MA4183 MODEL RISIKO Bab 5 Teori Kebangkrutan

(1)

MA4183 MODEL RISIKO

Bab 5 Teori Kebangkrutan

Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

(2)

Konsep Surplus

1 _{Perusahaan asuransi memiliki modal awal atau} _{initial surplus} 2 _{Perusahaan menerima premi dan membayarkan klaim}

3 Premi bersifat konstan sedangkan klaim/kerugian bersifat

acak dan tidak pasti

4 Net surplusadalah modal awal + premi - klaim 5 Jika net surplus kurang dari atau sama dengan nol =

Bangkrut atau Ruin

(3)

Fungsi surplus

Misalkan perusahaan asuransi memiliki modalu saat waktu t= 0. Modal ini disebutinitial surplus. Perusahaan menerima presmi setiap waktu (secara reguler). Klaim kerugian sebesarXi

dibayarkan setiap akhir periodei,i = 1,2, . . .. Asumsikan{X_i} saling bebas dan berdistribusi identik.

(4)

Model yang merepresentasikansurplus pada waktun dengan modal awalu adalah

U(n;u) =u+n− n X i=1 Xi, untukn = 1,2, . . ..

(5)

Konsep Bangkrut

Definisi

Kebangkrutan akan terjadi pada waktun jika U(n;u)≤0 untuk pertama kali pada waktun,n ≥1.

(6)

Waktu Bangkrut atau “Time of Ruin”

Definisi

Peubah acakT(u) yang menyatakan waktu bangkrut atau time of ruinadalah

T(u) = min{n≥1 :U(n;u)≤0}

(7)

Definisi

Diberikan suatuinitial surplus u, peluangultimate ruin adalah ψ(u) =P(T(u)<∞)

(8)

Definisi

Diberikan suatuinitial surplus u, peluang bangkrut pada waktut adalah

ψ(t;u) =P(T(u)<t) untukt = 1,2, . . .

(9)

Peluang Bangkrut

Pandang kasusψ(0) atau peluang bangkrut saatinitial surplus u= 0:

P(bangkrut saatu = 0) =ψ(0)

=P(bangkrut saatu= 0|tidak ada klaim saatt= 1)P(tidak ada klaim saatt = 1) +P(bangkrut saatu = 0|ada 1 klaim saatt = 1)P(ada 1 klaim saatt = 1) +P(bangkrut saatu = 0|ada 2 klaim saatt = 1)P(ada 2 klaim saatt = 1) +· · · =ψ(1)fX(0) + 1·fX(1) + 1·fX(2) +· · ·

(10)

Untuku = 1,

ψ(1) =fX(0)ψ(2) +fX(1)ψ(1) +SX(1).

(11)

Untuku ≥1, modelnya adalah ψ(u) =fX(0)ψ(u+ 1) + u X j=1 fX(j)ψ(u+ 1−j) +SX(u) atau ψ(u+ 1) = 1 fX(0)  ψ(u)− u X j=1 fX(j)ψ(u+ 1−j)−SX(u)  .

(12)

Ketaksamaan Lundberg

Teorema

Untuk fungsi surplus waktu diskrit, peluangultimate ruin memenuhi ketaksamaan Lundberg:

ψ(u)≤exp(−r∗u),

dimanar∗ adalah adjustment coefficient, yaitu nilair >0 yang memenuhi persamaanE(er(X−1)) = 1.

(13)

Diskusi:

Dapatkah anda menunjukkan bahwa logMX(r) =r ?

(14)

Contoh. Misalkan klaimX setiap saat mengikuti distribusi Bernoulli dengan parameterθ. Peluangultimate ruin saatu = 0,

ψ(0) =ψ(1)fX(0) +SX(0)

=ψ(1) (1−θ) +θ =θ=E(X),

(15)

Sedangkanψ(1) dapat dihitung dengan mudah dari persamaan diatas yaituψ(1) = 0. Dapatkah kita menghitung ψ(2)?

(16)

Latihan

1 Tunjukkan bahwa untuk model surplus diskrit,ψ(0) =E(X) 2 _{Diketahui p.a klaim}_X _{memiliki fungsi peluang:}

fX(0) = 0.5;fX(1) =fX(2) = 0.2;fX(3) = 0.1

Hitung peluang ψ(u) untuk u ≥0.

(17)

Kebangkrutan Pada Waktu Hingga

Diberikaninitial surplus u= 0. Pada saatt = 1, kebangkrutan akan terjadi dengan peluang

ψ(1; 0) =P(T(0)≥1)

=P(X1= 1) +P(X1 = 2) +· · · =SX(0)

(18)

Misalkanu = 1. Kebangkrutan pada saatt= 1 terjadi dengan peluang

ψ(1; 1) =P(T(1)≥1)

=P(X1= 2) +P(X1 = 3) +· · · =SX(1)

(19)

Kita pandang kasus kebangkrutan saatt = 2, diberikaninitial surplus u= 0. Kebangkrutan pada saat atau sebelum (at or before time)t = 2 akan terjadi karena

Bangkrut saatt = 1

Rugi sebesar j saat t= 1 untuk j = 0,1, . . . ,u yang kemudian diikuti oleh kebangkrutan pada saat/periode t−1 sesudahnya

(20)

Kebangkrutan saatt, diberikan initial surplus u: ψ(t;u) =ψ(1;u) + u X j=0 fX(j)ψ(t−1;u+ 1−j)

(21)

Latihan

1 _{Misalkan p.a} _X _{yang menyatakan klaim memiliki fungsi}

peluang

fX(0) = 0.5;fX(1) =fX(2) = 0.2;fX(3) = 0.1.

Hitung peluang kebangkrutan saat atau sebelum waktu t = 1,2, diberikanu = 0,1.

2 _{Claim severity} _{setiap periode berdistribusi geometrik dengan}

parameter 0.6. Hitung peluang bangkrut saat atau sebelum t = 2, diberikan initial surplus u= 2.

(22)

Model Surplus Kontinu

Pandang model yang merepresentasikansurplus pada waktu t dengan modal awalu adalah

U(t;u) =u+c t−S(t),

(23)

dimanaS(t) =X1+X2+· · ·+XN(t) atau dengan kata lain total kerugian atauaggregate loss. Jika N(t) = 0 makaS(t) = 0. Kita akan memandang khusus saatN(t) adalah proses Poisson.

(24)

Proses Poisson

Definisi

N(t) adalah suatu proses Poisson dengan parameter λ, yaitu laju terjadinyaeventssetiap unit waktu, jika

(a) N(t2)−N(t1)∼POI(λ(t2−t1))

(b) N(t) memenuhiindependent increments

(25)

Diskusi:

S(t) merupakan compound Poisson process

U(t;u) merupakancompound Poisson surplus process E(S(1)) =E(N(1))E(X) =λ µX

(26)

Latihan:

1 _{Misalkan p.a} _X _{yang menyatakan klaim memiliki fungsi}

peluang

fX(0) = 0.5;fX(1) =fX(2) = 0.2;fX(3) = 0.1.

Hitungr∗. Hitung ketaksamaan Lundberg untuku = 0,1.

2 _{Dapatkah anda menentukan ketaksamaan Lundberg untuk}

kasus waktu kontinu?