(MS.2) KEKONVERGENAN BARISAN FUNGSI TURUNAN BERORDE FRAKSIONAL

(MS.2)

KEKONVERGENAN BARISAN FUNGSI TURUNAN BERORDE FRAKSIONAL

Endang Rusyaman, Kankan Parmikanti, Iin Irianingsih

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Padjadjaran Jl. Raya Bandung Sumedang Km 21 Jatinangor

Email : erusyaman@yahoo.co.id

Abstrak

Misalkan  adalah orde turunan fraksional suatu fungsi. Jika  diambil dari suku-suku

barisan bilangan real, maka fungsi turunan berorde  akan membentuk barisan fungsi

yang akan disebut sebagai barisan fungsi turunan fraksional. Dalam makalah ini akan disampaikan hasil penelitian yang menunjukkan bahwa jika barisan bilangan dari orde fraksional itu konvergen ke suatu bilangan, maka barisan fungsinya juga akan konvergen ke suatu fungsi turunan fraksional yang berorde sesuai dengan titik kekonvergenan barisan bilangan tersebut. Pembahasan kekonvergenan akan meliputi kekonvergenan pointwise dan kekonvergenan uniform.

Kata Kunci : Barisan fungsi, kekonvergenan, turunan fraksional, pointwise, uniform.

1. PENDAHULUAN

Konsep derivative atau turunan dari suatu fungsi, secara tradisional senantiasa dihubungkan dengan bilangan asli. Artinya jika kita mempunyai sebuah fungsi, maka kita dapat menentukan turunan ke-1 , ke-2 , ke-3 dan seterusnya. Ide generalisasi dari konsep ini

adalah, bagaimana menentukan turunan ke- dari suatu fungsi dengan  adalah suatu

bilangan real. Jadi jika sebelumnya kita kenal notasi

D

_tn

f

(

x

)

= f (n) _{(x) sebagai turunan ke-n}

dari fungsi f(x) dengan n adalah bilangan asli, maka sebagai generalisasi dari bentuk tersebut diperkenalkan notasi

D

_t

f

(

x

)

sebagai turunan ke- dari fungsi f(x), dengan 

suatu bilangan real.[4]

Dalam [1, 2, 5] telah didefinisikan dan dibahas tentang turunan fraksional berorde 

dari fungsi f(x) , yaitu

D

x

f

(

x

)

 = 0 lim  h

 

_{( 1). ( 1)} ( ) ) 1 ( 1 1 0 ih x f i i h n i i n         



   (1)

dimana = . Dengan demikian jika f(x) = x p _{, maka dengan menggunakan definisi (1)} di atas diperoleh p x

x

D

 = 



      p x p p ) 1 ( ) 1 ( . (2)

Selain itu, dalam [3] diperoleh hasil bahwa jika f(x) = sin x, maka turunan fraksional orde 

dari f(x) adalah

= + . (3) Apabila dari turunan fraksional suatu fungsi ini dibentuk suatu barisan fungsi,

berikut akan disampaikan hasil kajian tentang bagaimana hubungan kekonvergenannya dengan barisan orde fraksional itu sendiri.

2. PEMBAHASAN

Misalkan diambil bilangan real untuk n = 1, 2, 3, . . . dan f suatu fungsi sembarang. Dengan

mencari turunan fraksional dari f berorde , maka akan diperoleh barisan fungsi turunan

= . Dalam pembahasan ini akan disampaikan hasil penelitian yang menunjukkan

bahwa dengan menambahkan syarat-syarat tertentu, jika barisan bilangan dari orde fraksional itu konvergen ke suatu bilangan, maka barisan fungsinya juga akan konvergen ke suatu fungsi turunan fraksional yang berorde sesuai dengan titik kekonvergenan barisan bilangan tersebut. Pernyataan tersebut secara formal adalah sebagai berikut.

Teorema: Misalkan ( ) barisan bilangan real dan f suatu fungsi dengan

( ) = ( ) ada nilainya untuk setiap n. Jika ( ) konvergen ke  dan ( ) ada,

maka barisan fungsi ( ( )) = ( ) konvergen ke ( ).

Bukti: Diketahui ( ) konvergen ke  berarti untuk setiap  > 0 terdapat bilangan asli N

sehingga untuk n > N berlaku | − | < , atau

lim

→∞ = . Dengan menggunakan sifat-sifat limit diperoleh

lim →∞ ( ) = lim→∞ ( ) = lim→∞ ( + 1) ( + 1− ) = ( + 1) . lim →∞ 1 ( + 1− ). = ( + 1) . 1 lim ( + 1− ) . lim

= ( + 1) ( + 1− ) . = ( + 1)

( + 1− ) = ( ) = ( )

Hal ini menunjukkan bahwa barisan fungsi ( ( )) = ( ) konvergen pointwise

(titik demi titik) ke ( ).

Sebagai ilustrasi, berikut diberikan dua contoh yang menunjukkan kekonvergenan yang ditunjukkan pada teorema di atas.

Contoh 1:

Diberikan sebuah barisan bilangan real ( ) = yang konvergen ke  = 1 dan fungsi

f(x) = x 2 _{. Dengan demikian diperoleh barisan fungsi ( ( )) = yang berdasarkan}

rumus (3) adalah:

- Turunan fraksional orde = dari f(x) = x 2 _{adalah ( ) =} ( )



- Turunan fraksional orde = dari f(x) = x 2 _{adalah ( ) =} ( )



- Turunan fraksional orde = dari f(x) = x 2 _{adalah ( ) =} ( )



Jadi ketika ( ) = konvergen ke  = 1 , maka secara bersamaan barisan ( ( ))

akan konvergen ke ( ) = ( )

( )

_{= 2 yang tiada lain adalah ( ) = ( ) .}

Pola kekonvergenan dari barisan fungsi tersebut terlihat dalam Gambar-1, mulai dari grafik

di bawah menuju yang di atas. 

Contoh 2:

Diberikan sepuluh buah bilangan real ( ) = , , , … , 1 dan fungsi f(x) = sin x .

Dengan demikian diperoleh barisan fungsi ( ( )) = sin yang berdasarkan rumus

(4) adalah:

- ( ) = , sin = sin + ,

- ( ) = , sin = sin + ,

dan seterusnya sehingga diperoleh ( ) = sin + = cos = sin = ( ).

Pola kekonvergenan dari barisan fungsi tersebut terlihat dalam Gambar-2, mulai dari grafik

sinus di bawah sebelah kiri menuju grafik cosinus di bawah sebelah kanan. 

Dari kedua contoh di atas dapat dibuktikan bahwa ( ) konvergen uniform (seragam)

ke ( ).

Keberadaan syarat perlu dari teorema di atas, yaitu ( ) = ( ) dan ( ) ada

nilainya, benar-benar sangat penting, karena dapat ditunjukkan melalui contoh penyangkal bahwa bila syarat perlu tersebut dihilangkan, maka teorema tidak dijamin keberlakuannya.

Contoh 3:

Diberikan sepuluh buah bilangan real ( ) = , , , … , 1 dan fungsi f(x) = | |. Tabel

1 menunjukkan nilai turunan fraksional berorde dari f di bilangan real x.

Dari Tabel 1 terlihat bahwa dalam hal ( ) = ( ) tidak ada nilainya, jika diambil

barisan ( ) yang genapnya saja maka ( ) tetap tidak konvergen. Hal ini

menunjukkan bahwa teorema tidak berlaku apabila syarat perlu tidak dipenuhi.

3. PENUTUP

Mengingat keterbatasan fungsi yang menjadi kajian penelitian ini, maka perlu penelitian lebih lanjut dengan menggunakan fungsi yang lebih umum, sehingga keberlakuan teorema di atas akan lebih sahih.

Tabel 1. Nilai Turunan Fraksional berorde

Nilai di x < 0 di x = 0 di x > 0

, _{( ) Tidak ada nilai Tidak ada nilai} (2)

(1,9 ) , , _{( ) −} (2) (1,8 ) , ₀ (2) (1,8 ) ,

, _{( ) Tidak ada nilai Tidak ada nilai} (2)

(1,7 ) , , _{( ) −} (2) (1,6) , ₀ (2) (1,6 ) ,

, _{( ) Tidak ada nilai Tidak ada nilai} (2)

(1,5 ) , , _{( ) −} (2) (1,4 ) , ₀ (2) (1,4 ) ,

, _{( ) Tidak ada nilai Tidak ada nilai} (2)

(1,3 ) , , _{( ) −} (2) (1,2 ) , ₀ (2) (1,2) ,

, _{( ) Tidak ada nilai Tidak ada nilai} (2)

(1,1 )

,

( ) -1 Tidak ada nilai 1

4. DAFTAR PUSTAKA

[1] Eric Weisstein , 2007 , Fractional Derivative, http://mathworld. wolfram. Com

/fractionalDerivative.html , Download 10/05/2007.

[2] Grunwald-Letnikov, Fractional Differentiation, http://planetMath.Org ./ Fractional

Differentiation.htm, Download 04/06/2007

[3] H. Gunawan, F. Pranolo, E. Rusyaman, 2007, An Interpolation Method That Minimizes an

Energy Integral of Fractional Order. Singapore: Proceeding of Asian Symposium of

Computer Mathematics.

[4] Kankan Parmikanti dan Endang Rusyaman, 2008, Turunan Fraksional dan Aplikasinya, Seminar Nasional Matematika di Universitas Padjadjaran Bandung.

[5] Mauro Bologna, Short Introduction to Fractional Calculus, http://www.uta.cl/charlas/

vol19 / Download 17/07/2007

[6] Oldham, K.B. and Spanier, J., 1974, The Fractional Calculus: Integration and

Differentiation, York: Academik Press.