Oseana, Volume XVII, Nomor 2 : 61-67 ISSN 0216-1877
METODA FAST FOURIER TRANSFORM DALAM ANALISA DATA KELAUTAN
oleh
Dharma Arief *)
ABSTRACT
FAST FOURIER TRANSFORM METHOD IN OCEANOGRAPHICAL DATA ANALYSIS : Linear system is commonly assumed for an oceanographical system to help understanding the system. Fast Fourier Transform is a mathematical method with linear characteristics fit to represent linear system of physical system. The method provides a tool to transform a complex system into a summation of simple systems. This transformation lets us recognize and separate any dominant processes within a complex system. So, the study on a complex system can be reduced to few of simple systems. The idea of linear approach on aceanographical system, and the physical interpretation of FFT is discussed. The FFT application in data analysis is illustrated by using tidal record from Meneg, East Java.
PENDAHULUAN
Seperti kita maklumi bersama, feno-mena yang kita lihat di alam merupakan hasil dari .gabungan dan interaksi banyak proses yang sangat kompleks yang memben-tuk suatu sistim. Kita kenal misalnya sistim monsun, sistim sirkulasi perairan Indonesia, ataupun yang berskala lebih kecil seperti sistim muara sungai. Akan tetapi terbatas-nya kemampuan manusia memaksa kita untuk mengandaikan suatu fenomena yang akan kita telaah menjadi suatu sistem yang
jauh lebih sederhana. Jikalau kita mengukur arus di laut, sesungguhnya kita mengukur aliran air laut akibat bermacam-macam se-bab, seperti misalnya akibat peristiwa pa-sang-surut air laut, gelombang laut, tiupan angin, tekanan udara, perbedaan densitas air laut, dan sebagainya. Interaksi antar pe-nyebab aliran air laut tersebut tidaklah se-derhana. Kata 'interaksi non-linear' umum digunakan untuk mengungkapkan hubungan yang kompleks antar sejumlah faktor atau proses. Hingga saat ini, pengetahuan manusia dalam memahami hubungan non-linear ma-sih terbatas pada sistim yang sederhana.
*) Balai Penelitian dan Pengembangan Oseanografi Pusat Penelitian dan Pengembangan Oseanologi - LIPI, Jakarta.
Adalah logis kalau kemudian muncul pertanyaan bahwa bagaimana kita dapat memahami sifat-sifat arus air laut jikalau kita tidak mampu mengatasi hubungan non-linier ini?. Pemecahannya adalah de-ngan penyederhanaan sistim non-linier ter-sebut. Dalam hal arus laut, misalnya, ki-ta bisa mencoba suatu gagasan seandai-nya fenomena arus laut tersebut meru-pakan suatu sistem yang linear. Suatu sistem disebut sistem linear jikalau pengaruh dari beberapa faktor terhadap sistem tersebut sama dengan penjumlahan pengaruh dari beberapa faktor terhadap sistem tersebut sama dengan penjumlahan pengaruh dari masing-masing faktor secara sendiri-sendiri. Contohnya, jikalau faktor A dan B masing-masing menyebabkan terjadinya A' dan B\ maka pengaruh faktor A dan B bersama-sama adalah A' + B\ Dalam suatu sistem non-linear, pengaruh kedua faktor tersebut bersama-sama bisa menjadi A' + B' + A'B' . dan seterusnya yang meliputi fungsi kom-pleks dari A' dan B\ Pengandaian sistem, yang populer dikenal sebagai model, bisa kita uji dengan data pengamatan. Penyim-pangan antara model dan pengamatan kita perkirakan akan terjadi. Jikalau penyimpang-an tersebut cukup kecil menurut ukurpenyimpang-an tertentu, misalnya di bawah 10%, kita bisa menganggap bahwa model kita mendekati kenyataan sehingga dapat kita pergunakan untuk mewakfli sistem yang kita pelajari.
FOURIER SERIES
Salah satu model linear yang umum digunakan dalam sistem dinamika laut ada-lah dengan menganggap suatu fenomena merupakan penjumlahan gelombang seder-hana. Gelombang sederhana dapat diungkap-kan dalam bentuk matematik sebagai suatu fungsi sinusoida dengan amplitudo dan fre-
Kwensi tertentu. kita mengenal adanya
komponen semidiurnal, diurnal dan sebagai -nya dalam fenomena pasang-surut, yang digunakan dalam meramal ketinggian pasang-surut. Komponen pasang-surut tersebut me-rupakan gelombang sederhana. (PONDS & PICKARD1983).
Salah satu metoda matematik untuk menguraikan suatu fenomena menjadi kom-ponen-komponen gelombang sederhana di-perkenalkan oleh Jean-Baptiste Joseph Fou-rier, seorang ahli fisika dan matematika Prancis, tahun 1822. Metoda matematik tersebut dikenal sebagai teori Fourier Series, dan merupakan bagian dari kalku-lus. Pembaca yang ingin mengetahui lebih terperinci teori Fourier Series dapat menca-rinya di buku-buku kalkulus. (KREYSZIG 1983).
Teori Fouries Series ini pada prinsip-nya menguraikan suatu fungsi yang kontinu (diketahui nilainya di sembarang titik dalam lingkup fungsi tersebut) menjadi penjumlah-an sejumlah fungsi sinusoida sederhpenjumlah-ana dengan metoda yang dikenal dengan nama metoda least-square (PRESS et al 1989). Sejalan dengan perkembangan teori matema-tik, teori Fourier series inipun berkembang dari penguraian fungsi yang kontinu hingga dapat diterapkan pada fungsi yang diskrit, yaitu fungsi yang diketahui nilainya hanya pada titiktitik tertentu saja. Data pengamatan arus laut setiap jam adalah fungsi yang distrit. Formulasi tersebut dikenal dengan te-ori Fourier Transfrom untuk fungsi diskrit. Kata transform mempunyai hubungan de-ngan sifat dari metoda ini yang merubah bentuk data dari satu lingkup ke lingkup lainnya. Untuk data fungsi dari waktu, Fourier Transfrom akan merubah lingkup data tersebut dari lingkup waktu ke lingkup frekwensi. Dalam lingkup frekwensi, data tersebut diungkapkan sebagai sejumlah ge-lombang sederhana yang mempunyai
fre-Untuk suatu data pengamatan dengan N observasi, Fourier Transform ini memer-lukan sejumlah N2 kali operasi matematik (perkalian, penjumlahan). Untuk data de-ngan 1000 observasi misalnya, diperlukan satu juta kali operasi matematik. Suatu data set umumnya terdiri atas beberapa ribu observasi, yang diperoleh dengan menggu-nakan alat yang otomatis mengukur dan menyimpan data untuk jangka waktu yang lama. Mudah dibayangkan bahwa teknik Fourier Transform ini baru berkembang setelah adanya komputer. Walaupun demi-kian, tetap diperlukan waktu relatif cukup lama tergantung kecepatan komputernya.
Fast Fourier Transform
Dalam pertengahan tahun 1960, J. W. Cooley dan J. W. Tukey, berhasil merumus-kan suatu teknik perhitungan Fourier Trans-form yang effisien. Teknik perhitungan ini dikenal dengan sebutan Fast Fourier Trans-form atau lebih populer dengan istilah FFT (BENDAT & PIERSOL, 1986). Istilah fast digunakan oleh karena formulasi FFT ini jauh lebih cepat dibandingkan dengan metoda perhitungan Fourier Transfrom sebelumnya. Teknik FFT memerlukan se-kitar 10000 operasi matematik untuk data dengan 1000 observasi, yaitu 100 kali lebih cepat dibandingkan dengan teknik perhi-tungan sebelumnya. Dengan penemuan FFT ini dan perkembangan personal komputer, teknik FFT dalam analisa data menjadi po-puler, dan merupakan salah satu metoda baku dalam analisa data.
Aplikasi Fast Fourier Transform
Apakah keuntungan aplikasi FFT da-lam analisa data? Telah disebutkan di muka, metoda Fourier Transform adalah suatu me-toda untuk menguraikan suatu fungsi men-jadi penjumlahan fungsi sinudoida sederha-
na. Dengan FFT kita dapat memodelkan pengamatan yang kompleks sebagai suatu model linear yang terdiri atas sejumlah kecil komponen yang dominan saja. Keberhasilan dari analisa FFT ini tergantung jumlah data pengamatan. Semakin banyak data penga-matan yang kita gunakan, akan semakin baik pendekatan model linear ini dalam mewakili sistem sebenarnya.
Penerapan teknik FFT terhadap suatu fenomena fisika di laut seperti arus, pasang-surut atau gelombang latu, secara langsung mendasari anggapan bahwa fenomena fisika tersebut merupakan sistem linier sejumlah gelombang sederhana. Keuntungan pende-katan ini adalah memudahkan kita memisah-kan signal dari noise atau mengisolasi sginal tertentu. Signal adalah komponen data yang kita inginkan untuk dianalisa dan umumya merupakan komponen terbesar dari data. Noise dapat dikategorikan sebagai bagian kecil dari data yang tidak kita inginkan baik karena mempunyai karakteristik yang acak ataupun yang tidak dapat dijelaskan. Sebagai contoh, analisa pengamatan arus laut me-mungkinkan kita menguraikan data peng-amatan tersebut menjadi komponen arus akibat gelombang laut, pasang-surut, atau perubahan musim dengan melihat kesamaan frekwensinya dengan komponen gelombang, pasang-surut, dan angin. Hubungan an tar parameter pun akan menjadi lebih jelas karena kita dapat mengisolasi signal dari noise.
Dari pengamatan secara sepintas sebe-narnya kita menyadari adanya keteraturan sederhana yang bersifat linear. Misalnya sewaktu kita mengamati gelombang di laut, kita dapat membedakan adanya riak air, gelombang yang lebih panjang, dan alun. Dalam fenomena arus juga kita menuadari adanya arus musiman, arus pasang-surut
yang berubah mengikuti keadaan pasang dan surutnya air laut. Kelebihan dari metoda FFT adalah kita dapat melihat lebih ter-perinci hal-hal yang luput dari pengamatan mata.
Seperti umumnya metoda analisa lain, teknik FFT ini juga tidak terlepas dari beberapa kelemahan. Salah satu yang menja-di kendala terbesar dalam pemakaian teknik FFT adalah diperlukan jumlah data yang cukup banyak. Agar analisa kita mengenai komponen arus yang di akibat perubahan musim cukup akurat maka, diperlukan data arus laut beberapa tahun. Disamping itu, komponen gelombang sinusoida terpendek yang bisa dibedakan adalah komponen gelombang yang mempunyai periode 2 kali waktu interval pengukuran. Untuk data pengukuran satu kali per hari, gelombang sederhana yang dapat dibedakan adalah gelombang dengan perioda 2 hari. Oleh kare-na itu, untuk studi pasang-surut umumnya dilakukan pengukuran tiap jam. Untuk analisa data gelombang laut diperlukan pengukuran tinggi permukaan laut misal-nya tiap satu atau setengah detik selama beberapa menit.
Sebagai illustrasi, disajikan dalam Gambar 1 pengukuran tinggi permukaan air laut di Meneng Jawa Timur, dari Mei 1987 hingga Desember 1991, yang diukur tiap 5 menit. Untuk lebih jelas, dalam gam-bar tersebut hanya ditunjukkan kondisi permukaan air laut antara 1 Januari dan 28 Februari 1989. Tampak dari Gambar 1 bahwa perubahan permukaan air laut mengi-kuti pola pasang-surut diurnal, yaitu terjadi-nya air laut pasang dan air laut surut satu kali sehari. Aplikasi metoda FFT terhadap data mendukung besarnya peranan pasang-surut terhadap perubahan tinggi permukaan
air laut di Meneng. Hal ini tampak dari pola Tower Spectra' (Gambar 2) yang diturunkan dari Fourier Transform. Power Spectra adalah pola penyebaran nilai 'energy' dari rnasing-masing gelombang sederhana yang besarnya sebanding dengan setengah kua-drat amplitudo gelombang. Dari Gambar 2 tampak bahwa pasang-surut di Meneng meliputi komponen diurnal (periode sekitar 24 jam), semi-diurnal (periode sekitar 12 jam), dan sejumlah komponen yang dike-nal dengan nama Shallow Water Compo-nents, yang mempunyai perioda 8 jam, 6 jam, 4 jam dan seterusnya. Selain itu, tampak pula adanya energi yang cukup besar di daerah periode lebih dari 20 hari. Perioda di atas 20 hari ini dikenal dengan daerah non-tidal frekwensi dan umumnya berhubungan dengan sis tern atmosfir skala besar.
Dengan hanya mengambil gelombang di daerah non-tidal frekwensi ini (dengan membuat nol semua energi di daerah fre-kwensi pasang-surut, kemudian melakukan FFT sekali lagi atas data dalam lingkup frekwensi, akan kita dapatkan kembali data dalam lingkup waktu tanpa adanya signal pasang-surut. Proses ini dikenal de-ngan nama filtering. Gambar 3 menunjuk-kan hasil dari proses filtering dengan mengi-solasi signal dengan perioda lebih dari 20 hari. Signal ini dalam data fluktuasi tinggi permukaan air laut di Meneng cukup besar yaitu + 30 cm dan merupakan komponen perubahan tinggi air laut akibat perubahan pola angin dan pola arus skala besar yang bukan dikarenakan oleh peristiwa pasang-surut. Perubahan tinggi air laut akibat kom-ponen non-tidal inilah yang sering menye-babkan naiknya air laut yang menyemenye-babkan banjir di daerah pesisir atau pelabuhan, dan
Fluktuasi Tinggi Air Laut di Meneng, Jawa Timur
Power Spektrum
Fluktuasi Tinggi Air Laut di Meneng, Jawa Timur Bulan Januari — Februari 1989
menyebabkan penyimpangan dari ramalan pasang-surut air laut. Dari hasil analisa kom-ponen non-tidal di sepanjang pantai selatan Jawa dan kondisi cuaca di daerah Lautan -Pasifik Barat, diketahui bahwa kenaikan air laut non-tidal tersebut berkaitan erat dengan terjadinya angin topan di Lautan Hindia dan di Lautan Pasifik Barat. Selain itu, dari hasil model numerik sirkulasi laut di Lautan Hindia tampak kemungkinan ada-nya perambatan gelombang yang dikenal dengan nama Kelvin Wave akibat aktivitas angin di daerah katulistiwa di perairan Laut-an Hindia sebelah barat Sumatra ke perairLaut-an selatan Jawa.
Suatu hal yang penting dari hasil analisa FFT ini adalah kaitannya dengan isu global warming yang populer dewasa ini. Dari Gambar 2 dan 3 terlihat bahwa perubahan tinggi air laut terjadi pada daerah frekwensi yang lebar, yang meliputi fluktu-asi tinggi air laut secara bulanan, musiman, dan tahunan yang cukup besar. Jelas bahwa untuk memperkirakan komponen fluktuasi bulanan, musiman, dan tahunan ini. Untuk itu diperlukan data pasang-surut yang men-cakup pengamatan yang lama sehingga kita dapat mengisolasi pengaruh dari feno-mena bulanan, musiman dan tahunan ter-sebut. Tanpa usaha tersebut perkiraan peru-bahan tinggi air laut akibat global warming akan memberikan perkiraan yang salah. Sebagai contoh, seandainya kita mengguna-kan hanya data dari tahun 1987 hingga 1989 saja, akan memberikan kecenderungan naiknya tinggi air laut. Sebaliknya, seandai-nya data yang digunakan haseandai-nya data dari tahun 1989 hingga 1991 akan memberikan
hasil bahwa tinggi air laut menurun. Kesim-pulannya, bahwa sesungguhnya tinggi air laut itu naik atau turun akibat global war-ming sulit disimpulkan dengan pasti walau-pun dari data 4,5 tahun dari Meneng ini. Seandainya peninggian air laut akibat global warming yang dikarenakan aktivi-tas manusia itu ada, fenomena tersebut bukanlah suatu proses yang berulang-ulang dan jangka panjang sehingga sulit untuk mendeteksinya dengan seksama. Oleh karena akibat global warming itu bersifat global, maka diperlukan analisa data yang cukup lama yang berasal dari banyak lokasi di dunia, agar dapat menentukan akibat global warming tersebut dengan akurat.
PENUTUP
Adanya hubungan langsung antara model matematik dari Fourier Transform atau Fourier Series (penjumlahan fungsi sinusoida) dengan model linear fisika berupa penjumlahan bentuk gelombang sederhana (yang juga merupakan fungsi sinusoida) merupakan penyebab berhasilnya aplikasi Fourier Transform dalam analisa data di-namika laut. Karena hubungan tersebut juga memudahkan interpretasi fisika hasil perhitungan matematikanya. Dengan metoda Fourier Transform, identifikasi proses yang dominan dari suatu sistem dinamika laut menjadi mudah dan bisa mengisolasi signal-nya tersebut dengan mudah. Dengan diku-ranginya atau dihilangkan noisenya hubungan statistik antara proses tersebut dengan proses lainnya menjadi lebih signifikan.
Fluktuasi Tinggi Air Laut di Meneng, Jawa Timur
Low Frekwensi Komponen (perioda lebih dari 20 hari)
DAFTAR PUSTAKA
BENDAT, J.S and A.G. PIERSOL. 1986. Random Data, Analysis And Measure-ment Procedures. John Wiley & Sons, 566 pp.
KREYSZIG, E. \ 9S3. Advanced Engineering Mathematics. John Wiley & Sons, 988 pp.
PONDS, S and G. L. PICKARD. 1983. Introductory Dynamical Oceanography. Second Edition, Pergamon Press, New York. 329 pp. PRESS. W.H., B. P. FLANNERY, SA.
TEUKOLSKY, dan W.T. VETTERLING, 1989. Numerical Recipes (FORTRAN Version). Cambridge University Press. 702 pp.
