I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Setiap perusahaan menyadari bahwa total biaya produksi sangat berkaitan dengan output-nya. Jika perusahaan meningkatkan kapasitas produksi, maka perusahaan tersebut tentunya membutuhkan input yang lebih banyak dan biaya produksi yang digunakan juga akan semakin tinggi. Oleh karena itu, perusahaan dituntut membuat keputusan dan perencanaan yang tepat dalam masalah produksi. Dalam ilmu ekonomi, ada dua waktu perencanaan yang biasa diambil perusahaan mengenai masalah produksi, yaitu (1) jangka pendek, yang merupakan jangka waktu ketika hanya ada satu input produksi yang berubah. Satu-satunya cara memproduksi output adalah dengan menyesuaikan input produksi variabel terhadap produksinya sampai tingkat output yang diinginkan bisa tercapai. (2) Jangka panjang, yaitu jangka waktu ketika semua input produksi dapat diubah sehingga ada berbagai cara yang efisien secara teknik untuk memproduksi output yang diinginkan.
Dalam menentukan pilihannya, perusahaan akan berusaha untuk menghindari inefisien secara teknis. Akan tetapi efisien secara teknis tidaklah cukup. Untuk menjadi efisien secara ekonomis, perusahaan harus menentukan input optimal dan metode produksi yang meminimumkan biaya agar keuntungan maksimum bisa tercapai. Salah satu caranya adalah dengan prinsip substitusi. Dalam prinsip substitusi, perusahaan akan menggunakan lebih banyak input produksi yang relatif lebih murah dan menggunakan lebih sedikit input produksi yang relatif lebih mahal. Dua konsep mendasar mengenai prinsip substitusi adalah konsep return to scale dan konsep elastisitas substitusi.
Return to scale mengukur respon output saat input produksi berubah sedangkan konsep elastisitas substitusi mengukur seberapa mudah menukarkan suatu input dengan input lainnya dalam proses produksi.
Dalam ilmu ekonomi, ada beberapa fungsi produksi yang memiliki return to scale yang konstan. Tiap tipenya dibedakan menurut elastisitas substitusi, ada yang bernilai tak hingga, nol ataupun satu. Pada karya ilmiah ini, kita akan membahas fungsi produksi yang memiliki nilai elastisitas konstan positif atau sering disebut dengan fungsi produksi CROPPES (constant ratio of pairwise partial elasticities of substitution).
1.2 Tujuan Penulisan
Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini adalah:
1. mempelajari sifat-sifat dari fungsi produksi croppes
2. mempelajari elastisitas parsial substitusi dalam fungsi produksi croppes
3. menentukan input produksi yang optimal. 1.3 Sistematika Penulisan
Pada Bab Pertama dijelaskan latar belakang dan tujuan dari penulisan karya ilmiah ini. Bab Dua berisi landasan teori yang menjadi konsep dasar dalam penyusunan pembahasan. Pada Bab Tiga diberikan pembahasan tentang fungsi produksi croppes. Bab Empat berisi tentang studi kasus. Bab Lima merupakan kesimpulan. Kemudian Bab Enam berisikan daftar pustaka yang digunakan dalam penulisan karya ilmiah ini.
II. LANDASAN TEORI Pada Bab ini akan diberikan teori yang
menjadi landasan pengerjaan karya ilmiah ini. Berikut ini adalah definisi-definisi mengenai istilah ekonomi yang digunakan.
Definisi 1 (Faktor Produksi)
Faktor produksi adalah variabel-variabel input yang digunakan dalam proses produksi untuk menghasilkan output.
(Rahardja & Manurung, 1999) Definisi 2 (Input Produksi Tetap)
Input produksi tetap adalah input produksi yang jumlah penggunaannya tidak tergantung pada jumlah produksi.
Definisi 3 (Input Produksi Variabel)
Input produksi variabel adalah input produksi yang tergantung pada tingkat produksinya. Semakin besar tingkat produksi, maka akan semakin banyak pula input produksi variabel yang digunakan.
(Rahardja & Manurung, 1999) Definisi 4 (Fungsi Produksi)
Fungsi produksi untuk suatu barang tertentu, Y=f(K,L,…)dengan K menyatakan input kapital dan L menyatakan input tenaga kerja sedangkan tanda titik-titik pada fungsi di atas menunjukkan kemungkinan digunakannya input produksi yang lain, memperlihatkan jumlah output maksimum yang dapat diperoleh dengan menggunakan berbagai alternatif kombinasi input produksi.
(Nicholson, 1999)
Definisi 5 (Produk Marjinal)
Misalkan didefinisikan fungsi produksi Y=f(K,L) dengan K menyatakan input kapital dan L menyatakan input tenaga kerja. Produk marjinal dari suatu input adalah output tambahan yang dapat diperoleh dengan menambah input yang bersangkutan 1 unit, sedangkan input-input lain dianggap konstan. Secara matematis dinotasikan sebagai berikut: produk marjinal kapital
K Y K PM f L ∂ = = ∂
produk marjinal tenaga kerja
L Y L PM f L ∂ = = ∂
.
(Nicholson, 1999) Definisi 6 (Diminishing Return / Produktivitasyang semakin menurun)
Misalkan didefinisikan fungsi produksi Y=f(K,L), Produktivitas marjinal dari satu unit input tenaga kerja tidak selalu sama besarnya. Ketika input tenaga kerja yang digunakan masih sedikit, biasanya produktivitas marjinal yang dihasilkannya sangat tinggi. Tetapi semakin banyak input tenaga kerja tersebut digunakan, dan input modal dibiarkan konstan maka produktivitas marjinal tenaga kerja tersebut akan semakin berkurang. Secara matematis dinotasikan sebagai berikut:
2 2 0 K KK PM Y f K K ∂ = = < ∂ ∂∂ 2 2 0 . L LL PM Y f L L ∂ = = < ∂ ∂∂ (Nicholson, 2002) Definisi 7 (Isokuan)
Isokuan yaitu sebuah kurva yang menunjukkan berbagai kombinasi input produksi yang akan menghasilkan output dalam jumlah yang sama.
(Nicholson, 2002)
Definisi 8 (Rate of Technical Substitution/
RTS)
Misalkan didefinisikan fungsi produksi Y=f(K,L). Rate of technical substitution atau tingkat substitusi teknis yaitu banyaknya pengurangan salah satu input ketika satu unit input lainnya ditambahkan untuk output tetap. Secara matematis dinotasikan sebagai berikut
( L terhadap K ) . L K dK RTS dL PM PM = − = Bukti:
didefinisikan fungsi produksi dengan dua input adalah sebagai berikut
(
)
(
)
(
)
, K L Y f K L f f dY dK dL K L dY PM dK PM dL = ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ =⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = +di sepanjang isokuan dY=0 sehingga
(
)
(
)
(
)
(
)
0 . K L L K L LK K PM dK PM dL PM dL PM dK dK PM dL PM RTS + = = − − = =Persamaan di atas menyatakan bahwa di sepanjang isokuan hasil yang diperoleh karena adanya peningkatan input L persis sama dengan pengorbanan output produksi karena dikuranginya inputK.
(Nicholson, 1999) Definisi 9 (Return to Scale)
Return to scale yaitu suatu keadaan ketika output meningkat sebagai respon adanya kenaikan yang proporsional dari seluruh input. Jika diketahui fungsi produksi Y=f(K,L) dan semua input dikalikan dengan suatu bilangan konstan positif m, maka return to scale-nya bisa diklasifikasikan menjadi
Efek dalam output Return to scale f(mK,mL)= mf(K,L) konstan f(mK,mL)> mf(K,L) berkurang f(mK,mL)< mf(K,L) meningkat (Nicholson, 2002) Definisi 10 (Elastisitas)
Elastisitas yaitu ukuran persentase perubahan suatu variabel yang disebabkan oleh satu persen perubahan variabel lainnya.
(Nicholson, 2002) Definisi 11 (Elastisitas Harga dari
Permintaan)
Elastisitas harga dari permintaan mengukur berapa persen permintaan terhadap suatu barang berubah bila harganya berubah sebesar satu persen. Secara matematis dinotasikan sebagai berikut
( )
( )
% % P Q Q Q P Q P P Q P P E ∂ ∂ ∂ = = = ∂ ∂ ∂ .Nilai elastisitas harga dari permintaan adalah: 1. inelastis (Ep<1), yaitu bila perubahan
permintaan (dalam persentase) lebih kecil dari pada perubahan harga
2. elastis (Ep>1), yaitu bila perubahan harga suatu barang menyebabkan perubahan permintaan yang lebih besar
3. elastis unitari (Ep=1), yaitu bila kenaikan harga menyebabkan penurunan permintaan dengan proporsi yang sama
4. inelastis sempurna (Ep=0), yaitu bila terjadi perubahan harga baik turun maupun naik, orang akan tetap membeli jumlah yang dibutuhkan
5. elastis sempurna (Ep=¶), yaitu bila terjadi perubahan harga sedikit saja memyebabkan perubahan permintaan dari tak terhingga menjadi nol.
(Rahardja & Manurung, 1999) Definisi 12 (Elastisitas Substitusi/s)
Untuk fungsi produksi Y=f(K,L), elastisitas substitusi mengukur perubahan proporsional yang terjadi dalam ratio K/L relatif terhadap perubahan proporsional yang terjadi dalam RTS di sepanjang sebuah isoquan. Secara matematis dinotasikan sebagai berikut
( )
(
)
(
)
(
)
( )
K = d L RTS K dRTS L σ .Nilai s berada pada interval 0 dan ∞. Semakin besar s, maka semakin besar pula kemampuan substitusi kedua input. Kasus khusus di mana s=0 terjadi bila kedua input harus digunakan dengan proporsi yang tetap sebagai pelengkap dari masing-masing input. Kasus khusus lainnya dengan s=∞ adalah bila kedua input merupakan substitusi sempurna.
(Nicholson, 1999) Definisi 13 (Barang Komplemen)
Komplemen yaitu sifat dua barang yang jika harga satu barang meningkat, maka kuantitas barang lain yang diminta akan turun.
(Nicholson, 2002) Definisi 14 (Keuntungan)
Keuntungan adalah nilai penerimaan total dikurangi biaya total yang dikeluarkan perusahaan. Keuntungan nol disebut juga keuntungan normal yaitu tingkat keuntungan yang memberikan tingkat pengembalian yang sama (penerimaan total sama dengan biaya total), sedangkan keuntungan ekonomis adalah tingkat keuntungan yang memberikan tingkat pengembalian yang positif (penerimaan total lebih besar daripada biaya total).
(Rahardja & Manurung, 1999) Definisi 15 (Pasar Persaingan Sempurna) Dalam pasar persaingan sempurna, jumlah perusahaan sangat banyak dan kemampuan setiap perusahaan dianggap sedemikian kecilnya sehingga tidak mampu mempengaruhi pasar. Berikut ini adalah beberapa karakteristik agar sebuah pasar dapat dikatakan persaingan sempurna:
1. semua perusahaan memproduksi barang yang homogen
2. produsen dan konsumen memiliki informasi yang sempurna
3. output sebuah perusahaan relatif kecil bila dibandingkan dengan output pasar
4. perusahaan menerima harga yang ditentukan oleh pasar
5. semua perusahaan bebas untuk keluar masuk pasar.
(Rahardja & Manurung, 1999) Definisi 16 (Monomial)
Monomial adalah variabel bebas maupun perkalian dari variabel bebas yang mempunyai pangkat berupa intejer positif.
Contoh: 2, xy2atau .2y3z
x x
(www.wikipedia.com) Definisi 17 (Fungsi Polinomial Homogen) Fungsi polinomial homogen adalah fungsi polinom yang terbentuk dari penjumlahan monomial, dengan derajat total dari masing-masing monomial tersebut adalah sama. Contoh:
1. fungsi monomial berderajat 10 2
5 3
( , , )
f x y z =x y z
2. fungsi polinomial homogen berderajat 5 2 2
5 3 3
( , , ) 2 9
f x y z =x + x y + y z
3. bukan fungsi polinomial homogen f x y z( , , ) 4 2 3y2 9y 3
x x z
= + + .
(www.wikipedia.com) Definisi 18 (Fungsi Homogen Berderajat k) Misalkan f adalah fungsi polinomial homogen dari n variabel yang terdefinisi dalam domain D. Bila (x1,x2,….,xn)œD dan t>0, maka (tx1,tx2,….,txn) juga terletak dalam D. Fungsi f dikatakan homogen berderajat k pada D jika f(tx1,tx2,….,txn)= tk f(x1,x2,….,xn)
untuk t>0 dengan k∈R.
(Saeter & Hammond, 2006) Definisi 19 (Kofaktor)
Misalkan A adalah matriks berukuran nxn, elemen-elemen dari matriks A dilambangkan aij dengan i, j=1,2,....,n. Misalkan pula Mij adalah submatriks A berukuran (n-1)x(n-1) yang diperoleh dengan menghapus baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A. Determinan dari Mij disebut minor dari aij. Kofaktor dari aij dalam matriks A dinotasikan dengan Aij didefinisikan sebagai perkalian dari (-1)i+jdengan Mij.
(Zhang, 2005) Definisi 20 (Fungsi Produksi Neoklasik) Fungsi produksi Y=f(K,L), dengan K menyatakan input kapital dan L menyatakan input tenaga kerja disebut neoklasik jika memenuhi kondisi berikut:
1. f(K,L) adalah fungsi taknegatif jika K dan L taknegatif
2. f(0,0)=0
3. fK dan fL adalah fungsi taknegatif
4. ada turunan parsial kedua dari fungsi f terhadap K dan L
5. fungsi tersebut homogen berderajat satu
6. f(λK,λL)=λf(K,L) untuk semua λ yang taknegatif
7. fungsi produksi tersebut adalah fungsi strictly quasiconcave.
(Zhang, 2005) Beberapa definisi tentang kekonveksan dan kekonkafan fungsi yang terdiferensiabel.
Definisi 21 (Kedefinitan dari Fungsi yang Terdiferensiabel)
Misalkan fungsi Y=f(x1,x2,….,xn) adalah fungsi kontinu dan terdiferensiabel dua kali pada suatu domain D. Turunan orde kedua dari fungsi f dilambangkan dengan 2
n
d Y= H = Δ yang didefinisikan sebagai berikut:
11 12 1 21 22 2 2 1 2 n n n n n nn f f f f f f d Y H f f f = = Δ =
.
Dengan: 1 1 1 2 2 2 11 12 2 , ,..., nn n n f =∂∂x xf f =∂∂x xf f =∂∂x xf,
11 1= f Δ,
11 12 2 21 22 f f f f = Δ,
11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n n nn f f f f f f H f f f = = Δ.
2 nd Y= H = Δ dikenal dengan istilah Hessian determinant. H merupakan matriks simetrik berukuran nxn, misalkan Δk adalah minor utama ke-k dari matriks H untuk 1≤ ≤k n
maka
1. H adalah definit positif jika dan hanya jika
0
k>
Δ untuk k=1,2,..n
2. H adalah definit negatif jika dan hanya jika
( )
−1kΔk>0 untuk k=1,2,..n3. jika Δ1>0, 0,..., 0Δ2> Δn−1> dan Δn=0 maka H adalah semidefinit positif
4. jika
( )
−1kΔk>0 untuk k=1,2,..n-1 dan 0n=
Δ maka H adalah semidefinit negatif. (Peressini, 1988)
Definisi 21 (Fungsi Konveks dan Konkaf) Misalkan fungsi Y=f(x1,x2,….,xn) adalah fungsi kontinu dan terdiferensiabel dua kali pada suatu domain D. Turunan orde kedua dari fungsi f dilambangkandengan 2
n
d Y= H = Δ
, maka:
1. fungsi Y disebut fungsi konkaf jika danhanya jika 2
n
d Y= H = Δ
adalah semidefinit
negatif2. fungsi Y disebut fungsi strictly konkaf jika
2
n
d Y= H = Δ
adalah definit negatif
3. fungsi Y disebut fungsi konveks jika dan hanya jika 2
n
d Y= H = Δ adalah semidefinit positif
4. fungsi Y disebut fungsi strictly konveksjika
2
n
d Y= H = Δ adalah definit positif. (Chiang & Wainwright, 2005) Definisi 22 (Fungsi strictly quasiconcave) Misalkan Y=f(x1,x2,….,xn) adalah fungsi kontinu dan terdiferensiabel dua kali pada suatu domain D. Domain D hanya terdefinisi untuk nilai x1,x2,x3….,xn >0. Kuasi kekonkafan dapat dicek dengan menggunakan prinsip minor utama yang disusun dalam bordered determinant sebagai berikut: 1 1 11 1 1 0 n n n n n nn f f f f f F F f f f = =
.
Dengan: 1 2 2 1 11 1 1 ,..., ,..., ,..., n nn n n n f =∂∂xf f =∂∂xf f =∂∂x xf f =∂∂x xf,
1 1 1 11 0 f F f f =,
1 2 2 1 11 12 2 21 22 0 f f F f f f f f f =,
1 1 11 1 1 0 n n n n n nn f f f f f F F f f f = =.
Fungsi Y=f(x1,x2,….,xn) disebut fungsi strictly quasiconcave jika: 1 2 1 2 0, 0, 0, jika ganjil 0, 0, 0, jika genap. n n F n F n F F F F F F < > = < < > = > …… ……
(Chiang & Wainwright, 2005)
Definisi 23 (Metode Pengali Lagrange) Misalkan didefinisikan sebuah masalah Maksimumkan (minimumkan) f(x,y) Terhadap kendala g(x,y)=c.
Langkah-langkah untuk menemukan solusi yang optimal bagi masalah di atas adalah sebagai berikut:
1. tuliskan fungsi Lagrange-nya
( )
( )
(
( )
)
£ ,x y = f x y, −λ g x y, −c
dengan λ adalah pengali Lagrange-nya 2. turunkan £ terhadap x, y danλ, lalu turunan
parsial yang didapatkan bernilai sama dengan nol
3. langkah (2), menghasilkan tiga persamaan sebagai berikut
(
)
( , ) ( , ) ( , ) 0 ( , ) ( , ) ( , ) 0 ( , ) 0 £ £ £ x x x y y y x y f x y g x y x y f x y g x y g x y c λ λ λ = − = = − = = − − =4. selesaikan tiga persamaan ini untuk mencari nilai x, y dan λ.
Langkah (3) sering disebut kondisi orde pertama untuk masalah (1).
(Saeter & Hammond, 2006)
Teorema 1 (Teorema Euler)
Misalkan f adalah fungsi yang terturunkan dari n variabel dalam domain terbuka D, didefinisikan X=(x1,x2,….,xn) dan t>0 sehingga tX œ D. Fungsi f adalah fungsi homogen berderajat k dalam D jika dan hanya jika persamaan berikut berlaku untuk semua x dalam D
( )
( )
1 n i i i x f X kf X = = ∑.
Dengan: f(X)=f(x1,x2,….,xn)( )
( )
i i f X f X x =∂ ∂ i =1,2,...n.(Saeter & Hammond, 2006) Bukti: Lihat Lampiran 1.
Teorema 2 (Teorema Young)
Andaikan f(x1,x2,….,xn) adalah fungsi kontinu dan terdiferensiabel pada suatu daerah D sehingga f D: f →R, n
f
D ⊆R . Misalkan f12
dan f21 yang kontinu di D adalah turunan
parsial orde dua dari fungsi f terhadap x1 dan x2, maka kedua turunan parsial itu adalah sama. Secara umum dapat dinotasikan sebagai berikut
i j j i f f x x x x ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∂ ⎜ ∂ ⎟ = ∂ ∂ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂ ⎝∂ ⎠ ∂ ⎝∂ ⎠
i, j=1,2,...n.
(Saeter & Hammond, 2006)
III. PEMBAHASAN 3.1 Fungsi produksi
Hubungan antara input dan output dapat ditransformasikan oleh sebuah fungsi produksi. Secara matematis, fungsi produksi dapat dituliskan sebagai berikut:
(
, , ,....)
Y= f K L M
dengan:
Y = output yang dihasilkan selama 1 periode waktu
K = input kapital L = input tenaga kerja M = input material.
Tanda titik-titik pada fungsi di atas menunjukkan kemungkinan digunakannya input produksi yang lain. Untuk menunjukkan berbagai kombinasi input yang digunakan dalam memproduksi tingkat output tertentu, kita menggunakan konsep isokuan.
Isokuan adalah kurva yang menggambarkan berbagai kombinasi input produksi secara efisien yang menghasilkan tingkat produksi yang sama. Misalkan dalam berproduksi perusahaan hanya menggunakan dua input produksi saja, yaitu input modal dan input tenaga kerja maka fungsi produksi menjadi Y=f(K,L) dengan K menyatakan input modal dan L menyatakan input tenaga kerja. Isokuan untuk fungsi produksi seperti ini dapat digambarkan sebagai berikut
Gambar 1 Isokuan
Slope kurva ini menunjukkan suatu tingkat ketika sebuah input dapat dipertukarkan dengan input lainnya dengan output dianggap konstan. Slope yang negatif ini disebut sebagai tingkat marjinal substitusi teknik. Jika kuantitas tenaga kerja yang digunakan perusahaan meningkat, perusahaan seharusnya dapat mengurangi input modal dan masih tetap menghasilkan output konstan. Jika tenaga kerja sebelumnya diasumsikan memiliki produktivitas marjinal positif, perusahaan seharusnya dapat menggunakan input modal yang lebih sedikit saat lebih banyak tenaga kerja yang digunakan. Untuk tingkat output yang tetap, jika kenaikan jumlah tenaga kerja pada akhirnya mengharuskan perusahaan untuk menggunakan lebih banyak modal, hal ini menandakan bahwa produktivitas marjinal tenaga kerja adalah negatif. Semua isokuan memiliki slope negatif yang menunjukkan bahwa terdapat pertukaran antara input modal dan input tenaga kerja.
Hal lain yang penting dari fungsi produksi adalah seberapa mudah suatu input dapat digantikan oleh input lainnya. Kita telah mengasumsikan bahwa tingkat output tertentu dapat diproduksi dengan berbagai variasi input yang berbeda. Perusahaan dapat melakukan substitusi tenaga kerja terhadap modal dengan mempertahankan output tetap konstan. Secara umum, kasus substitusi input diukur dengan konsep elastisitas substitusi. Elastisitas substitusi dilambangkan dengan s dan nilainya biasanya berbeda di sepanjang isoquan untuk return to scale yang berbeda. Jika return to scale diasumsikan konstan, maka nilai elastisitas substitusinya akan sama di sepanjang semua isokuan (Nicholson, 1999).
3.2 Fungsi produksi CES
Fungsi produksi yang mempunyai elastisitas substitusi konstan positif sering disebut dengan fungsi produksi CES (constant elasticities of substitution). Fungsi produksi yang termasuk ke dalam constant elasticities of substitution mempunyai dua karakteristik utama, yaitu:
