SOLUSI NUMERIK KOEFISIEN REFLEKSI DAN TRANSMISI GELOMBANG ELEKTROMAGNETIK MENGGUNAKAN METODE FINITE DIFFERENCE TIME
DOMAIN (FDTD)
M.Arief Dian Ramadan1*, Tasrief Surungan1 dan Eko Juarlin1
Departemen Fisika FMIPA Universitas Hasanuddin
*Email:arifdianramadan@gmail.com
Abstrak – Studi numerik tentang koefisien refleksi dan transmisi medan elektromagnetik dalam dua medium menggunakan metode Finite Difference Time Domain satu dimensi (FDTD 1-D) serta pengaruh Perfect Match Layer (PML) terhadap energi refleksi medium homogen telah dilakukan. Pada penelitian ini, medan elektomagnetik menjalar dalam dua medium dengan medium pertama berupa medium vakum dan medium kedua adalah medium dengan permeabilitas dan permitivitas yang divariasikan. Hasil penelitian menunjukkan bahwa semakin besar permeabilitas dan permitivitas medium maka semakin kecil energi transmisinya, namun semakin besar energi refleksi yang ditimbulkan. Pengaruh PML terhadap energi refleksi di ujung
domain ruang pada variasi ketebalan (TPML) dan medium penyerap ε
¿
¿¿
dan μ¿ ) adalah (9,
9) serta (12, 9) menghasilkan energi refleksi terkecil.
Kata kunci: Koefisen refleksi,koefisen transmisi, FDTD-1D, PML
Abstract – Numerical study of reflection and transmission coefficient of electromagnetic field in two mediums using the 1-dimensional Finite Difference Time Domain (1-D FDTD) method and the effect of Perfect Match Layer (PML) to reflection energy in homogeneous medium have been investigated. In this work, the electromagnetic field propagates in two mediums, such as vacuum medium, and also the permeability and permittivity variation medium. The result shows that the higher the permeability and permittivity, the higher the reflection coefficient. However, the transmission coefficient is inverted by that phenomenom. The higher the permeability and per- mittivity, the lower transmission coefficient. The PML effect on reflection energy in the end of space domain with various thicknesses (TPML) and absorbent medium are 9, 9 and 12, 9 which resulted lowest energy reflection.
Key words: reflection coefficient, transmission coefficient, 1D-FDTD, PML I. PENDAHULUAN
Ilmu komputasi elektromagnetik telah banyak berkembang seiring perkembangan komputer saat ini. Ilmu komputasi elektromagnetik dimanfaatkan oleh beberapa peneliti dalam bidang penelitian seperti analisis propagasi gelombang, analisis desain antenna, sampai dalam bidang medis yang berhubungan dengan medan listrik dan medan magnet. Pada dasarnya ilmu komputasi elektromagnetik bertujuan menyelesaikan persamaan differensial maupun persamaan integral gelombang elektromagnetik. Salah satu metode yang efektif digunakan adalah metode Finite Difference Time Domain (FDTD) yang diperkenalkan oleh Kane Yee (1966) untuk menyelesaikan persamaan medan magnet dan medan listrik yang saling berhubungan satu sama lain. Kelebihan dari metode FDTD adalah efektif dalam simulasi dua medan yang terlokalisasi dalam satu ruang dan waktu yang tidak dapat diselesaikan oleh metode lainnya. Salah satu kekurangan metode FDTD adalah ketika time iterasi (t) diperbesar melebihi domain ruang maka akan mengalami pemantulan balik di sekitar ujung kanan domain ruang, hal tersebut dapat diminimalisir dengan teknik PML.
Penelitian sebelumnya tentang FDTD 1-D dilaksanakan oleh Rahmi (2017) dengan hasil penelitian bahwa simulasi penjalaran gelombang elektromagnetik dalam medium vakum memilki nilai energi yang konstan, sedangkan simulasi penjalaran gelombang dalam medium kaca mengalami pelemahan energi akibat penyerapan oleh media kaca. Penelitian ini fokus dalam menghitung koefisien refleksi dan koefisien transmisi gelombang elektromagnetik yang merambat dalam dua medium dan menganalisis efek PML terhadap energi refleksi medium vakum.
II. METODE PENELITIAN II.1 Finite Difference time Domain
Metode FDTD merupakan metode simulasi gelombang elektromagnetik dari diskritiasasi persamaan Maxwell bersadarkan pendekatan turunan spasial atau temporal. Diskritisasi medan magnet dan medan listrik divisualisasikan pada grid kotak tiga dimensi bernama Yee Cell yang
ditunjukkan pada Gambar 1. Node-node koordinat ruang dinyatakan dalam diskritisasi x , y , z¿i , j , k=(i ∆ x , j ∆ y , k ∆ z)
¿ dimana i, j, k bilangan bulat dan waktu dinyatakan oleh diskritisasi t=n+∆ t yang berubah terhadap fungsi f (x , y , z , t) .
Gambar 1. Yee Cell
Persamaan FDTD 1-D dibuat dengan membatasi nilai medan elektromagnetik yaitu hanya merambat pada sumbu-z dalam kondisi bebas sumber dengan medan listrik terpolarisasi pada sumbu-x dan medan magnet terpolarisasi pada sumbu-y. Persamaan FDTD 1-D dapat ditulis sebagai berikut:
Ex k
t+∆ t=Ex k t+
(
−∆ tε( k ))
Hy k
t+∆ t 2 −Hy
k −1 t+∆ t 2
∆ z (1)
Hy k t+∆ t
2
=Hy k
t−∆ t
2 +(−∆ t μ (k ))
Ex k +1 t−Ex
k t
∆ z (2)
Persamaan (1) dan (2) menunjukan bahwa medan listrik dan medan magnet dalam terdiskritisasi dalam ruang dan waktu yang saling berhubungan. Ruang ditunjukkan oleh indeks
“k” yang merepresentasikan sebagai jarak antar medan yang terdiskrtisasi ( x=∆ x +k ), sedangkan waktu ditunjukkan oleh indeks “n” berarti t=∆ t +n , indeks ∆ t +n memiliki makna waktu berikutnya. Lokasi medan magnet dan medan listrik dalam ruang menyilang satu
sama lain, medan ´H berada diantara medan ´E . Listing program FDTD1-D dibuat berdasarkan persamaan (1) dan (2) yang diterapkan dalam dua medium. Medium pertama adalah medium vakum ( ε=μ=1¿ dan medium kedua adalah medium dengan variasi permeabilitas dan permitivitas. Hasil simulasi berupa nilai medan listrik dan medan magnet dalam ukuran grid 100 x 100 unit.
II.2. Perfect Matched Layer
Ketika iterasi waktu (t) diperbesar melebihi domain ruang maka akan timbul gelombang pantul di sekitar ujung kanan domain ruang. Agar tidak timbul masalah pantulan gelombang pada titik batas diperlukan media khayal untuk menyerap gelombang (absorbing boundary condition). Untuk meredam gelombang pantul maka digunakan metode Perfect Match Layer (PML) yang di perkenalkan oleh Jeanne-Pierre Brenger. Secara matematis persamaan FDTD 1-D menggunakan PML ditulis sebagai berikut:
Ex k
t+∆ t=Ex k t+( −∆ t
ε¿ε (k ))
Hy k
t+∆ t 2 −Hy
k−1 t+∆ t 2
∆ z
(1.3)
Hy k t+∆ t
2
=Hy k
t−∆ t
2 +( −∆ t μ¿μ (k ))
Ex k +1 t−Ex
k t
∆ z (1.4) Listing program FDTD 1-D menggunakan PML dibuat berdasarkan persamaan (1.3) dan (1.4). Energi refleksi dihitung dari hasil energi medan listrik ditambah energi medan magnet kemudian dibagi dengan energi gelombang datang. Hasil simulasi berupa energi refleksi tanpa menggunakan PML dan energi refleksi menggunakan PML dengan variasi nilai konstan yaitu 9 dan nilai peubah yaitu 3, 6, 9, 12 dan 15.
III. HASIL DAN PEMBAHASAN
III.1 Koefisien Refleksi dan Koefisien Transmisi
Hasil progam ditunjukkan pada tabel perbandingan antara koefisien energi refleksi dan koefisien energi transmisi gelombang elektromagnetik secara numerik dan secara teori. Jumlah titik diskritisasi medan dalam ruang dan waktu adalah x=100 dan t=100 dengan titik batas antar
medium adalah TB = 51. Dalam proses perhitungan medan listrik dan medan magnet tersebut tidak membedakan gelombang datang dan gelombang refleksi di medium pertama. Setelah perhitungan medan listrik dan medan magnet, medan refleksi dibedakan dengan cara medan total dikurangi medan datang dan medan transmisi dihitung dari titik batas medium sampai ujung kanan domain. Koefisien refleksi dan koefisien transmisi secara numerik diperoleh dari energi medan refleksi tambah energi medan transmisi kemudian dibagi dengan energi medan datang.
Tabel.1 koefisien refleksi dan koefisien transmisi dengan variasi permitivitas ( ε ) dan permeabilitas ( μ¿
ε2 μ2 R teori T teori R simulasi T simulasi 2 1 0.029437 0.970563 0.032491308 0.949969461
4 1 0.111111 0.888889 0.126061759 0.85356323
6 1 0.176571 0.823429 0.205221207 0.760952581 8 1 0.228094 0.771906 0.270910888 0.673556994 10 1 0.269874 0.730126 0.327052699 0.592745093 1 2 0.029437 0.970563 0.032771678 0.918337635 1 4 0.111111 0.888889 0.127151658 0.779677094 1 6 0.176571 0.823429 0.207019909 0.661699539 1 8 0.228094 0.771906 0.273277425 0.558278405 1 10 0.269874 0.730126 0.329856073 0.466477647
Tabel.1. menunjukkan perbandingan koefisien energi refleksi dan koefisien energi transmisi secara teori dan numerik dengan variasi permeabilitas relatif ( μr¿ dan permitivitas relatif ( εr¿ . Hasil dari perhitungan energi refleksi dan energi transmisi secara numerik menunjukkan trend yang sama dengan perhitungan koefisien refleksi dan koefisien transmisi secara teori, dimana semakin besar permeabilitas relatif atau permitivitas relatif medium semakin besar pula energi gelombang elektromagnetik yang direfleksikan dan semakin kecil energi gelombang elektromagnetik yang ditransmisikan ke medium dua.
III. 2 Efek PML Terhadap Energi Refleksi
Hasil program FDTD 1-D menggunakan PML ditunjukkan oleh tabel perbandingan energi refleksi dengan efek PML. Pada pembutan program FDTD dengan PML, listing ε dan μ dimodifikasi dengan menambahkan variasi PML yang telah ditentukan. Nilai PML berupa
variasi ketebalan batas serap (TPML) dan medium penyerap ε
¿
¿¿
dan μ¿ ) yang terdiri dari
nilai konstan yaitu 9 dan nilai peubah yaitu 3, 6, 9, 12 dan 15.
Tabel.1. Energi refleksi dengan PML dan tanpa efek PML
NO
Variasi
R0 R1
TPML
ε¿ &
μ¿
1 9 3
0.122442719
0.092604255
2 9 6 0.064167194
3 9 9 0.050046522
4 9 12 0.051924274
5 9 15 0.058704191
6 3 9 0.110553139
7 6 9 0.065316761
8 9 9 0.050046522
9 12 9 0.049386122
10 15 9 0.058049232
Tabel 4.3 menunjukkan bahwa energi refleksi per jarak waktu menggunakan teknik PML (R1) lebih kecil dari energi refleksi per jarak waktu tanpa menggunakan teknik PML (R0). Hal ini membuktikan bahwa program FDTD menggunkan teknik PML dapat meminimalisir gelombang pantul yang tidak diinginkan pada ujung kanan domain sehingga dapat meningkatkan presisi program FDTD medium homogen. Variasi PML yang paling baik adalah (TPML, ε¿ &
μ¿¿ = (9,9) dan (TPML, ε¿ & μ¿¿ = (12,9) karena menunjukkan nilai energi refleksi yang paling kecil dari variasi PML lainnya.
IV. KESIMPULAN
Perhitungan koefisien refleksi dan koefisien transmisi secara numerik dan secara teori menunjukkan trend nilai yang sama dimana semakin besar permeabilitas dan permitivitas medium dua maka semakin besar koefisien refleksi dan semakin kecil koefisien transmisi gelom- bang elektromagnetik. Penerapan teknik PML terhadap program FDTD 1-D menunjukkan penu- runan energi refleksi tanpa pola, variasi PML yang paling baik adalah (TPML, ε¿ & μ¿¿ =
(9,9) dan (TPML, ε¿ & μ¿¿ = (12,9) karena menunjukkan nilai energi refleksi yang paling kecil.
DAFTAR PUSTAKA
D. M. Sullivan. Electromagnetic Simulation Using The FDTD Methode. IEEE Press, 2000.
A. Taflove. Computatational Electrodynamics: The Finite-Difference Time-Domain Meth- ode. Artech House, 1995.
D. M Sullivan, D. T Borup, and O. P. Gandhi, Use of The Finite Difference Time-domain Methode in Calculating EM Absorption in Human Tissues, IEEE, vol. BME-34, no. 2, 1987, pp. 146-157.
H.Z. Alisoy, dan B. B Alagoz, An FDTD Based Numerical Analysis of Microwave Propogation Properties in A Skin-Fat Tissue Layer, Optik-International Journal for Light and Electron Optics. vol. 124, no. 21, 2014, pp. 5218-5224.
M.J Jenkinson, and J.W Banks, High-Order Accurate FDTD Schemes for Dispersive Maxwell Equation in Second-Order Form Using Recursive Convlutions, Journal of Computationa and Applied Mathematics. vol. 336, 2018, pp. 192-218.
N. Kitzunezaki, and A. Okabe, High-order correction to The FDTD Method Based on Integral form Maxwell Equations, Computer Physics Communication, vol 185, 2014, pp. 1582-1588 S.D. Gedney, Introduction to The Finite-Difference Time Domain (FDTD) Methode for Electro-
magnetics, Morgan & Claypool Publisher, 2010.
Y.Zhou, H. Liang, and J. Cai, Efficient Scheme for Maxwell’s Equation with PEC Boundary Condition, Optik. vol. 174, 2018, pp.339-346.
