑𝒂 = ∫ 𝜇0𝐽 ∙ 𝑑𝒂 (II.23)

∇⃗⃗ × 𝐵⃗ = 𝜇₀𝐽 (II.24) II.1.2 Hubungan Konstitutif dan Sifat Material

Persamaan Maxwell membentuk suatu persamaan differensial parsial yang saling berhubungan melalui keempat kuantitas medan 𝐸⃗ , 𝐵⃗ , 𝐷⃗⃗ , 𝐻⃗⃗ . oleh karena itu, dibutuhkan persamaan konstitutif yang di dalamnya berlaku persamaan Maxwell, persamaan ini disebut dengan hubungan material, di media linier dan isotropik berlaku persamaan berikut ^[7]:

𝐷⃗⃗ = 𝜀𝐸⃗ (II.25)

𝐵⃗ = 𝜇𝐻⃗⃗ (II.26)

dimana :

𝐷⃗⃗ = medan perpindahan listrik (C/m²) 𝜀 = permitivitas

𝐸⃗ = medan listrk (V/m)

𝐵⃗ = kerapatan medan magnet (Wb/m²) 𝐻⃗⃗ = medan magnet (A/m)

𝜇 = permeabilitas

II.1.3 Permitivitas (konstanta dielektrik)

7 Permitivitas merupakan ukuran kemampuan bahan untuk menyimpan energi listrik^[8]. Permitivitas dalam material disebut dengan 𝜀, (dalam ruang hampa dimana tidak ada media untuk terpolarisasi (tidak ada polarisasi pada ruang hampa), maka suseptibilitas =0, dan 𝜀₀ disebut permitivitas ruang hampa dengan nilai permitivitas = 8.85 × 10⁻¹²𝐶²/ N.m²) sedangkan 𝜀_𝑟 disebut dengan permitivitas relatif (konstanta dielektrik) ^[6], sehingga hubungan konstitutif dalam material diperoleh:

𝜀 = 𝜀_𝑟∙ 𝜀₀ (II.27)

Tabel II.1 Konstanta Dielektrik [𝜀_𝑟] ^[6]

Material 𝜀_𝑟 Material 𝜀_𝑟

Hampa 1 Benzena 2,28

Helium 1,000065 Intan 5,7

Neon 1,00013 Garam 5,9

Nitrogen 1,00055 Air 80,1

II.1.4 Permeabilitas dan Suseptibilitas Magnetik

Permeabilitas adalah besaran yang menunjukkan kemampuan yang bersifat dapat menembus medan magnet pada suatu material. Sifat bahan magnetik yang paling umum dan dapat diukur disebut suseptibilitas.

Suseptibilitas magnetik mewakili sifat suatu material untuk menjadi bahan magnetik dalam pengaruh medan magnet luar ^[6]. Persamaan suseptibilitas magnet dapat diperoleh dari persamaan :

8 𝑀⃗⃗ =_𝜇¹

0𝜒m ∙ 𝐵⃗ (II.28)

atau

𝑀⃗⃗ = 𝜒m ∙ 𝐻⃗⃗ (II.29) Keterangan:

𝑀⃗⃗ = Magnetisasi induksi (A/m²) 𝜒m =Suseptibilitas magnetic 𝐻⃗⃗ = medan magnet (A/m)

Persamaan (II.27) dan (II.28) menyatakan bahwa magnetisasi induksi 𝑀 sebanding dengan nilai suseptibilitas magnetik 𝜒m dan kuat medan magnet. Dalam media linier kuat medan magnet dapat dinyatakan:

𝐵⃗ = 𝜇₀(𝐻⃗⃗ + 𝑀⃗⃗ ) = 𝜇₀(1 + 𝒳_𝑚)𝐻⃗⃗ (II.30) Untuk media linier 𝐵⃗ sebanding dengan 𝐻⃗⃗ , maka dapat dirumuskan:

𝐵⃗ = 𝜇𝐻⃗⃗ (II.31) dimana

𝜇 ≡ 𝜇₀(1 + 𝒳_𝑚) (II.32)

Keterangan:

𝜇 = permeabilitas

𝜇₀ = permeabilitas ruang hampa

Tabel II.2 Suseptibilitas Magnetik (𝜒m)^[6]

9 Material

Diamagnetik

𝜒m Material Paramagnetik

𝜒m

Bismuth -1,6.10^-4 Oksigen 1,9.10^-6

Emas -3,4.10^-5 Aluminium 2,1.10^-5

Air -9,0.10^-6 Sodium 8,5.10^-6

Co2 -1,2.10^-8 Platinum 2,810^-4

II.2.2 Energi Gelombang Elektromagnetik

Gelombang elektromagnetik membawa energi dari satu tempat di dalam ruang ke tempat lain. Energi ini berhubungan dengan medan magnet dan listrik yang bergerak. Energi yang tersimpan pada medan listrik 𝐸 adalah 𝑢 = ¹₂𝜀₀𝐸^2. 𝑢 merupakan energi per satuan volume. Energi yang tersimpan pada medan magnet 𝐻 sebesar 𝑢 =¹₂𝐻²/𝜇₀ . Jadi energi total yang tersimpan per satuan volume dalam ruang yang terdapat gelombang elektromagnetik dapat dinyatakan sebagai ^[5]:

𝑢 =¹₂(𝜀₀𝐸²+_𝜇¹

0𝐻²) (II.33)

Persamaan 𝐸 dan 𝐻 menunjukkan kuat medan listrik dan medan magnet pada gelombang elektromagnetik pada setiap saat di suatu daerah kecil pada ruang^[5].

II.3 FDTD (Finite Difference Time Domain)

10 Finite Difference Time Domain adalah salah satu metode yang banyak digunakan untuk mensimulasikan perilaku gelombang elektromagnetik ^[7]. Metode FDTD pada dasarnya merupakan metoda analisis wilayah tertutup, oleh karena itu untuk diaplikasikan pada persoalan analisa wilayah terbuka agar tidak timbul pantulan gelombang pada dinding wilayah analisa, maka perlu dipasang batas serap (absorbing boundary) secara khayal ^[4].

II.3.1 FDTD 1 Dimensi

Algoritma FDTD 1 dimensi dapat diselesaikan dengan membatasi nilai pada medan elektromagnetik pada sistem dengan tidak ada variasi dalam dua dimensi, sehingga hanya menurunkan dan terpolarisasi terhadap unsur y dan z dan nilai terhadap arah sumbu x adalah konstan. Saat tidak ada sumber magnet dan listrik maka konduktivitas (𝜎)=0, dengan menganggap media ruang hampa, maka 𝜌 = 0, 𝐽 = 0, dan 𝜇 dan 𝜺 konstan serta tidak bergantung pada posisi untuk medium homogen dan isotropik. Sehingga persamaan Maxwell (II.3) dan (II.4) dapat disederhanakan menjadi ^[7]:

𝜕𝐸_𝑥

𝜕𝑡 = 0 ^𝜕𝐻_𝜕𝑡^𝑥= 0

𝜕𝐸𝑦

𝜕𝑡 = − ¹_𝜀^𝜕𝐻_𝜕𝑥^{𝑧 𝜕𝐻𝑦}

𝜕𝑡

=

_𝜇^1𝜕𝐸_𝜕𝑥^𝑧

𝜕𝐸_𝑧

𝜕𝑡

=

¹_𝜀^𝜕𝐻_𝜕𝑥^{𝑦 𝜕𝐻𝑧}

𝜕𝑡

= −

_𝜇^1𝜕𝐸_𝜕𝑥^𝑦 (II.34)

Persamaan (II.46) merupakan persamaan Maxwell untuk kasus satu dimensi pada algoritma FDTD. Medan elektromagnetik diturunkan terhadap waktu dimana turunan terhadap sumbu x adalah konstan. sehingga diperoleh persamaan berikut:

11

1 D TM ^𝜕𝐻𝑦

𝜕𝑡

=

_𝜇^1𝜕𝐸_𝜕𝑥^𝑧 (II.35a)

𝜕𝐸_𝑧

𝜕𝑡

=

¹

𝜀

𝜕𝐻𝑦

𝜕𝑥 (II.35b)

1 D TE ^𝜕𝐸𝑦

𝜕𝑡

= −

¹

𝜀

𝜕𝐻𝑧

𝜕𝑥

(II.36a)

^𝜕𝐻𝑧

𝜕𝑡

= −

¹

𝜇

𝜕𝐸_𝑦

𝜕𝑥

(II.36b)

Persamaan (II.35) dan (II.36) merupakan turunan waktu dan ruang terhadap medan elektromagnetik. Pembatasan masalah seperti ini berfungsi untuk mengamati medan elektromagnetik sebagai kombinasi linier dari transverse magnetik (TM) dan transverse electric (TE).

Medan listrik merupakan unsur pada sumbu z sedangkan medan magnet mempunyai unsur pada sumbu y, sehingga disebut modus TM. Sebaliknya untuk medan magnet merupakan unsur pada sumbu z dan medan listrik hanya mempunyai unsur pada sumbu y, sehingga disebut dengan modus TE.

Penempatan dari vektor medan listrik dan medan magnet pada kotak satu dimensi ditunjukkan pada Gambar II.1 untuk kedua modus TM dan modus TE, komponen 𝐸⃗ terletak di titik-titik grid dalam nilai x, dan titik grid dalam waktu t;

komponen 𝐻 ⃗⃗⃗⃗ terletak di titik setengah grid.

12 Gambar II.1 Penempatan medan listrik 𝐸⃗ dan medan magnet 𝐻⃗⃗ untuk persamaan

Maxwell (a. TM dan b. TE ) ^[7]

Berdasarkan persamaan dari TM dan TE maka didapatkan nilai 𝐸⃗ dan 𝐻⃗⃗ pada modus TE adalah:

𝐸_𝑦^𝑛+1(𝑖) = 𝐸_𝑦^𝑛(𝑖) −_𝜀∆𝑥^∆𝑡 [𝐻_𝑧^𝑛+

1

2(𝑖 +¹₂) − 𝐻_𝑧^𝑛+

1

2(𝑖 − 1/2)] (II.37a)

𝐻_𝑧^𝑛+

1

2(𝑖 + 1/2) = 𝐻_𝑧^𝑛−

1

2(𝑖 + 1/2) −_𝜇∆𝑥^∆𝑡 [𝐸_𝑦^𝑛(𝑖 + 1) − 𝐸_𝑦^𝑛(𝑖)] (II.37b)

nilai E dan H pada modus TM adalah:

𝐻_𝑦^𝑛+

1

2(𝑖 + 1/2) = 𝐻_𝑦^𝑛−

1

2(𝑖 + 1/2) +_𝜇∆𝑥^∆𝑡 [𝐸_𝑧^𝑛(𝑖 + 1) − 𝐸_𝑧^𝑛(𝑖)] (II.38a)

𝐸_𝑧^𝑛+1(𝑖) = 𝐸_𝑧^𝑛(𝑖) +_𝜀∆𝑥^∆𝑡 [𝐻_𝑦^𝑛+

1

2(𝑖 +¹₂) − 𝐻_𝑦^𝑛+

1

2(𝑖 − 1/2)] (II.38b)

Grid interval waktu medan listrik menunjukkaan t = …(n-1)∆𝑡, 𝑛∆𝑡, (𝑛 + 1)∆𝑡, dengan cara yang sama waktu turunan terhadap medan magnet, karena grid interval waktu dimana medan magnet berada adalah 𝑡 = ⋯ (𝑛 − 1/2)∆𝑡, (𝑛 + 1/2)∆𝑡, maka dituliskan 𝑡 = 𝑛∆𝑡. Nilai 𝑖 menunjukkan jarak, sehingga x = ∆𝑥 ∙ 𝑖.